吉林省白山市2021届高三数学（文）5月联考试题（Word版附答案）

吉林省白山市 2021 届高三下学期 5 月联考 数学试卷(文科) 一､选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. 下列复数中实部与虚部互为相反数的是（ ）． A. 2 i B.  21i i C.  1i i D.  1 2i i 2. 已知集合 { | 3 5}A x x    Z ， 2 ,{ }|B y y x x A   ，则 A B 的元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 在 ABC 中，若 31, 5,sin 5AB AC A   ，则 AB AC   （ ） A. 3 B. 3 C. 4 D. 4 4. 函数   3 27 1f x x x   的图象在点   4, 4f 处的切线的斜率为（ ）． A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 5. 跑步是一项有氧运动，通过跑步，我们能提高肌力，同时提高体内的基础代谢水平，加速 脂肪的燃烧，养成易瘦体质.小林最近给自己制定了一个 200 千米的跑步健身计划，他第一天 跑了 8 千米，以后每天比前一天多跑 0.5 千米，则他要完成该计划至少需要（ ） A. 16 天 B. 17 天 C. 18 天 D. 19 天 6. 明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2） 所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1）、 （2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别13 9 、 56 45 、10 7 ，设图（1）、（2）、（3）中椭 圆的离心率分别为 1e 、 2e 、 3e ，则（ ） A. 1 3 2e e e  B. 2 3 1e e e  C. 1 2 3e e e  D. 2 1 3e e e  7. 已知函数 1( ) lg , ( ) 12 x f x x f m      ，且 0 p m n   ，则（ ） A. ( ) 1f n  且 ( ) 1f p  B. ( ) 1f n  且 ( ) 1f p  C. ( ) 1f n  且 ( ) 1f p  D. ( ) 1f n  且 ( ) 1f p  8. 在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， D 为该棱柱的九条棱中某条棱的中点，若 1 //AC 平面 1BC D ， 则 D 为（ ）． A. 棱 AB 的中点 B. 棱 1 1A B 的中点 C. 棱 BC 的中点 D. 棱 1AA 的 中点 9. 执行如图所示的程序框图，则输出的i  （ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 10. 某服装店开张第一周进店消费的人数每天都在变化，设第 (1 7, N)x x x„ „ 天进店消费的 人数为 y，且 y 与 2 5x x      ([ ]t 表示不大于 t 的最大整数)成正比，第 1 天有 10 人进店消费，则第 4 天进店消费的人数为（ ） A. 74 B. 76 C. 78 D. 80 11. 已知函数 ( ) tan sin cosf x x x x  ，则（ ） A. ( )f x 的最小正周期为 2 B. ( )f x 的图象关于 y 轴对称 C. ( )f x 的图象不关于 ,02      对称 D. ( )f x 的图象关于 ( ,0) 对称 12. 如图，正四棱锥 P ABCD 的每个顶点都在球 M 的球面上，侧面 PAB 是等边三角形.若 半球O 的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球O 的体积与球 M 的体 积的比值为（ ） A. 3 18 B. 3 16 C. 3 15 D. 3 14 二､填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位 置. 13. 某文学兴趣小组要从《飘》《围城》《红与黑》《西游记》《红楼梦》五本名著中任意选取两 本，一起交流读书心得，则该小组选取的名著都是中国名著的概率为_____________． 14. 若 x ， y 满足约束条件 3 0 2 5 x y x y      ，则 x y 有最________（填“大”或“小”）值 为_________． 15. 在数列 na 中，    2 2 1 12, 1 2 2 2n na n a n n a     ，则 na  ___________. 16. 已知 P 是双曲线 2 2 13 yx   右支上一点，则 P 到直线 2y x 的距离与 P 到点  2,0F  的 距离之和的最小值为_____________． 三､解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演 算步骤.17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生 根据要求作答. 17. ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 3, 2a b  . （1）若 6A  ，求 cos2B ； （2）当 A 取得最大值时，求 ABC 的面积. 18. 2021 年受疫情影响，国家鼓励员工在工作地过年．