浙江省宁波市镇海中学2021届高三数学5月模拟试题（Word版附答案）

2021 年镇海中学高考数学模拟试题 2021 年 5 月 17 日 注意事项： 1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生必须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线 内填写学校、班级、学号、姓名； 2．本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分．满分 150 分，考试时间 120 分钟． 参考公式： 如果事件 A ， B 互斥，那么柱体的体积公式      P A B P A P B   如果事件 A ， B 相互独立，那么      P A B P A P B   如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的 概率      C 1 0,1,2, ,n kk k n nP k p p k n    台体的体积公式  1 1 2 2 1 3V h S S S S   其中 1S ， 2S 分别表示台体的上、下底面积， h 表示台体的高 柱体的体积公式V Sh 其中 S 表示柱体的底面积， h 表示柱体的高 锥体的体积公式 1 3V Sh 其中 S 表示锥体的底面积， h 表示锥体的高 球的表面积公式 24S R 球的体积公式 34 3V R 其中 R 表示球的半径 第Ⅰ卷（选择题，共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．已知集合  1,2,3,4,5A  ，  1 3xB x    ，则 A B  （ ） A ．  1,2,3 B ．  1 3x x  C ．  1,2 D． 1 2x x≤ ≤ 2．已知抛物线  2 2 0x py p  上一点  ,1M m 到焦点的距离为 3 2 ，则其焦点坐标为 （ ） A． 10, 2      B． 1 ,02      C． 1 ,04      D． 10, 4      3．设 l 为直线， ，  是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A．若  ，l ∥ ，则 l  B．若l ∥ ，l ∥ ，则 ∥ C．若 l  ，l ∥ ，则 ∥ D．若 l  ，l  ，则 ∥ 4．若实数 x ， y 满足约束条件 1 0 2 2 0 0 x y x y y       ≤ ≥ ≥ ，则 2x y 的最大值是（ ） A． 4 B． 1 C．0 D．2 5．已知奇函数     cos 0,0 1f x x        的最小正周期为8 ，则 log  的值 是（ ） A．2 B． 2 C． 1 2 D． 1 2  6．已知公差不为零的等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 6 1 5 06 Sa a   ，则 4 5 a S （ ） A． 3 B． 9 35 C． 11 45 D．11 9 7．在 ABC 中，“sin cosA B ”是“ 2C  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．函数    2 2 ln 1 cos x x f x x x     的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D． 9．如图，已知双曲线   2 2 2 2 1 0x y b aa b     的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，过右焦点作平行 于一条渐近线的直线交双曲线于点 A ，若 1 2AF F 的内切圆半径为 4 b ，则双曲线的离心率为 （ ） A． 5 3 B． 5 4 C． 4 3 D． 3 2 10．若实数 a ，b 满足   2 2 1ln 2 ln 1a b a b   ≥ ，则 a b  （ ） A． 2 2 B． 2 C． 3 2 2 D． 2 2 第Ⅱ卷（非选择题，共 110 分） 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题 4 分，共 36 分． 11．已知复数 z 满足：  3 4z i i  ，则 z  ____________， z z  ____________． 12．若二项式  2 , nmx m n Rx      展开式的二项式系数之和为 32，常数项为 10，则 m n  ________；二项式系数最大的项的系数是________． 13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积得最大值为________，此时 x ________． 14．用 0，1，2，3，4，5 组成无重复数字的四位数，则其中 0 和 5 不相邻的四位数有________ 个（用数字作答）；设这些无重复数字的四位数的各数字积为 ，则  E   ________． 15．棱长为 6 的正方体内有一个棱长为 x 的正四面体，且该四面体可以在正方体内任意转动， 则 x 的最大值为____________． 16．已知平面向量 a  ，b  ， c  ，满足 3a b   ， 2c  ，且  4a b c a b         ，则 a b  的取值范围是___________． 17．若实数 x ， y 满足 3 38 6 1 0x y xy    ，则 3x y 的最大值为_______________． 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．