天津市滨海新区2021届高三5月高考模拟检测数学试题（Word版附答案）

2021 年滨海新区普通高考模拟检测卷 数 学 一．选择题（共 9 小题） 1．设集合 {1M  ，2，3，4，5， 6} ， { | 2 6}N x R x  „ „ ，那么下列结论正确的是 ( ) A． M N M Ü B． ( )N M NÜ C． M N N D． M N M 2．设 a ， b R ，则“ 2a  且 2b  ”是“ 2 2 8a b  ”的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 3．某校有 200 位教职员工，其每周用于锻炼所用时间的频率分布直方图如 图所示．据图估计，每周锻炼时间在[10 ，12]小时内的人数为 ( ) A．18 B．36 C．54 D．72 4．函数 (0 1)| | xxay ax    的图象的大致形状是 ( ) A． B． C． D． 5．已知三棱锥 A BCD 的四个顶点 A ， B ，C ，D 都在球 O 的表面上，BC CD ， AC  平 面 BCD ，且 2 2AC  ， 2BC CD  ，则球 O 的表面积为 ( ) A． 4 B．8 C．16 D． 2 2 6．已知抛物线 21 20 x y 的焦点 F 与双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)y x a ba b     的一个焦点重合，且点 F 到 双曲线的渐近线的距离为 4，则双曲线的方程为 ( ) A． 2 2 19 16 x y  B． 2 2 116 41 x y  C． 2 2 141 16 y x  D． 2 2 19 16 y x  7．已知函数 ( )f x 是定义在 R 上的偶函数，且在 (0, ) 上单调递增，则 ( ) A． 0.6 3( 3) ( log 13) (2 )f f f    B． 0.6 3( 3) (2 ) ( log 13)f f f    C． 0.6 3(2 ) ( log 13) ( 3)f f f    D． 0.6 3(2 ) ( 3) ( log 13)f f f    8．已知函数 ( ) cos sin 2f x x x ，给出下列命题： ① x R  ，都有 ( ) ( )f x f x   成立； ②存在常数 0T  ， x R  恒有 ( ) ( )f x T f x  成立； ③ ( )f x 的最大值为 2 3 9 ； ④ ( )y f x 在[ , ]6 6   上是增函数． 以上命题中正确的为 ( ) A．①②③④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 9．已知函数 ( )f x 满足 ( ) (3 )f x f x ，当 [1x ， 3) ， ( )f x lnx ，若在区间[1， 9) 内，函数 ( ) ( )g x f x ax  有三个不同零点，则实数 a 的取值范围是 ( ) A． 3 1( , )3 ln e B． 3 1( , )9 3 ln e C． 3 1( , )9 2 ln e D． 3 3( , )9 3 ln ln 二．填空题（共 6 小题） 10．已知复数 (1 )(1 2 )z i i   ，其中i 是虚数单位，则 z 的模是 ． 11． 5( 1)( 1)x x  展开式中含 2x 项的系数为 ．（用数字表示） 12．已知直线 : 2 2 0l x y   ，点 P 是圆 2 2:( 1) ( 1) 4C x y    上的动点，则点 P 到直线 l 的 最大距离为 ． 13．已知箱中装有 10 个不同的小球，其中 2 个红球、3 个黑球和 5 个白球，现从该箱中有放 回地依次取出 3 个小球．则 3 个小球颜色互不相同的概率是 ；若变量 为取出 3 个球中红 球的个数，则 的数学期望 ( )E  为 ． 14．已知 a ，b 都为正实数，且 1 1 1a b   ，则 25ba a ab   的最小值为 ． 15．在矩形 ABCD 中， 2AB  ， 1AD  ，边 DC（包含点 D 、 )C 的动点 P 与 CB 延长线上（包 含点 )B 的动点 Q 满足| | | |DP BQ  ，则 PA PQ    的取值范围是 ． 三．解答题（共 5 小题） 16．在 ABC 中，内角 A 、B 、C 的对边分别为 a ，b ，c ， 2 cos ( cos cos ) 0C a B b A c   ． （Ⅰ）求角 C 的大小； （Ⅱ）若 2a  ， 2b  ．求： （ⅰ）边长 c ； （ⅱ）sin(2 )B C 的值． 