天津市和平区2021届高三数学5月三模试题（Word版附答案）

和平区 2020—2021 学年度第二学期高三年级第三次质量调查 数学学科试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 4 至 6 页. 答卷前，考生务必将自己的考场座位号、姓名、准考证号填涂在答题卡上.答卷时，考生务必 将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分. 参考公式： ·如果事件 A 与事件 B 互斥，那么      P A B P A P B   . ·如果事件 A 与事件 B 相互独立，那么      P AB P A P B . 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合  2A x x  R ，  1B x x  R ，则 A B  （ ）. A. ,2 B. 2,2 C. 1,2 D. 2,1 2.“直线l 与平面 内的无数条直线垂直”是“直线l 与平面 垂直”的（ ）. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条 件 3.某市通过统计 50 个大型社区产生的日均垃圾量，绘制了如下图所示的频率分布直方图，数 据的分组依次为： 4,6 ， 6,8 ， 8,10 ， 10,12 ， 12,14 ， 14,16 ， 16,18 .为了鼓 励率先实施垃圾分类回收，将日均垃圾量不少于．．．14 吨的社区划定为试点社区，则这样的试点 社区个数是（ ）. A.4 B.10 C.19 D.40 4.意大利画家列奥纳多·达·芬奇的画作《抱银鼠的女子》（如图所示）中，女士颈部的黑色 珍珠项链与她怀中的白貂形成对比.光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美.达·芬奇提出：固定 项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问 题”.后人研究得出，悬链线并不是抛物线，而是与解析式为 2 x xe ey  的“双曲余弦函数” 相关. 下列选项为“双曲余弦函数”图象的是（ ）. A B C D 5.设 1 53a  ， 31 5b      ， 3 1log 5c  ，则 a ，b ， c 的大小关系为（ ）. A.b a c  B. a c b  C. c a b  D. c b a  6.在圆柱 1 2O O 内有一个球 O ，球 O 分别与圆柱 1 2O O 的上、下底面及母线均有且只有一个公 共点.若 1 2 2O O  ，则圆柱 1 2O O 的表面积为（ ）. A. 4 B.5 C. 6 D. 7 7.已知点 F 是双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a  ， 0b  ）的一个焦点，若双曲线实轴的一个端点、 虚轴的一个端点与点 F 恰好是直角三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ）. A.1 2 2  B.1 5 2  C.1 2 D.1 5 8.已知函数     1sin cos cos 2f x a x x x   的图象的一条对称轴为 6x  ，则下列结论中正 确的是（ ）. A. 7 ,012     是  f x 图象的一个对称中心 B.  f x 是最小正周期为 的奇函数 C.  f x 在 ,3 3      上单调递增 D.先将函数 2sin 2y x 图象上各点的纵坐标缩短为原来的 1 2 ，然后把所得函数图象再向左平 移 6  个单位长度，即可得到函数  f x 的图象 9.在 ABC△ 中， 0OA OB OC      ， 2AE EB  ， AB AC  ，若 9AB AC AO EC      ， 则实数   （ ）. A. 3 3 B. 6 3 C. 3 2 D. 6 2 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共 11 小题，共 105 分. 二、填空题：本大题共 6 小题. 10.i 是虚数单位，复数   2 1 2z i i   ，则 z 的共轭复数．．．．z  ______. 11.在 612x x     的展开式中，常数项是______. 12.设 a  R ，已知抛物线 2 4y x 的准线 l 与圆 C ： 2 2 2 2 3 0x y ax y    相切，则 a ______. 13.某校象棋社团开展竞赛活动，比赛中双方有一人获胜或者双方和棋则比赛结束.根据以往比 赛结果，在一局比赛中，甲战胜乙的概率是 1 2 ，两人和棋的概率是 1 6 ，则乙战胜甲的概率是 ______；甲乙两人比赛 2 局，每局胜方记 3 分，负方记 0 分，和棋双方各记 1 分，则甲得分 不少于．．．2 分的概率是______. 14.若正实数 x ， y ， z 满足 3 2 1x y z   ，则 2 4 2 4 2 x y y z x y    的最小值是______. 15.