某机构统计了某市 5 个地区的外来务工 人员数与他们选择留在当地过年的人数占比，得到如下的表格： 地区 A 地区 B 地区 C 地区 D 地区 E 外来务工人员数 5000 4000 3500 3000 2500 留在当地的人数占比 80% 90% 80% 80% 84% 根据这 5 个地区的数据求得留在当地过年人员数 y 与外来务工人员数 x 的线性回归方程为  0.8135y x a  ． （1）求 a 的值； （2）该市对外来务工人员选择留在当地过年的每人补贴 1000 元，该市地区 F 有 10000 名外 来务工人员，试根据线性回归方程估计地区 F 需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的 补贴总额．（结果用万元表示）参考数据：取 0.8135 36 29.29  ． 19. 如图，在四棱锥 P ABCD 中，四边形 ABCD 为平行四边形，以 BC 为直径的圆O（O 为圆心）过点 A ，且 2AO AC AP   ， PA  底面 ABCD ， M 为 PC 的中点． （1）证明：平面OAM  平面 PCD； （2）求四棱锥 M AOCD 的侧面积． 20. 已知函数   3 24 3 xf x x x e     的定义域为 1,  ． （1）求  f x 的单调区间； （2）讨论函数    g x f x a  在 1,2 上的零点个数 21. 已知 F 为抛物线 2: 2 ( 0)C x py p  的焦点，直线 : 2 1l y x  与 C 交于 A，B 两点且 | | | | 20AF BF  . （1）求 C 的方程. （2）若直线 : 2 ( 1)m y x t t   与 C 交于 M，N 两点，且 AM 与 BN 相交于点 T，证明：点 T 在定直线上. 22. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的方程为 2 2 3x y y    . （1）写出曲线 C 的一个参数方程； （2）若 (1,0), ( 1,0)A B  ，点 P 为曲线 C 上的动点，求 2PA PB OA OP      的取值范围. 23. 已知函数 ( ) | | | |f x x a x b    . （1）若 2 3 2a b b   ，证明： , , ( ) 1x b f x  R R … . （2）若关于 x 的不等式 ( ) 7f x „ 的解集为[ 6,1] ，求 a，b 的一组值，并说明你的理由. 吉林省白山市 2021 届高三下学期 5 月联考 数学试卷(文科) 答案版 一､选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. 下列复数中实部与虚部互为相反数的是（ ）． A. 2 i B.  21i i C.  1i i D.  1 2i i 【答案】C 2. 已知集合 { | 3 5}A x x    Z ， 2 ,{ }|B y y x x A   ，则 A B 的元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 3. 在 ABC 中，若 31, 5,sin 5AB AC A   ，则 AB AC   （ ） A. 3 B. 3 C. 4 D. 4 【答案】D 4. 函数   3 27 1f x x x   的图象在点   4, 4f 处的切线的斜率为（ ）． A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】A 5. 跑步是一项有氧运动，通过跑步，我们能提高肌力，同时提高体内的基础代谢水平，加速 脂肪的燃烧，养成易瘦体质.小林最近给自己制定了一个 200 千米的跑步健身计划，他第一天 跑了 8 千米，以后每天比前一天多跑 0.5 千米，则他要完成该计划至少需要（ ） A. 16 天 B. 17 天 C. 18 天 D. 19 天 【答案】B 6. 明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2） 所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1）、 （2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别13 9 、 56 45 、10 7 ，设图（1）、（2）、（3）中椭 圆的离心率分别为 1e 、 2e 、 3e ，则（ ） A. 1 3 2e e e  B. 2 3 1e e e  C. 1 2 3e e e  D. 2 1 3e e e  【答案】A 7. 已知函数 1( ) lg , ( ) 12 x f x x f m      ，且 0 p m n   ，则（ ） A. ( ) 1f n  且 ( ) 1f p  B. ( ) 1f n  且 ( ) 1f p  C. ( ) 1f n  且 ( ) 1f p  D. ( ) 1f n  且 ( ) 1f p  【答案】C 8. 在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， D 为该棱柱的九条棱中某条棱的中点，若 1 //AC 平面 1BC D ， 则 D 为（ ）． A. 棱 AB 的中点 B. 棱 1 1A B 的中点 C. 棱 BC 的中点 D. 棱 1AA 的 中点 【答案】B 9. 执行如图所示的程序框图，则输出的i  （ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】C 10. 某服装店开张第一周进店消费的人数每天都在变化，设第 (1 7, N)x x x„ „ 天进店消费的 人数为 y，且 y 与 2 5x x      ([ ]t 表示不大于 t 的最大整数)成正比，第 1 天有 10 人进店消费，则第 4 天进店消费的人数为（ ） A. 74 B. 76 C. 78 D. 80 【答案】C 11. 