绝密 ★ 启用前
永州市 2021 年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（一）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必
将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数 2 i
1 iz
（i 为虚数单位），其共轭复数为 z ，则 z 的虚部为（ ）
A． 1 B． 3
2 C． i D． 3 i2
2．集合 1,2 2,3 ,M m m R ， 2,3 1, 1 ,N n n R ，则
M N 等于（ ）
A．{(1,2)} B．{(3,5)} C．{( 1,2)} D．{(3, 5)}
3． 已知 一元 二次 方程 2 0ax bx c 有两 个不 同的 实数 根 1 2,x x ，则 “ 1 2 4x x 且
1 2 4x x ”的_____________是“ 1 2x 且 2 2x ”．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若 0.70.3a ， 0.30.7b ， 0.31.2c ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）
A． a b c B． c b a C．b c a D． a c b
此
卷
只
装
订
不
密
封
班
级
姓
名
准
考
证
号
考
场
号
座
位
号
5．把颜色分别为红、黄、蓝、白四种颜色的小球放入颜色分别为红、黄、蓝、白四种颜色的
纸盒中，则四个小球都没有放入相同颜色的纸盒中的概率为（ ）
A．16
81
B． 81
256
C． 3
4
D． 2
3
6．已知 3 2sin( )4
π
10
( 0 π )，则
sin c s
2
o
sin π
（ ）
A． 2 7
21
B．
5
16 41
20
C． 16 41
205
D． 2 7
21
7．已知椭圆的方程为
2 2
2 2 1 0x y a ba b
， 1F 、 2F 为椭圆的左右焦点， P 为椭圆上在第
一象限的一点， I 为 1 2PF F△ 的内心，直线 PI 与 x 轴交于点Q ，若 3PQ IQ ，则该椭圆
的离心率为（ ）
A． 1
2 B． 1
3 C． 1
4 D． 2
3
8．在三棱锥 P ABC 中，已知 4PA ， 90BAC ， 1AB ， 3AC ，若三棱锥
P ABC 的外接球的体积为 32π
3
，则三棱锥 P ABC 的体积为（ ）
A．1 B． 2 3
3
C． 3
3
D．2
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．线性回归方程 y bx a $ $ $对应的直线一定经过点 ,x y
B．5 件产品中有 3 件正品，2 件次品，从中任取 2 件，恰好取到 1 件次品的概率为 3
5
C．某中学为了解学生课外体育锻炼时间，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽
取一个容量为 100 的样本，已知该校高一､高二､高三年级学生之比为 4:3:3，则应从高二年
级中抽取 30 名学生
D．“两个事件是对立事件”的充分不必要条件是“两个事件是互斥事件”
10．已知函数 2 3sin cos 3sin 2f x x x x ，则下列结论中错误的是（ ）
A．点 2π ,03
是 f x 的一个对称中心点
B． f x 的图象是由 sin 2y x 的图象向右平移 π
3
个单位长度得到
C． f x 在 π 2π,2 3
上单调递增
D． 1 2,x x 是方程 3 02f x 的两个解，则 1 2 min
π
3x x
11．在 ABC△ 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，则能确定 B 为钝角的是（ ）
A． 0AB BC
B． ,A C 均为锐角，且sin cosA C
C． ,A C 均为锐角，且 tan tan tan 0A B C
D． 2 2 2a c b
12 ． 已 知 函 数
1 12
l
2
n
2, 0
, 0
x x x
f x
x x
， 若 1 2 3 4f x f x f x f x ， 且
1 2 3 4x x x x ，则（ ）
A． 3 4 2x x B． 1 2 1x x
C． 1
1 1
2 2
21e x x e
D．
1 1
2 2
1 2 3 42 0e e x x x x
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 2 4 6 8 20a a a a ，则 9S ______．
