广元市高 2021 届第三次高考适应性统考
数学试卷（文史类）
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）．满分 150 分．考试时间 120 分钟．考生作
答时，需将答案写在答題卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将答题卡交回．
第 I 卷（选择题 共 60 分）
注意事项：
必须使用 2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑．
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项符合题目要求．
1．已知集合 0 2A x x ， 2 1 0B x x ，则 A B （ ）
A． 1,2 B． 1,1 C． 1,2 D． 0,1
2．设 i 是虚数单位，则复数 (2 )(1 )i i 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知 : ( 1) 0p x x ， : 1q x ，则 p 是 q 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．非零向量 a ，b
满足向量 a b 与向量 a b 的夹角为
2
，下列结论中一定成立的是（ ）
A． a b B． / /a b
C． a b D． a b
5．已知 0.8log 2a ， 1sin 2b ， 0.32c ，则（ ）
A． a b c B．b a c C． a c b D．b c a
6．执行如图的程序，若输入 3n ， 3x ，则输出 y 的值为（ ）
A． 4 B．13 C． 40 D．121
7．已知函数 ( ) ln 4
xf x x
，则（ ）
A．函数 f x 的图像关于点 2,0 对称
B．函数 f x 的图像关于直线 2x 对称
C． f x 在 0,4 上单调递减
D． f x 在 0,2 上单调递减，在 2,4 上单调递增
8．设 m ， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若 ， m ， n ，则 m n B．若 m ， / /m n ， / /n ，则
C．若 m n ， m ， n ，则 D．若 / / ，m ，n ，则 / /m n
9．数列 na 满足 1 1a ，且 *
1 1n na a n n N ，则 1
na
的前10项和为（ ）
A． 9
11 B． 10
11 C． 20
11 D． 21
11
10．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗
中隐含一个有趣的数学问题——“将军饮马”即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先
到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域
为 2 2 2x y ，若将军从点 3,0A 处出发，河岸线所在直线方程为 4x y ，并假定将军
只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． 2 5 B． 17 2 C． 17 D．3 2
11．若函数 ( ) sinf x x a x 在 0, 4
上单调递增，则 a 的取值范围是（ ）
A． 1 ,02
B． 1, 2
C． 1 ,2
D． 1,
12．设 1F ， 2F 分别是椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yE a ba b
的左、右焦点，过 2F 的直线交椭圆于 A ，
B 两点，且 1 2 0AF AF ， 2 22AF F B ，则椭圆 E 的离心率为（ ）
A． 2
3 B． 3
4 C． 5
3 D． 7
4
第 II 卷（非选择题 共 90 分）
注意事项：
必须使用 0．5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答，作图题可先用铅
笔绘出，确认后再用 0．5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚．答在试题卷、草稿纸上无效．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．）
13．已知等差数列 na 满足 2 5 8 15a a a ，则 3 7a a ________．
14．某正三棱锥正视图如图所示，则正三棱锥的体积为_______．
15．某产品生产厂家的市场部在对 4 家商城进行调研时，获得该产品售价 x （元/件）和销售
量 y （万件）之间的四组数据如表所示．
售价（元/件） 4 4.5 5.5 6