17．在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面 ADNM  平面 ABCD ， 3DAB   ， 2AD  ， 1AM  ， E 为 AB 的中点． （Ⅰ）求证： / /AN 平面 MEC ； （Ⅱ）求 ME 与平面 MBC 所成角的正弦值； （Ⅲ）在线段 AM 上是否存在点 P ，使二面角 P EC D  的大小为 3  ？若存在，求出 AP 的 长；若不存在，请说明理由． 18．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的离心率 1 2e  ，左 顶点为 ( 4,0)A  ，过点 A 作斜率为 ( 0)k k  的直线 l 交椭圆 C 于点 D ，交 y 轴于点 E ． （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知 P 为 AD 的中点，是否存在定点 Q ，对于任意的 ( 0)k k  都有 OP EQ ，若存在， 求出点Q 的坐标；若不存在说明理由； （3）若过 O 点作直线l 的平行线交椭圆 C 于点 M ，求 AD AE OM  的最小值． 19．已知等比数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，公比 0q  ， 2 22 2S a  ， 3 4 2S a  ，数列{ }na 满 足 2 14a b ， 2 1 ( 1)n nnb n b n n     ， ( *)n N ． （1）求数列{ }na 的通项公式； （2）证明数列{ }nb n 为等差数列； （3）设数列{ }nc 的通项公式为： ,2 ,4 n n n n n a b n C a b n     为奇数 为偶数 ，其前 n 项和为 nT ，求 2nT ． 20．已知函数 ( )f x lnx ， 2( ) 1ag x bxx    ， ( , )a b R （Ⅰ）当 1a   ， 0b  时，求曲线 ( ) ( )y f x g x  在 1x  处的切线方程； （Ⅱ）当 0b  时，若对任意的 [1x ， 2]， ( ) ( ) 0f x g x … 恒成立，求实数 a 的取值范围； （Ⅲ）当 0a  ， 0b  时，若方程 ( ) ( )f x g x 有两个不同的实数解 1x ， 2 1 2( )x x x ，求证： 1 2 2x x  ． 2021 年滨海新区普通高考模拟检测卷 数 学 答 案 一、选择题：本大题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分． 题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 答案 A A B D C D C D B 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． （10） 10 ； （11） 5 ； （12） 5 2 ； （13） 9 50 ； 3 5 ； （14）9； （15） 3[ ,3]4 ． 三、解答题：本大题共 5 小题，共 75 分． 16．解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得 2 cos (sin cos sin cos ) sin 0C A B B A C   （2 分）  2 cos sin sin 0C C C  ， 2cos 2C   ， 0 C   ，（4 分）  3 4C  （5 分） （Ⅱ）（ⅰ）因为 2, 2a b  ， 3 4C  ， 由余弦定理得 2 2 2 22 cos 2 4 2 2 2 ( ) 102c a b ab C           ，  10c  （7 分） （ⅱ）由 5sinsin sin 5 c b BC B    ， （9 分） 因为 B 为锐角，所以 2 5cos 5B   （10 分） 5 2 5 4sin 2 2 5 5 5B     ， 2 2 3cos2 cos sin 5B B B   （12 分） 4 2 3 2 7 2sin(2 ) sin 2 cos cos2 sin ( )5 2 5 2 10B C B C B C           （14 分） 17．证明：（Ⅰ） CM 与 BN 交于 F ，连接 EF 由已知可得四边形 BCNM 是平行四边形，所以 F 是 BN 的中点． 