义乌市 2021 届高三适应性考试
数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．考试时间 120 分钟．试卷总分为 150 分．请考
生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．
参考公式：
如果事件 A B、 互斥，那么 ( ) ( ) ( )P A B P A P B
如果事件 A B、 相互独立，那么 ( ) ( ) ( )P AB P A P B
如果事件 A在一次试验中发生的概率为 p ，那么 n 次独立重复试验中事件 A恰好
发生 k 次的概率 ( ) (1 ) ( 0,1,2, , )k k n k
n nP k C p p k n
台体的体积公式 1 1 2 2
1
3V S S S S h ，其中 1 2S S、 表示台体的上、下底面积，h
表示棱台的高．
柱体的体积公式V Sh ，其中 S 表示柱体的底面积， h 表示柱体的高
锥体的体积公式 1
3V Sh ，其中 S 表示锥体的底面积， h 表示锥体的高．
球的表面积公式 24S R
球的体积公式 34
3V R ，其中 R 表示球的半径．
第Ⅰ卷 选择题部分（共 40 分）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知全集U R ，集合 { 2 1}, { 0}P x x Q x x
，那么 UP C Q （ ）
A． ( 2,0) B． (0,1) C． ( ,0) (0,1) D． ( ,1)
2．已知实数 ,x y 满足
0
2 3 6 0
3 2 6 0
y
x y
x y
，则 2z x y 的最大值为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
3．已知 ,a bR ，则“ 0b ”是“ 2 0a b ”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．函数 2 1( ) cos(2 ) 2 2f x x x xx
的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列函数中，在定义域内单调递增且是奇函数的是（ ）
A． 2
2log 1y x x B． siny x C． 2 2x xy D． | 1|y x
6． ABC 的三内角 , ,A B C 所对的边分别是 , ,a b c ，下列条件中能构成 ABC 且形状唯一确
定的是（ ）
A． cos cos cos( )cos 0, 60b A C c B C B C
B． 1, 3, 30a b A
C． 2 2 2sin sin 2 sin sin sin , 45A C A C B A
D． 1, 2,a b c Z
7．已知双曲线
2 2
1 22 2 1( 0, 0),x y a b F Fa b
、 为左右焦点， M 为坐标平面上一点，若
1 2MF F 为等腰直角三角形且 2MF 的中点在该曲线上，则双曲线离心率的可能值中最小的是
（ ）
A． 5 1
2
B． 10 2
2
C． 2 D． 10 2
2
8．已知圆 2 2 1x y 与圆 2 22 0x mx y ny （ ,m n 是正实数）相交于 A B、 两点，O 为
坐标原点．当 AOB 的面积最大时，则 2 24 1 1m n
mn
的最小值是（ ）
A． 2 6 B．8 C．7 D． 4 3
9．已知函数 2 , 0( )
, 0
x xf x
kx b x
，若对于任意一个正数 a ，不等式 1| ( ) (0) 3f x f ∣ 在
( , )a a 上都有解，则 ,k b 的取值范围是（ ）
A． 2 4, , ,3 3k b R B． 2 40, ,3 3k b
C． 2, ,3k b R D． 40, , 3k b
10．如图，在等边三角形 ABC 中， ,D E 分别是线段 ,AB AC 上异于端点的动点，且 BD CE ，
现将三角形 ADE 沿直线 DE 折起，使平面 ADE 平面 BCED ，当 D 从 B 滑动到 A 的过程
中，则下列选项中错误的是（ ）
A． ADB 的大小不会发生变化 B．二面角 A BD C 的平面角的大小不会发生变化
C． BD与平面 ABC 所成的角变大 D． AB 与 DE 所成的角先变小后变大
第Ⅱ卷 非选择题部分（共 110 分）
二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题 4 分，共 36 分．）
11．已知 , , i a bR 是虚数单位．若 ( 2 )(1 )z a i bi 为实数，则 ab _____，| |z 的最小
值为______．
12．设 3 2 *
0 1 2(2 ) (3 ) . ,n n
