临沂市 2021 年普通高等学校招生全国统一考试（模拟）
数 学
2021.5
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．若集合 A， B，U 满足 UA B ð ，则下面选项中一定成立的是（ ）
A． B A B． A B U C． UA B U ð D． UB A U ð
2．已知奇函数
3 1, 0
, 0
x xf x
g x x
，则 1 2f g （ ）
A． 11 B． 7 C．7 D．11
3．“ 1x ”是“ 22 32
x
x ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．某校积极落实立德树人，坚持五育并举，计划在新学期开展球类、书法、健美操、棋类等
四项社团活动，学校要求每位学生选择其中的两项，学生甲、乙、丙三人都已决定选择球类，
三人再从其它三项中各选择一项，恰好三人的选择互不相同，乙比选棋类的人个头高，丙和
选书法的人身高不同，选书法的人比甲个头小，则甲、乙、丙所选的第二项社团活动分别为
（ ）
A．书法、健美操、棋类 B．健美操、书法、棋类
C．棋类、书法、健美操 D．棋类、健美操、书法
5．如图为一个圆锥形的金属配件，重 75.06 克，其正视图是一个等边三角形，现将其打磨成
一个体积最大的球形配件，则该球形配件的重量约为（ ）
A．32.69 克 B．33.36 克 C．34.03 克 D．34.37 克
6．在天文学上恒星的亮度一般用星等来表示，直接测量到的天体亮度被称为视星等 m ，而把
天体置于 10 秒差距的距离处所得到的视星等称为绝对星等 M ，它能反映天体的发光本领．如
果我们观测到了恒星的光谱，可以知道一些类型恒星的绝对星等，就可以利用光谱视差法来
获得这些恒星的距离．下表是某校天文爱好者社团在网上收集到一些恒星的相关数据，那么
最适合作为星等差 y 关于距离 x （光年）的回归方程类型的是（ ）
星名 天狼星 南河三 织女星 大角星 五车二 水委一 老人星 参宿四
距离 x 8.6 11.46 25 36.71 42.8 139.44 309.15 497.95
y m M
2.89 2.27 0.57 0.26 0.59 3.15 4.88 5.92
A． 2y a bx B． lgy a b x C． y a b x D． y a bx
7．点 A， B，C 在圆O上，若 2AB ， 30ACB ，则OC AB 的最大值为（ ）
A．3 B． 2 3 C．4 D．6
8．点 1F ， 2F 是双曲线
2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
的左、右焦点，过点 2F 作直线 1 2AB F F
交双曲线C 于 A， B两点，现将双曲线所在平面沿直线 1 2F F 折成平面角为锐角 的二面角，
如图，翻折后 A， B两点的对应点分别为 A， B， 1A F B ，若 1 cos 25
1 cos 16
，则双
曲线C 的离心率为（ ）
A． 17
3 B． 3 C．2 D．3
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．
9．设函数 πcos 2 3f x x
的图象为曲线 E，则
A．将曲线 cos2y x 向右平移 π
3
个单位长度后与曲线 E重合
B．将曲线 πcos 3y x
上各点的横坐标缩短到原来的 1
2
，纵坐标不变，则与曲线 E 重合
C．将曲线 f x 向左平移 π
6
后所得图象对应的函数为奇函数
D．若 1 2x x ，且 1 2 0f x f x ，则 1 2x x 的最小值为 π
2
10 ． 1487 年 ， 瑞 士 数 学 家 欧 拉 发 现 了 复 指 数 函 数 和 三 角 函 数 的 关 系 ， 并 写 下 公 式
ie cos isin ，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”，被
誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则（ ）
A．
πi
2e i B．
πi
4e 1
C．
3
1 3i 12
D．
πi πi
4 4π e ecos
4 2
11．若 5log 2a ， 1 ln 22b ， 1 ln55c ，则（ ）
A． a b B．b c C． c a D． 2a b
12．已知抛物线 2 2 0x py p 的焦点为 F ，且 2,1A ， 1 1,B x y ， 2 2,C x y 在抛物线
上，O为坐标原点．下列说法正确的是（ ）
A．点 F 的坐标为 0,2
B．若 FB FC AF ，则 2FB FC AF
C．若 6BC ，则 BC 的中点到 x 轴距离最小值为 2
D．若直线 BC 过点 F ，则直线OB 与OC 的斜率之积为 1
4