14． 5 41 2 1 2x x 的展开式中含 3x 的项的系数为_________．
15．已知函数 2lnf x x x ，点 P 为函数 f x 图象上一动点，则 P 到直线 3 4y x 距
离的最小值为__________．（注 ln 2 0.69 ）
16．已知正四面体 A BCD 内接于半径为 3 6
2
的球O 中，在平面 BCD 内有一动点 P ，且
满足 4 2AP ，则| |BP 的最小值是___________；直线 AP 与直线 BC 所成角的取值范围为
___________．
四、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
17．（10 分）已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 1 12 2n n n nS S S S 2n ， 1 2a ，
2 4a ，
（1）求数列 na 的通项公式；
（2）求数列 (2 1) nn a 的前 n 项和 nT ．
18．（12 分） ABC△ 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ， 3 sin 3cosc b A A ．
（1）求 B ；
（2）若 3b ，求 ABC△ 周长最大时， ABC△ 的面积．
19．（12 分）如图，在多面体 1 1 1ABC A B C 中， 1A A ， 1B B ， 1C C 垂直于底面 ABC ，且满
足 1 1 1: : 4: 2:1A A B B C C ， 1 4AB B B BC ， 4 3AC ．
（1）求证： 1 1 1AB AC ；
（2）求二面角 1 1B AB C 的余弦值．
20．（12 分）2021 年 4 月 15 日是第 6 个全民国家安全教育日，某社区为增强居民的国家安全
意识，举行了国家安全知识竞赛．第一轮比赛共设有四道题，规定，答对第一道题得 1 分，
答对第二道题得 2 分，答对第三道题得 3 分，答对第四道题得 6 分，这 4 道题，任意一道答
错扣 2 分．每答完一题，分数进行累加，当答题者累计得分低于 2 分时，停止答题，淘汰；
当答题者累计得分大于等于 4 分时，答题结束进入下一轮；当四题答完，累计得分低于四分，
则答题结束，淘汰出局；当答完四题，累计得分不低于 4 分时，答题结束，进入下一轮．每
位答题者都按题号顺序进行答题，直至答题结束．假设参赛者甲对第一、二、三、四题回答
正确的概率依次为 3
5
， 1
2
， 1
3
， 1
4
，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
（1）求甲同学能进入下一轮的概率；
（2）用 表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求 的分布列和数学期望 E ．
21．（12 分）已知椭圆
2 2
2 2 1( 0): x y a baC b
，过椭圆右焦点 2F 且垂直于 x 轴的直线与椭
圆在第一象限交于点 P ，已知椭圆左焦点为 1 3,0F ，三角形 1PFO 的面积为 3
4
，不垂
直于 x 轴的直线与椭圆相交于 ,A B 两点，点 M 为线段 AB 的中点．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）点 4 3( ,0)3Q 总满足 AQO BQO ，证明：直线 AB 过定点．
22．（12 分）已知函数 ln( ) xf x ax
．
（1）若 ( )f x 有两个零点，求 a 的取值范围；
（2）设 1( )g x f x x
，若对任意的 0,x ，都有 xg x e 恒成立，求 a 的取值范
围．
绝密 ★ 启用前
2021 年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（一）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必
将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数 2 i
1 iz
（i 为虚数单位），其共轭复数为 z ，则 z 的虚部为（ ）
A． 1 B． 3
2 C． i D． 3 i2
【答案】B
【解析】因为 2 i (1 i) 1 3i 1 3 i(1 i)
2 i
(1 i 2 2i ) 21
，
所以它的共轭复数 1 3 i2 2z ，其虚部为 3
2
，故选 B．
2．集合 1,2 2,3 ,M m m R ， 2,3 1, 1 ,N n n R ，则
