江西省南昌市2021届高三数学（理）5月第三次模拟试题（Word版附答案）

NCS20210607 项目第三次模拟测试卷 理科数学 本试卷共 4 页，23 小题，满分 150 分．考试时间 120 分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴 好条形码． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信 息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案． 3．非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位 置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液 不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回， 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集为 R，已知集合    ln 0 , xA x x B x e e    ，则  A B R ð （ ） A. R B. [1, ) C. [0, ) D. (0, ) 2. 若复数 z 满足 (1 )( 2) 2i z i   ，则 z  （ ） A. 3 i B. 3 i C. 3 i  D. 3 i  3. 己知自由落体运动的速度 v gt ，则自由落体运动从 0st  到 2st  所走过的路程为 （ ） A. g B. 2g C. 4g D. 8g 4. 若函数 2log , 0( ) 4sin , 0 x xf x x x    ，则 5 4f f         （ ） A. 1 2  B. 1 2 C. 1 D. 3 2 5. 已知公差不为 0 的等差数列 na 满足 2 2 2 2 5 6 7 8a a a a   ，则（ ） A. 6 0a  B. 7 0a  C. 12 0S  D. 13 0S  6. 若变量 x，y 满足 2 0 2 0 4 x y x y y          ，则目标函数 2z x y  的最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. 10 D. 4 7. 随机变量 X 服从正态分布，有下列四个命题： ① ( ) 0.5P X k  ；② ( ) 0.5P X k  ； ③ ( 1) ( 2)P X k P X k     ；④ ( 1 ) ( 1 2)P k X k P k X k        ． 若只有一个假命题，则该假命题是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 8. 将方程 ( ) ( )f x f x 的实数根称为函数 ( )f x 的“新驻点”．记函数 ( ) , ( ) lnxf x e x g x x   ， ( ) sin , 0, 2h x x x      的“新驻点”分别为 a，b，c，则（ ） A. c a b  B. c b a  C. a c b  D. a b c  9. 平安夜苹果创意礼品盒，如图 1 所示，它的形状可视为一个十面体，其中上下底面为全等 的正方形，八个侧面是全等的等腰三角形如图 2，底面正方形 ABCD 的边长为 2，上底面 EFGH 与下底面 ABCD 之间的距离为 2 1 ，则该几何体的侧面积为（ ） A. 6 6 B. 8 6 C. 16 2 D. 12 2 10. 如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心 F 为圆心的圆 形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在 P 点处变轨进以 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最 后在 Q 点处变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为 R，圆形 轨道Ⅲ的半径为 r，则下列结论中正确的序号为（ ） ①轨道Ⅱ的焦距为 R r ；②若 R 不变，r 越大，轨道Ⅱ的短轴长越小； ③轨道Ⅱ的长轴长为 R r ；④若 r 不变，R 越大，轨道Ⅱ的离心率越大． A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 11. 已知函数 ( ) sin 3cosf x x x  与直线 (0 2)y a a   在第一象限的交点横坐标从小 到大依次分别为 1 2, , , ,nx x x  ，则  1 2 32 3f x x x   （ ） A. 1 B. 0 C. 1 D. 3 12. 已知直线 : 4 0l x y   与 x 轴相交于点 A，过直线 l 上的动点 P 作圆 2 2 4x y  的两条 切线，切点分别为 C，D 两点，记 M 是CD 的中点，则 AM 的最小值为（ ） A. 2 2 B. 3 2 C. 17 D. 3 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 已知单位向量 1 2,e e   ，若 1 2 1e e   ，则 1 2e e    _________． 14. 等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 6 39S S ， 3 3S a ，则   ________． 15. 