广元市高 2021 届第三次高考适应性统考
数学试卷（理工类）
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）．满分 150 分．考试时间 120 分钟．考生作
答时，需将答案写在答題卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将答题卡交回．
第 I 卷（选择题 共 60 分）
注意事项：
必须使用 2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑．
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项符合题目要求．
1．已知集合 0 2A x x ， 2 1 0B x x ，则 A B （ ）
A． 1,2 B． 1,1 C． 1,2 D． 0,1
2．设 i 是虚数单位，则复数 (2 )(1 )i i 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知 : ( 1) 0p x x ， : 1q x ，则 p 是 q 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．非零向量 a ，b
满足向量 a b 与向量 a b 的夹角为
2
，下列结论中一定成立的是（ ）
A． a b B． a b C． a b D． / /a b
5．执行如图的程序，若输入 3n ， 3x ，则输出 y 的值为（ ）
A． 4 B．13 C． 40 D．121
6．已知函数 ( ) ln 4
xf x x
，则（ ）
A．函数 f x 的图像关于点 2,0 对称
B．函数 f x 的图像关于直线 2x 对称
C． f x 在 0,4 上单调递减
D． f x 在 0,2 上单调递减，在 2,4 上单调递增
7．设 m ， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若 ， m ， n ，则 m n B．若 m ， / /m n ， / /n ，则
C．若 m n ， m ， n ，则 D．若 / / ，m ，n ，则 / /m n
8．数列 na 满足 1 1a ，且 *
1 1n na a n n N ，则 1
na
的前10项和为（ ）
A． 9
11 B． 10
11 C． 20
11 D． 21
11
9． 2 3 9(1 ) (1 ) (1 )x x x 的展开式中 2x 的系数是（ ）
A． 60 B．80 C．84 D．120
10．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗
中隐含一个有趣的数学问题——“将军饮马”即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先
到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域
为 2 2 2x y ，若将军从点 3,0A 处出发，河岸线所在直线方程为 4x y ，并假定将军
只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． 2 5 B． 17 2 C． 17 D．3 2
11．已知定义在 R 上的偶函数 f x ，其导函数为 f x ，若 ( ) 2 ( ) 0xf x f x ， ( 3) 1f ，
则不等式 ( ) 1
9
f x xx
的解集是（ ）
A． ( , 3) (0,3) B． 3,3
C． ( 3,0) (0,3) D． ( , 3) (3, )
12．已知双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yE a ba b
的左，右焦点分别为 1F ， 2F ，过 2F 作圆
2 2 2:O x y a 的切线，切点为T ，延长 2F T 交双曲线 E 的左支于点 P ．若 2 22PF TF ，
则双曲线 E 的离心率的取值范围是（ ）
A． 2, 6 B． 5, C． 2, D． 2, 5
第 II 卷（非选择题 共 90 分）
注意事项：
必须使用 0．5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答，作图题可先用铅
笔绘出，确认后再用 0．5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚．答在试题卷、草稿纸上无效．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．）
13．已知等差数列 na 满足 2 5 8 15a a a ，则 3 7a a ________．
14．某正三棱锥正视图如图所示，则侧视图的面积为_______．
15．有 4 名男生、3 名女生排队照相，7 个人排成一排．①如果 4 名男生必须连排在一起，那
么有 720 种不同排法；②如果 3 名女生按确定的某种顺序，那么有840 种不同的排法；③如
