安徽省芜湖市2021届高三数学（文）5月质量检测试题（Word版附答案）

2020-2021 学年度第二学期芜湖市中小学校教育教学质量监控 高三年级数学（文科）试题卷 本试卷共 4 页，23 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、考场/座位号、班级、准考证号填写在 答题卷上．将条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卷上对应题目选项的答 案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试 题卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指 定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准 使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卷的整洁，考试结束后，将试题卷和答题卷一并交回． 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合  0,1,2,3A  ，  0 3B x x   ，则 A B  （ ） A.  1,3 B.  1,2 C.  2,3 D.  1,2,3 2. 若 4 3z i  ，则 z z  （ ） A. 1 B. -1 C. 4 3 5 5 i D. 4 3 5 5 i 3. 如果两个正整数 a 和b ，a 的所有真因数（即不是自身的因数）之和等于b ，b 的所有真因 数之和等于 a ，则称 a 和b 是一对“亲和数”．约两千五百年前，古希腊数学家毕达哥拉斯发 现第一对亲和数：284 和 220．历史中不少数学家们都曾参与寻找亲和数，其中包括笛卡尔、 费马、欧拉等.1774 年，欧拉向全世界宣布找到 30 对亲和数，并以为 2620 和 2924 是最小的 第二对亲和数，可到了 1867 年，意大利的 16 岁中学生白格黑尼，竟然发现了数学大师欧拉 的疏漏——在 284 和 2620 之间还有一对较小的亲和数 1184 和 1210．我们知道 220 的所有真 因数之和为：1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 110 284           ，284 的所有真因数之和 为：1 2 4 71 142 220     ，若从 284 的所有真因数中随机抽取一个数，则该数为奇数的 概率为（ ） A. 1 3 B. 2 5 C. 4 11 D. 3 5 4. 已知数列 na 是等比数列，其前 n 项和为 nS ，公比 1q   ，且 2 3a   ， 3 7S  ，则 5a  （ ） A. 27 B. 27 C. 81 D. 81 5. 2021 年电影春节档票房再创新高，其中电影《唐人街探案 3》和《你好，李焕英》是今年 春节档电影中最火爆的两部电影，这两部电影都是 2 月 12 日（大年初一）首映，根据猫眼票 房数据得到如下统计图，该图统计了从 2 月 12 日到 2 月 18 日共计 7 天的累计票房（单位： 亿元），则下列说法中错误的是（ ） A. 这 7 天电影《你好，李焕英》每天的票房都超过 2.5 亿元； B. 这 7 天电影《唐人街探案 3》和《你好，李焕英》的累计票房的差先逐步扩大后逐步缩小； C. 这 7 天电影《你好，李焕英》的当天票房占比逐渐增大； D. 这 7 天中有 4 天电影《唐人街探案 3》的当天票房占比超过 50%； 6. 如图，不共线的三个向量 a  ，b  ， c  以圆心O 为起点，终点落在同一圆周上，且两两夹角 相等，若 c xa yb    ，则 x y  （ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 1 7. 函数 1( ) cos3f x x xx      的部分图象可能为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线 :l y kx 与圆  22: 2 4C x y   交于 A ，B 两点，若 2 3AB  ，则 k （ ） A. 3 3  B.  C. 3 D. 2 9. 如图的程序框图，若输入 2log 3a  ， 4log 6b  ， 8log 9c  ，则输出的结果为（ ） A. 2log 3 ， 8log 9 ， 4log 6 B. 2log 3 ， 4log 6 ， 8log 9 C. 8log 9 ， 4log 6 ， 2log 3 D. 4log 6 ， 8log 9 ， 2log 3 10. 关于函数    4 4sin cos 0f x x x     ，有下述四个结论： ①函数  f x 的值域为 1 ,12      ； ②若函数  f x 在 0, 内存在单调递增区间，则 1 ,2       ； ③若函数  f x 在 0, 内仅有一个极小值点，则 1 3,4 4      ； ④若函数  f x 图象向左至少平移 个单位后才能与原图象重合，则 1  ． 其中所有正确的结论编号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④ 11. 设 M 为双曲线   2 2 2: 1 016 x yD aa    上任意一点，过点 M 作双曲线两渐近线的平行线， 分别与两渐近线交于 A ， B 两点．若 ABM 的面积为 4，则双曲线 D 的离心率为（ ） A. 5 B. 2 C. 3 D. 2 12. 