渭滨区高三适应性训练试题（二）数学（理）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一个是符合题目要求的．
1．如图，矩形表示实数集 R ，集合 2{ | 4 3 0}, { | 0 2}A x x x B x x ，则阴影部
分表示的集合为（ ）
A． { | 2 3}x x B． { | 2 3}x x
C． { | 0 1}x x D． { | 0 1}x x x 或
2．某学校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了 2021 年 4 月 18 日﹣27 日（共 10 天）
他们在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图．
根据组合图判断，下列结论正确的是（ ）
A．这 10 天学生在线学习人数的增长比例在逐日减小
B．前 5 天在线学习人数的方差大于后 5 天在线学习人数的方差
C．这 10 天学生在线学习人数在逐日增加
D．前 5 天在线学习人数增长比例的极差大于后 5 天在线学习人数增长比例的极差
3．若复数 z 满足 (3 4 ) 25z i ，则 z 在复平面内对应的点在（ ）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
4.一般来说，事物总是经过发生、发展、成熟三个阶段，每个阶段的发展速度各不相同，通
常在发生阶段变化速度较为缓慢、在发展阶段变化速度加快、在成熟阶段变化速度又趋于缓
慢，按照上述三个阶段发展规律得到的变化曲线称为生长曲线.美国生物学家和人口统计学
家雷蒙德・皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用
的“皮尔曲线”的函数解析式为 ( ) ( 0, 0, 0), [0, ),1 e ax
Kf x K a b xb
该函数也可以简
化为 ( ) ( 0, 1, 0)1 kx b
Kf x K a ka
的形式.已知 10( ) ( )1 3kx bf x x N 描述的是一种果树的
高度随着时间 x(单位：年)的变化规律，若刚栽种时该果树的高为1 m, 经过一年，该果树的高
为 2.5 m, 则该果树的高度超过 8m，至少需要( )
A.4 年 B.3 年 C.5 年 D.2 年
5.“ 2 4x ”是“3 9x ”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6.己知 1 2,F F 是双曲线：
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的两个焦点，以线段 1 2F F 为边作正三角形
1 2MF F .若边 1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为 （ ）
A． 4+2 3 B. 3 1 C. 3+1
2
D. 3+1
7．已知函数 ( )f x 的图象如图所示，则 ( )f x 的解析式可能是（ ）
A． ( )=ln +cosf x x x B． ( )=ln cosf x x x
C． ( )= +cosxf x e x D． ( )= cosxf x e x
8．若点 A 为抛物线 2 4y x 上一点，F 是抛物线的焦点， 5AF ，
点 P 为直线 x＝﹣1 上的动点，则 PA PF 的最小值为（ ）
A．8 B． C． D．
9.已知 ( , ),2
且 3cos 2 8cos 5 0 ，则 tan = （ ）
A． 2
3
B． 5
3
C． 2 5
5
D． 5
2
10．设等比数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
11. 已知三棱锥 S ABC 的所有顶点在球O 的球面上， SA 平面 ABC ， ABC 是等腰直
角三角形， 2SA AB AC ， D 是 BC 的中点，过点 D 作球O 的截面，则截面面积的最
小值是( )
A． 4 B． 3 C． 2 D．
12.设定义在人 R 上的函数 f x ，对于给定的正数 p ，定义函数
,
,p
f x f x pf x p f x p
，
则称函数 pf x 为 f x 的“ p 界函数”.关于函数 2 2 1f x x x 的“2 界函数”，则下
列等式不成立的是（ ）
A． 2 20 0f f f f B． 2 21 1f f f f
C． 2 22 2f f f f D． 2 23 3f f f f
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，把答案填在答题卡中对应题号后的
横线上．（注：16 题第一空 2 分，第二空 3 分）
13．向量 ba, 满足 2|||| ba ，且 ( 2 ) ( ) 2a b a b ，则向量 ba, 的夹角为 ．
14.3 个不同小球放入编号为 1，2，3 的三个盒中，恰有一空盒的方法有 种方法.
15.已知函数 ( )f x 是定义 R 上的奇函数，若 1 1( ) 1xf x a a
，则 ( 2)f ＝ ．
16 ． 如 图 , 在 四 棱 锥 S ABCD 中 , SA 平 面 ABCD , 底 面 ABCD 是 菱 形 , 且
60DAB , 1SA AB 则异面直线 SD 与 BC 所成的角的余弦值为______,点C 到平面
SAD 的距离等于______.
