四川省凉山州2021届高三数学（理）5月第三次诊断性试题（Word版附答案）

凉山州 2021 届高中毕业班第三次诊断性检测 数学（理科） 本试卷分选择题和非选择题两部分．第 I 卷（选择题），第Ⅱ卷（非选择题），共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写在答题 卡上，并检查条形码粘贴是否正确． 2．选择题使用 2B 铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔书 写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后，将答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中只有一项 是符合题 目要求的） 1．已知集合   , 1A x y x  ，   , 1B x y y x   ，则 A B  （ ） A． 1,2 B．   1,2 C． 1, D． 1 2．若复数 z 满足 1z i i    ，则 z  （ ） A．1 i B．1 i C． 2i D． 2i 3．直线 1l ： 1 0ax y   ， 2l ： 1 2 1 0a x y    ，则“ 2a  ”是“ 1 2l l ”的（ ） 条件 A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要 4．已知定义在 R 上的函数  f x 满足： x ，y R ，      f x y f x f y   ，且  1 2f  ， 则    0 2f f  （ ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．已知三条不重合的直线 m ， n ，l ，三个不重合的平面 ，  ， ，下列命题中正确的是 （ ） A． //m l m nn l    B． //l nl n     C． //         D． //m n       6．等差数列 na ， nS 为其前 n 项和， e 1 1 1a dxx   ， 6 36S  ，记数列   1 n na 的前 n 项 和为 nT ，则 10 21T T  （ ） A．-11 B．-9 C．-13 D．-7 7．我国古代很早就有对等差数列和等比数列的研究成果．北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》 中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题．现有一物品堆，从上向下数，第 一层有 1 个货物，第二层比第一层多 2 个，第三层比第二层多 3 个，…，以此类推．记第 n 层 货物的个数为 na ，则数列 1 na       的前 2021 项和为（ ） A． 4041 2021 B． 2021 1011 C． 2021 2022 D． 2020 1011 8．定义运算 1 2 1 4 2 3 3 4 a a a a a aa a   ．设   3 cos2 1 sin 2 xf x x     0  ，若  f x 的图像与直 线 2y   相交，且交点中两点间的最短距离为 π ，则满足    f m x f m x   的一个 m 的 值为（ ） A． π 12 B． π 4 C． π 3 D． π 6 9．已知 O 为坐标原点， P 为 C ：    2 21 2x a y    ( 0)a  上的动点，直线 l ： 1 0x y   ，若 P 到l 的最小距离为 2 2 ，则 a 的值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 10．已知曲线C ： 2 22 2 1x y  ，过它的右焦点 F 作直线交曲线C 于 M 、 N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于点 P ，可证明 PF MN 是一个定值 m ，则 m  （ ） A． 2 2 B． 2 C． 3 2 D． 3 11．已知函数   x xf x e  ，记  3log 2a f ，  5log 3b f ， 1lnc f e      ，则（ ） A． a c b  B． a b c  C． c a b  D． c b a  12．已知函数   ln 1x xf x e ax x     ，若曲线  y f x 在点   ,b f b 处与直线 0y  相切， 则 a （ ） A．1 B．0 C．-1 D．-1 或 1 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．若 1 2 n x x     的展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，则展开式中常数项为______．（用 数字作答） 14．樱花如约而至，武汉疫后重生．“相约春天赏樱花”的诺言今年三月在武汉大学履行．武 汉大学邀请去年援鄂的广大医护人员前来赏樱。某医院计划在援鄂的 3 名医生和 5 名护士（包 含甲医生和乙护士）中任选 3 名作为第一批人员前去赏樱，则甲医生被选中且乙护士未被选 中的概率为______． 15．已知抛物线C ： 2 4y x 的焦点为 F ，其准线l 与 x 轴的交点为 K ，点  , P x y  0y  为C 上一点，当 PK PF 最大时，直线 KP 的斜率为______． 16．如图， P 为 ABC△ 内任意一点，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ．总有优美等 式 PBCS PA △ 0PAC PABS PB S PC    △ △ 成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定 理．