因为 E 是 AB 的中点，所以 / /AN EF （1 分） 又 EF  平面 MEC ，（2 分） AN  平面 MEC ，（3 分） 所以 / /AN 平面 MEC （4 分） 解：（Ⅱ）由于四边形 ABCD 是菱形， 3DAB   ， E 是 AB 的中点，可得 DE AB ． 又 ADNM 是矩形，平面 ADNM  平面 ABCD ，平面 ADNM  平面 ABCD AD ， DN  平面 ABCD（5 分） 如图建立空间直角坐标系 D xyz ， 则 (0D ，0， 0) ， ( 3,0,0)E ， (0C ，2， 0) ， ( 3, 1,1)M  ， ( 3,1,0)B ， (0N ，0，1) 设平面 MBC 的法向量为 1 (n x ， y ， )z ， (0,2, 1)MB   ， ( 3,1,0)BC   ， 1 1 0 0 MB n BC n          ， 2 0 3 0 y z x y     ， 1 (1, 3,2 3)n   （7 分） (0,1, 1)ME    （8 分） 1 1 1 3 6cos , 8| || | 2 4 ME nME n ME n             （9 分） ME 与平面 MBC 所成角的正弦值 6 8 （10 分） （Ⅲ）设 ( 3, 1, )P h ， ( 3, 2,0)CE   ， (0, 1, )EP h  设平面 PEC 的法向量为 1 ( , , )n x y z 则， 1 1 0 0 CE n EP n           3 2 0 0 x y y hz      令 3y h ， 1 (2 , 3 , 3)n h h  （11 分） 又平面 ADE 的法向量 2 (0,0,1)n  ， 1 2 1 2 2 1 2 3 1cos , 2| || | 7 3 n nn n n n h            （13 分） 解得， 3 7 7h  （14 分），  3 7 17  ， 在线段 AM 上不存在点 P ，使二面角 P EC D  的大小为 3  ．（15 分） 18．解：（1）椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的离心率 1 2e  ，左顶点为 ( 4,0)A  ， 4a  ，又 1 2e  ， 2c  ．（2 分） 又 2 2 2 12b a c   ， 椭圆 C 的标准方程为 2 2 116 12 x y  ．（4 分） （2）直线 l 的方程为 ( 4)y k x  ， 由 2 2 116 12 ( 4) x y y k x       消元得， 2 2[ ( 4)] 116 12 x k x   ． 化简得， 2 2( 4)[(4 3) 16 12)] 0x k x k     ， 1 4x   ， 2 2 2 16 12 4 3 kx k    ．（6 分） 当 2 2 16 12 4 3 kx k    时， 2 2 2 16 12 24( 4)4 3 4 3 k ky k k k      ，  2 2 2 16 12 24( , )4 3 4 3 k kD k k     ． 点 P 为 AD 的中点， P 的坐标为 2 2 2 16 12( , )4 3 4 3 k k k k    ， 则 3 ( 0)4OPk kk    ．（8 分） 直线 l 的方程为 ( 4)y k x  ，令 0x  ，得 E 点坐标为 (0,4 )k ， 假设存在定点 (Q m ， )( 0)n m  ，使得OP EQ ， 则 1OP EQk k   ，即 3 4 14 n k k m    恒成立， (4 12) 3 0m k n    恒成立， 4 12 0 3 0 m n     ，即 3 0 m n     ， 定点 Q 的坐标为 ( 3,0) ．（10 分） （3） / /OM l ， OM 的方程可设为 y kx ， 由 2 2 116 12 x y y kx      ，得 M 点的横坐标为 2 4 3 4 3 x k    ，（12 分） 由 / /OM l ，得 | | | | 2 | | | | D A E A D A M M x x x x x xAD AE OM x x       2 22 2 2 16 12 8 1 4 94 3 4 3 3 4 3 4 3 k kk k k          （13 分） 2 2 1 6( 4 3 ) 2 2 3 4 3 k k     … ， 当且仅当 2 2 64 3 4 3 k k    即 3 2k   时取等号， 当 3 2k   时， AD AE OM  的最小值为 2 2 ．（15 分） 19．