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2021 年章丘区高三年级模拟考试
数学试题
本试卷共 4 页，22 题，全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试
卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ( ) 2 1 0M x y y x xy ， ， ， 2( ) 4N x y y x ， ，则 M N 中的元素个数为
A. 0 B.1 C. 2 D.1或 2
2.复数 1 2z z， 满足 1 2 1 21 i | | 2z z z z R ， ， ，则 1z
A.1 B. 2 C. 0 2或 D.1 2或
3.已知 nS 是递增的等比数列{ }na 的前 n 项和，其中
2
7
3 S ， 4
2
3 aa ，则 5a
A. 16
1 B. 8
1 C. 8 D.16
4.为了广大人民群众的食品健康，国家倡导农户种植绿色蔬菜．绿色蔬菜生产单位按照特定
的技术标准进行生产，并要经过专门机构认定，获得许可使用绿色蔬菜商标标志资格．农
药的安全残留量是其很重要的一项指标，安全残留量是指某蔬菜使用农药后的残留量达到
可以免洗入口且对人体无害的残留量标准．为了防止一种变异的蚜虫，某农科院研发了一
种新的农药“蚜清三号”，经过大量试验，发现该农药的安全残留量为 0.001 mg / kg ，且该农
药喷洒后会逐渐自动降解，其残留按照 e xy a 的函数关系降解其中 x 的单位为小时， y 的
单位为 mg / kg .该农药的喷洒浓度为 2 mg / kg ，则该农药喷洒后的残留量要达到安全残留
量标准，至少需要（ ）小时.（参考数据 ln10 2.3 ）
A.5 B.6 C.7 D.8
5.若两个非零向量 ，a b 满足| + | 3 | | 3 | | a b a b a ，则向量 a b 与 a 的夹角为
A. π
6 B. π
3 C. 2π
3 D. 5π
6
6.已知 sin( ) 3cos( )3 6
，则 tan 2
A. 4 3 B. 3
2
C. 4 3 D. 3
2
7.双曲线
2 2
2 2 1( 0 0)x y a b
a b
， 的左焦点为 ( 3 0)F ， ， (0 4)M ， ，点 P 为双曲线右支上的动点，
且 MPF△ 周长的最小值为 14，则双曲线的离心率为
A. 3
2 B. 3 C. 2 D. 2 3
3
8.已知 0 2
， ，且 9sin23 ，则
A. 2 B. 2 C. 2 D. 2
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9.分别对函数 siny x 的图象进行如下变换：①先向左平移
3
个单位长度，然后将其上各点
的横坐标变为原来 2 倍，得到 ( )y f x 的图象；②先将其上各点的横坐标变为原来的 2 倍，
然后向左平移
3
个单位长度，得到 ( )y g x 的图象，以下结论正确的是
A. ( ) ( )f x g x
B. 4( 0)3
， 为 ( )f x 图象的一个对称中心
C.直线 4
3x 为函数 ( )g x 图象的一条对称轴
D. ( )f x 的图象向右平移
3
个单位长度可得 ( )g x 的图象
10.若函数 2( )
2021( )( 3 ) 2
4x m xf x
x m x m x
，
，
恰有两个零点，则正整数 m 的取值可能为
A.1 B.2 C.15 D.16
11.已知圆 02186: 22 yxyxC ，O 为坐标原点，以OC 为直径的圆 C 与圆 C 交于 AB 两
点，则
A.圆 C 的方程为 04322 yxyx B.直线 AB 的方程为 02143 yx
C. OA , OB 均与圆 C 相切 D.四边形 CAOB 的面积为 214
12.数列{ }na 满足 11 a ， )1ln( 11 nnn aaa （ n N ），则
A.存在 n 使 0na B.任意 n 使 0na C. 1 nn aa D. 1 nn aa
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.曲线
2 1
ex
xy 在 0x 处的切线方程是 .
14.有 5 名医生被安排到两个接种点进行新冠疫苗的接种工作，若每个接种点至少安排两名医
生，且其中一名负责接种信息录入工作，则不同的安排方法有 种（数字作答）.