现有以下命题： （1）若 P 是 ABC△ 的重心，则有 0PA PB PC    ； （2）若 0aPA bPB cPC    成立，则 P 是 ABC△ 的内心； （3）若 2 1 5 5AP AB AC    ，则 : 2:5ABP ABCS S △ △ ； （4）若 P 是 ABC△ 的外心， π 4A  ， PA mPB nPC    ，则 2,1m n    ． 则正确的命题有______． 三、解答题：（解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤．共 70 分） （一）必考题：每题 12 分，共 60 分 17 ． 在 钝 角 ABC△ 中 ， 角 A ， B ， C 所 对 的 边 分 别 是 a ， b ， c ， 且  sin sin 4sin 2C A B A   ． （1）求 b a 的值． （2）若 ABC△ 的外接圆半径为 39 3 ， π 3C  ，求 ABC△ 的面积． 18．某品牌汽车 4S 店对 2020 年该市前几个月的汽车成交量进行统计，用 y 表示 2020 年第 x 月份该店汽车成交量，得到统计表格如下： ix 1 2 3 4 5 6 7 8 iy 14 12 20 20 22 24 30 26 （1）求出 y 关于 x 的线性回归方程 ˆˆ ˆy bx a  ，并预测该店 9 月份的成交量；（ ˆa ， ˆb 精确到 整数） （2）该店为增加业绩，决定针对汽车成交客户开展抽奖活动，若抽中“一等奖”获 5 千元奖 金；抽中“二等奖”获 2 千元奖金；抽中“祝您平安”则没有奖金．已知一次抽奖活动中获 得“二等奖”的概率为 1 3 ，没有获得奖金的概率为 1 6 ．现有甲、乙两个客户参与抽奖活动， 假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额 X （千元）的分布列及数学期望． 参考数据及公式： 8 1 850i i i x y   ， 8 2 1 204i i x        1 2 1 ˆ n i i i n i i x x y y b x x         ， ˆa y bx  ． 19．如图，在圆锥 PO 中， AC 为 O 的直径，点 B 在 AC 上， //OD BC ， π 6CAB  ． （1）证明：平面 PAB  平面 POD ； （2）若直线 PA 与底面所成角的大小为 π 4 ， E 是 PD 上一点，且 OE PD ，求二面角 E AC B  的余弦值． 20．已知椭圆C ： 2 2 2 2 1x y a b    0a b  的两个焦点与短轴的两个顶点围成一个正方形，且  2,1P 在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2） A ， B 是椭圆上异于 P 的两点，设直线 PA ， PB 斜率分别为 1k ， 2k ，点  8,3Q 到直 线 AB 的距离为 d ，若 1 2 1k k  ，求以 d 的最大值为直径的圆的面积． 21．已知函数   3 21 3f x x x ax a    ． （1）若曲线  y f x 在点 0,a 处的切线l 与曲线 2 2 1 2x y  相切，求 a 的值； （2）若函数  f x 的图象与 x 轴有且只有一个交点，求 a 的取值范围． （二）选做题：（共 10 分，请考生在第 22，23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第 一题计分．） 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 0x y 中，曲线 1C 的参数方程为： 2 3 , 1 x t y t     （t 为参数），以坐标原点O 为极 点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 πsin 36       ． （1）求曲线 1C 的极坐标方程和曲线 2C 的直角坐标方程； （2）在极坐标系中，射线 π 6    0  与曲线 1C 交于点 A ，射线 π 3    0  与曲线 2C 交于点 B ，求 AOB△ 的面积． 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 函数   2 1 2 1f x x x     （1）若方程  f x m 无实根，求实数 m 的取值范围； （2）记  f x 的最小值为 n ．若 a ， 0b  ，且5 5 2a b n  ，证明： 4 9 0a b ab   ． 凉山州 2021 届高中毕业班第三次诊断性检测 数学（理科）参考答案及评分意见 评分说明： 1．本解法给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解法不同，可根据试题的主 要 考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变试题的内容及 难度可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分的正确解答应得分数的一 半； 如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3．解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4．只给整数分数，选择题不给中间分。 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1-5．BCBBD 6-10．ABCCA 11-12．DC 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13． 35 8 14． 15 56 15．1 16．①②④ 三、解答题（共 70 分） 17．