三、解答题：共 70 分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.第
17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，
考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分
17.设函数 2 1( )= 3sin cos sin 2f x x x x ．
（1）求 ( )f x 的单调递增区间；
（2）若 1( , ), ( ) ,12 3 3A f A ，求 5cos(2 )6A 的值．
18. 如 图 ，在 四 棱 锥 P ABCD 中 ， PA 平 面 ABCD ， AB AD ， BC ∥ AD ，
2 2 =2 2AD BC PA AB ， E ， F ，G 分别为线段 AD ， DC ， PB 的中点．
（1）证明：直线 PF ∥平面 ACG ．
（2）求直线 PD 与平面 ACG 所成角的正弦值．
19.绿水青山就是金山银山．近年来，祖国各地依托本地自
然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃发展．景区与游客都
应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游市场走上规范有序且可
持续的发展轨道．某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍
一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是
否带走照片，若带走照片则需支付 20 元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁．该项目运
营一段时间后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片．为改善运营状况，该项目组就
照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并
统计出在原有的基础上，价格每下调 1 元，游客选择带走照片的可能性平均增加 0.05，假设
平均每天约有 5000 人参观该特色景点，每张照片的综合成本为 5 元，假设每个游客是否购买
照片相互独立．
（1）若调整为支付 10 元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？
（2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？
20. 已 知 椭 圆 C ： 2 2
14 3
x y 的 左 、 右 顶 点 分 别 为 A ， B ， 右 焦 点 为 F ， 折 线
1 0x my m 与C 交于 M ， N 两点.
（1）当 2m 时，求 MF NF 的值；
（2）直线 AM 与 BN 交于点 0 0( , )P x y ，证明： 0x 为定值.
21．已知函数 2
x
x ax a
f x e
，其中 a R .
（1）当 0a 时，求曲线 y f x 在点 1, 1f 的切线方程；
（2）求证：若 f x 有极值，则极大值必大于 0.
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题
计分.作答时请先涂题号.
22.在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C ： 3 cos ,
2 sin
x a t
y a t
（t 为参数， 0a ），在以坐标原点为
极点， x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 2C ： 4sin .
（1）试将曲线 1C 与 2C 化为直角坐标系 xOy 中的普通方程，并指出两曲线有公共点时 a 的取
值范围；
（2）当 4a 时，两曲线相交于 A ， B 两点，求| |AB 的值.
23．设函数 ( ) 1 2 3 1f x x x ， ( )f x 的最大值为 M ，正数 a，b 满足 3 3
1 1 Maba b
（1）求 M；
（2）是否存在 a，b，使得 6 6a b ab ？若存在,求出 a,b 的值，不存在请说明理由．
渭滨区高三适应性训练试题（二）数学（理）参考答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选
项中，只有一个是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C D A D D A D D C C B
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，把答案填在答题卡中对应题
号后的横线上．（注：16 题第一空 2 分，第二空 3 分）
13．
3
14. 18 15. 3
10
16． 2
2
3
2
三、解答题：共 70 分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分
17. 【解析】（I），
，，，.
增区间为[ , , ]6 3k k k Z .
（II），，
又，，，
.
18. 【答案解析】（1）证明：连接 EC ，设 EB 与 AC 相交于点O ，如图，
因为 BC ∥ AD ，且 1
2BC AD AE ， AB AD ，
所以四边形 ABCE 为矩形，
所以O 为 EB 的中点，又因为G 为 PB 的中点，
所以OG为 PBE 的中位线，即 / /OG PE ,
因为 OG 平面 PEF ， PE 平面 PEF ，
所以 //OG 平面 PEF ，
因为 E ， F 分别为线段 AD ， DC 的中点，所以 //EF AC ，
因为 AC 平面 PEF ， EF 平面 PEF ，
所以 / /AC 平面 PEF ，
因为 OG 平面 GAC ， AC 平面GAC ， AC OG O ，
所以平面 PEF ∥平面GAC ,
因为 PF 平面 PEF ,所以 PF ∥平面GAC .
（2）因为 PA 底面 ABCD ， AB Ì平面 ABCD ， AD 平面 ABCD ，所以
,PA AB PA AD ，因为 AB AD ，所以 PA 、 AB 、 AD 两两互相垂直，以 A 为原点，
, ,AB AD AP 所在的直线为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则 0,0,0A ， 1 1,0,2 2G
， 1,1,0C ， 0,2,0 , 0,0,1D P ，
所以 1 1,0, , 1,1,0 , 0,2, 12 2AG AC PD
，
设平面 ACG 的法向量为 , ,n x y z ，则
0
0
n
n AC
AG
，所以 0
0
x z
x y
，
令 1x ，可得 1, 1y z ，所以 1, 1 1n ， ，
设直线 PD 与平面 ACG 所成角为 ，则
22 2
0 1 2 ( 1) 1 1 15sin 153 0 2 1
n PD
n PD
，
所以直线 PD 与平面 ACG 所成角的正弦值为 15
15
.