设双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的左、右焦点分别为 1 2( ,0), ( ,0)F c F c ，圆 2 2 2( ) 4x c y c   与双曲线 C 在第一象限的交点为 A，若 1AF 与双曲线 C 的一条渐近线 l 垂 直，则 l 的方程为________． 16. 球面几何学是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等面都有广泛的应用，如 图，A，B，C 是球面上不同的大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这 三个点中任意两点的大圆的劣弧分别为   , ,AB BC CA ，由这三条劣弧围成的图形称为球面 ABC ．已知地球半径为 R，北极为点 N，P，Q 是地球表面上的两点若 P，Q 在赤道上，且 2PQ R ，则球面 NPQ△ 的面积为________；若 2 6 3NP PQ QN R   ，则球面 NPQ△ 的面积为________． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答；第 22、23 题为选考题，考生根据要求作 答． （一）必考题：共 60 分． 17. 如图，在梯形 ABCD 中， / / , 135 , 5 10AB CD BCD BD CD     ． （1）求sin CBD 的值； （2）若 ABD△ 的面积为 4，求 AD 的长． 18. 如图，在四棱锥 P ABCD 中，BC  平面 PAB ， //AB CD ，若 2DC DP  ， 2BC  ， 1AP  ， 3AB  ． （1）求证： AP AB ； （2）求直线 PC 与平面 ADP 所成的角的正弦值． 19. 已知抛物线 2: 4C x y ，过点 (1, 2)P  作斜率为 ( 0)k k  的直线 l 与抛物线 C 相交于 A， B 两点． （1）求 k 的取值范围； （2）记 P 点关于 x 轴的对称点为 Q 点，若 QAB 的面积为 16，求直线 l 的方程． 20. 高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若 干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有 一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰 撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图 1 所示的高尔顿板 有 7 层小木块，小球从通道口落下，第一次与第 2 层中间的小木块碰撞，以 1 2 的概率向左或 向右滚下，依次经过 6 次与小木块碰撞，最后掉入编号为 1，2，…，7 的球槽内.例如小球要 掉入 3 号球槽，则在 6 次碰撞中有 2 次向右 4 次向左滚下. （1）如图 1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入 5 号球槽的概率； （2）小红､小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖” 活动.小红使用图 1 所示的高尔顿板，付费 6 元可以玩一次游戏，小球掉入 m 号球槽得到的奖 金为 元，其中 |16 4 |m   .小明改进了高尔顿板(如图 2)，首先将小木块减少成 5 层，然后 使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有 1 3 的概率向左， 2 3 的概率向右滚下，最后掉入编 号为 1，2，……，5 的球槽内，改进高尔顿板后只需付费 4 元就可以玩一次游戏，小球掉入 n 号球槽得到的奖金为 元，其中 2( 4)n   .两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参 加了游戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由. 21. 已知定义在实数集 R 上的偶函数 ( )f x 的最小值为 3，且当 0x  时， ( ) 3 xf x e a  ，其 中 e 是自然对数的底数． （1）求函数 ( )f x 的解析式； （2）求最大的整数 ( 1)m m  ，使得存在t R ，只要 [1, ]x m ，就有 ( ) 3f x t ex  ． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则 按所做的第一题计分． 选修 4-4：坐标系与参数方程 22. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为： 1 2cos 2sin x y       （ 为参数），以坐 标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为：  0 0 [0, ),      R ． （1）求曲线 1C 的极坐标方程； （2）设 A，B 是曲线 1C 、 2C 的公共点，若 1 1 4 3OA OB   ，求曲线 2C 的直角坐标方程． 选修 4-5：不等式选讲 23. 已知函数 ( ) 3 2 1f x x x    ． （1）求 ( )f x 的最小值 m； （2）己知 0, 0a b  ，若 2a b m  时，正常数 t 使得 ta ab 的最大值为 2，求 t 的值． NCS20210607 项目第三次模拟测试卷 理科数学 答案版 本试卷共 4 页，23 小题，满分 150 分．考试时间 120 分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴 好条形码． