扬州市 2021 届高三考前调研测试试题
数学 2021.05
注意事项：
1．本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 150 分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等信息用黑色墨水签字笔填写在答题卡的相应
位置．
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的选项中，只有一项
符合要求)．
1．设全集 2| lg(2 )U x y x x ，集合 | 2 , 0xA y y x ，则 U A =ð （ ）
A．[1, ) B． (0,1] C． [1,2) D． ( ,1]
2． 若(3 )(2 )i xi y ，其中 ,x y R ,i 为虚数单位，则复数 x yi 在复平面内对应的点
位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3． 在 ABC 中, 6, 8, 10, 2 ,AB AC BC BC DB 则 AD BC （ ）
A. 86 B. 86 C. 7 D. 7
4． 现有《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》各一本，分给甲、乙、丙、丁、戊5名
同学，每人一本，若甲乙都没有拿到《诗经》，且乙也没拿到《春秋》，则所有可能的分
配方案有（ ）
A．18 种 B．24 种 C．36 种 D．54 种
5． 密位制是度量角的一种方法．将周角等分为 6000 份，每一份叫做1密位的角．以密位作
为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个
数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数字与十位
数字之间画一条短线，如： 478密位写成“ 4 78 ”，1周角等于 6000 密位，记作1周角
60 00 ．如果一个扇形的半径为 2 ，面积为 7
3
，则其圆心角可以用密位制表示为（ ）
A． 25 00 B． 35 00 C． 42 00 D． 70 00
6．“五一”期间，甲、乙、丙三个大学生外出旅游，已知一人去北京，一人去西安，一人去云
南. 回来后，三人对去向作了如下陈述：
甲：“我去了北京，乙去了西安.”
乙：“甲去了西安，丙去了北京.”
丙：“甲去了云南，乙去了北京.”
事实是甲、乙、丙三人的陈述都只对了一半（关于去向的地点仅对一个）. 根据以上信息，
可判断下面说法中正确的是（ ）
A．甲去了西安 B．乙去了北京 C．丙去了西安 D．甲去了云南
7． 已知双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
的右焦点为 F , 以 F 为圆心， OF 为半径的圆交双
曲线C 的右支于 ,P Q 两点（O 为坐标原点）,若 OPQ 是等边三角形，则双曲线C 的离
心率为（ ）
A. 7 1
3
B. 3 C. 5 1
2
D. 2
8． 已 知定 义 在 ,0 0, 上 的奇 函 数 f x 在 0， 上 单调 递 减 ，且 满 足
2 2f ，则关于 x 的不等式 sinf x x x 的解集为（ ）
A． , 2 2, B． 2,0 2, C． , 2 0,2
D． 2,0 0,2
二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分)
9． 已知 0ab 且 1 1
a b
，则下列不等式一定成立的有（ ）
A． a b B． a b
b a
C． 2a b
b a
D． 2 2a ba b
10．已知函数 ( ) sin( ) ( 0)6f x x 在区间[0, ] 上恰能取到 2 次最大值，且最多有 4
个零点，则下列说法中正确的有（ ）
A. ( )f x 在 (0, ) 上恰能取到 2 次最小值 B. 的取值范围为 8 25[ , )3 6
C. ( )f x 在 (0, )6
上一定有极值 D. ( )f x 在 (0, )3
上不单调
11．正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1=2AA ，点 P 在线段 1BC 上运动，点 Q 在线段 1AA 上运
动，则下列说法中正确的有（ ）
A．三棱锥 1A D PC 的体积为定值
B．线段 PQ 长度的最小值为 2
C．当 P 为 1BC 中点时，三棱锥 1P ABB 的外接球表面积为 2
D．平面 BPQ 截该正方体所得截面可能为三角形、四边形、五边形
12．在三角函数部分，我们研究过二倍角公式 2cos2 2cos 1x x ，实际上类似的还有三倍
角公式，则下列说法中正确的有（ ）
A． 3cos3 4cos 3cosx x x
B．存在 1x 时，使得 34 3 1x x
C．给定正整数 n ，若 1,( 1,2, , )ix i n ，且 3
1
0
n
i
i
x
，则
1 3
n
i
i
nx
D ． 设 方 程 38 6 1 0x x 的 三 个 实 数 根 为 1 2 3, ,x x x ， 并 且 1 2 3x x x ， 则
2 2
3 2 3 12( )x x x x
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．
612x
x
展开式中常数项为___________（用数字作答）.