15. 已 知 实 数 0x ， 0y ， 且 满 足 2 2 11 8 2 0x y xy xy x y ， 则 x y 的 取 值 范 围
是 .
16.正四棱柱 1111 DCBAABCD 中， 2AB ， 1 4AA ，E 为 AB 的中点，点 F 满足 1 3C F FC ，
动点 M 在侧面 DDAA 11 内运动，且 //MB 平面 EFD1 ，则| |MD 的取值范围是 .
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10 分）
已知在 ABC△ 中，角 A B C， ， 的对边分别为 a b c， ， ，满足 5 1sin( )sin( )6 6 4A A .
（1）求角 A 的大小；
（2）若 ABC△ 为锐角三角形， 1a ，求 ABC△ 周长的取值范围.
18．（12 分）
已知数列{ }na 的首项 1 14 { 2 }n na a a ， 是以 4 为首项，以 2 为公比的等比数列，
（1） 证明数列{ }2
n
n
a 是等差数列，并求{ }na 的通项公式；
（2）在① 1n n nb a a ；② 2 1
2log 2
n
n
ab n
；③
1
4n
n
n n
b a a
这三个条件中任选一个补充在下
面横线上，并加以解答．
已知数列{ }nb 满足________，求{ }nb 的前 n 项和 nT .
(注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分．)
19．（12 分）
如图，正八面体 ABCDEF 是由上下两个棱长均相等的正四棱锥拼接而成，
各棱长均为 2 ．
（1）若 ABC CDF l平面 平面 ，证明： //AB l ；
（2）求平面 ABC 与平面 CDF 所成锐二面角的余弦值．
20．（12 分）
国家发改委、城乡住房建设部联合发布的《城市生活垃圾分类制度实施方案》规定某 46
个大中城市在 2020 年底实施生活垃圾强制分类，并且垃圾回收、利用率达标．某市在实
施垃圾分类的过程中，从本市社区中随机抽取了 50 个进行调查，统计这 50 个社区某天产
生的垃圾量（单位：吨），得到如下频率分布表，并将这一天垃圾数量超过 28 吨的社区定
为“超标”社区．用样本估计总体．
垃圾量 25 31[ )2 2
， 31 37[ )2 2
， 37 43[ )2 2
， 43 49[ )2 2
， 49 55[ )2 2
， 55 61[ )2 2
， 61 67[ )2 2
，
频数 5 6 9 12 8 6 4
（1）估计该市社区在这一天垃圾量的平均值 x （同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）若该市社区这一天的垃圾量大致服从正态分布 ( 27.04)N ， ，其中 近似为 50 个样本
社区的平均值 x （精确到 0.1吨），从该市社区中随机抽取 3 个社区，设 X 为“超标”
社区的个数，求 X 的分布列和数学期望（精确到 0.0001）
附：若 2~Y N ， ，则 0.6826P Y ；
2 2 0.9544P Y ；
3 3 0.9974P Y .