nx x a a x a x a x n N ，若
0 1 2 17na a a a ，则 n ________， 2a _______．
13 设随机变量 X 的分布列如下：
X 0 1 2 3
P 0.1 a b 0.4
则 a b _______，若数学期望 ( ) 2E X ，则方差 ( )D X _______．
14．某几何体的三视图如图所示，每个小正方形边长都是 1，则该几何体的体积为____，表面
积为____．
15．已知数列 2 4n
na n ，则数列 na 的前 n 项和 nS _________．
16．将 2 个 2021,3 个 2019,4 个 2020 填入如右图的九宫格中，使得每行数字之和、每列数字
之和都为奇数，不同的填法有_________种．（用数字回答）
17．若平面向量 ,a b
满足| | 3, 4 2| |a a b a b ，则| | | |a b a b 的取值范围是
_______．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程
或演算步骤．）
18．（本题满分 14 分）已知函数 2( ) sin sin cos6 3 3f x x x x
．
（Ⅰ）求函数 ( )f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数 1( ) , (0, )24 2g x f x
，且 3tan 4
，求函数 ( )g x 在区间
0, 2
上的取值范围．
19．（本题满分 15 分）如图 1，平行四边形 ABCE 中， 22 4, 3AE CE AEC ，在 CE
的延长线上取一点 D ，使得 3ED CE ；现将 ADE 沿 AE 翻折到图 2 中 AD E 的位置，
使得 55CD ．
（Ⅰ）求证： AE BD ；
（Ⅱ）求直线 CD 与面 AD E 所成角的正弦值．
20．（本题满分 15 分）已知数列 na 的前 n 项和为
2 *
1 1, 0, 1, 2, Nn n n n nS a a S a a n n ．
（Ⅰ）求 na 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 nb 满足 *
1 2 Nna
n na b n ，求数列 nb 的前 n 项和 nT ；
（Ⅲ）若数列 nc 满足 *
1 1 2
1 1 1, 0, 1,2 n n
n n n
c c c n Nc a c
，求证： 3nc ．
21．（本题满分 15 分）已知抛物线 2
1 : 4C y x ，椭圆
2 2
2 2: 1( 0)4
x yC bb
，点 M 为椭圆
2C 上的一个动点，抛物线 1C 的准线与椭圆 2C 相交所得的弦长为 3 ．直线 l 与抛物线 1C 交
于 PQ 两点，线段 MP MQ、 分别与抛物线 1C 交于 S T、 两点，恰好满足 2PQ ST ．
（Ⅰ）求椭圆 2C 的标准方程；
（Ⅱ）求以 ST 为直径的圆面积的最大值．
22．（本题满分 15 分）已知函数 1( ) ln 22f x a x x a x 有两个极值点 1 2x x、 ．
（Ⅰ）求实数 a 的取值范围；
（Ⅱ）求证： 1 0f x ；
（Ⅲ〕若 2 19x x ，求 2 1
2 1
f x f x
x x
的最大值．
义乌市 2021 届高三适应性考试
数学试卷参考答案与评分细则
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D B A C D A B A C
二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题 4 分，共 36 分．）
11．2,4 12．4,15 13．0.5,1 14．1, 2 6 3
15．
1 2 *
1 2 *
2 2 2 2, 1 4,
2 2 2 18, 5,
n
n n
n n n n N
S
n n n n N
16．90 17．[1,4]
二、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．）
18．解：（Ⅰ）由题意可得
1 1 2 1 1 1( ) sin 2 cos 2 sin 2 cos 22 3 2 3 2 2 3 3 2f x x x x x
5 分
2 1sin 22 12 2x
2 2 2 ,2 12 2k x k k Z ，解得 7 5 ,24 24k x k k Z ，
所以函数 ( )f x 的单调递增区间为 7 5k , ,24 24k k Z 7 分
（Ⅱ）由题意及（Ⅰ）可知 2( ) sin(2 2 )2g x x ， 9 分
因为 0 , 2 2 2 22x x ，
又 (0, ) ，且 3tan 4
，所以 3 4sin , cos , 05 5 4