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．
61
3
x
x
的展开式中常数项为______．（用数字表示）
14．现有标号为①，②，③，④，⑤的 5 件不同新产品，要放到三个不同的机构进行测试，，
每件产品只能放到一个机构里，机构 A， B各负责一个产品，机构 C 负责余下的三个产品，
若产品①不放在机构 A，测试情况共有______种（结果用具体数字表示）．
15．随机变量 X 的分布列如下表：
X 1 2 3
p a b c
其中 a ，b ， c 成等差数列，若 5
2E X ，则 D X ______．
16．如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成为一
个半正多面体，亦称 “阿基米德体”．点 A， B ， M 是该多面体的三个顶点，点 N 是该多
面体表面上的动点，且总满足 MN AB ，若 4AB ，则该多面体的表面积为______，点 N
轨迹的长度为______．（本题第一空 2 分，第二空 3 分）
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）
在① π
6x 是函数 f x 图象的一条对称轴，② π
12
是函数 f x 的一个零点，③函数 f x 在
,a b 上单调递增，且b a 的最大值为 π
2
，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并
解答．
已知函数 π 12sin cos 0 26 2f x x x
，______，求 f x 在 π π,2 2
上的
单调递减区间．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（12 分）
2021 年是“十四五”规划开局之年，也是建党 100 周年．为了传承红色基因，某学校开展了
“学党史，担使命”的知识竞赛．现从参赛的所有学生中，随机抽取 100 人的成绩作为样本，
得到成绩的频率分布直方图，如图．
（1）求频率分布直方图中 a 的值，并估计该校此次竞赛成绩的平均分 x （同一组中的数据用
该组区间中点值代表）；
（2）在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩高于 75 分的学生中随机抽取 7 人查看他
们的答题情况，再从这 7 人中随机抽取 3 人进行调查分析，求这 3 人中至少有 1 人成绩在
85,95 内的概率；
（3）假设竞赛成绩服从正态分布 2,N ，已知样本数据的方差为 121，用平均分 x 作为
的近似值，用样本标准差 s 作为 的估计值，求该校本次竞赛的及格率（60 分及以上为及格）．
参 考 数 据 ： 0.6827P ， 2 2 0.9545P ，
3 3 0.9973P ．
19．（12 分）
已知正项数列 na 的前 n 项和为 nS ，数列 nb 为等比数列，满足 2
14 4 4n nS a n ，且
1 1 1 2a b ， 4 4a b ．
（1）求证：数列 na 为等差数列；
（2）若从数列 na 中去掉数列 nb 的项后余下的项按原来的顺序组成数列 nc ，求
1 2 3 100c c c c ．
20．（12 分）
如图，四边形 CDEF 为正方形， //AB CD ， 2 2AB BC CD ，点Q为 BF 的中点．
（1）求证： //BD 平面CEQ ；
（2）若 30BAC ， AC BF ，求平面CEQ 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值．
21．（12 分）
已知椭圆
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，点 P在椭圆C 上，以 1PF
为直径的圆
2
2 1 49: 4 16E x y
过焦点 2F ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若椭圆C 的右顶点为 A，与 x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于 M ，N 两点（ M ，N 与 A
点不重合），且满足 AM AN ，点Q为 MN 中点，求直线 MN 与 AQ 的斜率之积的取值范
围．
22．（12 分）
已知函数 e lnxf x x a x ， Ra ．
（1）若 f x 在点 1, 1f 处的切线过原点，求 a 的值；
（2）在（1）条件下，若 21 ln 1f x b x a x 恒成立，求b 的取值范围．
2021 年普通高等学校招生全国统一考试（模拟）
数学试题参考答案及评分标准
2021.5
说明：
一、本解答只给出了一种解法供参考，如考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查
内容参照评分标准酌情赋分．