参考数据： 30.8413 0.5955 ， 30.1587 0.0040 ， 20.8413 0.1587 0.1123 ．
21．（12 分）
记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”．已知椭圆 E ：
2
2 12
x y ，椭圆 E
的相似椭圆 M 经过 (2 1)， 点．
（1）求椭圆 M 的方程；
（2）直线 l 与椭圆 E 交于 A B， 两点，与椭圆 M 交于 C D，
两点（ A B C D， ， ， 四点位置如图），若| | 2 | |CD AB ，
点 N 在直线 l 上， ON 直线 l ，求| |ON 的取值范围．
22．（12 分）
已知函数 ( ) (cos 1) ln sinf x a x b x x x ．
（1）若 =1a ， 0b ，证明： ( )f x 在区间 (0 )， 内存在唯一零点；
（2）若 =0a ， b ，
（I）证明： (0 )2x ， 时， ( ) 0f x ；
（II）证明：
2
1 1sin( ) [ln( 1) ln 2] ( 2 )3
n
i
n n n nn n
N其中 ，且
．
参考答案
一、单项选择题：
1.A 2.C 3.C 4.D 5.B 6.A 7.A 8.D
二、多项选择题：
9.BCD 10.AD 11.AC 12.BD
三、填空题：
13. 1 0x y 14.120 15.[2,9] 16. 2[ 13, 109]5
四、解答题：
17.（1）在 ABC△ 中， 5( ) ( )=6 6A A ，
则原式可变为 1sin( )sin[ ( )]6 6 4A A ，
2 1sin ( )6 4A ，
1sin( )6 2A ， ┄┄┄┄┄┄┄┄ 2
分
在 ABC△ 中， (0, )A ， 5( , )6 6 6A ，
6 6A ，
3A . ┄┄┄┄┄┄┄┄ 4
分
（2） ABC△ 中，
3A ， 2
3B C ，
由正弦定理， 1 2 3=sin sin sin 33
2
c b a
C B A
则 2 3 sin3b B ， 2 3 sin3c C ,
2 3 2 3 2 3 2=1+ sin + sin =1+ [sin sin( )]3 3 3 3a b c B C B B
2 3 3 31 ( sin cos ) 1 2sin( )3 2 2 6B B B ┄┄┄┄┄┄┄┄
6 分
ABC△ 为锐角三角形，则
0 2
20 3 2
B
B
，
解得 ( )6 2B ， . ┄┄┄┄┄┄┄
┄ 8 分
2( )6 3 3B ， ， 3sin( ) ( ,1]6 2B ，
1 2sin( ) (1 3,3]6B .
所以 ABC△ 周长的取值范围为 (1 3,3] . ┄┄┄┄┄┄
┄┄ 10 分
18.（1） 证明： 1{ 2 }n na a 是以 4 为首项，以 2 为公比的等比数列．
所以 1
1 22
n
nn aa ， ┄┄┄┄┄┄┄┄
2 分
两边除以 12 n ，得 122 1
1
n
n
n
n aa . ┄┄┄┄┄┄┄┄
4 分
又 221
1 a ，所以{ }2
n
n
a 是以 2 为首项，以 1 为公差的等差数列．
所以 12
na
n
n ，即 ( 1)2n
na n . ┄┄┄┄┄┄┄┄
6 分
（2）若选①： nnn aab 1
1( 2)2 ( 1)2 ( 3)2n n nn n n ┄┄┄┄┄┄┄
┄ 8 分
因为 1 2 34 2 5 2 6 2 ( 3) 2 n
nT n ，
所以 2 3 4 12 4 2 5 2 6 2 ( 3) 2n
nT n . ┄┄┄┄┄┄┄
┄ 10 分
两式相减，得 1( 2)2 4n
nT n . ┄┄┄┄┄┄┄
┄ 12 分
若选②：
2 1
2 1
2 2
(2 1 1)2log log 2 12 2
n
n
n
a nb nn n
， ┄┄┄┄┄┄┄
┄ 8 分
1 2n nb b （常数）， { }nb 是以1为首项，以 2 为公差的等差数列， ┄┄┄┄┄┄┄
┄ 10 分
2(1 2 1)
2n
n nT n . ┄┄┄┄┄┄
┄┄ 12 分
若选③： 1
1
4 4 1 1 1 1( )( 1) 2 ( 2) 2 2( 1)( 2) 2 1 2
n n
n n n
n n
b a a n n n n n n
，┄
┄┄┄ 10 分
所以 1 1 1( )2 2 2 4( 2)n
nT n n
. ┄┄┄┄┄┄┄┄
12 分
19.（1）证明：连接 ,AF BD ， =AF BD O ,
在四边形 ABFD 中， AO 与 BD 互相平分.
∴四边形 ABFD 为平行四边形
∴ //AB DF
又∵ AB CDF 平面 , DF CDF 平面
∴ //AB CDF平面 ┄┄┄┄┄┄┄┄ 4 分
又∵ ABC CDF l平面 平面 ， AB ABC 平面
∴ //AB l . ┄┄┄┄┄┄┄┄ 6 分
（2）连接 CE ,则 , ,CE BD AF 两两垂直.如图建系.