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信 息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案． 3．非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位 置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液 不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回， 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集为 R，已知集合    ln 0 , xA x x B x e e    ，则  A B R ð （ ） A. R B. [1, ) C. [0, ) D. (0, ) 【答案】D 2. 若复数 z 满足 (1 )( 2) 2i z i   ，则 z  （ ） A. 3 i B. 3 i C. 3 i  D. 3 i  【答案】B 3. 己知自由落体运动的速度 v gt ，则自由落体运动从 0st  到 2st  所走过的路程为 （ ） A. g B. 2g C. 4g D. 8g 【答案】B 4. 若函数 2log , 0( ) 4sin , 0 x xf x x x    ，则 5 4f f         （ ） A. 1 2  B. 1 2 C. 1 D. 3 2 【答案】D 5. 已知公差不为 0 的等差数列 na 满足 2 2 2 2 5 6 7 8a a a a   ，则（ ） A. 6 0a  B. 7 0a  C. 12 0S  D. 13 0S  【答案】C 6. 若变量 x，y 满足 2 0 2 0 4 x y x y y          ，则目标函数 2z x y  的最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. 10 D. 4 【答案】A 7. 随机变量 X 服从正态分布，有下列四个命题： ① ( ) 0.5P X k  ；② ( ) 0.5P X k  ； ③ ( 1) ( 2)P X k P X k     ；④ ( 1 ) ( 1 2)P k X k P k X k        ． 若只有一个假命题，则该假命题是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 8. 将方程 ( ) ( )f x f x 的实数根称为函数 ( )f x 的“新驻点”．记函数 ( ) , ( ) lnxf x e x g x x   ， ( ) sin , 0, 2h x x x      的“新驻点”分别为 a，b，c，则（ ） A. c a b  B. c b a  C. a c b  D. a b c  【答案】A 9. 平安夜苹果创意礼品盒，如图 1 所示，它的形状可视为一个十面体，其中上下底面为全等 的正方形，八个侧面是全等的等腰三角形如图 2，底面正方形 ABCD 的边长为 2，上底面 EFGH 与下底面 ABCD 之间的距离为 2 1 ，则该几何体的侧面积为（ ） A. 6 6 B. 8 6 C. 16 2 D. 12 2 【答案】B 10. 如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心 F 为圆心的圆 形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在 P 点处变轨进以 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最 后在 Q 点处变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为 R，圆形 轨道Ⅲ的半径为 r，则下列结论中正确的序号为（ ） ①轨道Ⅱ的焦距为 R r ；②若 R 不变，r 越大，轨道Ⅱ的短轴长越小； ③轨道Ⅱ的长轴长为 R r ；④若 r 不变，R 越大，轨道Ⅱ的离心率越大． A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 11. 已知函数 ( ) sin 3cosf x x x  与直线 (0 2)y a a   在第一象限的交点横坐标从小 到大依次分别为 1 2, , , ,nx x x  ，则  1 2 32 3f x x x   （ ） A. 1 B. 0 C. 1 D. 3 【答案】D 12. 已知直线 : 4 0l x y   与 x 轴相交于点 A，过直线 l 上的动点 P 作圆 2 2 4x y  的两条 切线，切点分别为 C，D 两点，记 M 是CD 的中点，则 AM 的最小值为（ ） A. 2 2 B. 3 2 C. 17 D. 3 【答案】A 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 已知单位向量 1 2,e e   ，若 1 2 1e e   ，则 1 2e e    _________． 【答案】 3 14. 等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 6 39S S ， 3 3S a ，则   ________． 【答案】 7 4 15. 设双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的左、右焦点分别为 1 2( ,0), ( ,0)F c F c ，圆 2 2 2( ) 4x c y c   与双曲线 C 在第一象限的交点为 A，若 1AF 与双曲线 C 的一条渐近线 l 垂 直，则 l 的方程为________． 【答案】 4 3 0x y  16. 