山西省太原市2021届高三数学（文）5月三模试题（Word版附答案）

太原市 2021 年高三年级模拟考试(三) 数学试卷(文科) 一､选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数 z 满足 1 iz i   ，则在复平面内与复数 z 对应的点的坐标为（ ） A.  1, 1 B.  1,1 C.  1,1 D.  1, 1  2. 已知全集U  R ，集合  0,1,2,3A  ，  1,0,1B   ，则下图阴影部分表示的集合是（ ） A.  1 B.  0,1 C.  2,3 D.  1,2,3 3. 设 x R，则“ x ＞1”是“ 2x ＞1”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 2020 年初，新型冠状病毒（ 19COVID  ）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取 了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某医疗机构开始使用中西医结合方法后，每 周治愈的患者人数如下表所示： 第 x 周 1 2 3 4 5 治愈人数 y （单位：十人） 3 8 10 14 15 由上表可得 y 关于 x 的线性回归方程为  1y bx  ，则此回归模型第5周的残差（实际值减去 预报值）为（ ） A. 1 B. 0 C. 1 D. 2 5. 已知 ，  是两个不同的平面， m ， n 是两条不同的直线，则下列正确的结论是（ ） A. 若 //m n ， / /m  ， / /n  ，则 / /  B. 若 / /  ，m  ，n  ，则 //m n C. 若 m n ， m  ，则 / /n  D. 若 m n ， m  ， n  ，则   6. 古代中国的太极八卦图是以圆内的圆心为界，画出相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼， 阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合， 相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.图 2（正八边形 ABCDEFGH ）是由图 1（八 卦模型图）抽象而得到，并建立如图 2 的平面直角坐标系，设 1OA  .则下列错误的结论是 （ ） A. 2 2OA OD    B. 以射线 OF 为终边的角的集合可以表示为 5 2 ,4 k k Z        C. 在以点O 为圆心、 OA 为半径的圆中，弦 AB 所对的劣弧弧长为 4  D. 正八边形 ABCDEFGH 的面积为 4 2 7. 已知实数 a ，b 满足 13 2 2 0a b   ，  2 2log 2a c x   ，则下列正确的结论是（ ） A. a b c  B. b a c  C. a c b  D. c b a  8. 执行如图所示的程序框图，若 2021N  ，则输出的 p  （ ） A. 2019 12 2  B. 2020 12 2  C. 2021 12 2  D. 2022 12 2  9. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 7 3 B. 8 3 C. 3 D. 2 10. 已知锐角 、  满足 3    ，则 1 1 cos cos sin sin    的最小值为（ ） A. 4 B. 4 3 C. 8 D. 8 3 11. 已知三棱台 1 1 1ABC A B C 中，三棱锥 1 1 1A A B C 的体积为 4，三棱锥 1A ABC 的体积为 8， 则该三棱台的体积为（ ） A. 12 3 3 B. 12 4 2 C. 12 4 3 D. 12 4 7 12. 已知点 F 是双曲线 2 2 14 5 x y  的左焦点，过原点的直线l 与该双曲线的左右两支分别相 交于点 A ， B ，则 1 9 FA FB  的取值范围是（ ） A.  1,0 B. 4 ,05     C. 2,1 D.  1,  二､填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 现采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率，先由计算器给出 0 到 9 之间取 整数的随机数，规定 0，1，2 表示没有击中目标，3，4，5，6，7，8，9 表示击中目标，以 4 个随机数为一组，代表射击 4 次的结果，经随机模拟产生了 20 组随机数： 6011 3661 9597 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 7424 7610 4281 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 根据以上数据估计该运动员射击 4 次至少击中 3 次目标的概率为_________. 