河西区2020—2021学年度第二学期高三年级总复习质量调查（三）
数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分
钟.第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 8 页.
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、和座位号填写在答题卡上，并在规
定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试
结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，
再选涂其他答案标号.
2.本卷共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分.
参考公式：
·如果事件 A 与事件 B 互斥，那么 P A B P A P B .
·如果事件 A 与事件 B 互斥，那么 P AB P A P B
·球的表面积公式 24S R ，其中 R 表示球的半径.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知全集 2,3,4U .集合 1,2A ， 2,3B .则 UC A B （ ）
A. 1,3,4 B. 3,4 C. 3 D. 4
（2）设命题 :p x R ， 2 1 0x ：则 p 为（ ）
A. 0x R ， 2
0 1 0x B. 0x R ， 2
0 1 0x
C. 0x R ； 2
0 1 0x D. 0x R ， 2
0 1 0x
（3）设 3log 7a ， 1.12b ， 3.10.8c 则（ ）
A.b a c B. c a b C. c b a D. a c b
（4）某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表：
广告费用 x （万元） 4 2 3 5
销售额 y （万元） 49 26 39 54
根据上表可得回归方程 y bx a 中的 b 为 9.4，据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为
（ ）
A.92.8 万元 B.64 万元 C.65.5 万元 D.227.8 万元
（5）已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上， ABC△ 是边长为 1 的正三角形，
SC 为球O 的直径，且 2SC ，则此棱锥的体积为（ ）
A. 2
6 B. 3
6 C. 2
3 D. 2
2
（6）如果函数 3cos 2y x 的图象关于点 4 ,03
中心对称；那么 的最小值为（ ）
A.
6
B.
4
C.
3
D.
2
（7）已知直线 2 0y k x k 与抛物线 2: 8C y x 交于 A 、 B 两点， F 为C 的焦点，
若 2FA FB 则 k （ ）
A. 3
3 B. 2
3 C. 2
3 D. 2 2
3
（8）在 ABC△ 中， 60A ， 3AB ， 2AC ，若 2BD DC ， AE AC AB R ，
且 4AD AE ，则 的值为（ ）
A. 3
7 B. 3
8 C. 3
5 D. 3
11
（9）已知 f x 为定义在 R 上的偶函数，当 0x 时，有 1f x f x ，且 0,1x 时；
2log 1f x x ，给出下列命题：① 2013 2014 0f f ；②函数 f x 在定义域 R
上是周期为 2 的周期函数；③直线 y x 与函数 y f x 的图象有 1 个交点；④函数 f x 的
值域为 1,1 ，其中正确命题有
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
第Ⅱ卷
注意事项：
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上.
2.本卷共 11 小题，共 105 分.
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.试题中包含两个空的，答对一个给的 3
分，全部答对的给 5 分.
（10）若 i 是虚数单位，则 5
2
i
i
______.
（11） 4
x y y x 的展开式中 3 3x y 的系数为______（用数字作答）.
（12）已知过点 2,2P 的直线与圆 2 21 5x y 相切，且与直线 1 0ax y 垂直，则 a
的值为______.
（13）若实数 x ， y 满足 1xy ，则 2 22x y 的最小值为______.
（14）设甲、乙两位同学上学期间，每天 7:30 之前到校的概率均为 2
3 .假定甲、乙两位同学到
校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.用 X 表示甲同学上学期间的三天中 7:30
之前到校的天数，则随机变量 X 的数学期望为______；设 M 为事件“上学期间的三天中，甲
同学在 7:30 之前到校的天数比乙同学在 7:30 之前到校的天数恰好多 2”，则事件 M 发生的概
率为______.
（15）已知函数
3
2 , 2
1 , 2
xxf x
x x
，若关于 x 的方程 f x k 有两个不同的实根，则实
数 k 的取值范围是______.
三、解答题：本大题共 5 小题，共 75 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（16）（小题满分 14 分）
在 ABC△ 中，内角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ， b ， c ，已知 sin sin 3b A a B .
（Ⅰ）求角 B 的大小；
（Ⅱ）设 3a ， 4c ，
（i）求 b ，
（ii）求 cos 2A B 的值.