销售量（万件） 12 11 10 9
为决策产品的市场指导价，用最小二乘法求得销售量 y 与售价 x 之间的线性回归方程为：
ˆ ˆ1.4y x a ，若售价为8 元/件，则销售量约为_______万件．
16．已知函数 ( ) sin( ) 0,0 2f x x
， ( )f x 的一个零点是
6
， f x 图象
的 一 条 对 称 轴 是 直 线
2x ， 下 列 四 个 结 论 ： ①
4
； ② 9 3 ( N)2 k k ； ③
02f
；④直线
3x 是 f x 图象的一条对称轴．其中所有正确结论的编号是
_______．
三、解答题：（本大题共 6 小题，第 22（或 23）小题 10 分，其余每题 12 分，共
70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程、计算步骤．）
17．已知 ABC 的内角 A ， B ，C 所对的边分别是 a ，b ， c ，若 2sin( ) 8sin 2
BA C ．
（I）求 cos B ；
（II）若 6a c ， ABC 的面积为 2 ，求 b ．
18．广元某中学调查了该校某班全部 40 名同学参加棋艺社团和武术社团的情况，数据如下表：
（单位：人）
参加棋艺社团 未参加棋艺社团
参加武术社团 8 10
未参加武术社团 7 15
（I）能否有 95% 的把握认为参加棋艺社团和参加武术社团有关？
（II）已知在参加武术社团且未参加棋艺社团的10人中，从 2 到11进行编号，从中抽取一人．按
照先后两次抛掷一枚骰子，出现的点数之和为被抽取的序号，试求抽到 6 号或 7 号的概率．
附：
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
2
0p K k 0.10 0.05 0.025
0k 2.706 3.841 5.024
19．如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1AA 平面 ABC ， AB AC ， 2AB AC ，
1 4AA ，点 D 是 BC 的中点．
（I）求证： 1AD C D ；
（II）求三棱锥 1 1B AC D 的体积．
20．已知函数 3 21( ) 2f x x x bx c ．
（I）若函数 f x 在 , 是增函数，求 b 的取值范围；
（II）若函数 f x 在 1x 时取得极值，且 1,2x 时， 2f x c 恒成立，求 c 的取值范
围．
21．已知抛物线 2 2 ( 0)y px p 的焦点为 F ．
（I）若点 ,1C p 到抛物线准线的距离是它到焦点距离的 3 倍，求抛物线的方程；
（II）点 ,1C p ，若线段CF 的中垂线交抛物线于 A ， B 两点，求三角形 ABF 面积的最小
值．
选考题：考生从 22、23 两题中任选一题作答，将选择的题号对应的方框用 2B 铅
笔涂黑，多做按所答第一题计分．
22．选修 4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆 : cos sinC 和直线 2: sin ( 0,0 2 )4 2l
．
（I）求圆C 与直线 l 的直角坐标方程；
（II）当 (0, ) 时，求圆 C 和直线 l 的公共点的极坐标．
23．选修 4-5：不等式选讲
已知函数 ( ) | | | 2| ( R)f x x m x m ，不等式 ( 2) 0f x 的解集为 ,4 ．
（I）求 m 的值；
（II）若 0a ， 0b ， 3c ，且 2 2a b c m ，求 ( 1)( 1)( 3)a b c 的最大值．
广元市高 2021 届第三次高考适应性统考
数学试卷（文史类）参考答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．
1-5：ADBDA 6-10：CABCB 11-12：DC
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．10 14．12 3 15． 6.3 16．①③
三、解答题：本大题共 6 小题，第 22（或 23）小题 10 分，其余每题 12 分，共 70
分．
17．解：（1）由题意： 2sin( ) sin 8sin 2
BA C B ，
22sin cos 8sin2 2 2
B B B ，
化简得 1tan 2 4
B
由
2
2
111 tan 15162cos 1 171 tan 12 16
B
B B
（II）由（I） 8sin 17B ，又 1 sin 22ABCS ac B 得 17
2ac ．
由余弦定理： 2 2 2 22 cos ( ) 2 2 cos 4b a c ac B a c ac ac B
所以 2b
18．解．（1）由
2
2 (8 15 7 10) 40 2500 40 0.673415 25 22 18 15 25 22 18K