14．已知点 P 在抛物线 2 4y x 上，点Q 在圆 2 2( 5) 1x y 上，则 PQ 长度的最小值为
__________
15．根据天文学有关知识，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于 58 时，能在扬州的夜空中
看到它．下表列出了 10 颗恒星的“赤纬”数值：
星名 天狼星 老人星 南门二 大角星 织女一 五车二 参宿七 南河三 水委一 参宿四
赤纬 －16.7° －52.7° －60.8° 19.2° 38.8° 46° －8.2° 5.2° －57.2° 7.4°
现有四名学生从这 10 颗恒星中各随机选择 1 颗进行观测，其中有 X 人能在扬州的夜空中
看到观测目标，
则 X 的数学期望为
16．对于有限数列 na ，定义集合
1 2
21| 1 10ki
k
iia a aS k s s i ik i
， ，其中 1 10k Z k 且 ，若
na n ，则 3S 的所有元素之和为
四、解答题（本大题共 6 小题，计 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 10 分）
已知等差数列 na 和等比数列 nb 满足： 1 1 2a b ，且 2 3 61, , 1 a a a 是等比数列
nb 的连续三项.
（1）求数列 na ， nb 的通项公式；
（2）设 2 1 21 log ( ) logn
n n n nc a a b ，求数列 nc 的前 10 项和 10T ．
18. （本小题满分 12 分）
在 ABC 中，角 , ,A B C 所对边分别为 , ,a b c ，现有下列四个条件：
① 3a ； ② 2b ； ③ 2 cos cos cosc A a B b A ； ④
2 2 23( ) 2 3a c b ac .
（1）③④两个条件可以同时成立吗？请说明理由；
（2）请从上述四个条件中选三个，使得 ABC 有解，并求 ABC 的面积.
（注：如果选择多个组合作为条件分别解答，按第一个解答计分）
19．（本小题满分 12 分）
如图，四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD ， AD // BC ，
2, 3,AB AD AC AC BD E , 2DM MP ， PB //平面 MAC ．
（1）证明： AC 平面 PAD ；
（2）若 PB 与平面 ABCD 所成角为 45 ，求二面角 C PD A 的余弦值．
20. （本小题满分 12 分）
已知椭圆
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
的左、右焦点分别为 1F ， 2F ， M 为椭圆C 上一点，
线段 1MF 与
圆 2 2 1x y 相切于该线段的中点 N ，且 1 2MF F 的面积为 2 .
（1）求椭圆C 的方程；
（2）椭圆C 上是否存在三个点 , ,A B P，使得直线 AB 过椭圆C 的左焦点 1F ，且四边形
OAPB是平行四边形？若存在，求出直线 AB 的方程；若不存在，请说明理由.
21. （本小题满分 12 分）
甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制(先赢 3局的学校获胜，比赛结束)，
约定比赛规则如下：先进行男生排球比赛，共比赛两局，后进行女生排球比赛. 按照以往
比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为 2
3
，乙校获胜的概率为 1
3
，在女
生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为 1
3
，乙校获胜的概率为 2
3
，每局比赛结果相互独
立.
（1）求甲校以3:1获胜的概率；
（2）记比赛结束时女生比赛的局数为 ，求 的概率分布.
22．（本小题满分 12 分）
已知函数 ( ) lnf x x ax .
（1）若 ( )f x 存在极值，求实数 a 的取值范围；
（2）当 1a 时，判断函数 ( ) ( ) 2sing x f x x 的零点个数，并证明你的结论.
