江西省南昌市2021届高三数学（文）5月第三次模拟试题（Word版附答案）

NCS20210607 项目第三次模拟测试卷 文科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合  xA x e e  ，  2N 4B x x   ，则 A B  （ ） A. { 2, 1,0,1}  B. { 1,0,1} C. {0,1,2} D. {0,1} 2. 若复数 z 在复平面内对应的点是 1, 1 ，则 1 1z  （ ） A. i B. i C. 1 D. 1 3. 若函数   3log , 1 2 , 1x x xf x x    ．则  0f f    （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 3 1a  ， 9 18S  ，则 7a  （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 若曲线    1 xf x ax e= 在 0x  处的切线与直线 6 0x y   垂直，则 a （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 已知某6个数据的平均数为 4 ，方差为8 ，现加入 2 和 6两个新数据，此时8 个数据的方差 为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 7. 设双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的左右焦点分别为 1 2( ,0), ( ,0)F c F c ，圆 2 2 2( ) 4x c y c   与双曲线 C 在第一象限的交点为 A，若 1 2AF F△ 的周长为 7c ，则双曲线的 渐近线方程为（ ） A. 2 0x y  B. 2 0x y  C. 3 0x y  D. 3 0x y  8. 平安夜苹果创意礼品盒，如图 1 所示，它的形状可视为一个十面体，其中上下底面为全等 的正方形，八个侧面是全等的等腰三角形如图 2，底面正方形 ABCD 的边长为 2，上底面 EFGH 与下底面 ABCD 之间的距离为 2 1 ，则该几何体的侧面积为（ ） A. 6 6 B. 8 6 C. 16 2 D. 12 2 9. 奇函数  f x 满足    2f x f x  ，当  0,1x 时，    2log af x x  ，则  2021f  （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 1 10. 某电影票单价 30 元，相关优惠政策如下：①团购 10 张票，享受 9 折优惠：②团购 30 张 票，享受 8 折优惠；③购票总额每满 500 元减 80 元．每张电影票只能享受一种优惠政策，现 需要购买 48 张电影票，合理设计购票方案，费用最少为（ ） A. 1180 元 B. 1230 元 C. 1250 元 D. 1152 元 11. 已知函数    sin 2 0, 2f x A x A         的部分对应值如下表所示，则  （ ） x 4  0 12  4  3   f x 2 2 3 2 2 2 3 A. 6  B. 6  C. 3  D. 3  12. 如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心 F 为圆心的圆 形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在 P 点处变轨进以 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最 后在 Q 点处变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为 R，圆形 轨道Ⅲ的半径为 r，则下列结论中正确的序号为（ ） ①轨道Ⅱ的焦距为 R r ；②若 R 不变，r 越大，轨道Ⅱ的短轴长越小； ③轨道Ⅱ的长轴长为 R r ；④若 r 不变，R 越大，轨道Ⅱ的离心率越大． A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二．填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 已知单位向量 1 2,e e   的夹角为 2 3  ，则 1 2| |e e  _______． 14. 若变量 x，y 满足 2 0 2 0 4 x y x y y          ，则目标函数 2z x y  的最小值为________． 15. 等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 6 39S S ，则 3 3 S a  ______． 16. 已知圆 2 2 2: ( 1)C x y r   与 siny x 有唯一的公共点，且公共点的横坐标为 ，则 2sin2 4cos    的值为_________． 三．解答题；共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题 为必考题，每个试题考生都必须作答；第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17. “自媒体”是指普通大众通过网络等途径向外发布他们本身的事实和新闻的传播方式某 “自媒体”作者 2020 年度在“自媒体”平台 A 上发布了 200 条事实和新闻，现对其点击量进 行统计，如表格所示： 点击量（万次） [0,1] (1,50] (50,100] (100,200] 条数 20 100 60 20 （Ⅰ）现从这 200 条事实和新闻中采用分层抽样的方式选出 10 条，求点击量超过 50 万次的 条数； （Ⅱ）为了鼓励作者，平台 A 在 2021 年针对每条事实和新闻推出如下奖励措施： 点击量（万次） [0,1] (1,50] (50,100] (100,200] 奖金（元） 0 200 500 1000 若该作者在 2021 年 5 月份发布了 20 条事实和新闻，请估计其可以获得的奖金数． 