济宁市 2021 届高三下学期 5 月第二次模拟考试
数学试题
2021.5
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时．选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写
在本试卷上无效．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．已知全集U R ，集合 2A x x ， 2log 1 1B x x ，则 U A B ð （ ）．
A． ,2 B． ,2 C． 1,2 D． 1,3
2．已知 2 i iz ，i 为虚数单位，则 z （ ）．
A． 5
5
B．1 C．2 D． 5
3．“直线 m 垂直平面 内的无数条直线”是“ m ”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必安条件
4．已知随机变量 X 服从正态分布 21,N ，若 0 0.2P X ，则 2P X （ ）．
A． 0.2 B． 0.4 C． 0.6 D． 0.8
5．已知椭圆
2 2
: 14 3
x yC ，过点 11, 2P
的直线交椭圆C 于 A 、B 两点，若 P 为 AB 的中
点，则直线 AB 的方程为（ ）．
A．3 2 2 0x y B．3 2 4 0x y
C．3 4 5 0x y D．3 4 1 0x y
6．在平面直角坐标系 xOy 中， O 为坐标原点，已知点 3, 1M 和点 0,1N ．若点 P 在
MON 的角平分线上，且 4OP ，则 OP MN （ ）．
A． 2 B． 6 C．2 D．6
7．已知函数 1 2ln , 1
1 2ln ,0 1
x xf x x x
，若 f a f b ，则 a b 的最小值是（ ）．
A． 2 e B． e C．1 e D． 2e
8，“曼哈顿距离”是由赫尔曼·闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何
学 用 语 ． 例 如 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 点 1 1,P x y ， 2 2,Q x y 的 曼 哈 顿 距 离 为 ：
1 2 1 2PQL x x y y ．若点 1,2P ，点 Q 为圆 2 2: 4C x y 上一动点，则 PQL 的最大
值为（ ）．
A．1 2 B．1 2 2 C．3 2 D．3 2 2
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分．
9．已知 0a b ， cR ，下列不等式恒成立的有（ ）．
A． 1 1
3 3
a b
B． 2 2ac bc
C． 2 2
1 1log loga b
D．
2 2 2
2 2
a b a b
10．函数 π2cos 2 16f x x x R ，则下列说法正确的是（ ）．
A．若 1 2 3f x f x ，则 1 2 πx x k k Z
B．函数 f x 在 π π,6 3
上为增函数
C．函数 f x 的图象关于点 π ,13
对称
D．函数 f x 的图象可以由 π2sin 2 13g x x x R 的图象向左平移 π
12
个单位长
度得到
11． 已 知 f x 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 ， 1 1f x f x ， 且 当 0,1x 时 ，
2 2f x x x ，则下列说法正确的是（ ）．
A． f x 是以 4 为周期的周期函数
B． 2018 2021 2f f
C．函数 2log 1y x 的图象与函数 f x 的图象有且仅有 3 个交点
D．当 3,4x 时， 2 9 18f x x x
12．如图，直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中，底面 ABCD 为平行四边形， 1
1 12AB AA AD ，
60BAD ，点 P 是半圆弧 1 1A D 上的动点（不包括端点），点 Q 是半圆弧 BC 上的动点（不
包括端点），则下列说法止确的是（ ）．
A．四面体 PBCQ 的体积是定值
B． AD AP 的取值范围是 0,4
C．若 1C Q 与平面 ABCD 所成的角为 ，则 1tan 2
D．若三棱锥 P BCQ 的外接球表面积为 S ，则 4π,13πS
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知 2 n
x x
的展开式中各项的二项式系数的和为 128，则这个展开式中 3x 项的系数是
______．
14．已知 π 1tan 4 2
，则 cos2 ______．
15．设双曲线