扬州市 2021 届高三考前调研测试试题
数学参考答案 2021.05
1.C 2.B 3.A 4.D 5.B 6.D 7.A 8.B
9． ACD 10. BD 11．AB 12. ACD
13.60 14.3 15. 3.6 16.121
17．解析：（1）设等差数列 na 的公差为 d ，等比数列 nb 的公比为 q
因为 2 3 61, , 1 a a a 是等比数列 nb 的连续三项
所以 2
3 2 6( 1)( 1) a a a ，即 2(2 2 ) (2 1)(2 5 1) d d d ，解得 3d 或 1 d
因为 nb 是等比数列，其各项不能为零 ，所以 1 d 舍去，所以 3d ，
所以 2 3 1 3 1 na n n ………3 分
又 3
2
21
aq a ，所以 12 2 2n n
nb . …………6 分
（2）∵
2 1 2 2 2 21 log ( ) log ( 1) log (3 1)(3 2) 1 [log (3 1) log (3 2)]n nn
n n n nc b b a n n n n n n
，
∴ nc 的前 10 项和
10 2 2 2 2 2 2(1 2 10) log 2 log 5 log 5 log 8 log 8 log 11T
2 2 2 2log 26 log 29 log 29 log 32 2 2
10(1 10) log 2 log 32 592
. ………
……10 分
18. 解析：（1）不能同时满足③④，理由如下：
由条件③得 2sin cos sin cos sin cosC A A B B A ，即 2sin cos sinC A C ，即 1cos 2A ，
因为 0,A ，所以
3A ； ……………2 分
由条件④得
2 2 2 2 3 1 3cos 2 3 2 3
a c bB acac ac
， ……………4
分
因为 3 1 2cos cos3 2 3B ， 0,B ，而 cosy x 在 0, 单调递减，所以
2
3 B .
于是 2
3 3A B ，与 A B 矛盾.所以 ABC 不能同时满足③
④. ……………6 分
（2）满足三角形有解的所有组合为①②③或①②④.
若选择组合①②③：由
sin sin
a b
A B
得
3 2
sin3
2
B
，即sin 1B ，
因为 0,B ，所以
2B ， ………9
分
ABC 为直角三角形，所以 2 22 ( 3) 1c ，所以 1 31 32 2ABCS . ………12
分
若选择组合①②④：由 2 2 2 2 cosb a c ac B 得 2 2 1c c ，解得 2 1c ， ……………9
分
因为 0,B ，所以
2
2 3 6sin 1 cos 1 3 3B B
，
所以
1 1 6 2 2sin 3 ( 2 1)2 2 3 2ABCS ac B
. ……………12 分
19． (1) 证明 连接 ME， ∵PB//平面 MAC，PB 平面 PBD，平面 PBD 平面 MAC=ME，
∴PB//ME， 2DE DM AD
BE PM BC
，∴BC=1， ……………2 分
而 AB=2， 3AC ， 2 2 2AC BC AB ，∴CA⊥BC，即 CA⊥AD，
又 PA⊥平面 ABCD，CA 平面 ABCD，∴PA⊥CA，
又 PAAD=A，PA 平面 PAD，AD 平面 PAD，
∴CA⊥平面 PAD． ……………5 分
(2) 因为 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45 ，所以 45PBA ，即 2PA
方法 1：向量法
如图，以 A 为原点，射线 AC，AD，AP 分别为 x，y，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，
则 (0,0,0), ( 3,0,0), (0,2,0), (0,0,2),A C D P 所以 ( 3,0, 2), (0,2, 2),PC PD
设平面 PCD的法向量为 1 ( , , )n x y z
ur ，
则 1
1
0 3 2 0
020 2
n PC x z
zn yPD
，即 ，
所以平面 PCD的一个法向量为 1 (2, 3, 3)n ，……………8 分
又平面 PAD 的一个法向量为 2 (1,0,0)n ， ……………10 分
所以 1 2
1 2
1 2
2 10cos 5| | | | 10
n nn n
n n
.
所以二面角C PD A 的余弦值为 10
5
……………12 分
方法 2：综合法 提示，在 PAD 内作 AH PD 于 H ，则 CHA 即为所求角
20、解析：（Ⅰ）因为 1ON ，又 ON 是三角形 1 2MF F 的中位线，所以 2 2MF ， 1 2MF MF ，
由椭圆的定义可知 1 2 2MF a ，因为三角形 1 2MF F 的面积为
1 (2 2) 2 2 2 22S a a ，所以 2a ，
又因为 2 2
1 2 1 2 2 2F F MF MF ，所以 2c ，则 2b ，
所以椭圆的方程为
2 2
14 2
x y ……………4 分
（2）存在
①当直线 AB 的斜率不存在时，直线 AB 的方程为 2x ，此时椭圆上不存在符合题意的
点 P ；……5 分
②当直线 AB 的斜率存在且 0k 时，此时 , ,O A B 三点共线，所以椭圆上不存在符合题意的
点 P ；
③当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时，设点 1 1,A x y ， 2 2,B x y ， 0 0,P x y ，
设直线 AB 的方程为 2y k x .