已知函数   , 0 ln , 0 ax xf x x x    ，函数    y f x f x   有 5 个零点，则实数 a 的取值范 围为（ ） A. 1 ,0e     B. 10, e      C.  1,0 D. 1 ,e     二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 设实数 x ， y 满足约束条件 2 0 2 5 0 2 0 x y x y y           ，则 3 4z x y  的最小值是_________． 14. 曲线    2 cosf x x x  在点   0, 0f 处的切线方程为_________． 15. 已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，点 , 3 1 nSn n      在直线 1 2y x 上．若  1 n n nb a  ，数 列 nb 的前 n 项和为 nT ，则满足 20nT  的 n 的最大值为________． 16. 已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D ，点 E 是 AB 中点，点 F 为 1CC 的中点，点 P 为棱 1DD 上 一点，且满足 //AP 平面 1D EF ，则直线 AP 与 EF 所成角的余弦值为_______． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题 为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分 17. 有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的 61.00 10 的鱼被人食用 后，就会对人体产生危害．某海鲜市场进口了一批这种鱼，质监部门对这种鱼进行抽样检测， 在 30 条鱼的样本中发现的汞含量（乘以百万分之一）如下： 0.07 0.34 0.95 0.98 1.02 0.98 1.37 1.40 0.39 1.02 1.44 1.58 0.54 1.08 0.71 0.70 1.20 1.24 1.62 1.68 1.85 1.30 0.81 0.82 0.84 1.39 1.26 2.20 0.91 1.31 （1）完成下面频率分布表，并画出频率分布直方图； 频率分布表： 分组 频数 频率  0,0.50  0.50,1.00 1 3  1.00,1.50  1.50,2.00 2 15  2.00,2.50 1 1 30 合计 30 1 频率分布直方图： （2）根据频率分布直方图估算样本数据的平均值（保留小数点后两位，同一组中的数据用该 组区间中点值代表），并根据频率分布直方图描述这批鱼身体中汞含量的分布规律． 18. 在锐角 ABC 中，角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ， c ，且 2 2 0c a ab   ． （1）求证： 2C A ； （2）若 2a  ，求 c 的取值范围． 19. 如图所示，五面体 ABCDEF 中， AD  平面 ABC ， // //AD BE CF ，且 1 1 2 2AD AC CF BE   ，设 ACB   ． （1）当 3   ， 1AC BC  时，求三棱锥 E BDF 的体积； （2）若 DF BD ，求 的值． 20. 已知函数      1 ln 1 0xf x e ax x a x x     ． （1）若 0a  ，求函数  f x 的单调区间； （2）若函数  y f x 为定义域内的单调递增函数，求实数 a 的取值范围． 21. 已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yM a ba b     长轴长为6，点 1 2 36, 3A       和点 2 4 32 6, 3A       中有且只有一个点在椭圆 M 上． （1）求椭圆 M 的方程； （2）过椭圆 M 短轴（不包括端点）上一点 P 作斜率为 1k 和 2k 的两条直线 1l 和 2l 分别交椭圆 M 于 A ， B 和C ， D ，若 2 PAC PDB PAS S PD         ，求 1 2k k 的值． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则 按所做的第一题计分． 22. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 E 的参数方程为 1 1 4 x t t y t t        （t 为参数， 0t  ），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 1 :l   （  R ，0    ，且 2   ） 与曲线 E 的交点为 A ， B ，直线  2 : 2l R     与曲线 E 的交点为C ， D ． （1）求曲线 E 的普通方程； （2）证明： 1 1 OA OB OC OD   为定值． 23. 已知函数   1 2 2f x x x    ． （1）求函数  f x 的最小值 m ； （2）若 a ，b ， c 均为大于 1 的实数，且满足 2a b c m   ，求证： 1 1 1a b c m      ． 2020-2021 学年度第二学期芜湖市中小学校教育教学质量监控 高三年级数学（文科）试题卷 答案版 本试卷共 4 页，23 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、考场/座位号、班级、准考证号填写在 答题卷上．