果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法；④如果3 名女生中任何两名不能排在一起，
那么有1440 种不同排法；则以上说法正确的有_______．
16．用 T n 表示正整数 n 所有因数中最大的那个奇数，例如： 9 的因数有1， 3 ， 9 ，则
9 9T ， 10 的 因 数 有 1 ， 2 ， 5 ， 10 ， 则 10 5T ． 计 算
2021(1) (2) (3) 2 1T T T T ________．
三、解答题：（本大题共 6 小题，第 22（或 23）小题 10 分，其余每题 12 分，共
70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程、计算步骤．）
17．已知 ABC 的内角 A ， B ，C 所对的边分别是 a ，b ， c ，若 2sin( ) 8sin 2
BA C ．
（I）求 cos B ；
（II）若 6a c ， ABC 的面积为 2 ，求 b ．
18．广元某中学调查了该校某班全部 40 名同学参加棋艺社团和武术社团的情况，数据如下表：
（单位：人）
参加棋艺社团 未参加棋艺社团
参加武术社团 8 10
未参加武术社团 7 15
（I）能否有 95% 的把握认为参加棋艺社团和参加武术社团有关？
（II）已知既参加棋艺社团又参加武术社团的8 名同学中，有3 名男同学，5 名女同学．现从
这3 名男同学，5 名女同学中随机选5 人参加综合素质大赛，求被选中的女生人数 X 的分布列
和期望．
附：
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
2
0p K k 0.10 0.05 0.025
0k 2.706 3.841 5.024
19．如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1AA 平面 ABC ， AB AC ， 2AB AC ，
1 4AA ，点 D 是 BC 的中点．
（I）求证： 1AD C D ；
（II）求平面 1ADC 与平面 1 1ABB A 所成二面角的正弦值．
20．已知抛物线 2 2 ( 0)y px p 的焦点为 F ．
（I）若点 ,1C p 到抛物线准线的距离是它到焦点距离的 3 倍，求抛物线的方程；
（II）点 ,1C p ，若线段CF 的中垂线交抛物线于 A ， B 两点，求三角形 ABF 面积的最小
值．
21．已知函数 ( ) ln 2( )xf x e ax a R ．
（I）讨论函数 f x 的单调性；
（II）当 2a 时，求函数 ( ) ( ) cos ln 2g x f x x 在 ,2
上零点个数．
选考题：考生从 22、23 两题中任选一题作答，将选择的题号对应的方框用 2B 铅
笔涂黑，多做按所答第一题计分．
22．选修 4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆 : cos sinC 和直线 2: sin ( 0,0 2 )4 2l
．
（I）求圆C 与直线 l 的直角坐标方程；
（II）当 (0, ) 时，求圆 C 和直线 l 的公共点的极坐标．
23．选修 4-5：不等式选讲
已知函数 ( ) | | | 2| ( R)f x x m x m ，不等式 ( 2) 0f x 的解集为 ,4 ．
（I）求 m 的值；
（II）若 0a ， 0b ， 3c ，且 2 2a b c m ，求 ( 1)( 1)( 3)a b c 的最大值．
广元市高 2021 届第三次高考适应性统考
数学试卷（理工类）参考答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．
1-5：ADBCC 6-10：ABCDB 11-12：AD
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．10 14． 6 3 15．②⑧④ 16．
20214 1
3
三、解答题：本大题共 6 小题，第 22（或 23）小题 10 分，其余每题 12 分，共 70
分．
17．解：（1）由题意： 2sin( ) sin 8sin 2
BA C B ，
22sin cos 8sin2 2 2
B B B ，
化简得 1tan 2 4
B
由
2
2
111 tan 15162cos 1 171 tan 12 16
B
B B
（II）由（I） 8sin 17B ，又 1 sin 22ABCS ac B 得 17
2ac ．
由余弦定理： 2 2 2 22 cos ( ) 2 2 cos 4b a c ac B a c ac ac B
所以 2b
18．解．（1）由
2
2 (8 15 7 10) 40 2500 40 0.673415 25 22 18 15 25 22 18K
则 2 3.841K ，所以没有95% 的把握认为参加棋艺社团和参加武术社团有关．
（II）由题意： X 可取 2 ，3 ， 4 ，5 ．
2
5
5
8
10( 2) 56
CP X C
，
2 3
3 5
5
8
30( 3) 56
C CP X C
1 4
3 5
5
8
15( 4) 56
C CP X C