14. 若命题“ Rx  ， 2 1 0x ax   ”是假命题，则实数 a 的取值范围是___________. 15. 已知实数 x ， y 满足 2 5 0 2 7 0 1 0 x y x y x y            ，则 2 2 2y xy x  的取值范围是___________. 16. 已知函数   lnf x x x  ，   xg x e x  ，若存在实数 m ，n ，使得     2f m g n ≥ 成立，则实数 m n  ___________. 三､解答题：共 70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必 考题，每个试题考生都必须作答.第 22､23 题为选考题，考生根据要求作答. 17. 如图，A ，B ，C 为山脚两侧共线的三点，在山顶 P 处测得这三点的俯角分别为 30  ， 60   ， 45   ，现计划沿直线 AC 开通一条穿山隧道 DE ，经测量 100mAD  ， 34mBE  ， 85mBC  . （1）求 PB 的长； （2）求隧道 DE 的长(精确到 1 m ).附： 2 1.414 ； 3 1.732 . 18. 为进一步保护环境，加强治理空气污染，某市环保监测部门对市区空气质量进行调研，随 机抽查了市区 100 天的空气质量等级与当天空气中 2SO 的浓度(单位： 3μg/m )，整理数据得到 下表： 2SO 的浓度 空气质量等级  0,50  50,150  150,475 1(优) 28 6 2 2(良) 5 7 8 3(轻度污染) 3 8 9 4(中度污染) 1 12 11 若某天的空气质量等级为 1 或 2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为 3 或 4， 则称这天“空气质量不好”，根据上述数据，回答以下问题. （1）分别估计该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率； （2）完成下面的 2 2 列联表， 2SO 的浓度 空气质量  0,150  150,475 空气质量好 空气质量不好 （3）根据（2）中的列联表，判断是否有 99%的把握认为该市一天的空气质量与当天 2SO 的 浓度有关？ 附：        2 2 n ad bcK a b c d a c b d       2 0P K k 0.050 0.010 0.001 0k 3.841 6.635 10828 19. 如图， 1O ， 2O 分别是圆台上下底面的圆心，AB 是下底面圆的直径， 1 22AB O O ，点 P 是下底面内以 2AO 为直径的圆上的一个动点(点 P 不在 2AO 上). （1）求证：平面 1APO  平面 1 2PO O ； （2）若 2AB  ，当三棱锥 1 2O APO 体积最大时，求点 B 到平面 1APO 的距离. 20. 已知面积为 16 的等腰直角 AOB (O 为坐标原点)内接于抛物线  2 2 0y px p  ， OA OB ，过抛物线的焦点 F 且斜率为 2 的直线l 与该抛物线相交于 P ，Q 两点，点 M 是 PQ 的中点. （1）求此抛物线的方程和焦点 F 的坐标； （2）若焦点在 y 轴上的椭圆C 经过点 M ，其离心率 1 2e  ，求椭圆 C 的标准方程. 21. 已知函数   21ln ln 24f x a x x b    在点   2 2f, 处的切线方程为 1 12y x   . （Ⅰ）求  f x 的单调区间； （Ⅱ）设  1 2 1 2,x x x x 是函数    g x f x m  的两个零点，求证： 2 1 3 42x x m   . 22. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 2 cos 3sin sin 3 cos x y           （ 为参数）， 以坐标原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）设点 A 的极坐标为 2, 3     ，点 B （异于点O 和点 A ）在曲线C 上，求 OAB 面积的最 大值. 23. 已知函数    2 1 1 0f x x mx m     . （Ⅰ）当 2m  时，解不等式   2f x  ； （Ⅱ）若  f x 有最小值，且关于 x 的方程   2 7 4f x x x    有两个不相等的实数根，求实 数 m 的取值范围. 太原市 2021 年高三年级模拟考试(三) 数学试卷(文科) 答案版 一､选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数 z 满足 1 iz i   ，则在复平面内与复数 z 对应的点的坐标为（ ） A.  1, 1 B.  1,1 C.  1,1 D.  1, 1  【答案】B 2. 