， 10
分
则 30 2 , 22 2
，
所以 24sin( 2 ) sin 2 2sin cos 25
， 12 分
所以 24 sin(2 2 ) 125 x ，
则 12 2 2( )25 2g x ，即 ( )g x 在区间 0, 2
上的取值围为 12 2 2,25 2
14 分
19．解：（Ⅰ）作 BO AE 垂足为O ，根据题意得 1OA ，则 3OE ，又 6D E DE ，
3OED ，在 DEO 中，由余弦定理得 3 3OD 2 分
3 3OD OD 又 2 22( )D E OE OD
由勾股定理得 OD AE ， 4 分
又学科网 OB AE ，
则 AE 平面 BOD 6 分
又 BD 平面 BOD 则 AE BD 7 分
（Ⅱ）（法一几何法）
/ /BC AE / /BC 平面 AD E
C 到平面 AD E 的距离等于 B 到平面 AD E 的距离 10 分
作 BH D O 的延长线于 H ，连 OH ，则 BHO 为直线 CD 与面 AD E 所成的角，
3 3
2 2BH OB 12 分
3
3 552sin 11055
CHCD H D H
15 分
（法二坐标法）
作 BO AE 于O ，以 OB 为 x 轴，OA 为 y 轴，学科网竖直向上为 z 轴，由已知条件得
(0,0,0), (0,1,0), ( 3,0,0), ( 3, 4,0), (0, 3,0), ( 3 3,0,0)O A B C E D ，
9 分
/ / ,BC AE BC 面 2 2, , ( 55) 4 39BOD BC BD BD ．
又
2 2 2( 3) (3 3) ( 39) 13, 3 3, cos 22 3 3 3
OB OD OD BOD
，
2 ,3 3BOD DOD ， 12 分
3 3 9,0,2 2D
13 分
由 , ,D A E 的坐标易求面 AD E 的法向量 ( 3,0,1)n ， 14 分
5 3 9, 4,2 2CD
，设直线 CD 与面 AD E 所成角为 ，
则
15 9
3 3 552 2sin 11075 81 2 55| | 2 164 4
n CD
n CD
15 分
（法三体积法）
作 BO AE 于O ，以 OB 为 x 轴，OA 为 y 轴，竖直向上为 z 轴，由已知条件得
(0,0,0), (0,1,0), ( 3,0,0), ( 3, 4,0), (0, 3,0), ( 3 3,0,0)O A B C E D ，
9 分
/ / ,BC AE BC 面 2 2, , ( 55) 4 39BOD BC BD BD ．
又
2 2 2( 3) (3 3) ( 39) 13, 3 3, cos 22 3 3 3
OB OD OD BOD
，
2 ,3 3BOD DOD 11 分
3 3 9,0,2 2D
12 分
设点C 到面 AD E 的距离为 h ，直线 CD 与面 AD E 所成角为 ，由 D ACE C AD EV V 得
1 1 9 1 12 4 sin120 4 3 33 2 2 3 2 h
解得 3
2h ，则
3
3 552sin 11055
h
CD
15 分
20．解：（Ⅰ）由 2
12 ( 2)n n nS a a n 可得 2
1 12 n n nS a a ， 2 分
两式相减得 1 1 1 0( 2)n n n na a a a n 3 分
由题意可得 1 1( 2)n na a n ，由 2
12 ( 2)n n nS a a n
可得 2
1 2 22S a a ，所以 2 2a ，故 2 1 1a a 5 分
所以 na 是首项和公差都为 1 的等差数列， na n 6 分
（Ⅱ） 1
2n n
nb ， 7 分
1 2
1 1 12 3 ( 1)2 2 2n nT n 8 分
2 1
1 1 1 12 ( 1)2 2 2 2n n nT n n
2 1 1
1 1 1 1 3 1 11 ( 1)2 2 2 2 2 2 2n n n n n
nT n
2 1 33 32 2n n n
n nT 10 分
（Ⅲ）因为 *
1 2
1 1 1, , 0n n
n n n
c n N cc a c
所以 2 2
1
1 1 1 1 1 1 1 ( 2)( 1) 1n n n
nc c n c n n n n n
12 分
所以由累加可得
2 2
1 1 2 3 1 2 3 1
1 1 1 1 1 1 2 1 1 1
1 4 9 ( 1) 3 4 9 ( 1)n n nc c c c c n c c c n c
2
1
1 1 2 1 1 1
3 4 9 ( 1)nc c n
13 分
故有
1
1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 5 1 513 2 2 3 3 4 2 1 3 1 3nc c n n n
14 分