（本题满分 14 分） 已知函数   23 sin 2 cos2f x x x m   ， （1）求函数  f x 的最小正周期与单调递增区间； （2）若 5 3,24 4x      时，函数  f x 的最大值为 0，求实数 m 的值． 19．（本题满分 15 分） 如图，在四边形 ABCD 中，BC CD ，BC CD ， AD BD ，以 BD 为折痕把 ABD 折 起，使点 A 到达点 P 的位置，且 PC BC ． （1）证明： PD  平面 BCD； （2）若 M 为 PB 的中点，二面角 P BC D  等于 60 ，求直线 PC 与平面 MCD 所成角的 正弦值． 20．（本题满分 15 分） 已知数列 na 满足 1 1a  ，且 2 1 1n n na a na n     ， *Nn ． （1）求 na 的通项公式； （2）设 2 1n nb a  ，求使不等式 1 2 1 1 11 1 1 2 1 n p nb b b                 ≥ 对一切 2n≥ 且 *nN 均成立的最大整数 p ． 21．（本题满分 15 分） 已知抛物线C ： 2 2y px 的准线为 1 2x   ， （1）求抛物线C 的方程； （2）已知点 ,02 pM     ，点 ,02 pN      ，点 A 为抛物线C 上一点，直线 AM 交抛物线 C 于 另一点 B ，且点 A 在线段 MB 上，直线 AN 交抛物线C 于另一点 D ，求 MBD 的内切圆半 径 r 的取值范围． 22．（本题满分 15 分） 已知函数   3 3 1f x x ax   ，  1,1x  ， a R ， （1）若函数  f x 在区间 1,1 上不单调，求 a 的取值范围； （2）求  f x 的最大值； （3）若   1f x b ≤ 对任意  1,1x  恒成立，求 a b 的取值范围． 答案及其解析 1-10 CADDC BBAAC 11. 4 3 25 i 1/25 12.7 40 或 80 13. 25 7 8 78 2 14.240 548/25 （48 137/5）均对 15. 2 6 16. 14 2, 14 2    17.27/512 18．（1）T  ，单调递增区间为 ,6 3k k        ， k Z ；（2） 1 2m  ． 【解析】（1）化简  f x ，求出  f x 在最小正周期，解不等式，求出函数的递增区间即可； （2）根据 x 的范围，求出 2 6x  的范围，得到关于 m 的方程，解出即可． 试 题 解 析 ： （ 1 ）   23 3 1 cos2 1sin 2 cos sin 2 sin 22 2 2 6 2 xx x m x m xf x m              则函数  f x 的最小正周期T  ， 根据 2 2 22 6 2k x k      ≤ ≤ ， k Z ，得 6 3k x k    ≤ ≤ ， k Z 所以函数的单调递增区间为 ,6 3k k        ， k Z ． （2）因为 5 3,24 4x      ，所以 42 ,6 4 3x         ， 则当 2 6 2x    ， 3x  时，函数取得最大值 0， 即 11 02m   ，解得： 1 2m  . 19．【详解】 （1）证明：因为 BC CD ， BC PC ， PC CD C ， 所以 BC  平面 PCD， 又因为 PD  平面 PCD，所以 BC PD ． 又因为 PD BD ， BD BC B ， 所以 PD  平面 BCD． （2）因为 PC BC ， CD BC ， 所以 PCD 是二面角 P BC D  的平面角，即 60PCD   ， 在 Rt PCD 中， tan 60 3PD CD CD   ， 取 BD 的中点O ，连接OM ，OC ，因为 BC CD ， BC CD ， 所以OC BD ，由（1）知， PD  平面 BCD，OM 为 PBD 的中位线， 所以OM BD ，OM OC ，即OM ， OC ， BD 两两垂直， 以O 为原点建立如图所示的坐标系 O xyz ，设 1OB  ，则  0,1, 6P ，  1,0,0C ，  0,1,0D ， 60,0, 2M       ，  1,1, 6CP   ，  1,1,0CD   ， 61,0, 2CM        ，设平面 MCD 的一个法向量为  , ,n x y z ， 则由 0 0 n CD n CM          得 0 6 02 x y x z      ，令 2z  ，得  3, 3, 2n  ， 所以 3cos , 4 CP nn CP CP n         ， 所以直线 PC 与平面 MCD 所成角的正弦值为 3 4 ． 20．【详解】 （1）猜想 na n ，再数学归纳法证明 （2）由题意得 1 2 1 1 1 11 1 1 2 1 n p b b bn               ≤ 对 2n≥ ， *Nn 恒成立， 记   1 2 1 1 1 11 1 1 2 1 n F n b b bn                 ， 则     1 2 1 1 2 1 1 1 1 11 1 1 11 2 3 1 1 1 11 1 1 2 1 n n n b b b bF n n F n b b bn                                     2 2 2 2 4 8 4 14 8 32 1 2 3 n n n n nn n        ∵   0F n  ，∴    1F n F n  ，即  F n 是随 n 的增大而增大，  F n 的最小值为       12 1 2 3 132 1,2 5 15 F        ， p Z ，所以 max 1p  ． 21．