M N 等于（ ）
A．{(1,2)} B．{(3,5)} C．{( 1,2)} D．{(3, 5)}
【答案】B
【解析】根据所给的两个集合的元素，表示出两个集合的交集，
在集合 M 中， (1 2 ,2 3 )m m ；
此
卷
只
装
订
不
密
封
班
级
姓
名
准
考
证
号
考
场
号
座
位
号
在集合 N 中， (2 1,3 1)n n ，
要求两个向量的交集，即找出两个向量集合中的相同元素，
元素是向量，要使的向量相等，只有横标和纵标分别相等，
1 2 2 1
2 3 3 1
m n
m n
，解得 1
2
m
n
，
此时 (3,5) ，故选 B．
3． 已知 一元 二次 方程 2 0ax bx c 有两 个不 同的 实数 根 1 2,x x ，则 “ 1 2 4x x 且
1 2 4x x ”的_____________是“ 1 2x 且 2 2x ”．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】已知 1 2,x x 是一元二次方程 2 0ax bx c 的两个不同的实数根，
当 1 2x 且 2 2x 时，可得 1 2 4x x ， 1 2 4x x ；
当 1 2 4x x 且 1 2 4x x 时，可取 1 10x ， 2 0.5x ，此时不满足 1 2x 且 2 2x ，
所以“ 1 2x 且 2 2x ”是“ 1 2 4x x 且 1 2 4x x ”的充分不必要条件，
即“ 1 2 4x x 且 1 2 4x x ”的充分不必要条件为“ 1 2x 且 2 2x ”，故选 A．
4．若 0.70.3a ， 0.30.7b ， 0.31.2c ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）
A． a b c B． c b a C．b c a D． a c b
【答案】B
【解析】函数 0.3xy 在 R 上是减函数，
0.7 0.3 00 0.3 0.3 0.3 1 ，
又 幂函数 0.3y x 在 0, 上单调递增， 0.3 0.7< ，
0.3 0.30 0.3 0.7 ，所以 0 1a b ，
而函数 1.2xy 是 R 上增函数，
0.3 01.2 1.2 1c ， c b a ，故选 B．
5．把颜色分别为红、黄、蓝、白四种颜色的小球放入颜色分别为红、黄、蓝、白四种颜色的
纸盒中，则四个小球都没有放入相同颜色的纸盒中的概率为（ ）
A．16
81
B． 81
256
C． 3
4
D． 2
3
【答案】B
【解析】将四种不同颜色的球放入四种不同颜色的纸盒中基本事件的总数为 44 256n ，
四个球都没有放入相同颜色的纸盒中的基本事件的总数为 43 81m ，
所以四个小球都没有放入相同颜色的纸盒中的概率为 81
256P ，故选 B．
6．已知 3 2sin( )4
π
10
( 0 π )，则
sin c s
2
o
sin π
（ ）
A． 2 7
21
B．
5
16 41
20
C． 16 41
205
D． 2 7
21
【答案】C
【解析】∵ 3 2sin( )4
π
10
，∴ 3sin cos 5
，
将两边同时平方得 2 2 9sin cos 2sin cos 25
，则 8sin cos 025
，
∵ 0 π ，∴sin 0 ， cos 0 ，
∴ 2 41sin cos (sin cos ) 1 2sin cos 5
，
∴ 16
sin 2 2sin cos 16 4125
sin cos sin cos sin cos 2054
sin π 2
1
5
．
7．已知椭圆的方程为
2 2
2 2 1 0x y a ba b
， 1F 、 2F 为椭圆的左右焦点， P 为椭圆上在第
一象限的一点， I 为 1 2PF F△ 的内心，直线 PI 与 x 轴交于点Q ，若 3PQ IQ ，则该椭圆
的离心率为（ ）
A． 1
2 B． 1
3 C． 1
4 D． 2
3
【答案】A
【解析】如图，连接 1IF 、 2IF ， I 是 1 2PF F△ 的内心，
可得 1IF 、 2IF 分别是 1 2PF F 和 2 1PF F 的角平分线，
由于经过点 P 与 1 2PF F△ 的内切圆圆心 I 的直线交 x 轴于点 Q ，
则 PQ 为 1 2F PF 的角平分线，则Q 到直线 1PF 、 2PF 的距离相等，
所以 1
2
1 1
2 2
PF Q
PF Q
S PF QF
S PF QF
△
△
，同理可得 1
1
PI PF
IQ FQ
， 2
2
PI PF
IQ F Q
，
由比例关系性质可知 1 2 1 2
1 2 1 2
2
2
PI PF PF PF PF a a