联立 2 2
( 2)
14 2
y k x
x y
，消去 y 可得 2 2 2 22 1 4 2 4 4 0k x k x k ， 216 16 0k ，
所以
2
1 2 2 1
4 2
2
kx x k
，
2
1 2 2 1
4 4
2
kx x k
……………7 分
所以 21 1 22
2 22 2 2 1y kk x x ky
因为四边形OAPB 是平行四边形，所以
OP OA OB 1 2 1 2,x x y y
2
2 2
4 2 2 2,
2 21 1
k k
k k
.
所以点
2
2 2
4 2 2 2
2 121
,k kP
k k
. ……………
9 分
又点 P 在椭圆上，则有
2 22
2 2
4 2 2 22 4
2 121
k k
k k
，即 44 1k ，解得 2
2k .
所以椭圆上存在三个点 , ,A B P ，满足要求，此时直线 AB 的方程为
2 12y x . ……………12 分
21. 解（1）设甲校以 3:1 获胜为事件 B ，4 局比赛中甲校胜出分别为
1,2,3 4iA i ， …………1 分
则
1 31 2 3 4 2 4 1 2 3 4P B P A A A A A A A AA A A A
2
1
2
2 1 1 2 1= 3 3 3 3 3 3 3 81 27
2 1 12 4C
答：甲校以 3:1 获胜的概率为
4
27
……4 分
（2） 的可能取值为 1、2、3
2 22 1 1 21 =3 3 3 3 9
2 6
27P
；
……6 分
2
2 2
1 1
2
2 2 1 2 1 1 1 102 =3 3 3 3 3 3 3 3 27
2 1 1 1 2 2 2 30
3 3 3 3 3 3 81P C C
……9 分
2 2
1 1
2
2 2
2
2 1 2 1 2 13 3 3 3
1
3
2 1 2 1
3 3 3 3 33 3P C C
3
1 1
2
3 2
2
22 1 2 1 1 1 11+ =3 3 3 3 3 3 3 3 27
2 2 2 99
3 243C C
所以，随机变量 的概率分布列为：
1 2 3
P 2
9
10
27
11
27
……12 分
22．解析：（1）函数 f x 的定义域为 0, ， 1 1 axf x ax x
，
当 0a 时， 0f x ，故 f x 在 0, 上递增，所以 f x 无极值；
当 0a 时， f x 在 10, a
上单调递增；在当 1 ,a
上单调递减.
所以 f x 在 1x a
处取得极大值，无极小值.
综上所述，若 f x 存在极值，则 a 的取值范围为
0, . ……………4 分
(2) ( ) ( ) 2sin ln 2sing x f x x x x x ，下面分区间逐段研究
①当 ,2x 时， sin 0x ，
由（1）知 1a 时 lnf x x x ，此时 ln 1f x x x f ，即 ln 1x x ，
所以 0g x ，所以 g x 在 ,2 上没有零
点． ……………6 分
②当 2 ,x 时， ln 2g x x x
设 ln 2x x x ， 1 1 0x x
，所以 x 在 2 , 上单调递减，所以
2 0x
所以当 2 ,x 时， 2 0g x x 恒成立，所以 g x 在 2 , 上没有零
点．………8 分
③当 0,x 时， 1 1 2cosg x xx
， 2
12sin 0g x x x
，所以 g x 在 0,
上单调递减，
又因为 3 1 1 03g
， 2 1 02g
，所以 g x 在 ,3 2
上有唯一的零点
．
g x 在 0, 上单调递增; g x 在 , 上单调递减;
所以 g x 在 0, 上存在唯一的极大值点
3 2
，且
ln 2 2 02 2 2 2g g
又因为 2 2 2 2
1 1 1 12 2sin 2 2 0g e e e e
，所以 g x 在 0, 上恰有一个零点．
又因为 ln 2 0g ，所以 g x 在 , 上也恰有一个零点．
综上得， g x 有且仅有两个零
点． ……………12 分
微信/支付宝扫码支付