已知全集U  R ，集合  0,1,2,3A  ，  1,0,1B   ，则下图阴影部分表示的集合是（ ） A.  1 B.  0,1 C.  2,3 D.  1,2,3 【答案】C 3. 设 x R，则“ x ＞1”是“ 2x ＞1”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 4. 2020 年初，新型冠状病毒（ 19COVID  ）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取 了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某医疗机构开始使用中西医结合方法后，每 周治愈的患者人数如下表所示： 第 x 周 1 2 3 4 5 治愈人数 y （单位：十人） 3 8 10 14 15 由上表可得 y 关于 x 的线性回归方程为  1y bx  ，则此回归模型第5周的残差（实际值减去 预报值）为（ ） A. 1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 5. 已知 ，  是两个不同的平面， m ， n 是两条不同的直线，则下列正确的结论是（ ） A. 若 //m n ， / /m  ， / /n  ，则 / /  B. 若 / /  ，m  ，n  ，则 //m n C. 若 m n ， m  ，则 / /n  D. 若 m n ， m  ， n  ，则   【答案】D 6. 古代中国的太极八卦图是以圆内的圆心为界，画出相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼， 阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合， 相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.图 2（正八边形 ABCDEFGH ）是由图 1（八 卦模型图）抽象而得到，并建立如图 2 的平面直角坐标系，设 1OA  .则下列错误的结论是 （ ） A. 2 2OA OD    B. 以射线 OF 为终边的角的集合可以表示为 5 2 ,4 k k Z        C. 在以点O 为圆心、 OA 为半径的圆中，弦 AB 所对的劣弧弧长为 4  D. 正八边形 ABCDEFGH 的面积为 4 2 【答案】D 7. 已知实数 a ，b 满足 13 2 2 0a b   ，  2 2log 2a c x   ，则下列正确的结论是（ ） A. a b c  B. b a c  C. a c b  D. c b a  【答案】B 8. 执行如图所示的程序框图，若 2021N  ，则输出的 p  （ ） A. 2019 12 2  B. 2020 12 2  C. 2021 12 2  D. 2022 12 2  【答案】C 9. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 7 3 B. 8 3 C. 3 D. 2 【答案】A 10. 已知锐角 、  满足 3    ，则 1 1 cos cos sin sin    的最小值为（ ） A. 4 B. 4 3 C. 8 D. 8 3 【答案】C 11. 已知三棱台 1 1 1ABC A B C 中，三棱锥 1 1 1A A B C 的体积为 4，三棱锥 1A ABC 的体积为 8， 则该三棱台的体积为（ ） A. 12 3 3 B. 12 4 2 C. 12 4 3 D. 12 4 7 【答案】B 12. 已知点 F 是双曲线 2 2 14 5 x y  的左焦点，过原点的直线l 与该双曲线的左右两支分别相 交于点 A ， B ，则 1 9 FA FB  的取值范围是（ ） A.  1,0 B. 4 ,05     C. 2,1 D.  1,  【答案】A 二､填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 现采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率，先由计算器给出 0 到 9 之间取 整数的随机数，规定 0，1，2 表示没有击中目标，3，4，5，6，7，8，9 表示击中目标，以 4 个随机数为一组，代表射击 4 次的结果，经随机模拟产生了 20 组随机数： 6011 3661 9597 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 7424 7610 4281 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 根据以上数据估计该运动员射击 4 次至少击中 3 次目标的概率为_________. 【答案】 3 5 14. 若命题“ Rx  ， 2 1 0x ax   ”是假命题，则实数 a 的取值范围是___________. 【答案】 ( , 2) (2, )   15. 