IQ FQ F Q F F c c
．
又因为 2PI IQ ，所以椭圆的离心率 1
2
IQce a PI
，故选 A．
8．在三棱锥 P ABC 中，已知 4PA ， 90BAC ， 1AB ， 3AC ，若三棱锥
P ABC 的外接球的体积为 32π
3
，则三棱锥 P ABC 的体积为（ ）
A．1 B． 2 3
3
C． 3
3
D．2
【答案】A
【解析】设球半径为 R ，则 34 32π π3 3R ， 2R ，
而 4PA ，所以 PA 是球的直径，球心O 是 PA 中点，
AB AC ，所以 BC 中点 E 是直角 ABC△ 的外心，所以OE 平面 ABC ，
又 AE 平面 ABC ，所以OE AE ，
2 2 2BC AB AC ， 1 12AE BC ， 2 2 2 22 1 3OE OA AE ，
O 是 AP 中点，所以 1 1 12 2 2 1 3 3 13 3 2P ABC O ABC ABCV V S OE △ ，
故选 A．
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．线性回归方程 y bx a $ $ $对应的直线一定经过点 ,x y
B．5 件产品中有 3 件正品，2 件次品，从中任取 2 件，恰好取到 1 件次品的概率为 3
5
C．某中学为了解学生课外体育锻炼时间，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽
取一个容量为 100 的样本，已知该校高一､高二､高三年级学生之比为 4:3:3，则应从高二年
级中抽取 30 名学生
D．“两个事件是对立事件”的充分不必要条件是“两个事件是互斥事件”
【答案】ABC
【解析】对 A，线性回归方程 y bx a $ $ $对应的直线一定经过样本中心点 ,x y ，故 A 正确；
对 B，恰好取到 1 件次品的概率为
1 1
3 2
2
5
C C 3
C 5
，故 B 正确；
对 C，应从高二年级中抽取 3100 304 3 3
名学生，故 C 正确；
对 D，若两个事件是互斥事件，则两个事件不一定是对立事件；
若两个事件是对立事件，则这两个事件一定是互斥事件，
所以“两个事件是对立事件”的必要不充分条件是“两个事件是互斥事件”，
故 D 错误，
故选 ABC．
10．已知函数 2 3sin cos 3sin 2f x x x x ，则下列结论中错误的是（ ）
A．点 2π ,03
是 f x 的一个对称中心点
B． f x 的图象是由 sin 2y x 的图象向右平移 π
3
个单位长度得到
C． f x 在 π 2π,2 3
上单调递增
D． 1 2,x x 是方程 3 02f x 的两个解，则 1 2 min
π
3x x
【答案】BCD
【解析】 2 3 1 1 cos2 3sin cos 3sin sin 2 32 2 2 2
xf x x x x x
，
所以 1 3 πsin 2 cos2 sin 22 2 3f x x x x
，
对于 A：令 π2 π3x k k Z ，解得 π π
2 6
kx k Z ，
当 1k 时， 2π
3x ，所以点 2π ,03
是 f x 的一个对称中心点，故 A 正确；
对 于 B ： sin 2y x 的 图 象 向 右 平 移 π
3
个 单 位 长 度 得 到 的 图 象 的 函 数 解 析 式 为
π 2πsin 2 sin 23 3y x x
，所以平移得到的图象不是 f x 的图象，故 B 错误；
对于 C：当 π 2π,2 3x
时， π 2π2 ,π3 3x
，而函数 siny x 在 2π ,π3
上单调递减，
故 C 错误；
对于 D：令 π 3sin 2 3 2x
，解得 π π2 2 π3 3x k 或 π 2π2 2 π3 3x k k Z ，
即 π π3x k 或 π π2x k k Z ，所以 1 2 min
π
6x x ，故 D 错误，
综上，故选 BCD．
11．在 ABC△ 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，则能确定 B 为钝角的是（ ）
A． 0AB BC
B． ,A C 均为锐角，且sin cosA C
C． ,A C 均为锐角，且 tan tan tan 0A B C
D． 2 2 2a c b
【答案】AC
【解析】对于 A： 0AB BC ，即 cos 0BA BC BA BC B ，可得 cos 0B ，
又 B 为三角形的内角，所以 B 为钝角；
对于 B： ,A C 均为锐角，sin cosA C 等价于 πsin sin 2A C
，
又因为 siny x 在 π0, 2