解：（1） 2 2y x （2）设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，  3 3,D x y ，直线 BD 与 x 轴交点为 E ，内切圆与 AB 的切 点 为 T ． 设 直 线 AM 的 方 程 为 ： 1 2y k x     ， 则 联 立 方 程 2 1 2 2 y k x y x          ， 得 ：   2 2 2 2 2 04 kk x k x    ∴ 1 2 1 4x x  且 1 20 x x  ∴ 1 2 1 2x x  ∴直线 AN 的方程为： 1 1 1 1 2 2 yy x x      ， 与 方 程 2 2y x 联 立 得 ： 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 12 2 02 4y x y x x x y         ， 化 简 得 ： 2 2 1 1 1 1 12 2 02 2x x x x x       解得： 1 1 4x x  或 1x x ∵ 3 2 1 1 4x xx   ∴ BD x 轴 设 MBD 的内切圆圆心为 H ，则 H 在 x 轴上且 HT AB 方法（一）∴ 2 2 1 1 22 2MBDS x y        ，且 MBD 的周长为： 2 2 2 2 2 12 22x y y      ∴ 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 12 2 22 2 2 2MBDS x y y r x y                       ∴ 2 2 2 2 2 222 2 2 2 2 2 22 2 1 1 12 1 1 1 1 1 11 1 121 12 2 22 2 x y r y x y y xx xx x                              ． 方法（二）设  2 ,0H x r ，直线 BD 的方程为： 2x x ，其中 2 2 22y x 直线 AM 的方程为： 2 2 1 1 2 2 yy x x      ，即 2 2 2 1 1 02 2y x x y y       ，且点 H 与点O 在 直线 AB 的同侧， ∴    2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 x r y y x r y y r x y x y                    ， 解得： 2 2 2 2 2 22 2 2 2 22 1 12 1 1 11 12 12 22 x y y r y x y x xx                 方法（三）∵ MTH MEB ∽ ∴ MH HT MB BE  ，即 2 2 22 2 2 1 2 1 2 x r r y x y         ， 解得： 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 222 2 2 1 1 1 12 2 2 1 1 11 1 1 12 12 2 21 1 1 1 222 x y x x r y x y x x x xx y x                                         令 2 1 2t x  ，则 1t  ∴ 2 1 1 1 1 2 1 r t t t    在 1, 上单调增，则 1 2 1 r   ，即 r 的取值范围为 2 1,  ． 22.（1）   2' 3 3f x x a  ，且  ' 0f x  在  1,1 上有解，则 3 3 0 1 03 0 a aa        （2）若 1a ≤ 时，  f x 递减，  1 3 0f a    ，  1 2 3f a  则   max 3f x a  若 0a≥ ，则  f x 递增，  1 3f a   ，  1 2 3f a  则   max 2 3f x a  （4）若 1 0a   ，则  f x 在 1, a   递增， ,a a   递减， ,1a 递增；  1 3 0f a    ，   2 1f a a a      ，    2 1 1 2 3f a a a f a      . 又因为  f x 关于 0,1 对称，则    max 2 , 3max 1 2f x a a a    而      2 2 1 2 3 2 1 1a a a a a          若 11 4a  ≤ ，则   max 2 1x af a   若 1 04 a   ，则   max 2 3f x a  综上   max 3 1 12 1 1 4 12 3 4 a a a af ax a a              ≤ ≥ . （ 3 ） 先 考 虑 必 要 性 ， 若   1f x b ≤ 对 任 意  1,1x  恒 成 立 ， 首 先 必 须 满 足    max min 2f x f x ≤ ，由（2）知 3 1 04 a ≤ ≤ ； 若 1 04 a ≤ ≤ ，则     max min 1 1 f x b f x b     ≤ ≥ 则 2 3 1 1 4 1 23 1 b a a a b aa b           ≤ ≤ ≤≥ ，所以 12, 2a b        若 3 1 1 4 4a ≤ ≤ ，则 2 1 1 2 1 1 a a b a a b         ≤ ≥ 则 2 2 2a a a a b a a a      ≤ ≤ 令 31 1,2 2t a         ，则 3 2 2 32 2 2t t a b t t     ≤ ≤ 因为 3 22 2t t   在 31 1,2 2       递增， 2 32t t  递减，则 12, 2a b        ； 综上： 12, 2a b       