二、当考生的解答在某一步出错误时，如果后继部分的解答未改该题的内容与难度，可视影
响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确答案应得分数一半；如果后继部分的
解答有较严重的错误或又出现错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 升．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．D 2．C 3．A 4．B 5．B 6．B 7．C 8．D
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．
9．BD 10．ABD 11．AB 12．BCD
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13． 5
27
14．16 15． 5
12
16．112 3 8 8 3
四、解答题：
17．解： π 1 π π 12sin cos 2sin cos cos sin sin6 2 6 6 2f x x x x x x
2 13cos sin sin 2x x x
3 1sin2 cos22 2x x
πsin 2 6x
．
①若 π
6x 是函数 f x 图象的一条对称轴，
则 π π ππ3 6 2k ， Zk ，即 π 2ππ3 3k ， Zk ，
得 3 2k ， Zk ，
又 0 2 ，当 1k 时， 1 ， πsin 2 6f x x
②若 π
12
是函数 f x 的一个零点，
则 π π2 π12 6 k ，即 π ππ6 6k ， Zk ，
得 6 1k ， Zk
又 0 2 ，∴当 0k 时， 1 ，所以 πsin 2 6f x x
．
③若 f x 在 ,a b 上单调递增，且 b a 的最大值为 π
2
，
则 2ππ 2T ，故 1 ，所以 πsin 2 6f x x
．
由 π π 3π2 π 2 2 π2 6 2k x k ， Zk ，
得 π 5ππ π3 6k x k ， Zk ，
令 0k ，得 π 5π
3 6x ．令 1k ，得 2π π
3 6k ．
又 π π
2 2x ，
所以 f x 在 π π,2 2
上单调递减区间为 π π,2 6
， π π,3 2
．
18．解：由频率分布直方图可得， 0.005 0.25 2 0.01 10 1a ，
解得 0.035a ．
这组样本数据的平均数为
50 0.05 60 0.25 70 0.35 80 0.25 90 0.1 71 ．
所以估计该校此次竞赛成绩的平均分为 71 分．
（2）自频率分布直方图可知，成绩在 75,85 ， 85,95 内的频率分别为 0.25，0.1．
所以采用分层抽样的方法从样本中抽取的 7 人，成绩在 75,85 内的有 5 人，成绩在 85,95 内
的有 2 人．
记事件 1A 这 3 人至少有 1 人成绩在 85,95 内
则
3 1 1 3
7 7 5 5
3
7
5
7
C C C CP A C
．
（3）由题意知，样本方差 2 121s ，故 2 11s ．
所以竞赛成绩 2~ 71,11Y N ．
该校竞赛的及格率 160 1 1 60 82 0.841352P P Y P Y ．
19.（1）证明：∵ 2
14 4 4n nS a n ，
∴当 2n 时， 2
14 4n nS a n ，
∴ 2 2
14 4n n na a a ，
∴ 22
1 2n na a
又∵ 0na ，∴ 1 2n na a ．
当 1n 时， 2
1 24 8S a ，即 2
1 24 8a a ，
又 1 2a ，∴ 2 4a ， 2 1 2a a 适合上式，
所以数列 na 是首项为 2，公差为 2 的等差数列．
（2）由（1）可知 2na n ，
设 nb 的公比为 q ，
又 4 4 8b a ， 1 1 1 1b a ，∴ 3 8q ，∴ 2q ，
∴ 12n
nb ．
∴ 1 1b ， 2 12b a ， 3 24b a ， 4 48b a ， 5 816b a ，
6 1632b a ， 7 3264b a ， 8 64128b a ， 9 128256b a ．
∴ 1 2 3 100 1 2 3 107 2 3 8c c c c a a a a b b b
72 1 2107 2 214 113022 1 2
．
20.证明：（1）连接 DF ，交CE 于点O，连接QO ，
∵四边形 CDEF 为正方形，
∴O为 DF 中点，
∵Q为 BF 中点．∴ //OQ BD ，
∵OQ 平面CEQ ， BD 平面CEQ ，
∴ BD平面CEQ ．
（2）∵ 2AB BC ， 30BAC ，
在 ABC△ 中，由
sin sin30
AB BC
ACB
，得sin 1ACB ，则 90ACB ，
∴ AC BC ．
又∵ AC BF ， BF BC B ，
∴ AC 平面 BCF ．∴ AC CF ．