上单调递增，所以 π
2A C ，
即
π
2A C ， ππ 2B A C ，故 B 错误；
对于 C： ,A C 均为锐角，可得 tan 0A ， tan 0C ，
又 tan tan tan 0A B C ，所以 tan 0B ，故 B 为钝角；
对于 D： 2 2 2a c b ，所以
2 2 2
cos 02
a c bB ac
，所以 B 为锐角，故 D 错误，
综上选 AC．
12 ． 已 知 函 数
1 12
l
2
n
2, 0
, 0
x x x
f x
x x
， 若 1 2 3 4f x f x f x f x ， 且
1 2 3 4x x x x ，则（ ）
A． 3 4 2x x B． 1 2 1x x
C． 1
1 1
2 2
21e x x e
D．
1 1
2 2
1 2 3 42 0e e x x x x
【答案】ABC
【解析】当 0x 时， 1 12 2 2x xf x ．
设函数 2 2 2x xg x ，则有 g x g x ， 0 0g ，
2 2 2 2 2 2 2 0x x x xg x ，故 g x 是偶函数，且最小值为 0．
当 0x 时， 2 ln 2 2 ln 2 2 2 ln 2 0x x x xg x ，
所以 g x 在 0, 上单调递增，
又 g x 是偶函数，所以 g x 在 ,0 上单调递减．
把 2 2 2x xg x 的图象向右平移一个单位长度，
得到函数 1 12 2 2x xy 的图象，
故函数 1 12 2 2x xy 的图象关于直线 1x 对称，
故可得到函数 f x 在 0, 上的图象．
又 10 2f ，故函数 f x 的图象与 y 轴的交点为 10, 2
．
作平行于 x 轴的直线 y a ，
当 10 2a 时，直线 y a 与函数 f x 的图象有四个交点．
数形结合可知 3 4 2x x ，故 A 正确；
由 1 2f x f x ，得 1 2ln lnx x ，
又根据题意知 1 21x x ，所以 1 2ln lnx x ，
即 1 2ln ln 0x x ，即 1 2ln 0x x ，所以 1 2 1x x ，故 B 正确；
令 21
1ln ln 2x x ，则 1
1ln 2x ， 2
1ln 2x ，
得 2
1
1
x e ，
1
2
2x e
，
因此 1
1 1
2 2
21e x x e
，故 C 正确；
又
1
2
1 1e x 时， 1 2 3 4 1
1
12x x x x x x
，
且函数 12y x x
在
1
2 , 1e
上单调递增，
所以
1 1
2 2
1 2 3 42 0e e x x x x
，故 D 错误，
故选 ABC．
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 2 4 6 8 20a a a a ，则 9S ______．
【答案】45
【解析】因为 2 4 6 8 54 20a a a a a ，所以 5 5a ，
因此 1 9
9 5
9 9 452
a aS a
，故答案为 45．
14． 5 41 2 1 2x x 的展开式中含 3x 的项的系数为_________．
【答案】 32
【解析】由题意知：含 3x 项为按 x 的升幂排列的第 4 项，
∴ 3 3 2 2 1 1 2 2 3 3
4 5 5 4 5 4 4C ( 2 ) C ( 2 ) C (2 ) C ( 2 ) C (2 ) C (2 )T x x x x x x ，
∴ 3 3 3 3 3
4 80 320 240 32 32T x x x x x ，
∴该项的系数为32 ，故答案为 32 ．
15．已知函数 2lnf x x x ，点 P 为函数 f x 图象上一动点，则 P 到直线 3 4y x 距
离的最小值为__________．（注 ln 2 0.69 ）
【答案】 10
5
【解析】 1 2f x xx
， 0x ，
与直线 3 4y x 平行的切线斜率 13 2k xx
，解得 1x 或 1
2x ，
当 1x 时， 1 1f ，即切点为 1,1 ，
此时点 P 到直线 3 4y x 的距离为 3 1 4 10
510
d
；
当 1
2x 时， 1 1 ln 22 4f
，即切点为 1 1, ln 22 4
，
此 时 点 P 到 直 线 3 4y x 的 距 离 为 ：
3 1 11ln 2 4 ln 2 11 4ln 2 10 102 4 4
40 510 10
d
，
故答案为 10
5
．
16．已知正四面体 A BCD 内接于半径为 3 6
2
的球O 中，在平面 BCD 内有一动点 P ，且
满足 4 2AP ，则| |BP 的最小值是___________；直线 AP 与直线 BC 所成角的取值范围为