18. 如图，在梯形 ABCD 中， / / , 135 , 5 10AB CD BCD BD CD     ． （1）求sin CBD 的值； （2）若 ABD△ 的面积为 4，求 AD 的长． 19. 如图，四边形 ABCD 是圆柱的轴截面， EF 为 1O 的直径，且 2AB  ， 3BC  ． （1）若 EF CD ，求证： BE BF ； （2）若三棱锥 A BEF 的体积为 2 3 3 ，求 1EO C 的值． 20. 已知抛物线 2: 4C x y ，过点 (1, 2)P  作斜率为 ( 0)k k  的直线 1l 与抛物线 C 相交于 A， B 两点． （Ⅰ）求 k的取值范围； （Ⅱ）过 P 点且斜率为 k 的直线 2l 与抛物线 C 相交于 M，N 两点，求证：直线 AM 、BN 及 y 轴围成等腰三角形． 21. 已知函数   2 1xf x e x   ． （1）判断函数  f x 的零点个数； （2）若   2 2 lna x af x x x   ，求 a 的值． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则 按所做的第一题计分． 22. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为： 1 2cos 2sin x y       （ 为参数），以坐 标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为：  0 0 [0, ),      R ． （1）求曲线 1C 的极坐标方程； （2）设 A，B 是曲线 1C 、 2C 的公共点，若 1 1 4 3OA OB   ，求曲线 2C 的直角坐标方程． 23. 已知函数 ( ) 3 2 1f x x x    ． （1）求 ( )f x 的最小值 m； （2）己知 0, 0a b  ，若 2a b m  时，正常数 t 使得 ta ab 的最大值为 2，求 t 的值． NCS20210607 项目第三次模拟测试卷 文科数学 答案版 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合  xA x e e  ，  2N 4B x x   ，则 A B  （ ） A. { 2, 1,0,1}  B. { 1,0,1} C. {0,1,2} D. {0,1} 【答案】D 2. 若复数 z 在复平面内对应的点是 1, 1 ，则 1 1z  （ ） A. i B. i C. 1 D. 1 【答案】A 3. 若函数   3log , 1 2 , 1x x xf x x    ．则  0f f    （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 4. 已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 3 1a  ， 9 18S  ，则 7a  （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 5. 若曲线    1 xf x ax e= 在 0x  处的切线与直线 6 0x y   垂直，则 a （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 6. 已知某6个数据的平均数为 4 ，方差为8 ，现加入 2 和 6两个新数据，此时8 个数据的方差 为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】B 7. 设双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的左右焦点分别为 1 2( ,0), ( ,0)F c F c ，圆 2 2 2( ) 4x c y c   与双曲线 C 在第一象限的交点为 A，若 1 2AF F△ 的周长为 7c ，则双曲线的 渐近线方程为（ ） A. 2 0x y  B. 2 0x y  C. 3 0x y  D. 3 0x y  【答案】C 8. 平安夜苹果创意礼品盒，如图 1 所示，它的形状可视为一个十面体，其中上下底面为全等 的正方形，八个侧面是全等的等腰三角形如图 2，底面正方形 ABCD 的边长为 2，上底面 EFGH 与下底面 ABCD 之间的距离为 2 1 ，则该几何体的侧面积为（ ） A. 6 6 B. 8 6 C. 16 2 D. 12 2 【答案】B 9. 奇函数  f x 满足    2f x f x  ，当  0,1x 时，    2log af x x  ，则  2021f  （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 1 【答案】B 10. 某电影票单价 30 元，相关优惠政策如下：①团购 10 张票，享受 9 折优惠：②团购 30 张 票，享受 8 折优惠；③购票总额每满 500 元减 80 元．每张电影票只能享受一种优惠政策，现 需要购买 48 张电影票，合理设计购票方案，费用最少为（ ） A. 1180 元 B. 1230 元 C. 1250 元 D. 1152 元 【答案】A 11. 