四川省眉山市2021届高三数学（理）5月第三次诊断性试题（Word版附答案）

眉山市高中 2021 届第三次诊断性考试 数学（理工类） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.复数 2 3i 2i   （ ） A. 3 i2   B. 3 +i2  C. 3 i2  D. 3 i2  2.某校高三（1）班有 50 名学生，春季运动会上，有 15 名学生参加了田赛项目，有 20 名学生 参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有 8 名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参 加的人数为（ ） A.27B.23C.15D.7 3.在 ABC△ 中，“ A B ”是“sin sinA B ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4.某部门为了解某平台“直播带货”商品销售反馈情况，随机抽取了 A ， B ，C ， D ， E ， F ，G ，H 这 8 类商品，收集了这几类商品分别在新规实施前后的消费者评价得分，绘制成 右图所示的雷达图.根据统计图判断，下面的叙述一定不正确的是（ ） A.新规实施后， D 类商品的评价得分提升幅度最大 B.新规实施后， H ， F 类商品的评价得分低于新规实施前 C.这 8 类商品评价得分的平均分高于新规实施前的平均分 D.有 7 类商品的评价得分高于新规实施前 5.直线 l 经过圆 2 2: 2 2 1 0C x y x y     的圆心 C ，且倾斜角为 3  ，则直线 l 的方程为 （ ） A. 3 3 1 0x y    B. 3 3 1 0x y    C. 3 3 3 3 0x y    D. 3 3 3 3 0x y    6.某四棱台的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为（ ） A. 44 12 3 B. 40 12 5 C. 40 12 3 D. 44 12 5 7.已知函数 ( ) sin 4 6f x x      ，若将 ( )f x 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，然后 向右平移 ( 0)   个单位长度，得到函数 ( )g x 的图象，且函数 ( )g x 的图象关于 y 轴对称， 则 的最小值是（ ） A. 3  B. 6  C. 12  D. 24  8.如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”平面模型，图中正方形 ABCD 内 部为“赵爽弦图”（由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成）， ABE△ ， BCF△ ， CDG△ ， DAH△ 这 4 个角形和“赵爽弦图” ABCD 涂色，且相邻区域（即图中有公共点 的区域）不同色，已知有 4 种不同的颜色可供选择.则不同的涂色方法种数是（ ） A.48 B.54 C.72 D.108 9.已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)y xC a ba b     ，给出以下条件： ①实轴长为 3；②过点 16 , 53     ；③渐近线方程为3 4 0x y  ；④离心率为 5 4 . 上述条件中，使双曲线 C 的方程为 2 2 9 116 y x  的所有条件是（ ） A.②B.①③ C.②③ D.②③④ 10.2021 年 3 月 20 日，“沉睡三千年，一醒惊天下”的三星堆遗址向世人展示了其重大考古新 发现——6 个三星堆文化“祭祀坑”现已出土 500 余件重要文物.为推测文物年代，考古学者 通常用碳 14 测年法推算，碳 14 测年法是根据碳 14 的衰变程度来计算出样品的大概年代的一 种测量方法.2021 年，考古专家对某次考古的文物样本上提取的遗存材料进行碳 14 年代测定， 检测出碳 14 的残留量约为初始量的 68%，已知碳 14 的半衰期（放射性物质质量衰减一半所 用的时间）是 5730 年，且属于指数型衰减.以此推算出该文物大致年代是（参考数据： 5730 0.5log 10 19034.7  ， 5730 0.5log 68 34881  ）（ ） A.公元前 1400 年到公元前 1300 年 B.公元前 1300 年到公元前 11200 年 C.公元前 1200 年到公元前 1100 年 D.公元前 1100 年到公元前 1000 年 11.阿波罗尼奥斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他姓名命名的阿氏圆是指 平面内到两定点的距离的比值为常数 ( 0, 1)    的动点的轨迹.已知在 ABC△ 中，角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且sin 2sinA B ， cos cos 3a B b A  ，则 ABC△ 面 积的最大值为（ ） A.3 B.3 3 C.6 D. 6 3 12.