2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，过点 1F 的直线 l 分
别与双曲线的左、右支交于点 A 、 B ，若以 AB 为直径的圆过点 2F ，且 2 2AF BF ，则该
双曲线的离心率为______．
16．设函数 cos 2xf x e x a ， g x x ，若存在 1x ， 2 0,πx 使得 1 2f x g x
成立，则 2x ， 1x 的最小值为 1 时，实数 a ______．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）
在 ① 2 2sin sin sin sin sinB C A B C ； ② 2 sin tana C c A ；
③ 22cos cos2 12
B C A ；
三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：已知 ABC△ 的内角 A ， B ， C 所对应的边分别为 a ，b ， c ，若 2b ，______．
（1）求 A 的值；
（2）若sin 2 sinB C ，求 ABC△ 的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（12 分）
已知数列 na 是正项等比数列，满足 3a 是 12a ， 23a 的等差中项， 4 16a ．
（1）求数列 na 的通项公式；
（2）若 2 2 11 logn
n nb a ，求数列 nb 的前 n 项和 nT ．
19．（12 分）
甲、乙两人进行“抗击新冠疫情”知识竞赛，比赛采取五局三胜制，约定先胜三局者获胜，
比赛结束．假设在每局比赛中，甲获胜的概率为 2
3
，乙获胜的概率为 1
3
，各局比赛相互独立．
（1）求甲获胜的概率；
（2）设比赛结束时甲和乙共进行了 X 局比赛，求随机变景 X 的分布列及数学期望．
20．（12 分）
如图，四边形 ABEF 是矩形，平面 ABC 平面 ABEF ， D 为 BC 中点， 120CAB ，
4AB AC ， 6AF ．
（1）证明：平面 ADF 平面 BCF ；
（2）求二面角 F AD E 的余弦值．
21．（12 分）
己知抛物线 2: 2 0C x py p ，过点 0,T p 作两条互相垂直的直线 1l 和 2l ， 1l 交抛物线C
于 A ， B 两点， 2l 交抛物线C 于 E 、 F 两点，当点 A 的横坐标为 1 时，抛物线 C 在点 A 处
的切线斜率为 1
2
．
（1）求抛物线C 的标准方程；
（2）已知O 为坐标原点，线段 AB 的中点为 M ，线段 EF 的中点为 N ，求 OMN△ 面积的
最小值．
22．（12 分）
已知函数 2lnf x x x ax x ， 11 ln xg x a x x e ， 0a ．
（1）当
2
ea 时，判断函数 f x 在定义域内的单调性；
（2）若 f x g x x 恒成立，求实数 a 的取值范围．
2021 年高考模拟考试
数学试题参考答案及评分标准
2021.5
说明：（1）此评分标准仅供参考；
（2）学生解法若与此评分标准中的解法不同，请酌情给分．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1-8：CABDBACD
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分．
9． AD 10．AC 11．ACD 12．BCD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
l3．84 14． 4
5
15． 3 16． 1
2
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解：（1）若选①：因为 2 2sin sin sin sin sinB C A B C ，
所以由正弦定理得 2 2b c a bc ，整理得 2 2 2b c a bc ，
所以
2 2 2 1cos 2 2
b c aA bc
，
因为 0 πA ，所以 π
3A ．
若选②：因为 2 sin tana C c A ，所以 sin2sin sin sin cos
AA C C A
，
即 1cos 2A ，
因为 0 πA ，所以 π
3A ．
若选③：因为 22cos cos2 12
B C A ，所以 2cos 1 2cos 1 1B C A ，
即 22cos cos 1 0A A ，
解得 1cos 2A 或 cos 1A ，
因为 0 πA ，所以 π
3A ．
（2）因为sin 2 sinB C ，由正弦定理得 2b c ，
因为 2b ，所以 1c ，
所以 1 1 3 6sin 2 12 2 2 4ABCS bc A △ ．