已知函数   2 ln , 0, 4 3 , 0, x x f x x x x       若    g x ax a R 使得方程    f x g x 恰有 3 个不同的实根，则实数 a 的取值范围为______. 三、解答题：本大题共 5 小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.已知 ABC△ 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 sin 2 sinb A c B ，且 3b  ， 1cos 4B  . （Ⅰ）求 a 的长； （Ⅱ）求 tan C 的值； （Ⅲ）求  tan 2B C 的值. 17. 如 图 ， 在 四 棱 锥 P ABCD 中 ， PA 平 面 ABCD ， AD CD ， //AD BC ， 2PA AD CD   ， 3BC  ，过点 A 做四棱锥 P ABCD 的截面 AEFG ，分别交 PD ， PC ， PB 于点 E ， F ， G ，已知 2 3 PG PB  ， E 为 PD的中点. （Ⅰ）求证： //AG 平面 PCD ； （Ⅱ）求 AF 与平面 PAB所成角的正弦值. 18.已知椭圆C ：   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的离心率 3 2e  ，且经过点  0,1D . （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）已知点  1,0A  和点  4,0B  ，过点 B 的动直线l 交椭圆C 于 M ，N 两点（ M 在 N 左侧），试讨论 BAM 与 OAN 的大小关系，并说明理由. 19.已知 na 是各项都为整数的等比数列， nb 是等差数列， 1 1 1a b  ， 2 15 2 2a a  ， 2 2a b . （Ⅰ）求 na 和 nb 的通项公式； （Ⅱ）设 1 n k k a   表示数列 na 的前 n 项乘积，即 1 2 3 1 n k n k a a a a a    ， *nN . （ⅰ）求 1 n k k a   ； （ⅱ）若数列 nc 的前 n 项和为 nS ，且 1 n n k k cb n  ，求证： 1 11 n n c Sn    . 20.已知函数   1 lnx xf x x xe   ， （Ⅰ）求曲线  y f x 在 1x  处的切线方程； （Ⅱ）证明： （ⅰ）   2f x  ； （ⅱ）对于任意 *nN ，  1 2 ln nne n n   . 和平区 2020—2021 学年度第二学期高三年级第三次质量调查 数学学科参考答案及评分标准 一、选择题. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A B B C D C B A D 二、填空题. 10. 4 3i 11. 160 12. 1 13. 1 3 ； 7 9 14. 4 2 2 15.  10, 2 3 4e      三、解答题. 16.（Ⅰ）解：由正弦定理 sin sin a b A B  ，及 sin 2 sinb A c B ，可得 2ab bc ，即 2a c . 由余弦定理 2 2 2 2 cosb a c ac B   ，解得 3a  . （ Ⅱ ） 解 ： 由 （ Ⅰ ） 知 3 2c  . 由 余 弦 定 理 ， 可 得 2 2 2 7cos 2 8 a b cC ab    . 因 为 2 2sin cos 1C C  ， 且  0,C  ，所以 15sin 8C  . 于是， sin 15tan cos 7 CC C   . （Ⅲ）解：由 a b 知 A B ，且 A B C    ，因此 2 2B C C   . 所以     2 2tan 7 15tan 2 tan 2 tan 2 1 tan 17 CB C C C C          . 17.（Ⅰ）证明：在 PC 上取点 H ，且满足 : 2 :3PH PC  ，连接GH ， HD ，则 //GH BC ， 且 2 23GH BC  . 因为 //AD BC ，所以 //AD GH ，且 AD GH . 所以 ADHG 是平等四边形. 所以 //AG HD . 又因为 HD  平面 PCD ， AG  平面 PCD ，所以 //AG 平面 PCD . （Ⅱ）过点 A 做与 DC 平等的射线l ，以l 为 x 轴，以 AD 为 y 轴， AP 为 z 轴，建立空间直 角坐标系 O xyz ，则有  0,0,2P ，  2,2,0C ， 4 2 2, ,3 3 3G    ，  0,1,1E . 设平面 AEFG 的法向量为  , ,n x y z ，则 4 2 2 03 3 3 0 x y z y z        ，令 1z  ，解得 1 1 1 x y z        ， 所以  1, 1,1n    是平面 AEFG 的一个法向量. 因为点 F 在 PC 上，所以    1 2 ,2 ,2 2AF AC AP           . 因 为 AF  平 面 AEFG ， 所 以 2 2 2 2 0AF n          ， 解 得 1 3   ， 所 以 2 2 4, ,3 3 3AF       . 