若函数 2 1( ) e ln2 xf x x ax a x   有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A. (0,e) B. (0,2e) C. ( , )e  D. (2e, ) 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知向量 ( ,1)a t ， (1,2)b  ，且 2a b   ，则实数 t  ______. 14.计算 cos20 3sin 20 sin10     ______. 15.中国古代数学家刘徽所注释的《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖 臑”.如图所示的鳖臑 ABCD 中， AB  面 BCD，CD BC ，若 1CD  ， 5AC  ，且顶 点 A ， B ，C ， D 均在球O 上，则球 O 的表面积为______. 16.已知 F 是抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的焦点， A 是 C 的准线上一点，面积为 4 3 的等边 AFB△ 的顶点 B 恰在抛物线 C 上，若直线 BF 与抛物线 C 的另一个公共点为 D ，则 BD  ______. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17~21 题为 必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生依据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.（本小题满分 12 分） 已知数列 na 的前 n 项和 nS 满足  21n n na S S   . （1）证明：数列 1 1nS      为等差数列； （2）求数列 na 的通项公式. 18.（本小题满分 12 分） 某城市为改善保障性租赁住房的品质，对保障性租赁住房进行调研，随机抽取了 200 名保障 性租赁住房的租赁人进行问卷调查，并对租赁房屋的品质进行满意度测评，收集整理得到如 下 2×2 列联表： 30 岁及以下 30 岁以上 小计 满意 60 110 不满意 30 小计 （1）完成上述列联表；通过计算判断是否有 90%的把握认为租赁人对保障性租赁住房品质的 满意程度与年龄段（“30 岁及以下”和“30 岁以上”）有关系? （2）现从满意度评分为“不满意”的人中按照表中年龄段分层抽取了 6 名租赁人进行座谈. 若从这 6 人中随机抽取 3 人给予一定的租赁优惠，记“所抽取的 3 人中年龄在 30 岁及以下” 的人数为 ，求 的分布列和数学期望. 附表及公式： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d       2 0P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19.（本小题满分 12 分） 如图 1 是由正方形 1 1ACC A 和长方形 1 1BCC B 组成的平面图形，且 2 4AC BC  ，D ，E 分 别是 1 1AC ， BC 的中点.将其沿 1CC 折起，使得二面角 1A CC B  的平面角大小为 60°，如 图 2.在图 2 中， （1）判断直线 1C E 与平面 ABD 的位置关系，并证明你的结论； （2）求直线 BC 与平面 ABD 所成角的正弦值. 20.（本小题满分 12 分） 已知O 为坐标原点，A ，B 分别为椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的右顶点和上顶点， AOB△ 的面积为 1.设 M ， N 是椭圆 C 上的两个动点，且 OM ON ，当 OM ON 时， 4 5 5MN  . （1）求 a ，b 的值； （2）过O 作线段 MN 的垂线，垂足为 H ，求 HA HB  的取值范围. 21.（本小题满分 12 分） 已知 2( ) e cosxf x x ax x    ，其中 0a  . （1）当 1a  时，求 ( )f x 的极值； （2）若 ( ) ( 1)f x a x  ，求 a 的值. （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题记分. 22.[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知射线 : 3 ( 0)l y x x  ，曲线 2 1 2 4 ,1: 4 1 tx tC y t       （t 为参数）. 以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 8sin  . （1）写出射线l 的极坐标方程以及曲线 1C 的普通方程； （2）设射线l 与 1C 交于点 M ，与 2C 交于O ， N ，求 MN 的值. 23.[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知 3( ) 1 22f x x x    . （1）解不等式 7( ) 2f x x  ； （2）令 ( )f x 的最小值为 M ，正数 a ，b 满足 2a b M  ，求证： 2 2 2 17 4a b ab   . 数学（理工类）参考答案 1.A 2.B 3.C 4.D 5.B 6.D 7.B 8.C 9.C 10.C 11.A 12.D 13.2 或 0 14.2 15.6 16.16 3 17.