已知函数    sin 2 0, 2f x A x A         的部分对应值如下表所示，则  （ ） x 4  0 12  4  3   f x 2 2 3 2 2 2 3 A. 6  B. 6  C. 3  D. 3  【答案】D 12. 如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心 F 为圆心的圆 形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在 P 点处变轨进以 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最 后在 Q 点处变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为 R，圆形 轨道Ⅲ的半径为 r，则下列结论中正确的序号为（ ） ①轨道Ⅱ的焦距为 R r ；②若 R 不变，r 越大，轨道Ⅱ的短轴长越小； ③轨道Ⅱ的长轴长为 R r ；④若 r 不变，R 越大，轨道Ⅱ的离心率越大． A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 二．填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 已知单位向量 1 2,e e   的夹角为 2 3  ，则 1 2| |e e  _______． 【答案】 3 14. 若变量 x，y 满足 2 0 2 0 4 x y x y y          ，则目标函数 2z x y  的最小值为________． 【答案】 10 15. 等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 6 39S S ，则 3 3 S a  ______． 【答案】 7 4 16. 已知圆 2 2 2: ( 1)C x y r   与 siny x 有唯一的公共点，且公共点的横坐标为 ，则 2sin2 4cos    的值为_________． 【答案】 4 三．解答题；共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题 为必考题，每个试题考生都必须作答；第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17. “自媒体”是指普通大众通过网络等途径向外发布他们本身的事实和新闻的传播方式某 “自媒体”作者 2020 年度在“自媒体”平台 A 上发布了 200 条事实和新闻，现对其点击量进 行统计，如表格所示： 点击量（万次） [0,1] (1,50] (50,100] (100,200] 条数 20 100 60 20 （Ⅰ）现从这 200 条事实和新闻中采用分层抽样的方式选出 10 条，求点击量超过 50 万次的 条数； （Ⅱ）为了鼓励作者，平台 A 在 2021 年针对每条事实和新闻推出如下奖励措施： 点击量（万次） [0,1] (1,50] (50,100] (100,200] 奖金（元） 0 200 500 1000 若该作者在 2021 年 5 月份发布了 20 条事实和新闻，请估计其可以获得的奖金数． 【答案】（Ⅰ）4 条；（Ⅱ）7000 元． 18. 如图，在梯形 ABCD 中， / / , 135 , 5 10AB CD BCD BD CD     ． （1）求sin CBD 的值； （2）若 ABD△ 的面积为 4，求 AD 的长． 【答案】（1） 10sin 10CBD  ；（2） 10AD  ． 19. 如图，四边形 ABCD 是圆柱的轴截面， EF 为 1O 的直径，且 2AB  ， 3BC  ． （1）若 EF CD ，求证： BE BF ； （2）若三棱锥 A BEF 的体积为 2 3 3 ，求 1EO C 的值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 1 2EO C   ． 20. 已知抛物线 2: 4C x y ，过点 (1, 2)P  作斜率为 ( 0)k k  的直线 1l 与抛物线 C 相交于 A， B 两点． （Ⅰ）求 k的取值范围； （Ⅱ）过 P 点且斜率为 k 的直线 2l 与抛物线 C 相交于 M，N 两点，求证：直线 AM 、BN 及 y 轴围成等腰三角形． 【答案】（Ⅰ） (2, ) ；（Ⅱ）证明见解析． 21. 已知函数   2 1xf x e x   ． （1）判断函数  f x 的零点个数； （2）若   2 2 lna x af x x x   ，求 a 的值． 【答案】（1）有且只有一个零点；（2） 1a  ． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则 按所做的第一题计分． 22. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为： 1 2cos 2sin x y       （ 为参数），以坐 标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为：  0 0 [0, ),      R ． （1）求曲线 1C 的极坐标方程； （2）设 A，B 是曲线 1C 、 2C 的公共点，若 1 1 4 3OA OB   ，求曲线 2C 的直角坐标方程． 【答案】（1） 2 2 cos 3 0     ；（2） 0y  ． 23. 已知函数 ( ) 3 2 1f x x x    ． （1）求 ( )f x 的最小值 m； （2）己知 0, 0a b  ，若 2a b m  时，正常数 t 使得 ta ab 的最大值为 2，求 t 的值． 【答案】（1） 2m  ；（2） 1t  ．