1 5 12 , 33 3 n
n
cc
． 15 分
21．解：（Ⅰ）抛物线 1C 的准线方程 1x 2 分
因为抛物线 1C 的准线与椭圆 2C 相交的弦长 3
所以抛物线 1C 的准线与椭圆 2C 交点 31, 2
4 分
得 2
1 3 14 4b
得 2 1b
∴椭圆 2C 的标准方程为
2
2 14
x y 6 分
（Ⅱ） 2 ,PQ ST S T
、 两点是 MP MQ、 的中点 7 分
令 0 0 1 1 2 2, , , , ,M x y P x y Q x y
可得 0 1 0 1 0 2 0 2, , ,2 2 2 2
x x y y x x y yS T
2 2
2 20 1 1
0 1 0 1 0 1 0 02 2 2 , 2 8 02 2
y y yx x x y y y y x
8 分
同理 2 2
2 0 2 0 02 8 0y y y y x 9 分
1 2,y y 是 2 2
0 0 02 8 0y y y y x 的两个根，
2 2
0 0 0 08 32 8 2 32 0y x x x ，
解得 0 [ 2,2 17 8)x 10 分
2
1 2 0 1 2 0 02 , 8y y y y y y x 11 分
2 2
1 2 0 08 32y y y x
2 2 22 2
2 2 2 21 2 1 22 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2| | 4 4 16
y y y yy yPQ x x y y y y y y
2 2 2
2 2 20 0 0
1 2 0 0 0 0
4 51 1 8 32 2 32 816 4 4 16
y y xy y y x x x
4 3 2
0 0 0 0
1 16 24 320 808 x x x x 13 分
令 4 3 2( ) 16 24 320 80, [ 2,2 17 8)f x x x x x x ，
则 3 2( ) 4 48 48 320f x x x x ，
2( ) 12 96 48 0f x x x 在 [ 2,2 17 8)x 上恒成立
( ) ( 2) 0f x f
2x 时， 2| |PQ 取到最大值 64 14 分
max| | 4ST ，此时以 ST 为直径的圆面积的最大值为 4 15 分
22．解：（Ⅰ）函数 ( )f x 的定义域为 0x 1 分
2 2( ) 0( 0)2
x a x af x xx
有两个解 1 2x x、 3 分
2 2 2 0t at a 两个不同的正根 1 2,x x
24 8 0a a ，且 0a ，得 a 的取值范围是 2a 5 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，不妨设 1 2x x 时，函数 ( )f x 在 10, x 和 2 ,x 上递增，在 1 2,x x 上
递减， 6 分
21
1 1 1
1
2 2 0, , 2
2 2
xx a x a a x a a a
x
7 分
1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1
1 1ln 2 ln 22 22 2 2 2
x xf x a x x a x x x x
x x
1
1 1
1
ln 1
2 1
x x x
x
8 分
2 2 2
1 11 1 2 2 1 2 0, 1x a a a a a a a x
9 分
故只要证 1 1ln 1 0x x
设 ( ) ln 1g x x x ，则 2( ) 2
xg x x
，函数 ( )g x 在 (0,4) 上递增，在 (4, ) 上递减，
( ) (4) ln 4 3 0g x g ，则 1 0f x 得证 10 分
（Ⅲ）根据韦达定理， 1 2 1 2 2x x x x a
2
2 1 2 1 2 1
1
1ln 22
xf x f x a x x a x xx
2
1 2 2 1 1 2 2 1
1
1 1ln2 2
xx x x x x x x xx
2
1 2 2 1
1
1 1ln2 2
xx x x xx
22
1 2
2 1 11
2 1 2 1 2 1
1 2
lnln1 1 1
2 2 2
xxx xf x f x x x x x x x
x x
12 分
2 19x x ∴令 2
1
3xt x
，设 2
ln ln( ) 1 1
t t th t tt t
，其中 3t 13 分
2 2 2 2
2 22 2
(ln 1) 1 2 ln 1 1 ln
( ) 0
1 1
t t t t t t t
h t
t t
14 分
所以，函数 ( )h t 在区间[3, ) 上单调递减，当 3t 时， 3ln3( ) (3) 8h t h ，
则 2 1
2 1
f x f x
x x
的最大值是 3ln3 4
8
15 分
微信/支付宝扫码支付