解析：（1）证明：当 1n  时，由  21n n na S S   得 1 1 1 2a S  当 2n  时，由  21n n na S S   有   2 1 1n n n nS S S S    ， 所以 12 1n n nS S S   ，即 1 2 1n n n SS S  ， 所以 1 11 n n n SS S   ，即 1 1 111 1 1 n n n n S S S S      ， 所以 1 1 1 11 1n nS S      ，又 1 1 21S   . 所以数列 1 1nS      是以-2 为首项，-1 为公差的等差数列. （2）由（1）知 1 2 ( 1) ( 1)1n nS       ， 所以 1n nS n   . 当 2n  时， 1 1 1 1 ( 1)n n n n na S S n n n n       . 当 1n  时， 1 1 2a  也满足 1 ( 1)na n n   . 所以数列 na 的通项公式为 1 ( 1)na n n   . 18.解析：（1）列联表如下： 30 岁及以下 30 岁以上 小计 满意 60 50 110 不满意 60 30 90 小计 120 80 200 由题得 2 2 200(60 30 60 50) 100 3.0303 2.706110 90 80 120 33K         所以，有 90%的把握认为租赁人对保障性租赁住房品质的满意程度与年龄段有关系. （2）所抽取的 6 人中，30 岁及以下有 4 人，30 岁以上有 2 人. 可知 的可能值为 1，2，3， 1 2 4 2 3 6 1( 1) 5 C CP C     ， 2 1 4 2 3 6 3( 2) 5 C CP C     ， 3 0 4 2 3 6 4 1( 3) 20 5 C CP C       的分布列为  1 2 3 P 1 5 3 5 1 5 所以， 数学期望 1 3 11 2 3 25 5 5E        . 19.解析：（1） 1 //C E 平面 ABD . 取 AB 的中点 N ，连接 EN ， DN ，则 1 1 2NE AC C D  . 而 1// //NE AC C D ，故 1ENDC 为平行四边形，从而 1 //C E DN . 而 DN  平面 ABD ， 1C E 平面 ABD ， 所以 1 //C E 平面 ABD . （2）由题意，二面角 1A CC B  的平面角为 ACB ， 所以 60ACB  . 而 4AC  ， 2CB  ， 在 ABC△ 中，由余弦定理得 2 3AB  ，从而 AB BC . 在图 2 中，根据线面垂直的判定定理可知 1BB  面 ABC ， 于是 BA ， BC ， 1BB 两两相互垂直. 故可以 B 为原点， BC 为 x 轴， BA 为 y 轴， 1BB 为 z 轴建立如图的空间直角坐标系. 由上可得，相关点的坐标分别为 (0,0,0)B ，  0,2 3,0A ，  1, 3,4D ， (2,0,0)C . 从而  0,2 3,0BA  ，  1, 3,4BD  ， (2,0,0)BC  . 设面 ABD 的法向量为 ( , , )n x y z ， 则 0, 0, n BA n BD          即 2 3 0, 3 4 0. y x y z      故可取 (4,0, 1)n   . 记直线 BC 与平面 ABD 所成的角为 ， 则 | | 4 4 17sin | cos , | 17| | | | 17 n BCn BC n BC              . 所以直线 BC 与平面 ABD 所成角的正弦值为 4 17 17 . 20.解析：（1）因为 OAB△ 的面积为 1，所以 2ab  . 由对称性，当OM ON ， OM ON 时， M ， N 在直线 y x  上， 而 4 5 5MN  ，故不妨取 2 2, 5 5 M      . 代入 2 2 2 2 1x y a b   得 2 2 4 4 15 5a b   ， 解得 2a  ， 1b  . （2）设  1 1,M x y ，  2 2,N x y ， 当直线 MN 的斜率存在时，设直线 :MN y kx m  . 由 2 2 14 y kx m x y     得 2 2 21 4 8 4 4 0k x kmx m     ， 所以 1 2 2 8 1 4 kmx x k     ， 2 1 2 2 4 4 1 4 mx x k   . 由OM ON ，得   1 2 1 2 1 2 1 2 0x x y y x x kx m kx m      ， 代入整理得 2 25 4 4m k  . 所以原点到直线的距离 2 2 2 22 | | 4 1 51 m mOH kk        ， 故点 H 在圆 2 2 4: 5O x y  运动. 当直线 MN 的斜率不存在时，由（1）知，点 H 仍在圆 2 2 4: 5O x y  上运动. 记线段 AB 的中点为 D ，则 5 2OD  . 注意到直线 AB 与圆 2 2 4: 5O x y  相切， 则 2 2 2 5( ) ( ) 4HA HB HD DA HD DA HD AD HD              ， 而 5 5 2 5 9 5 10 2 5 10OD OH DH OD OH        ， 故 2 5 6 14,4 5 5HD       . 