19. 【答案解析】（1）当收费为 20 元时，照片被带走的可能性为 0.3，不被带走的概率为 0.7，
设每个游客的利润为 Y1 元，则 Y1 是随机变量，其分布列为：
Y1 15 ﹣5
P 0.3 0.7
E（Y1）＝15×0.3﹣5×0.7＝1（元），
则 5000 个游客的平均利润为 5000 元，
当收费为 10 元时，照片被带走的可能性为 0.3+0.05×10＝0.8，不被带走的概率为 0.2，
设每个游客的利润为 Y2，则 Y2 是随机变量，其分布列为：
Y2 5 ﹣5
P 0.8 0.2
E（Y2）＝5×0.8﹣5×0.2＝3（元），
则 5000 个游客的平均利润为 5000×3＝15000（元），
该项目每天的平均利润比调整前多 10000 元．
（2）设降价 x 元，则 0≤x＜15，照片被带走的可能性为 0.3+0.05x，
不被带走的可能性为 0.7﹣0.05x，
设每个游客的利润为 Y 元，则 Y 是随机变量，其分布列为：
Y 15﹣x ﹣5
P 0.3+0.05x 0.7﹣0.05x
E（Y）＝（15﹣x）×（0.3+0.05x）﹣5×（0.7﹣0.05x）＝0.05[69﹣（x﹣7）2]，
当 x＝7 时，E（Y）有最大值 3.45 元，
∴当定价为 13 元时，日平均利润取最大值为 5000×3.45＝17250 元．
20.【答案解析】（1）由已知可得 1,0F ，设点 M 关于 x 轴的对称点为 1M ，
则 1MF M F ，如图，不妨设直线 2 1x y 与椭圆相交于 1M ， N 两点，
设 1 1 1,M x y ， 2 2,N x y ，
联立 2 2
2 1
14 3
x y
x y
，可得 2 23(2 1) 4 12 0y y ，即 216 12 9 0y y ，
所以 1 2
3
4y y ， 1 2
9
16y y ，
故 2 2
1 1 1 2 1 2M F NF M NMF NF x x y y
22
1 2 1 2
9 151 2 4 5 5 16 4y y y y .
（2）由已知可得 2,0A ， 2,0B ， 1 1 1,M x y ， 1 1,M x y ，
2 2,N x y ，不妨设直线 1x my 与椭圆相交于点 1M ， N ，
联立 2 2
1
14 3
x my
x y
，可得 2 23( 1) 4 12 0my y ，即 2 23 4 6 9 0m y my ，
所以 1 2 2
6
3 4
my y m
， 1 2 2
9
3 4y y m
，且 1 2 1 2
3
2my y y y .
直线 AM ： 1
1
( 2)2
yy xx
，直线 BN ： 2
2
( 2)2
yy xx
，
联立两直线方程，消去 y 可得
2 1 2 1
1 2 1 2
2 32
2 2 1
y x y myx
x y x y my
，
即
1 2 2
1 2 2
2 1 1
1 2 1
3 332 2 332 3 32
y y ymy y yx
x my y y y y y
，
所以 2 3 2x x ， 1x ，即 0 =1x 为定值.
21．【答案解析】（1） 2 2 2 2
x x
x a x a x a xf x e e
，
当 0a 时， 11f e
， 11f e
，则 f x 在 1, 1f 的切线方程为 1y xe
；
（2）证明：令 0f x ，解得 2x 或 x a ，
①当 2a 时， 0f x 恒成立，此时函数 f x 在 R 上单调递减，
∴函数 f x 无极值；
②当 2a 时，令 0f x ，解得 2a x ，令 0f x ，解得 x a 或 2x ，
∴函数 f x 在 ,2a 上单调递增，在 , a ， 2, 上单调递减，
∴ 2
42 0af x f e
极大值 ；
③当 2a 时，令 0f x ，解得 2 x a ，令 0f x ，解得 2x 或 x a ，
∴函数 f x 在 2, a 上单调递增，在 ,2 ， ,a 上单调递减，
∴ 0a
af x f a e
极大值 ，综上，函数 f x 的极大值恒大于 0.
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，若多做，则按所
做的第一题计分.作答时请先涂题号.
22.【答案解析】（1）曲线 1C ： 3 cos ,
2 sin ,
x t
y t
消去参数t 可得普通方程为
2 2 2( +3) ( 2)x y a .
由 4sin ，得 2 4 sin .故曲线 2C ： 4sin 化为平面直角坐标系中的普通方程
为 2 2( 2) 4x y , 得 1 2| | =3C C ，
当两曲线有公共点时,由 1 22 | | 2 , 0a C C a a
解得： [1,5]a .
（2）当 3a 时，曲线 1C ： 3 3cos ,
2 3sin ,
x t
y t
即 2 2( 3) ( 2) 9x y ，
联立方程
2 2
22
( +3) ( 2) 16,
2 4,
x y
x y
消去 y ，得两曲线的交点 A ， B 所在直线方程为 1
2x .
曲线 2 2( 2) 4x y 的圆心到直线 1
2x 的距离为 1
2d ，
所以 1| | 2 4 154AB .
23． 【答案解析】：（1）分三类讨论如下：
①当 x＜﹣1 时，f（x）＝x+4，单调递增，f（x）＜3；
②当﹣1≤x≤ 时，f（x）＝﹣5x﹣2，单调递减，f（x）max＝f（﹣1）＝3，
③当 x＞ 时，f（x）＝﹣x﹣4，单调递减，f（x）＜f（ ）＝﹣ ，
综合以上讨论得，f（x）的最大值 M＝3；
（2）假设存在正数 a，b，使得 a6+b6＝ ≥2 ＝2a3b3，
所以， ≤ ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①
又因为 + ＝Mab＝3ab≥2• ，
所以， ≥ ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②
显然①②相互矛盾，
所以，假设不成立，即不存在 a，b 使得 a6+b6＝ ．
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