将条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卷上对应题目选项的答 案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试 题卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指 定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准 使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卷的整洁，考试结束后，将试题卷和答题卷一并交回． 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合  0,1,2,3A  ，  0 3B x x   ，则 A B  （ ） A.  1,3 B.  1,2 C.  2,3 D.  1,2,3 【答案】B 2. 若 4 3z i  ，则 z z  （ ） A. 1 B. -1 C. 4 3 5 5 i D. 4 3 5 5 i 【答案】C 3. 如果两个正整数 a 和b ，a 的所有真因数（即不是自身的因数）之和等于b ，b 的所有真因 数之和等于 a ，则称 a 和b 是一对“亲和数”．约两千五百年前，古希腊数学家毕达哥拉斯发 现第一对亲和数：284 和 220．历史中不少数学家们都曾参与寻找亲和数，其中包括笛卡尔、 费马、欧拉等.1774 年，欧拉向全世界宣布找到 30 对亲和数，并以为 2620 和 2924 是最小的 第二对亲和数，可到了 1867 年，意大利的 16 岁中学生白格黑尼，竟然发现了数学大师欧拉 的疏漏——在 284 和 2620 之间还有一对较小的亲和数 1184 和 1210．我们知道 220 的所有真 因数之和为：1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 110 284           ，284 的所有真因数之和 为：1 2 4 71 142 220     ，若从 284 的所有真因数中随机抽取一个数，则该数为奇数的 概率为（ ） A. 1 3 B. 2 5 C. 4 11 D. 3 5 【答案】B 4. 已知数列 na 是等比数列，其前 n 项和为 nS ，公比 1q   ，且 2 3a   ， 3 7S  ，则 5a  （ ） A. 27 B. 27 C. 81 D. 81 【答案】D 5. 2021 年电影春节档票房再创新高，其中电影《唐人街探案 3》和《你好，李焕英》是今年 春节档电影中最火爆的两部电影，这两部电影都是 2 月 12 日（大年初一）首映，根据猫眼票 房数据得到如下统计图，该图统计了从 2 月 12 日到 2 月 18 日共计 7 天的累计票房（单位： 亿元），则下列说法中错误的是（ ） A. 这 7 天电影《你好，李焕英》每天的票房都超过 2.5 亿元； B. 这 7 天电影《唐人街探案 3》和《你好，李焕英》的累计票房的差先逐步扩大后逐步缩小； C. 这 7 天电影《你好，李焕英》的当天票房占比逐渐增大； D. 这 7 天中有 4 天电影《唐人街探案 3》的当天票房占比超过 50%； 【答案】D 6. 如图，不共线的三个向量 a  ，b  ， c  以圆心O 为起点，终点落在同一圆周上，且两两夹角 相等，若 c xa yb    ，则 x y  （ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 7. 函数 1( ) cos3f x x xx      的部分图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 8. 已知直线 :l y kx 与圆  22: 2 4C x y   交于 A ，B 两点，若 2 3AB  ，则 k （ ） A. 3 3  B.  C. 3 D. 2 【答案】C 9. 如图的程序框图，若输入 2log 3a  ， 4log 6b  ， 8log 9c  ，则输出的结果为（ ） A. 2log 3 ， 8log 9 ， 4log 6 B. 2log 3 ， 4log 6 ， 8log 9 C. 8log 9 ， 4log 6 ， 2log 3 D. 4log 6 ， 8log 9 ， 2log 3 【答案】B 10. 关于函数    4 4sin cos 0f x x x     ，有下述四个结论： ①函数  f x 的值域为 1 ,12      ； ②若函数  f x 在 0, 内存在单调递增区间，则 1 ,2       ； ③若函数  f x 在 0, 内仅有一个极小值点，则 1 3,4 4      ； ④若函数  f x 图象向左至少平移 个单位后才能与原图象重合，则 1  ． 其中所有正确的结论编号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④ 【答案】B 11. 设 M 为双曲线   2 2 2: 1 016 x yD aa    上任意一点，过点 M 作双曲线两渐近线的平行线， 分别与两渐近线交于 A ， B 两点．若 ABM 的面积为 4，则双曲线 D 的离心率为（ ） A. 5 B. 2 C. 3 D. 2 【答案】D 12. 已知函数   , 0 ln , 0 ax xf x x x    ，函数    y f x f x   有 5 个零点，则实数 a 的取值范 围为（ ） A. 1 ,0e     B. 10, e      C.  1,0 D. 1 ,e     【答案】A 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 设实数 x ， y 满足约束条件 2 0 2 5 0 2 0 x y x y y           ，则 3 4z x y  的最小值是_________． 