21.解析：（1）由题 2( ) e cosxf x x x x    ，则 ( ) e sin 2 1xf x x x     ， 令 ( ) e sin 2 1xu x x x    ，则 ( ) e cos 2xu x x    ， 因为 ( ) e cos 2 e 1 0x xu x x       ， 所以函数 ( )u x 也即是 ( )f x 为 R 上的增函数， 又 (0) 0f   ， 则 0x  时， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递减； 0x  时， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递增. 所以当 0x  时， ( )f x 取极小值 (0) 0f  ，无极大值. （2）令 2( ) ( ) ( 1) e cosxF x f x a x x ax ax       ， 则 ( ) e sin 2xF x x ax a     ，且 (0) 0F  ， 由 (0) 1 0F a    得 1a  . ①当 1a  时， 2( ) e cos ( )xF x x x x f x     ， 由（1）知 ( )f x 的极小值为 0，则   0f x  ， 即   0F x  ，符合题意. 令 ( ) ( )g x F x ，则 ( ) e cos 2xg x x a    ， ②当 1a  时， ( ) e cos 2 e 1 0x xg x x       ， 所以函数 ( )g x 即 ( )F x 为 R 上的增函数， 又 (0) 1 0F a    ， (1) e sin1 0F a     ， 所以存在 0 (0,1)x  ，使得  0 0F x  ， 则  00,x x 时，  0( ) 0F x F x   ， ( )F x 为减函数， 所以当  00,x x 时， ( ) (0) 0F x F  ，不符合题意，舍去. ③当 0 1a  时， ( ) e cos 2xg x x a    为 ( 1,0) 上的增函数， 则 1( ) cos( 1) 2 0eg x a      ， 所以 ( )g x 也即 ( )F x 为 ( 1,0) 上的增函数， 又 (0) 1 0F a    ， 1 1 1( 1) sin( 1) 3 3 0e e 2F a a          ， 故存在 0 ( 1,0)x   ，使得  0 0F x  ， 则  0 ,0x x 时， ( ) 0F x  ， ( )F x 为增函数， 所以  0 ,0x x 时， ( ) (0) 0F x F  ，不符合题意，舍去 ④当 0a  时， 由于 1 1( 1) cos( 1) 2 cos 2 0e e 3F a a         ，不符合题意，舍去. 综上所述， a 的值为 1. 22 解析：（1）射线 : 3 ( 0)l y x x  ，化为极坐标方程为： ( 0)3    曲线 2 1 2 4 ,1: 4 1 tx tC y t       化为普通方程得 2 2( 2) 4( 0)x y y    . （2）曲线 1C 的方程化为极坐标方程为 4sin ( 0)    ， 因为射线l 与 1C 交于 M ，与 2C 交于 O ， N ， 所以 1 2 4sin 8sin 2 33 3MN        . 23.解析：（1）当 3 2x   时，当 3 1 7( ) 2 1 32 2 2f x x x x x          ， 得 32 2x    ； 当 3 1 2 2x   时， 3 5 7( ) 2 12 2 2f x x x x x         ， 得 3 1 2 2x   ； 当 1 2x  时， 3 1 7( ) 2 1 32 2 2f x x x x x        ， 得 1 3 2 4x  ， 综上，原不等式的解集为 32 4x x       . （2）由（1）可知， 当 3 2x   时， 1( ) 3 42f x x    ； 当 3 1 2 2x   时， 5( ) 22f x x    ； 当 1 2x  时， 1( ) 3 22f x x   . 故 ( )f x 的最小值 2M  ，则 2 2a b  . 于是 2 2 2 2a b ab   ， 则 10 2ab  ，当且仅当 1a  ， 1 2b  时取“=” 下面证明不等式 2 2 2 17 4a b ab   方法 1：令 t ab ， 2 2 22 2a b tab t    ， 2 2( )u x t t   ， 10 2t   3 2 2 2 12( ) 2 t u x t t t     ，当 10 2t  时， ( ) 0u x  ， ( )u x 单调递减. 故当 1 2t  时， 1 2t  取最小值 min 1 17( ) 2 4u x u     ， 所以， 2 2 2 17 4a b ab   ，当且仅当 1a  ， 1 2b  时取“=” 方法 2： 2 2 2 22 1 1 7 8 8 4a b a bab ab ab ab      2 23 1 1 73 8 8 4a b ab ab ab     3 7 4 4ab   3 7 1724 4 4     . 当且仅当 1 2ab  即 1a  ， 1 2b  时取“=” 所以， 2 2 2 17 4a b ab   .