则 2 3.841K ，所以没有95% 的把握认为参加棋艺社团和参加武术社团有关．
（II）两次抛掷一枚骰子的点数记为 ,x y ，则基本事件为：(1,1) ，(1,2) ，(1,3) ，(1,4) ，(1,5) ，
(1,6) ，(2,1) ，(2,2) ，(2,3) ，(2,4) ，(2,5) ，(2,6) ，(3,1) ，(3,2) ，(3,3) ，(3,4) ，(3,5) ，
(3,6) ，(4,1) ，(4,2) ，(4,3) ，(4,4) ，(4,5) ，(4,6) ，(5,1)，(5,2) ，(5,3) ，(5,4) ，(5,5) ，
(5,6) ， (6,1) ， (6,2) ， (6,3) ， (6,4) ， (6,5) ， (6,6) 共36 种，
其中点数和为 6 或 7 的基本事件有：
(1,5)，(1,6) ，(2,4) ，(2,5) ，(3,3) ，(3,4) ，(4,2) ，(4,3) ，(5,1) ，(5,2) ，(6,1) 共11
种．
所以抽到 6 号或 7 号的概率： 11
36P ．
19．（I）证明：由 AB AC ， D 为 BC 的中点，
AD BC ，
又 1CC 平面 ABC ， 1AD CC
又 1CC BC C ，
AD 面 1 1BCC B ，
由 1C D 面 1 1BCC B ，
1AD C D
（II）解：由题意：
1 1 1 1
1 2 2 4 82ABC A B C ABCV S AA
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
8 4 4 88 3 3 3 3B AC D ABC A B C A A B C C ACD B ABDV V V V V
20．解：（I）由题意， 2( ) 3 0f x x x b 对 ( , )x 恒成立，
即 23b x x 对 ( , )x 恒成立，
由 2
max
13 12x x 可得， 1
12b 即 1 ,12b
．
（II）由题意： 1x 是方程 2( ) 3 0f x x x b 的根，设另一个根为 0x ，
则 2b ， 0
2
3x
2( ) 3 2 (3 2)( 1)f x x x x x ，
当 21, (1,2]3x 时， 0f x ；当 2 ,13x
时， 0f x
f x 在 21, 3
和 1,2 上为增函数，在 2,13
为减函数．
则 2
max
2( ) max , (2) (2) 23f x f f f c c
即 ( , 1) (2, )c
21．解：（I）抛物线的准线方程是
2
px ，焦点坐标为 ,02
pF
，
2
3 12 2
p pp p
0p ， 2p
抛物线的方程为 2 2 2y x
（II）由题意知线段CF 的中点坐标为 3 1,4 2
pM
， 1 0 2
2
CFk p pp
，
2AB
pk
直线 AB 的方程为 1 3
2 2 4
p py x
设 1 1,A x y ， 2 2,B x y
由
2 2
1 3
2 2 4
y px
p py x
，得
2
2 34 2 02
py y
1 2 4y y ， 2
1 2
3 22y y p
2
2
1 2 1 2 1 22 2
6 41 4| | 1 1 4
AB
p
AB y y y y y yk p p
又
2 2 4| | 12 2
ppCF p
32 2 2
2
6 4 4 41 1 6| | | |2 2 8 8ABF
p p p
S AB CF p p
令 2 ( 0)t p t ，则
3( 4)( ) tf t t
，
2
2
2( 4) ( 2)( ) t tf t t
当 0 2t 时， 0f t ， f t 递减，当 2t 时， 0f t ， f t 递增，
当 2t 即 2p 时， ABFS 取得最小值，最小值为 6 9 21088 4
．
22．解：（1）由 : cos sinC 可得 2 cos sin ，
则直角坐标方程为： 2 2x y x y ，化简得 2 2 0x y x y ．
由 2: sin 4 2l
，
sin cos 1 ，
则直角坐标方程为： 1y x ，所以 : 1 0l x y
（II）联立方程组得 cos sin
sin cos 1
，消元 2 2sin cos cos2 1 ，
由 (0, ) ，
2
即圆C 和直线l 的公共点的极坐标为 1, 2
．
23．解：（1）由题意 ( 2) | (2 ) | | | 0f x x m x ，则 2 2[ (2 )]x m x
即 22( 2) ( 2)m x m 的解集为 ,4 ，
显然 2 0m 不符合条件，则 2 42
m ， 6m
（II）由题意 2 12a b c ，
则
3
31 1 1 2 2 3 1( 1)(2 2)( 3) 4 322 2 3 2
a b ca b c
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