∵CD CF ， AC CD C ，
∴CF 平面 ABCD ，
∴CF BC ，
以C 为原点，以CA ，CB ， CF 所在直线为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系，
设 2AB ，则 1BC CD ， 3AC ，
则 3,0,0A ， 0,1,0B ， 0,0,1F
从而， 3, 1,0BA ， 0,1,0CB ， 0,0,1CF ，
∴ 1 3 1, ,12 2 2CE CD CF BA CF
，
1 1 10, ,2 2 2CQ CB CF
，
设平面CEQ 的法向量为 , ,n x y z ，
则 0
0
n CE
n CQ
即
3 1 0
2 2
1 1 0
2 2
x y z
y z
，
令 2y ，得平面CEQ 的一个法向量为 1 2 3,2, 2n ，
∵CF 平面 ABCD ，
∴CF
是平面 ABCD 的一个法向量，
设平面CEQ 与平面 ABCD 所成锐二面角的平面镜为 ，
则 1
1
2 5cos 52 5
n CF
n CF
．
21．解：（1）在圆 E的方程中，令 0y ，得 2 3x ，解得 3x ，
所以， 1F ， 2F 的坐标分别为 3,0 ， 3,0 ．
∵ 10, 4E
，又因为 2
1
2OE F P ， 2//OE F P ，所以点 P的坐标为 13, 2
，
所以， 1 2
7 12 2 44 2a PF PF ，
得 2a ， 1b ，
即椭圆C 的方程为
2
2 14
x y ．
（2）右顶点为 2,0A ，由题意可知直线 AM 的斜率存在且不为 0，
设直线 AM 的方程为 2y k x ，由 MN 与 x 轴不垂直，故 1k ．
由
2
2
2 ,
14
y k x
x y
得： 2 2 2 21 4 16 16 4 0k x k x k ，
设 1 1,M x y ， 2 2,N x y ，又点 2,0A ，
则由根与系数的关系可得：
2
1 2
16 42 1 4
kx k
，得
2
1 2
8 2
1 4
kx k
， 1 1 2
42 1 4
ky k x k
，
∵ AM AN ，∴直线 AN 的方程为 1 2y xk
，
用 1
k
替换 k 可得：
2
2 2
8 2
4
kx k
， 2 2
4
4
ky k
，
∴点Q坐标为
22
2 2 2 2
6 130 ,
1 4 4 1 4 4
k kk
k k k k
，
∴直线 AQ 的斜率
2
2 2 2
1 2 4 2
2 2
6 1
1 4 4 3 1
30 2 2 2
1 4 4
k k
k k k k
k k k k
k k
，
直线 MN 的斜率
2 22 1
2 2 2 2
2 1
2 2
4 4
54 1 4
8 2 8 2 4 1
4 1 4
k k
y y kk kk k kx x k
k k
，
∴
2
1 2 4 2
2
2
15 15
28 2 2 8 2 1
kk k
k k k k
，
∵ 2 0k 且 2 1k ，∴ 2 2
2 2
2 22 1 2 2 4k kk k
，
∴
2
2
15 30 2 88 2 1k k
．
即 1 2
30,8k k
．
∴直线 MN 与 AQ 的斜率之积的取值范围是 30,8
．
22．解：（1）∵ f x 的定义域为 0, ．
1 ex af x x x
，
∴ 1 2ef a ，又 1 ef ，
∴切线方程为 e 2e 1y a x ．
由切线过点 0,0 ，
得 e 2e a ，即 ea ．
（2）由（1）知 ea ，
∴由 21 ln 1f x b x a x ，得
2e 2eln 1 e 0xx x b x （*）
令 2e 2eln 1 exm x x x b x ，易知 1 0m ，
则 2e1 e 2 1xm x x b xx
，且 1 0m ，
2
2e2 e 2xm x x bx
．
令 2
2e2 e 2xx x bx
，则
3
4e3 e 2xx x bx
在 0, 上是增函数，
且 1 0
当 0,1x 时， 0x ， m x 是增函数，
当 1,x 时， 0x ， m x 是增函数，
∴ min 1 5e 2m x m b ．
①当5e 2 0b 即 5 e2b 时， 1 0m x m ．
则 m x 单调递增．
又 1 0m ，
当 0,1x 时， 0m x ， m x 单调递减，
当 1,x 时， 0m x ， m x 单调递增，
∴ 1 0m x m ，（*）式恒成立．
②当 5 e2b 时， 1 0m ，
又 x 时， m x ，
∴存在 0 1x ，使 0 0m x ，
∴当 01,x x 时，有 0m x ，即 m x 单调递减，
∴ 1 0m x m ，此时 m x 单调递减，
故当 01,x x 时， 1 0m x m ，（*）式不成立．
综上，可知 5 e2b ．
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