【答案】 5 14. 曲线    2 cosf x x x  在点   0, 0f 处的切线方程为_________． 【答案】 2y x  15. 已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，点 , 3 1 nSn n      在直线 1 2y x 上．若  1 n n nb a  ，数 列 nb 的前 n 项和为 nT ，则满足 20nT  的 n 的最大值为________． 【答案】13 16. 已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D ，点 E 是 AB 中点，点 F 为 1CC 的中点，点 P 为棱 1DD 上 一点，且满足 //AP 平面 1D EF ，则直线 AP 与 EF 所成角的余弦值为_______． 【答案】 11 6 30 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题 为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分 17. 有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的 61.00 10 的鱼被人食用 后，就会对人体产生危害．某海鲜市场进口了一批这种鱼，质监部门对这种鱼进行抽样检测， 在 30 条鱼的样本中发现的汞含量（乘以百万分之一）如下： 0.07 0.34 0.95 0.98 1.02 0.98 1.37 1.40 0.39 1.02 1.44 1.58 0.54 1.08 0.71 0.70 1.20 1.24 1.62 1.68 1.85 1.30 0.81 0.82 0.84 1.39 1.26 2.20 0.91 1.31 （1）完成下面频率分布表，并画出频率分布直方图； 频率分布表： 分组 频数 频率  0,0.50  0.50,1.00 1 3  1.00,1.50  1.50,2.00 2 15  2.00,2.50 1 1 30 合计 30 1 频率分布直方图： （2）根据频率分布直方图估算样本数据的平均值（保留小数点后两位，同一组中的数据用该 组区间中点值代表），并根据频率分布直方图描述这批鱼身体中汞含量的分布规律． 【答案】（1）填表见解析；作图见解析；（2）平均值为：1.08 ，答案见解析． 18. 在锐角 ABC 中，角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ， c ，且 2 2 0c a ab   ． （1）求证： 2C A ； （2）若 2a  ，求 c 的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）  2 2,2 3 ． 19. 如图所示，五面体 ABCDEF 中， AD  平面 ABC ， // //AD BE CF ，且 1 1 2 2AD AC CF BE   ，设 ACB   ． （1）当 3   ， 1AC BC  时，求三棱锥 E BDF 的体积； （2）若 DF BD ，求 的值． 【答案】（1） 3 6 ；（2） 2   ． 20. 已知函数      1 ln 1 0xf x e ax x a x x     ． （1）若 0a  ，求函数  f x 的单调区间； （2）若函数  y f x 为定义域内的单调递增函数，求实数 a 的取值范围． 【答案】（1）单增区间为  1, ，单减区间为 0,1 ；（2） 1a  ． 21. 已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yM a ba b     长轴长为6，点 1 2 36, 3A       和点 2 4 32 6, 3A       中有且只有一个点在椭圆 M 上． （1）求椭圆 M 的方程； （2）过椭圆 M 短轴（不包括端点）上一点 P 作斜率为 1k 和 2k 的两条直线 1l 和 2l 分别交椭圆 M 于 A ， B 和C ， D ，若 2 PAC PDB PAS S PD         ，求 1 2k k 的值． 【答案】（1） 2 2 19 4 x y  ；（2） 1 2 0k k  ． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则 按所做的第一题计分． 22. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 E 的参数方程为 1 1 4 x t t y t t        （t 为参数， 0t  ），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 1 :l   （  R ，0    ，且 2   ） 与曲线 E 的交点为 A ， B ，直线  2 : 2l R     与曲线 E 的交点为C ， D ． （1）求曲线 E 的普通方程； （2）证明： 1 1 OA OB OC OD   为定值． 【答案】（1） 2 2y x  ；（2）证明见解析． 23. 已知函数   1 2 2f x x x    ． （1）求函数  f x 的最小值 m ； （2）若 a ，b ， c 均为大于 1 的实数，且满足 2a b c m   ，求证： 1 1 1a b c m      ． 【答案】（1） 3m  ；（2）证明见解析．