则 1CO OB OD , 1OA OF
∴ 0,0,1A（ ）, 0,0, 1F （ ）, 1,0,0C（ ）, 0, 1,0B （ ）, 0,1,0D（ ）
∴ ,1,0BC
=(1 )， ,0, 1AC =(1 ), ,0,1FC
=(1 ), , 1,0DC =(1 )
设平面 ABC 的法向量为 1 1 1 1, ,x y z=( )n
由 1
1
0
0
BC
AC
n
n
得 1 1
1 1
0
0
x y
x z
，令 1 =1x ，则 1 1= 1, =y z 1
∴ 1 (1, 1,1) n ┄┄┄┄┄┄┄┄ 8 分
设平面 CDF 的法向量为 2 2 2 2, ,x y z=( )n
由 2
2
0
0
FC
DC
n
n
得 2 2
2 2
0
0
x z
x y
，令 2 =1x ，则 2 2=1, =y z 1
∴ 2 1,1, 1=( )n ┄┄┄┄┄┄┄┄ 10 分
∴ 1 2
1 2
1 2
1cos , 3
n nn n n n
∴平面 ABC 与平面CDF 所成锐二面角的余弦值为 1
3
.┄┄┄┄┄┄┄┄ 12 分
20.（1） 114 5 17 6 20 9 23 12 26 8 29 6 32 4 22.7650x ┄┄┄┄
┄ 2 分
（2） 22.8 ， 2 27.04 5.2 ， ┄┄┄┄┄┄┄┄ 3 分
1 0.682628 0.15872P X P X ┄┄┄┄┄┄┄┄ 4 分
X 的可能取值为 0,1,2,3 ┄┄┄┄┄┄┄┄ 5 分
0 30
30 0.1587 0.8413 0.5955P X C
1 21
31 0.1587 0.8413 0.3369P X C
3 03
33 0.1587 0.8413 0.0040P X C
2 1 0 1 3 0.0636P X P X P X P X ┄┄┄┄┄┄┄┄ 10
分
所以 X 的分布列为
0 0.5955 1 0.3369 2 0.0636 3 0.0040 0.4761E X ┄┄┄┄┄┄
┄┄ 12 分
21.（1）椭圆 E 的离心率 2
2e ，
X 0 1 2 3
P 0.5955 0.3369 0.0636 0.0040
法一：设椭圆 M 的方程为
2 2
2 2 1x y
a b
（ 0a b ），
由
2
2
2
2 2
11 2
4 1 1
b ea
a b
得
2
2
6
3
a
b
故椭圆 M 的方程为
2 2
16 3
x y ． ┄┄┄┄┄┄┄┄ 4 分
法二：设椭圆 M 的方程为
2
2 ( 0)2
x y ，代入 (2,1) 点，得 3
故椭圆 M 的方程为
2 2
16 3
x y ． ┄┄┄┄┄┄┄┄ 4 分
（2）当直线l 与 x 轴垂直时，设直线 l 为 ( 2 2)x t t
2
| | 2 1 2
tAB ，
2
| | 2 3 2
tCD ，由| | 2 | |CD AB 得 6
3t ，此时 6| | 3ON ┄┄ 5 分
当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 为 y kx m
设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ， 3 3( , )C x y ， 4 4( , )D x y
由 2
2 12
y kx m
x y
得 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x kmx m
2 28(1 2 ) 0k m ，即 2 21 2k m ，
1 2 2
2
1 2 2
4
1 2
2 2
1 2
kmx x k
mx x k
由 2 2
16 3
y kx m
x y
得 2 2 2(1 2 ) 4 2 6 0k x kmx m
2 28(3 6 ) 0k m ，即 2 23 6k m ，
1 2 2
2
1 2 2
4
1 2
2 6
1 2
kmx x k
mx x k
2 2
2
2
2 2 1 2| | 1 1 2
k mAB k k
，
2 2
2
2
2 2 3 6| | 1 1 2
k mCD k k
由| | 2 | |CD AB 得 2 21 2 3k m ┄┄┄┄┄┄┄┄ 8 分
2 2
2
2 2 2
1 2 2 1| | 1 3(1 ) 3 3(1 )