已知函数 ( ) tan sin cosf x x x x  ，则（ ） A. ( )f x 的最小正周期为 2 B. ( )f x 的图象关于 y 轴对称 C. ( )f x 的图象不关于 ,02      对称 D. ( )f x 的图象关于 ( ,0) 对称 【答案】D 12. 如图，正四棱锥 P ABCD 的每个顶点都在球 M 的球面上，侧面 PAB 是等边三角形.若 半球O 的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球O 的体积与球 M 的体 积的比值为（ ） A. 3 18 B. 3 16 C. 3 15 D. 3 14 【答案】A 二､填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位 置. 13. 某文学兴趣小组要从《飘》《围城》《红与黑》《西游记》《红楼梦》五本名著中任意选取两 本，一起交流读书心得，则该小组选取的名著都是中国名著的概率为_____________． 【答案】 3 10 14. 若 x ， y 满足约束条件 3 0 2 5 x y x y      ，则 x y 有最________（填“大”或“小”）值 为_________． 【答案】 (1). 小 (2). 2 15. 在数列 na 中，    2 2 1 12, 1 2 2 2n na n a n n a     ，则 na  ___________. 【答案】  2 2 1 1 n n   16. 已知 P 是双曲线 2 2 13 yx   右支上一点，则 P 到直线 2y x 的距离与 P 到点  2,0F  的 距离之和的最小值为_____________． 【答案】2+ 4 5 5 三､解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演 算步骤.17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生 根据要求作答. 17. ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 3, 2a b  . （1）若 6A  ，求 cos2B ； （2）当 A 取得最大值时，求 ABC 的面积. 【答案】（1） 1 3 ；（2） 3 2 . 18. 2021 年受疫情影响，国家鼓励员工在工作地过年．某机构统计了某市 5 个地区的外来务工 人员数与他们选择留在当地过年的人数占比，得到如下的表格： 地区 A 地区 B 地区 C 地区 D 地区 E 外来务工人员数 5000 4000 3500 3000 2500 留在当地的人数占比 80% 90% 80% 80% 84% 根据这 5 个地区的数据求得留在当地过年人员数 y 与外来务工人员数 x 的线性回归方程为  0.8135y x a  ． （1）求 a 的值； （2）该市对外来务工人员选择留在当地过年的每人补贴 1000 元，该市地区 F 有 10000 名外 来务工人员，试根据线性回归方程估计地区 F 需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的 补贴总额．（结果用万元表示）参考数据：取 0.8135 36 29.29  ． 【答案】(1)51（2）818.6 万元 19. 如图，在四棱锥 P ABCD 中，四边形 ABCD 为平行四边形，以 BC 为直径的圆O（O 为圆心）过点 A ，且 2AO AC AP   ， PA  底面 ABCD ， M 为 PC 的中点． （1）证明：平面OAM  平面 PCD； （2）求四棱锥 M AOCD 的侧面积． 【答案】（1）证明见解析（2） 2 7 6 20. 已知函数   3 24 3 xf x x x e     的定义域为 1,  ． （1）求  f x 的单调区间； （2）讨论函数    g x f x a  在 1,2 上的零点个数 【答案】（1） ( )f x 的单调递减区间为 (0,1) ，单调递增区间为[ 1,0) ，(1, ) （2）答案见解 析 21. 已知 F 为抛物线 2: 2 ( 0)C x py p  的焦点，直线 : 2 1l y x  与 C 交于 A，B 两点且 | | | | 20AF BF  . （1）求 C 的方程. （2）若直线 : 2 ( 1)m y x t t   与 C 交于 M，N 两点，且 AM 与 BN 相交于点 T，证明：点 T 在定直线上. 【答案】（1） 2 4x y ；（2）证明见解析． 22. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的方程为 2 2 3x y y    . （1）写出曲线 C 的一个参数方程； （2）若 (1,0), ( 1,0)A B  ，点 P 为曲线 C 上的动点，求 2PA PB OA OP      的取值范围. 【答案】（1） 2cos , 1 2sin x y       ( 为参数，且 2 2     )；（2） 0,4 4 2   . 23. 已知函数 ( ) | | | |f x x a x b    . （1）若 2 3 2a b b   ，证明： , , ( ) 1x b f x  R R … . （2）若关于 x 的不等式 ( ) 7f x „ 的解集为[ 6,1] ，求 a，b 的一组值，并说明你的理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）a，b 的一组值为 0，5，理由见解析.