解：（1）由于等比数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，公比 0q  ， 2 22 2S a  ， 3 4 2S a  ， 所以 3 2 4 2 32S S a a a    ，整理得 2 2 2 22a q a a q  ， 由于 2 0a  ，所以 2 2 0q q   ，由于 0q  ，解得 2q  ． 由于 1 2 22 2a a a   ，解得 1 2a  ，所以 2n na  ． （2）数列{ }na 满足 2 14a b ，解得 1 1b  ， 由于 2 1 ( 1)n nnb n b n n     ， 所以 1 11 n nb b n n    （常数）． 所以数列数列{ }nb n 是以 1 为首项 1 为公差的等差数列． （3）由于数列数列{ }nb n 是以 1 为首项 1 为公差的等差数列． 所以 1 ( 1)nb n nn     ，解得 2 nb n  由于数列{ }nc 的通项公式为： ,2 ,4 n n n n n a b n C a b n     为奇数 为偶数 ， 所以令 2 1 2 2 1 2 1 2 (2 1) 2 (2 ) 2 (4 1) 42 4 n n n n n n n np c c n             ． 所以 0 1 2 1 2 3 4 7 4 11 4 (4 1) 4n nT n         ①， 1 2 3 24 3 4 7 4 11 4 (4 1) 4n nT n        ②， ①  ②得： 0 1 1 23 3 4 4 4 4 4 (4 1) 4n n nT n         ， 整理得 2 4 13 3 4 (4 1) 44 1 n n nT n      ，故： 2 7 12 7 49 9 n n nT    ． 20．解：（Ⅰ）当 1a   时， 0b  时， 2 1 1y lnx x    ，当 1x  时， 2y  ， 3 1 2y x x    ，当 1x  时， 1y   ， 曲线 ( ) ( )y f x g x  在 1x  处的切线方程为 3 0x y   ； （Ⅱ）当 0b  时，对 [1x  ，2]， ( ) ( ) 0f x g x … 都成立，则对 [1x  ，2]， 2 2a x lnx x … 恒 成立， 令 2 2( ) (1 2)h x x lnx x x   „ „ ，则 ( ) 2h x xlnx x    ．令 ( ) 0h x  ，则 x e ， 当1 x e  ， ( ) 0h x  ，此时 ( )h x 单调递增；当 2e x  时， ( ) 0h x  ，此时 ( )h x 单调递 减，  ( ) ( ) 2max eh x h e  ， 2 ea … ， a 的取值范围为[ , )2 e  ； （Ⅲ）当 0a  ， 0b  时，由 ( ) ( )f x g x ，得 1 0lnx bx   ， 方程 ( ) ( )f x g x 有两个不同的实数解 1x ， 2 1 2( )x x x ， 令 ( ) 1( 0)F x lnx bx x    ，则 1 2( ) ( ) 0F x F x  ， 1( )F x bx    ，令 ( ) 0F x  ，则 1x b  ， 当 10 x b   时， ( ) 0F x  ，此时 ( )F x 单调递增；当 1x b  时， ( ) 0F x  ，此时 ( )F x 单调递 减，  1( ) ( ) 0maxF x F b   ， 0 1b   ，又 1( ) 0bF e e    ， F （1） 1 0b   ，  1 1 11xe b    ， 1 2 1xb b   ， 只要证明 2 1 2x xb   ，就能得到 1 2 2 2x x b    ，即只要证明 1 1 2( ) 0 ( )F x F xb    ， 令 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 2 2(0 )G x F x F x ln x lnx bx xb b b          „ ，则 212 ( ) ( ) 02( ) b x bG x x x b      ， ( )G x 在 1(0, )b 上单调递减，则 1 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 0G x G F Fb b b b      ，  1 1 1 2( ) ( ) ( ) 0G x F x F xb     ， 1 1 2 2( ) ( ) 0 ( )F x F x F xb     ，  2 1 2x xb   ， 1 2 2 2x x b    ，即 1 2 2x x  ，证毕．