m kON k k k
┄┄┄┄┄┄┄┄ 10 分
2 1 2| | [ , )3 3ON 3 6| | [ ,3 3ON ） ┄┄┄┄┄┄┄┄ 11 分
综上， 3 6| | [ , ]3 3ON ． ┄┄┄┄┄┄┄┄ 12 分
22.（1）若 =1a ， 0b ， ( ) cos 1 sinf x x x x
( ) cosf x x x ┄┄┄┄┄┄┄┄ 1 分
当 (0 )2x ， 时， ( ) 0f x ；当 ( )2x ， 时， ( ) 0f x ；
所以 ( )f x 在 (0 )2
， 上单调递增，在 ( )2
， 上单调递减. ┄┄┄┄┄┄┄┄ 2 分
又 (0) 0f ， ( ) 02f , ( ) 2f ，
所以 ( )f x 在区间 0 ， 存在唯一零点. ┄┄┄┄┄┄┄┄ 4 分
（2）（I）若 =0a , b ， ( ) ln sinf x x x x
( ) cos +sinf x x x xx
法一： ( ) cos +sin tan cos +sin 2sinf x x x x x x x xx x x
令 ( ) 2sin , (0, )2g x x xx
易知 ( )g x 在 (0 )2
， 上单调递增，
所以 ( ) ( ) 02g x g
即 ( ) 0f x ，所以 ( )f x 在 (0 )2
， 上单调递减， ┄┄┄┄┄┄┄┄ 6 分
2
( ) ( ) ln (1 ln ) 02 2 2 2 4f x f
所以 (0 )2x ， 时， ( ) 0f x . ┄┄┄┄┄┄┄┄ 8 分
法二： 2( ) cos +sin cos + ( cos 1)f x x x x x x x x xx x x
令 2( ) cos 1, (0, )2h x x xx
3
2( ) sinh x xx
易知 ( )h x 在 (0 )2
， 上单调递减，
所以 2
16( ) ( ) 1 02h x h
，
所以 ( )h x 在 (0 )2
， 上单调递增，
所以 4( ) ( ) 1 02h x h
，即 ( ) 0f x ，所以 ( )f x 在 (0 )2
， 上单调递减， ┄┄┄┄┄
┄┄ 6 分
2
( ) ( ) ln (1 ln ) 02 2 2 2 4f x f .
所以 (0 )2x ， 时， ( ) 0f x . ┄┄┄┄┄┄┄┄ 8 分
法三： 2( ) cos +sin = 1sin( )f x x x x x xx x
，
sin( ) 1x ，所以 2( ) 1f x xx
令 2( ) 1, (0 )2k x x xx
， ，
易知 ( )k x 在 (0 )2
， 上单调递增，
所以
2
( ) ( ) 2 1 02 4k x k ，
所以 ( ) 0f x ，所以 ( )f x 在 (0 )2
， 上单调递减， ┄┄┄┄┄┄┄┄ 6 分
2
( ) ( ) ln (1 ln ) 02 2 2 2 4f x f
所以 (0 )2x ， 时， ( ) 0f x . ┄┄┄┄┄┄┄┄ 8 分
（II）当 2,n n N
时， 1 (0 )3 2n
， ，
1 113 n n
，所以 1 1sin( ) sin(1 )3 n n
.
则 1 1 1 1sin( ) sin(1 )3
n n
n n n n
.
由（I） (0 )2x ， 时， sin lnx x x .
令 1( 2,3,4 , )kx k nk
， 1 1 1 1 1sin( ) sin(1 ) ln3
n n n
n n n n n
，
所以 3 1 3sin( ) ln2 3 2 2
，
4 1 4sin( ) ln3 3 3 3
，
，
1 1 1sin( ) ln3
n n
n n n
，┄┄┄┄┄┄ 10 分
相加得：
3 1 4 1 1 1 3 4 1sin( ) sin( ) sin( ) (ln ln ln )2 3 2 3 3 3 3 2 3
n n
n n n
.
即
2
1 1 1sin( ) ln3 2
n
i
n n
n n
.
所以
2
1 1sin( ) ln 1 ln 2 ( 2, )3
n
i
n n n nn n
N
得证. ┄┄┄┄┄┄┄
┄ 12 分
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