（17）（本小题满分 15 分）
如 图 ， 在 四 棱 锥 P ABCD 中 ， PA 平 面 ABCD ， AD CD ， //AD BC ，
2PA AD CD ， 3BC ， E 为 PD中点，点 F 在线段 PC 上，且 1
3
PF
PC
.
（Ⅰ）求证： CD 平面 PAD ；
（Ⅱ）求直线 PD与平面 AEF 所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角 F AE P 的正弦值.
（18）（本小题满分 15 分）
已知数列 na 满足 2 , 1n na a d d R d ， *Nn ， 1 1a ， 2 1a ，且 1a ， 2 3a a ，
8 9a a 成等比数列.
（Ⅰ）求 d 的值和 na 的通项公式；
（Ⅱ）设
2
21
2 ( )2
2 1 ( )4
n
n
a
n
n a
n
a n
b
a n
为奇数
为偶数
，求数列 nb 的前 2n 项和 2nT .
（19）：（本小题满分 15 分）
已知椭圆
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
长轴的两个端点分别为 ( 2,0)A ， (2,0)B ，离心率为
3
2 .
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程
（Ⅱ）P 为椭圆C 上异于 A ，B 的动点，直线 PA ，PB 分别交直线 6x 于 M ，N 两点，
连接 NA 并延长交椭圆C 于点Q .
（i）求证：直线 AP ， AN 的斜率之积为定值，
（ii）判断 M ， B ，Q 三点是否共线，并说明理由.
（20）（本小题满分 16 分）
已知函数 2xf x e x x ， 2g x x ax b ， ,a b R .
（Ⅰ）当 1a 时，求函数 F x f x g x 的单调区间；
（Ⅱ）若曲线 y f x 在点 0,1 处的切线 l 与曲线 y g x 切于点 1,c ，求 a ，b ，c 的
值；
（Ⅲ）若 f x g x 恒成立，求 a b 的最大值.
河西区2020—2021学年度第二学期高三年级总复习质量调查（三）
数学试题参考答案及评分评准
一、选择题：每小题 5 分，满分 45 分.
（1）D （2）B （3）B （4）C （5）A （6）A （7）D （8）D （9）D
二、填空题：每小题 5 分，满分 30 分.试题中包含两个空的，答对一个的给 3 分，全部答对的
给 5 分.
（10） 1 2i （11）6 （12）2 （13） 2 2 （14）2， 20
243
（15） 0,1
三、解答题
（16）满分 14 分.
（1）解：在 ABC△ 中，由正弦定理
sin sin
a b
A B
，可得 sin sinb A a B ，
又由 sin sin 3b A a B
，得 sin sin 3a B a B
，即sin 03B
，
又因为 0,B ，可得
3B .
（Ⅱ）解：在 ABC△ 中，由余弦定理及 3a ， 4c ，
3B ，
有 2 2 2 2 cos 13b a c ac B ，故 13b .
由 sin sin 3b A a B
，可得 3 3sin
2 13
A .因为 a c ，故 5cos
2 13
A .
因此 3 3 5 15 3sin 2 2sin cos 2 262 13 2 13
A A A ，
2 1cos2 2cos 1 26A A ，所以 23cos 2 26A B .
（17）满分 15 分.
（Ⅰ）解：如图，以 D 为原点，分别以 DA， DC 为 x 轴， y 轴建立空间直角坐标系，
则 0,0,0D ， 2,0,0A ， 0,2,0C ，
得 0,2,0DC ， 2,0,0DA ， 2,0,2DP
所以 0DC DA ， 0DC DP ，
即 DC DA ， DC DP 又 DA DP D
所以 CD 平面 PAD ；
（Ⅱ）解：由 1,0,1E 可是 1,0,1AE
由 1 2 2 2, ,3 3 3 3PF PC
，可得 4 2 4, ,3 3 3F
，所以 2 2 4, ,3 3 3AF
，
设 , ,m x y z 为平面 AEF 的法向量
则
0
2 2 4 03 3 3
m AE x z
m AF x y z
不妨设 1, 1,1m
设直线 PD与平面 AEF 所成角为
所以 4 6sin cos 33 2 2
m DP
则直线 PD与平面 AEF 所成角的正弦值为 6
3
；
（Ⅲ）因为 0,2,0DC 为平面 PAE 的法向量
设二面角 F AE P 的大小为
所以 2 3cos 33 2
m DC
m DC
,所以 6sin 3
.