解：（1）∵  sin sin 4sin 2C A B A   ∴    sin sin 4sin 2A B A B A    即 2cos sin 8sin cosA B A A 又 ABC△ 为钝角三角 ∴ cos 0A  ∴ 2sin 8sinB A 即sin 4sinB A 所以由正弦定理得 4b a ∴ 4b a  （2）由正弦定理得 2 sin 13c R C  又由余弦定理得 2 2 2 2 cosc a b ab C    22 π4 2 4 cos 3a a a a    213 13a  ∴ 1a  ， 4b  ∴ 1 sin 32ABCS ab C △ 18．解：（1）由题意得： 1+2+3+4+5+6+7+8 9=8 2x  14+12+20+20+22+24+30+26 =218y  ∴ 8 1 8 2 2 2 1 98 850 8 21 942 24298 204 8 2 i i i i i x y x y b x x                     ∴ ˆ 12a y b x    所以，回归直线方程为 ˆ 2 12y x  ∴当 9x  时， ˆ 2 9 12=30y    即预计 9 月份的成交量为 30 辆 （2）由题意得：获得“一等奖”的概率为 1 2 所以 X 的可能取值为 0,2,4,5,7,10 ∴   1 1 10 6 6 36P X       1 1 1 1 12 3 6 6 3 9P X         1 1 14 3 3 9P X       1 1 1 1 15 2 6 6 2 6P X         1 1 1 1 17 2 3 3 2 3P X         1 1 110 2 2 4P X     所以 X 的分布列为： X 0 2 4 5 7 10 P 1 36 1 9 1 9 1 6 1 3 1 4 ∴   1 1 1 1 1 1 190 2 4 5 7 1036 9 9 6 3 4 3E X              19．解：（1）∵在圆锥 PO 中， PO  平面 ABC ∴ PO AB 又 AC 为 O 的直径且点 B 在 AC 上 ∴ AB BC ∵ //OD BC ∴ AB OD 而 PO OD O  ∴ AB  平面 POD 又 AB  平面 PAB 平面 PAB  平面 POD （2）设 4AC  ，因为直线 PA 与底面所成角的大小为 π 4 ∴ 2PO AO  又 π 6CAB  ∴ 2BC  ， 2 3AB  建立如图所示的空间直角坐标系，则  0,0,0D ，  0, 3,0A ，  2, 3,0C  ，  1,0,2P 又 E 是 PD 上一点，且OE PD ∴ 1 2,0,5 5E      ∴  2, 2 3,0AC   ， 1 2, 3,5 5EA        设平面 EAC 的法向量  , ,m x y z 则 0 0 m AC m EA          即 2 2 3 y 0 1 23 y 05 5 x x z       ∴  3,1,2 3m  又平面 ABC 的法向量  0,0,1n  ∴ 3cos , 2 m nm n m n        所以二面角 E AC B  的余弦值为 3 2 20．解：（1）由题意知 b c ， 2a b ∴设椭圆的方程为 2 2 2 2 12 x y b b    0b  ∵点  2,1P 在椭圆上， ∴ 2 2 4 1 12b b   ， 2 3b  ， ∴椭圆方程为 2 2 16 3 x y  （2）当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y kx m  ，  1 2,A x y ，  2 2,B x y 由 2 2 16 3 y kx m x y     ，得 2 2 22 1 4 2 6 0k x kmx m     ，  2 28 6 3k m    1 2 2 4 2 1 kmx x k     ， 2 1 2 2 2 6 2 1 mx x k    ∵直线 PA 、 PB 的斜率分别为 1k ， 2k ，且 1 2 1k k  ∴ 1 2 1 2 1 1 12 2 y y x x     ，即    1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 0y x x y x x y y x x       ∴    1 2 1 22 1 1 2 4 0k x x m k x x m       ∴    2 2 2 2 6 42 1 1 2 4 02 1 2 1 m kmk m k mk k          ∴  3 2 1 0m k m    ， ∴ 3m   或 1 2m k  当 1 2m k  时，直线 AB 的方程为  2 1y k x   恒过  2,1P ，不合题意 当 3m   时，由  28 6 6 0k    ，得 1k  或 1k   当直线 AB 的斜率不存在，直线 AB 过  0, 3C  时，不妨设  0, 3A  ，  0, 3B 1 2 1 3 1 3 12 2k k      ∴当直线 AB 恒过定点过  0, 3C  ，则  8,3Q 到直线 AB 的距离为 10d QC  ，当 AB CD 时等号成立，此时， 1 4 13CD k k       ∴以 d 的最大值为直径的圆的面积 210 π 25π2S      法二：设直线 AB 的方程为    2 1 1m x n y    椭圆方程为       2 22 2 1 4 2 4 1x y x y       即                2 22 2 1 4 2 2 1 4 1 2 1 0x y x m x n y y m x n y                    ∴         2 21 4 2 2 4 1 4 2 1 0m x n y m n x y          ∴    21 12 4 4 4 1 02 