___________．
【答案】 2 3 2 2 ， π π,3 2
【解析】设 A 在面 BCD 内的投影为 E，故 E 为三角形 BCD 的中心，
设正四面体 A BCD 的棱长为 x ，球O 的半径为 R ．
则 2 3 3
3 2 3
xBE x ， 2 2 6
3
xAE AB BE ，
依题可得，球心O 在 AE 上， 22 2R BE AE R ，代入数据可得 6x ，
则 2 3BE ， 2 6AE ，
又 4 2AP ， 2 2 2 2PE AP AE ，
故 P 的轨迹为平面 BCD 内以 E 为圆心， 2 2 为半径的圆，
2 3BE ，
, ,B P E 三点共线时，且 P 在 BE 之间时，| |BP 的最小值是 2 3 2 2 ．
以 E 为圆心，BE 所在直线为 x 轴建立如图所示直角坐标系，
0,0,2 6A ， 2 3,0,0B ， 3,3,0C ， 3, 3,0D ，
设 2 2 cos ,2 2 sin ,0P ， 0,2π ，
故 2 2 cos ,2 2 sin , 2 6AP ， 3 3,3,0BC ，
设直线 AP 与直线 BC 所成角为 ，
∵ 6 6 cos 6 2 sin 1 π 1 1cos sin ,2 3 2 24 2 6
AP BC
BC AP
，
∴ 1 1cos ,2 2
，
又 π0, 2
，故 π π,3 2
，
故答案为 2 3 2 2 ， π π,3 2
．
四、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
17．（10 分）已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 1 12 2n n n nS S S S 2n ， 1 2a ，
2 4a ，
（1）求数列 na 的通项公式；
（2）求数列 (2 1) nn a 的前 n 项和 nT ．
【答案】（1） 2n
na ；（2） 16 2 3 2n
nT n ．
【解析】∵ 1 12 2 2n n n nS S S S n ，
∴ 1 1 12 2 2n n n n n nS S S S S S 2n ，∴ 1 2 2n na a n ，
又 2 14 2a a ，
所以数列 na 是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列，
故数列 na 的通项公式为 2n
na ．
（2）据（1）可得 (2 1) (2 1) 2n
nn a n ，
所以 1 2 31 2 3 2 5 2 (2 1) 2n
nT n ，
2 3 12 1 2 3 2 (2 3) 2 (2 1) 2n n
nT n n ，
两 式 相 减 得
2 3 12 2 2 2 (2 1) 22 n n
nT n 2 1
11 2
2 2 (2 1) 21
2
2
n
nn
，
化简得 16 2 3 2n
nT n ．
18．（12 分） ABC△ 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ， 3 sin 3cosc b A A ．
（1）求 B ；
（2）若 3b ，求 ABC△ 周长最大时， ABC△ 的面积．
【答案】（1） π
3
；（2） 9 3
4
．
【解析】（1）∵ 3 sin 3cosc b A A ，
∴ 3sin sin sin 3 cosC B A A ，
∴ 3sin sin sin 3sin cosA B B A B A ，
∴ 3sin cos 3sin cos sin sin 3sin cosA B B A B A B A ，
∴ 3 cos sinB B ，∴ tan 3B ，
0 πB ， π
3B ．
（2）∵
2 2 2
cos 2
a c bB ac
，
据（1）可得 π
3B ，∴
2 2 21
2 2
a c b
ac
，
∴ 2 2 2b a c ac ，∴ 29 3a c ac ，∴ 22
29 3 2 4
a ca ca c
，
当且仅当 3a c 时等号成立，
即当 3a c 时， a c 取得最大值，即周长取得最大值，
此时 1 π 9 33 3 sin2 3 4ABCS △ ．
19．（12 分）如图，在多面体 1 1 1ABC A B C 中， 1A A ， 1B B ， 1C C 垂直于底面 ABC ，且满
足 1 1 1: : 4: 2:1A A B B C C ， 1 4AB B B BC ， 4 3AC ．
（1）求证： 1 1 1AB AC ；
（2）求二面角 1 1B AB C 的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） 10