18．解：（1）设数列 na 的公比为 q ，
因为 3a 是 12a ， 23a 的等差中项，
所以 3 1 22 2 3a a a ，即 2
1 1 12 2 3a q a a q ，
因为 1 0a ，所以 22 3 2 0q q ，解得 2q 或 1
2q ，
因为数列 na 是正项等比数列，所以 2q ．
因为 4 16a ，即 4 1 18 16a a q a ，解得 1 2a ，
所以 12 2 2n n
na ．
（2）解法一：（分奇偶、并项求和）
由（1）可知， 2 1
2 1 2 n
na
，
所以， 2 1
2 2 1 21 1 log 2 1 2 1n n nn
n nb og a n
，
①若 n 为偶数，
3 5 7 9 2 1 2 1nT n n L
3 5 7 9 2 1 2 1n n L
2 2
n n
②若 n 为奇数，
当 3n 时， 1 1 2 1 2n n nT T b n n n ，
当 1n 时， 1 3T 适合上式，
综上得 nT
n ，n 为偶数2n
，
n
为奇数（或 1 1 1n
nT n ， n N ）．
解法二：（错位相减法）
由（1）可知， 2 1
2 1 2 n
na
，
所以， 2 1
2 2 1 21 log 1 log 2 1 2 1n n nn
n nb a n
，
1 2 31 3 1 5 1 7 1 2 1n
nT n L
所以 2 3 4 11 3 1 5 1 7 1 2 1n
nT n L
所以 2 3 12 3 2 1 1 1 1 2 1n n
nT n L
11 13 2 1 2 12
n
n n
13 1 1 1 2 1n n n
2 2 2 1 nn
所以 1 1 1n
nT n ， n N ．
19．解：（1）由已知得，比赛三局且甲获胜的概率
3
1
2 8
3 27P
，
比赛四局且甲获胜的概率为
2
2
2 3
2 1 2 8
3 3 3 27P C
，
比赛五局且甲获胜的概率为
2 2
2
3 4
2 1 2 16
3 3 3 81P C
，
所以甲获胜的概率为 1 2 3
8 8 16 64
27 27 81 81P P P P ．
（2）随机变量 X 的取值为 3，4，5，
则
3 32 1 13 3 3 3P X
，
2 2
2 2
3 3
2 1 2 1 2 1 8 2 104 3 3 3 3 3 3 27 27 27P X C C
，
2 2
2
4
2 1 85 3 3 27P X C
，
所以随机变量 X 的分布列为
X 3 4 5
P 1
3
10
27
8
27
所以 1 10 8 1073 4 53 27 27 27E X ．
20．解：（1）因为 AB AC ， D 为 BC 中点，所以 AD BC ，
因为 ABEF 是矩形，所以 FA AB ，
因为平面 ABC 平面 ABEF ，平面 ABC 平面 ABEF AB ，
AF 平面 ABEF ，所以 AF 平面 ABC ，
因为 BC 平面 ABC ，所以 AF BC ，
又 AF ， AD 平面 ADF ， AF AD A ，
所以 BC 平面 ADF ，
又 BC 平面 BCF ，所以平面 ADF 平面 BCF ．
（2）由（1）知， AF 平面 ABC ，
故以点 A 为坐标原点，分别以 AB
， AF
的方向为 y 轴、 z 轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz ，
则 0,0,0A ， 0,0, 6F ， 0,4,0B ， 2 3, 2,0C ， 0,4, 6E ，
所以 3,1,0D ，
所以 3,1,0AD ， 0,0, 6AF ， 0,4, 6AE ， 2 3, 6,0BC ，
由（1）知， BC
为平面 ADF 的一个法向量，
设平面 ADE 的法向量为 , ,n x y z ，
则 0
0
n AD
n AE
，即 3 0
4 6 0
x y
y z
，
令 1x ，则 3y ， 2 2z ，
所以 1, 3,2 2n ，
所以 2 3 6 3 3cos , 32 3 4 3
n BCn BC
n BC
，
因为二面角 F AD E 为锐角，则二面角 F AD E 的余弦值为 3
3
．
21．解：（1）因为 2 2 0x py p 可化为
2
2
xy p
，所以 xy p
．
因为当 A 点的横坐标为 1 时，抛物线C 在 A 点处的切线斜率为 1
2
，
所以 1 1
2p
，所以 2p ，
所以，抛物线 C 的标准方程为 2 4x y ．
（2）解法一：由（1）知点T 坐标为 0,2 ，
由题意可知，直线 1l 和 2l 斜率都存在且均不为 0，
设直线 1l 方程为 2y kx ，
由 2
2
4
y kx
x y
联立消去 y 并整理得， 2 4 8 0x kx ，
2 24 32 16 32 0k k ，