2 y yn m n mx x                  即   22 4 4 4 1 0n k m n k m      由 1 2 1k k  ，得 1 2 4 4 12 4 m nk k n     ， 2 1 4 mn   ∴直线 AB 的方程为  2 2 3 3 0m x y y     ∴直线 AB 恒过定点过  0, 3C  法三：设直线 PA 、 PB 的方程，求出 A 、 B 坐标，从而证明直线 AB 过定点 0, 3 法四：设  1 2,A x y ，  2 2,B x y ，则直线 AB 的两点式方程为    1 2 2 1 1 2 2 1x y x y x x y y y     …* 1 1 1 1 1 21 2 2 1PA y xk x y       ， 2 2 2 2 1 21 2 2 1PB y xk x y       由 1 2 1k k  ，得 1 2 1 2 2 1 2 1 1 21 12 2 1 1 21 12 2 1 y x x y y x x y               即             1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 2 2 2 2 1 2 4 2 2 2 y y y y x x x x x y x y y y y y x x x x x y x y                              由以上两式相减，得  1 2 2 1 1 23x y x y x x    与*式对比， 得直线 AB 恒过定点过  0 3C ， 21．解：（1）   2 2f x x x a    ∴  0f a  ∴在  0,a 处的切线方程为： 0ax y a   ∴切线l 与 2 2 1x y  相切， ∴ 2 2 21 a a   即： 2 1a  ， 1a   （2）由   2 2f x x x a    ， i．当 4 4 0a    ，即 1a  时   0f x  恒成立，  y f x 在 R 上为单调递增，满足  f x 与 x 轴有且只有一个交点。 ii．当 4 4 0a    即 1a  ，   0f x  有两个不同实根，设两根为 1x ， 2x 且 1 2x x 则 1 2 2x x   ， 1 2x x a  ① 由   0f x  得 2x x 或 1x x ，   0f x  得 1 2x x x  ∴  f x 在 1, x ， 2,x  为增函数，在 1 2,x x 为减函数．  y f x 与 x 轴有且只有一个交点等价于    1 2 0f x f x  又∴   2 1 1 12 0f x x x a     ∴ 2 1 12x a x      3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 23 3 xf x x x ax a a x a x ax a               2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 22 2 2 13 3 3 3 3 x a ax a x x a a x                         同理，    2 2 2 13f x a a x     ∴        1 2 1 2 4 1 19f x f x a a x a a x                2 1 2 2 1 214 19 a a a x xa x x       由①式得 ∴     2 2 1 2 4 2 ( 1) ( 1)9f x f x a a a a a         24 3 3 09 a a a     1a  ∴ 0 1a  综上所述，  f x 与 x 轴有且只有一个交点 a 的取值范围为 0, 22．解：（1）由题意得：   2 2 2 2 3 1 0y x t t y       ∴ 2 2 13 x y   0y  ∴ 2 2 2 2cos 3 sin 3 0      即 2 2 22 sin 3 0     化简为：  2 2 cos2 3 0    ，  0,π  ∴ 1C 的极坐标方程为：  2 2 cos2 3 0    ，  0,π  由 πsin 36       得： 3 1sin cos 32 2         ∴ 3 1 3 02 2y x   即：3 3 6 0y x   ∴ 2C 的直角坐标方程为：3 3 6 0y x   （2）由  2 π 6 2 cos2 3 0         得： 2  ∴ π2, 6A     由 3 sin π π 36             得： = 3 ∴ π3, 3B     1 π πsin2 3 6AOB A BS        △ 1 π2 3sin2 6   6 4  23．解：（1）   13 4, 2 12 1 2 1 2, 22 3 3, 2 x x f x x x x x x x                 由函数图象可知  min 1 5 2 2f x f      ，要使得  f x m 无实数根，则 5 2m  ∴实数 m 的取值范围为 5 2     ， （2）解一：由（1）可知 5 2n  ∴ 5 5 5a b  ， 1a b  ，即 1b a  由 0 1 0 a a     ，得 0 1a  ∴     24 9 4 1 9 1 9 12 4a b ab a a a a a a          ∴ 22 24 9 9 12 4 03 3a b ab            ，当 2 3a  时，等号成立 ∴ 4 9 0a b ab   解二：由（1）可知 5 2n  ∴ 5 5 5a b  ， 1a b  ∴    2 24 4 5 4 4 5 9a b a b a b a ab b ab ab ab          当 2a b ，即 2 3a  ， 1 3b  等号成立．