设平面 PAB 的法向量为  1 1 1 1, ,n x y z ，则 1 1 1 0 2 0 z x y     ，令 1 1x  ，解得 1 1 1 1 2 0 x y z      ，所以  1 1,2,0n  是平面 PAB的一个法向量， cos AF  ， 1 30 10n  ，所以 AF 与平面 PAB 所 成角的正弦值为 30 10 . 18.（Ⅰ）解：由已知 1b  ， 3 2 ce a   ，又 2 2 2a b c  ，解得 2a  ， 1b  .所以椭圆C 的 方程为 2 2 14 x y  . （Ⅱ）解：依题意设直线l 的方程为  4y k x  ，设  1 1,M x y ，  2 2,N x y . 由   2 2 1,4 4 . x y y k x       消去 y 得 2 2 2 24 1 32 64 4 0k x k x k     ， 则  216 1 12 0k    ，解得 3 3 6 6k   .（*） 且有 2 1 2 2 32 4 1 kx x k    ， 2 1 2 2 64 4 4 1 kx x k   . 若 1 1x   ，则 1 3 2y   ， 3 6k   与（*）式矛盾，所以 1 1x   ，同理 2 1x   . 所以直线 AM 和 AN 的斜率存在，分别设为 AMk 和 ANk . 因为    1 21 2 1 2 1 2 1 2 4 4 3 321 1 1 1 1 1AM AN k x k xy y k kk k kx x x x x x                     1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 3 22 21 1 1 k x x k x xk kx x x x x x              2 22 2 2 2 2 2 323 2 3 24 21 42 2 064 4 32 36 311 4 1 4 kk k kkk kk k k k k                所以 AM ANk k  ，因此 BAM OAN   . 19.（Ⅰ）解：设等比数列 na 的公比为 q ，则 25 2 2q q  ，解得 1 2q  或 2q  .因为数列 na 的各项都为整数，所以 2q  ， 2 2 2a b  ， 12n na  . 设等差数列 nb 的公差为 d ，则 2 1 2b d   ，解得 1d  ，所以 nb n . （Ⅱ）（ⅰ）解：   20 1 0 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 n n nn nn k k a            . （ⅱ）证明：因为 1 n n k k cb n  ，所以    1 1 2 3 1 1 !1 nc n n nn          ， 且  1 2 3 !nc n n n n      ， *nN . 故要证 1 11 n n c Sn    ，只需证  1 ! 1nS n   ，即证明前 n 项和为  1 ! 1nS n   的数列通 项公式是 !nc n n  . 当 1n  时， 1 2! 1 1S    ，而 1 1c  ，所以 1 1S c ； 当 2n  时，        1 1 ! 1 ! 1 1 ! ! ! 1 1 !n n nS S n n n n n n n n c                 . 且代入 1n  时 11 1! 1 c   ，故  1 ! 1nS n   即为数列 nc 的前 n 项和. 所以 1 11 n n c Sn    ， *nN . 20.（Ⅰ）解：因为   1 1 ln 1x xf x xe      ，且  1 1f    ，  1 1f  ，所以曲线  y f x 在 1x  处的切线方程为 2 0x y   . （Ⅱ）证明：（ⅰ）设   ln 2g x x x  ，   1x xh x e  ，故证明    g x h x 即可. 由   ln 1g x x   ，令   0g x  ，解得 1x e  .当 x 变化时，  g x ，  g x 的变化情况如下 表： x 10, e      1 e 1 ,e      g x － 0 ＋  g x ↘ 极小值 ↗ 故   1 12g x g e e       . 由   1 1 x xh x e    ，令   0h x  ，解得 1x  .当 x 变化时，  h x ，  h x 的变化情况如下表： x  0,1 1  1,  h x ＋ 0 －  h x ↗ 极大值 ↘ 故    1 1h x h  . 因为 12 1e   ，所以    g x h x ，即   2f x  . （ⅱ）由（Ⅱ）（ⅰ）知 1 ln 2x x x xe    ，令 1x n  ， *nN ，可得 1 1 1 1 1 1ln 2 nn n ne    ，即 1 ln 2 n ne n n    ，故 1 2 ln n ne n n    . 因为 1 2 ln 0 n nn n e     ，所以   1 2 ln nn nne n n        ，即  1 2 ln nne n n   .