5
．
【解析】（1）证明：由题意得 1 4AB BC BB ， 1 8A A ， 1 2CC ，
∵ 1A A ， 1B B ， 1C C 垂直于底面 ABC ，
∴ 1A A AB ， 1BB AB ， 1BB BC ， 1CC AC ，
可得 1 1 1 4 2AB A B ，所以 2 2 2
1 1 1 1A B AB AA ，故 1 1 1AB A B ．
由 4BC ， 1 4BB ， 1 2CC ， 1BB BC ， 1CC BC ，得 1 1 2 5BC ．
又 4 3AC ，由 1CC AC ，得 1 2 13AC ，所以 2 2 2
1 1 1 1AB B C AC ，
故 1 1 1AB B C ．
又 1 1 1 1 1A B B C B ，因此 1AB 平面 1 1 1A B C ，
因为 1 1AC 平面 1 1 1A B C ，故 1 1 1AB AC ．
（2）如图，以 AC 的中点O 为坐标原点，分别以射线 OB ，OC 为 x ， y 轴的正半轴，过点
O 作平行于 1BB 且向上的射线为 z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O xyz ．
由题意知各点坐标如下：
0, 2 3,0A ， 2,0,0B ， 1 0, 2 3,8A ， 1 2,0,4B ， 1 0,2 3,2C ，
因此 2,2 3,0AB ， 1 0,0,4BB
uuur
， 1 2,2 3,4AB ， 1 0,4 3,2AC ．
设平面 1ABB 的法向量 , ,x y zn ，
所以
1
0
0
AB
BB
n
n
，即 3 0
4 0
x y
z
，则 3,1,0 n ；
同理可得，平面 1 1AB C 的一个法向量 3 3,1, 2 3 m ，
9 1 10cos , 540 4
m nm n m n
，
故二面角 1 1B AB C 的余弦值为 10
5
．
20．（12 分）2021 年 4 月 15 日是第 6 个全民国家安全教育日，某社区为增强居民的国家安全
意识，举行了国家安全知识竞赛．第一轮比赛共设有四道题，规定，答对第一道题得 1 分，
答对第二道题得 2 分，答对第三道题得 3 分，答对第四道题得 6 分，这 4 道题，任意一道答
错扣 2 分．每答完一题，分数进行累加，当答题者累计得分低于 2 分时，停止答题，淘汰；
当答题者累计得分大于等于 4 分时，答题结束进入下一轮；当四题答完，累计得分低于四分，
则答题结束，淘汰出局；当答完四题，累计得分不低于 4 分时，答题结束，进入下一轮．每
位答题者都按题号顺序进行答题，直至答题结束．假设参赛者甲对第一、二、三、四题回答
正确的概率依次为 3
5
， 1
2
， 1
3
， 1
4
，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
（1）求甲同学能进入下一轮的概率；
（2）用 表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求 的分布列和数学期望 E ．
【答案】（1） 9
40
；（2）分布列见解析， 3.3E ．
【解析】用 =1,2,3,4iM i 表示甲第 i 个问题回答正确，
=1,2,3,4iN i 表示甲第 i 个问题回答错误，
则 1
3
5P M ， 2
1
2P M ， 3
1
3P M ， 4
1
4P M ；
1
2
5P N ， 2
1
2P N ， 3
2
3P N ， 4
3
4P N ．
（1）记事件 Q：甲同学能进入下一轮的概率，则：
1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4P Q P M M M P N M M M P M N M M P M M N M P N M N M
3 1 1 2 1 1 1 3 1 1 1 3 1 2 1 2 1 2 1
5 2 3 5 2 3 4 5 2 3 4 5
9
402 3 4 5 2 3 4
，
即甲同学能进入下一轮的概率为 9
40
．
（2）由题意知 的可能取值：2，3，4，
∴ 1 2
2 1 12 5 2 5P P N N ；
1 2 3 1 2 3
3 1 1 3 1 2 33 5 2 3 5 2 3 10P P M M M P M N N ；
1 3 14 1 5 10 2P ．
∴分布列为
2 3 4
P 0.2 0.3 0.5
∴ 2 0.2 3 0.3 4 0.5 3.3E ．
21．（12 分）已知椭圆
2 2
2 2 1( 0): x y a baC b
，过椭圆右焦点 2F 且垂直于 x 轴的直线与椭