则二面角 F AE P 的正弦值为 6
3 .
（18）满分 15 分.
略
（19）满分 15 分.
（Ⅰ）解：由已知可得： 32 2
ca a
，则 3c ， 1b ，
所以椭圆 C 的方程为：
2
2 14
x y ；
（Ⅱ）（i）证明：因为直线 PA ， PB 都存在且不为 0，设 0 0,P x y ，
则 0
0 2PB
yk x
， 0
0 2AP
yk x
，
所以直线 PB 的方程为： 0
0
( 2)2
yy xx
，令 6x ，解得 0
0
8
2
yy x
，则点 N 的坐标为
0
0
86, 2
y
x
.所以直线 AN 的斜率为
0
0
0
0
8
2 2
6 2 2AN
y
x yk x
.
所以直线 AP ， AN 的斜率之积为
2
0
2
0 0 0
2 2
0 0 0 0
2 1 42 2 1
2 2 4 4 2
x
y y y
x x x x
为定值；
（ii）解： M ， B ，Q 三点共线，理由如下：
设直线 AP 的斜率为 k ，易得 ( 6, 4 )M k ，
由（i）可知直线 AN 的斜率为 1
2k
，所以直线 AN 的方程为 1 ( 2)2y xk
，
联立方程 2
2
1 ( 2)2
14
y xk
x y
，消去 x 可是： 2 24 4 8 0k y ky ，
解得 2
2
1Q
ky k
，所以点Q 的坐标为
2
2 2
2 2 2,1 1
k k
k k
，
所以，直线 BQ的斜率为
2
2
2
2 01
2 2 221
k
kk
k
k
，直线 BM 的斜率为 4 0
6 2 2
k k
，
因为直线 BQ的斜率等于直线 BM 的斜率，
所以 M ， B ，Q 三点共线.
（20）满分 16 分.
（1）解： 2xF x e x b ，则 2xF x e .
令 2 0xF x e ，得 ln 2x ，所以 F x 在 ln 2 ， 上单调递增，
令 2 0xF x e ，得 ln 2x ，所以 F x 在 ,ln 2 上单调递减；
（Ⅱ）解：因为 2 1xf x e x .所以 0 0f ，所以l 的方程为 1y .
依题意， 12
a ， 1c .
于是 l 与抛物线 2 2g x x x b 切于点 1,1 ，
由 21 2 1b ，得 2b .
所以 2a ， 2b ， 1c
（Ⅲ）解：设 ( 1)xh x f x g x e a x b ，则 0h x 恒成立.
易得 ( 1)xh x e a .
（1）当 1 0a 时，
因为 0h x ，所以此时 h x 在 , 上单调递增.
①若 1 0a ，则当 0b 时满足条件，此时 1a b ：
②若 1 0a ，取 0 0x 且 0
1
1
bx a
，
此时 0
0 0
1( 1) 1 ( 1) 01
x bh x e a x b a ba
，所以 0h x 不恒成立.
不满足条件：
（2）当 1 0a 时，
令 0h x .得 ln( 1)x a .由 0h x ，得 ln( 1)x a ；
由 0h x .得 ln( 1)x a ；
所以 h x 在 ,ln( 1)a 上单调递减，在 ln( 1),a 上单调递增.
要使得“ ( 1) 0xh x e a x b 恒成立”，
须有：“当 ln( 1)x a 时， max ( 1) ( 1)ln( 1) 0h x a a a b ”成立.
所以 ( 1) ( 1)ln( 1)b a a a .则 2( 1) ( 1)ln( 1) 1a b a a a .
令 2 ln 1G x x x x ， 0x ，则 1 lnG x x .
令 0G x ，得 x e .由 0G x .得 0 x e ；
由 0G x ，得 x e .所以 G x 在 0,e 上单调进增，在 ,e 上单调递减.
所以，当 x e 时， max 1G x e .
从而，当 1a e ， 0b 时 a b 的最大值为 1e .
综上， a b 的最大值为 1e .
微信/支付宝扫码支付