，
5
5
5
8
1( 5) 56
CP X C
X 的分布列为：
X 2 3 4 5
P 5
28
15
28
15
56
1
56
5 15 15 1 25( ) 2 3 4 528 28 56 56 8E X
19．（I）证明：由 AB AC ， D 为 BC 的中点，
AD BC ，
又 1CC 平面 ABC ， 1AD CC
又 1CC BC C ，
AD 面 1 1BCC B ，
由 1C D 面 1 1BCC B ，
1AD C D
（II）解：建立以 AB ， AC ， 1AA 为 x ， y ， z 轴的空间直角坐标系，
则 (0,0,0)A ， (1,1,0)D ， 1(0,2,4)C
设 ( , , )n x y z 为平面 1ADC 的法向量， (1,1,0)AD ， 1 (0,2,4)AC
则
1
0
0
AD n
AC n
0
2 4 0
x y
y z
可得 (2, 2,1)n
又显然 (0,2,0)AC 为平面 1 1ABB A 的法向量，
由 2cos , 3| |
n ACn AC
n AC
∣
即平面 1ADC 与平面 1 1ABB A 所成二面角的正弦值为 5
3
．
20．解：（I）抛物线的准线方程是
2
px ，焦点坐标为 ,02
pF
，
2
3 12 2
p pp p
0p ， 2p
抛物线的方程为 2 2 2y x
（II）由题意知线段CF 的中点坐标为 3 1,4 2
pM
， 1 0 2
2
CFk p pp
，
2AB
pk
直线 AB 的方程为 1 3
2 2 4
p py x
设 1 1,A x y ， 2 2,B x y
由
2 2
1 3
2 2 4
y px
p py x
，得
2
2 34 2 02
py y
1 2 4y y ， 2
1 2
3 22y y p
2
2
1 2 1 2 1 22 2
6 41 4| | 1 1 4
AB
p
AB y y y y y yk p p
又
2 2 4| | 12 2
ppCF p
32 2 2
2
6 4 4 41 1 6| | | |2 2 8 8ABF
p p p
S AB CF p p
令 2 ( 0)t p t ，则
3( 4)( ) tf t t
，
2
2
2( 4) ( 2)( ) t tf t t
当 0 2t 时， 0f t ， f t 递减，当 2t 时， 0f t ， f t 递增，
当 2t 即 2p 时， ABFS 取得最小值，最小值为 6 9 21088 4
．
21．解：（1）定义域： R ， ( ) xf x e a ，
①当 0a 时，由 0f x 恒成立，则 f x 在 R 上为增函数：
②当 0a 时，若 0f x ，则 lnx a ；若 0f x ，则 lnx a ，
f x 在 ( ,ln )a 上为减函数，在 (ln , )a 上为增函数．
综上：当 0a 时， f x 在 R 上为增函数：
当 0a 时， f x 在 ,ln a 上为减函数，在 ln ,a 上为增函数．
（II）当 2a 时， ( ) 2 cosxg x e x x ，则 ( ) 2 sinxg x e x
①当 ,02x
时，由 ( ) 1 (sin 1) 0xg x e x ，
( )g x 在 ,02
上为减函数，又 0 0g ， g x 在 ,02
上无零点；
②当 0, 2x
时， ( ) cos 0xg x e x ， ( )g x 在 0, 2
上为增函数，
又 (0) 1 0g ， 2 1 02g e
， 0 0, 2x
舍得 0 0g x ，
0
02 sinxe x ，
当 0x x 时， 0g x ；当 00 x x 时， 0g x ；
( )g x 在 00, x 上为减函数，在 0 , 2x
上为增函数．
由 (0) 0g ， 0 0g x ， 2 02g e
， ( )g x 在 0, 2
上有两个零点；
③当 ,2x
时， ( ) 2 sinxg x e x 为增函数， ( ) 02g x g
( )g x 在 ,2
上为增函数，由 2 1 02g e
，
( )g x 在 ,2
上无零点；
综上： g x 在 ,2
上有两个零点．
22．解：（1）由 : cos sinC 可得 2 cos sin ，
则直角坐标方程为： 2 2x y x y ，化简得 2 2 0x y x y ．
由 2: sin 4 2l
，
sin cos 1 ，
则直角坐标方程为： 1y x ，所以 : 1 0l x y
（II）联立方程组得 cos sin
sin cos 1
，消元 2 2sin cos cos2 1 ，
由 (0, ) ，
2
即圆C 和直线l 的公共点的极坐标为 1, 2
．
23．解：（1）由题意 ( 2) | (2 ) | | | 0f x x m x ，则 2 2[ (2 )]x m x
即 22( 2) ( 2)m x m 的解集为 ,4 ，
显然 2 0m 不符合条件，则 2 42
m ， 6m
（II）由题意 2 12a b c ，
则
3
31 1 1 2 2 3 1( 1)(2 2)( 3) 4 322 2 3 2
a b ca b c
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