圆在第一象限交于点 P ，已知椭圆左焦点为 1 3,0F ，三角形 1PFO 的面积为 3
4
，不垂
直于 x 轴的直线与椭圆相交于 ,A B 两点，点 M 为线段 AB 的中点．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）点 4 3( ,0)3Q 总满足 AQO BQO ，证明：直线 AB 过定点．
【答案】（1）
2
2 14
x y ；（2）证明见解析．
【解析】（1）依题可得 P 的坐标为
2
3, b
a
， 1
21 332 4PF O
bS a
△ ，可得
2 1
2
b
a
，
又 2 2 2a b c ， 3c ，解得 2a ， 1b ，
故椭圆的方程为
2
2 14
x y ．
（2）证明：依题可得直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的直线方程为 y kx m ，
设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ， 0 0,M x y ，
由
2
2 14
x y
y kx m
，可得 2 2 24 1 8 4 4 0k x kmx m ，
2 216(4 1) 0Δ k m ，即 2 24 1m k ，
1 2 2
8
1 4
kmx x k
，
2
1 2 2
4 4
1 4
mx x k
，
因为 AQO BQO ，所以 0AQ BQk k ，
1 2 1 2
1 2 1 2
0
4 3 4 3 4 3 4 3
3 3 3 3
AQ BQ
y y kx m kx mk k
x x x x
，
即
1 2 2 1
4 3 4 3( )( ) ( )( )3 3kx m x kx m x 1 2 1 2
4 3 8 32 ( )( ) 03 3kx x m k x x m ，
得 2 24 3 8 32 (4 4) 8 ( ) (1 4 ) 03 3k m km m k m k ，化简得 3m k ，
直线 AB 的方程为 ( 3)y k x ，
所以，直线 AB 恒过定点 ( 3,0) ．
22．（12 分）已知函数 ln( ) xf x ax
．
（1）若 ( )f x 有两个零点，求 a 的取值范围；
（2）设 1( )g x f x x
，若对任意的 0,x ，都有 xg x e 恒成立，求 a 的取值范
围．
【答案】（1） 1 ,0e
骣琪-琪桫
；（2） 1a ．
【解析】令 ln( ) xg x x
，则 2
1 ln( ) xg x x
，
当0 x e 时， ( ) 0g x ；当 x e 时， ( ) 0g x ，
所以 g x 在 0,e 上单调递增，在 ,e 上单调递减，
当 0x 时， g x ；
当 x e 时， 1g x e
；
当 x 时， 0g x ，
所以当 10 a e
，即 1 0ae
， ( )f x 有两个零点，
∴ ( )f x 有两个零点时， a 的范围是 1 ,0e
骣琪-琪桫
．
（2）对任意的 0x ，不等式 ( ) xg x e 恒成立，
ln 1xxe xa x
在( )0,+¥ 上恒成立，
令 ln 1( ) ( 0)
xxe xF x xx
，则
2
2
ln( )
xx e xF x x
，
令 2( ) lnxh x x e x ，则 2 1( ) 2 0xh x x x e x
，
( )h x 在( )0,+¥ 上为增函数，
又 (1) 0h e ，
1
1 2
2
1 1 1 0
e
eeh ee e
，
0
1 ,1x e
，使得 0 0h x ，即 02
0 0ln 0xx e x ，
00 x x 时， 0h x ，
( ) 0F x ， ( )F x 在 00, x 上单调递减；
0x x 时， 0h x ，
( ) 0F x ， ( )F x 在 0 ,x 上单调递增，
0
0 0
min 0
0
ln 1( )
xx e xF x F x x
，
由 02
0 0ln 0xx e x ，可得 0 0
1ln
0
0
0 0 0 0
ln 1 1 1ln lnx xxx e ex x x x
，
令 ( ) xt x xe ，则 0
0
1lnt x t x
，
又 ( ) ( 1) 0xt x x e ， ( )t x 在( )0,+¥ 上单调递增，
0
0
1lnx x
， 0 0ln x x ， 0
0
1xe x
， 0
0 1xx e ，
0
0 0 0
min 0
0 0
ln 1 1 1( ) 1
xx e x xF x F x x x
， 1a ，
综上所述，满足条件的 a 的取值范围是 1a ．
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