球面几何学是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等面都有广泛的应用，如 图，A，B，C 是球面上不同的大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这 三个点中任意两点的大圆的劣弧分别为   , ,AB BC CA ，由这三条劣弧围成的图形称为球面 ABC ．已知地球半径为 R，北极为点 N，P，Q 是地球表面上的两点若 P，Q 在赤道上，且 2PQ R ，则球面 NPQ△ 的面积为________；若 2 6 3NP PQ QN R   ，则球面 NPQ△ 的面积为________． 【答案】 (1). 21 2 R (2). 2R 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答；第 22、23 题为选考题，考生根据要求作 答． （一）必考题：共 60 分． 17. 如图，在梯形 ABCD 中， / / , 135 , 5 10AB CD BCD BD CD     ． （1）求sin CBD 的值； （2）若 ABD△ 的面积为 4，求 AD 的长． 【答案】（1） 10sin 10CBD  ；（2） 10AD  ． 18. 如图，在四棱锥 P ABCD 中，BC  平面 PAB ， //AB CD ，若 2DC DP  ， 2BC  ， 1AP  ， 3AB  ． （1）求证： AP AB ； （2）求直线 PC 与平面 ADP 所成的角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 2 3 ． 19. 已知抛物线 2: 4C x y ，过点 (1, 2)P  作斜率为 ( 0)k k  的直线 l 与抛物线 C 相交于 A， B 两点． （1）求 k 的取值范围； （2）记 P 点关于 x 轴的对称点为 Q 点，若 QAB 的面积为 16，求直线 l 的方程． 【答案】（1） (2, ) ；（2）3 5 0x y   ． 20. 高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若 干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有 一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰 撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图 1 所示的高尔顿板 有 7 层小木块，小球从通道口落下，第一次与第 2 层中间的小木块碰撞，以 1 2 的概率向左或 向右滚下，依次经过 6 次与小木块碰撞，最后掉入编号为 1，2，…，7 的球槽内.例如小球要 掉入 3 号球槽，则在 6 次碰撞中有 2 次向右 4 次向左滚下. （1）如图 1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入 5 号球槽的概率； （2）小红､小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖” 活动.小红使用图 1 所示的高尔顿板，付费 6 元可以玩一次游戏，小球掉入 m 号球槽得到的奖 金为 元，其中 |16 4 |m   .小明改进了高尔顿板(如图 2)，首先将小木块减少成 5 层，然后 使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有 1 3 的概率向左， 2 3 的概率向右滚下，最后掉入编 号为 1，2，……，5 的球槽内，改进高尔顿板后只需付费 4 元就可以玩一次游戏，小球掉入 n 号球槽得到的奖金为 元，其中 2( 4)n   .两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参 加了游戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由. 【答案】（1） 15 64 ；（2）小明的盈利多，理由见解析. 21. 已知定义在实数集 R 上的偶函数 ( )f x 的最小值为 3，且当 0x  时， ( ) 3 xf x e a  ，其 中 e 是自然对数的底数． （1）求函数 ( )f x 的解析式； （2）求最大的整数 ( 1)m m  ，使得存在t R ，只要 [1, ]x m ，就有 ( ) 3f x t ex  ． 【答案】（1） 3 , 0( ) 3 , 0 x x e xf x e x     ；（2）m的最大正整数为 4． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则 按所做的第一题计分． 选修 4-4：坐标系与参数方程 22. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为： 1 2cos 2sin x y       （ 为参数），以坐 标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为：  0 0 [0, ),      R ． （1）求曲线 1C 的极坐标方程； （2）设 A，B 是曲线 1C 、 2C 的公共点，若 1 1 4 3OA OB   ，求曲线 2C 的直角坐标方程． 【答案】（1） 2 2 cos 3 0     ；（2） 0y  ． 选修 4-5：不等式选讲 23. 已知函数 ( ) 3 2 1f x x x    ． （1）求 ( )f x 的最小值 m； （2）己知 0, 0a b  ，若 2a b m  时，正常数 t 使得 ta ab 的最大值为 2，求 t 的值． 【答案】（1） 2m  ；（2） 1t  ．