已知实数 x ， y 满足 2 5 0 2 7 0 1 0 x y x y x y            ，则 2 2 2y xy x  的取值范围是___________. 【答案】 1,3 16. 已知函数   lnf x x x  ，   xg x e x  ，若存在实数 m ，n ，使得     2f m g n ≥ 成立，则实数 m n  ___________. 【答案】1 三､解答题：共 70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必 考题，每个试题考生都必须作答.第 22､23 题为选考题，考生根据要求作答. 17. 如图，A ，B ，C 为山脚两侧共线的三点，在山顶 P 处测得这三点的俯角分别为 30  ， 60   ， 45   ，现计划沿直线 AC 开通一条穿山隧道 DE ，经测量 100mAD  ， 34mBE  ， 85mBC  . （1）求 PB 的长； （2）求隧道 DE 的长(精确到 1 m ).附： 2 1.414 ； 3 1.732 . 【答案】（1） 232m；（2）330m . 18. 为进一步保护环境，加强治理空气污染，某市环保监测部门对市区空气质量进行调研，随 机抽查了市区 100 天的空气质量等级与当天空气中 2SO 的浓度(单位： 3μg/m )，整理数据得到 下表： 2SO 的浓度 空气质量等级  0,50  50,150  150,475 1(优) 28 6 2 2(良) 5 7 8 3(轻度污染) 3 8 9 4(中度污染) 1 12 11 若某天的空气质量等级为 1 或 2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为 3 或 4， 则称这天“空气质量不好”，根据上述数据，回答以下问题. （1）分别估计该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率； （2）完成下面的 2 2 列联表， 2SO 的浓度 空气质量  0,150  150,475 空气质量好 空气质量不好 （3）根据（2）中的列联表，判断是否有 99%的把握认为该市一天的空气质量与当天 2SO 的 浓度有关？ 附：        2 2 n ad bcK a b c d a c b d       2 0P K k 0.050 0.010 0.001 0k 3.841 6.635 10828 【答案】（1）0.36，0.2，0.2，0.24；（2）列联表见解析；（3）有. 19. 如图， 1O ， 2O 分别是圆台上下底面的圆心，AB 是下底面圆的直径， 1 22AB O O ，点 P 是下底面内以 2AO 为直径的圆上的一个动点(点 P 不在 2AO 上). （1）求证：平面 1APO  平面 1 2PO O ； （2）若 2AB  ，当三棱锥 1 2O APO 体积最大时，求点 B 到平面 1APO 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2） 2 3 3 20. 已知面积为 16 的等腰直角 AOB (O 为坐标原点)内接于抛物线  2 2 0y px p  ， OA OB ，过抛物线的焦点 F 且斜率为 2 的直线l 与该抛物线相交于 P ，Q 两点，点 M 是 PQ 的中点. （1）求此抛物线的方程和焦点 F 的坐标； （2）若焦点在 y 轴上的椭圆C 经过点 M ，其离心率 1 2e  ，求椭圆 C 的标准方程. 【答案】（1）抛物线的方程为 2 4y x ，焦点 F 的坐标为 1,0 ；（2） 2 2 14 3 y x  21. 已知函数   21ln ln 24f x a x x b    在点   2 2f, 处的切线方程为 1 12y x   . （Ⅰ）求  f x 的单调区间； （Ⅱ）设  1 2 1 2,x x x x 是函数    g x f x m  的两个零点，求证： 2 1 3 42x x m   . 【答案】（Ⅰ）函数  f x 的单调递增区间为 0, 2 ，单调递减区间为  2, ；（Ⅱ）见 详解. 22. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 2 cos 3sin sin 3 cos x y           （ 为参数）， 以坐标原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）设点 A 的极坐标为 2, 3     ，点 B （异于点O 和点 A ）在曲线C 上，求 OAB 面积的最 大值. 【答案】（1） 4cos  ；（2） 2 3 23. 已知函数    2 1 1 0f x x mx m     . （Ⅰ）当 2m  时，解不等式   2f x  ； （Ⅱ）若  f x 有最小值，且关于 x 的方程   2 7 4f x x x    有两个不相等的实数根，求实 数 m 的取值范围. 【答案】（Ⅰ） 1, 2     ；（Ⅱ） 1,2