设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，则 1 2 4x x k ， 1 2 8x x ，
所以， 2
1 2 1 2 4 4 4y y k x x k ，
因为 M 为 AB 中点，所以 22 ,2 2M k k ，
因为 1 2l l ， N 为 EF 中点，所以 2
2 2, 2N k k
，
所以，直线 MN 的方程为
2
2
2
22 2 2 12 2 2 222
k ky k x k k x kkk k
整理得 1 4y k xk
，
所以，直线 MN 恒过定点 0,4 ．
所以 OMN△ 面积 1 2 14 2 4 82S k kk k
，
当且仅当 1k k
即 1k 时， OMN△ 面积取得最小值为 8．
（2）解法二：由（1）知点T 坐标为 0,2 ，
由题意可知，直线 1l 和 2l 斜率都存在且均不为 0，
设直线 1l 方程为 2y kx ，
由 2
2
4
y kx
x y
联立消去 y 并整理得， 2 4 8 0x kx ，
2 24 32 16 32 0k k ，
设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，则 1 2 4x x k ， 1 2 8x x ，
所以， 2
1 2 1 2 4 4 4y y k x x k ，
因为 M 为 AB 中点，所以 22 ,2 2M k k ，
因为 1 2l l ， N 为 EF 中点，所以 2
2 2, 2N k k
，
所以，直线 MN 的方程为
2
2
2
22 2 2 12 2 2 222
k ky k x k k x kkk k
，
整理得 1 4y k xk
．
所以，点 O 到直线 MN 的距离为
2
4
11
d
k k
，
又
2 2 2
2
2
2 2 1 12 2 2 2 2 1MN k k k kk k k k
，
所以 OMN△ 面积
2
2
1 1 1 1 42 12 2 11
S MN d k kk k
k k
14 8k k
．
当且仅当 1k k
，即 1k 时， OMN△ 面积取得最小值为 8．
22．解：（1）当
2
ea 时， 2ln 2
ef x x x x x ，
所以 ln 2f x x ex ，
令 ln 2p x x ex ，则 1 1 exp x ex x
，
若 0p x ，则 10 x e
；若 0p x ，则 1x e
，
所以函数 p x 在 10, e
上为增函数，在 1 ,e
上为减函数，
则 1 0p x p e
，即 0f x ，仅在 1x e
时， 0f x ，
所以，函数 f x 在 0, 内为减函数．
（2）方法一：因为 2lnf x x x ax x ， 11 ln xg x a x x e ， 0a ，
若 f x g x x 恒成立，即对任意的 0x ， 1 ln 0xe ax x x 恒成立，
即对任意的 0x ，
1
ln 0
xe a x xx
恒成立，
令
1
ln
xeh x a x xx
，
所以 1 1
2
1 1 11
x xe x x eh x a ax x x x
，
令
1
0
xeq x a xx
，则
1
2
1 0
xe xq x xx
，
当 0,1x 时， 0q x ， q x 单调递减，
当 1,x 时， 0q x ， q x 单调递增，
所以， min 1 1q x q a ，
若1 0a ，即 1a 时， 1 1 0h a ，与 0h x 矛盾，
若1 0a ，即 1a 时， 0q x ，
令 0h x 得 1x ， h x 为增函数，
令 0h x 得 0 1x ， h x 为减函数，
则 min 1 1 0h x h a ，即 0h x 对任意 0x 恒成立，
所以，若 f x g x x 恒成立，则 ,1a ．
方法二：因为 2lnf x x x ax x ， 11 ln xg x a x x e ， 0a ，
若 f x g x x 恒成立，即对任意的 0x ， 1 ln 0xe ax x x 恒成立，
即对任意的 0x ，
1
ln 0
xe a x xx
恒成立，
即 ln 1 lnxe x a x x ，
令 lnt t x x x ，则 1 11 xt x x
，
所以，当 0,1x 时， 0t x ， t x 单调递减，
当 1,x 时， 0t x ， t x 单调递增，
所以， 1 1t t x t ，
若 ln 1 lnxe x a x x 对任意 0x 恒成立，
则
1ln 1
ln
x te x ea x x t
恒成立．
设
1teq t t
， 1t ，则 1
2
1 0
te tq t t
，
所以，当 1,t 时， q t 单调递增，
所以，
1
1 1
te qt
，
所以，若 f x g x x 恒成立，则 ,1a ．
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