江苏省徐州市2021届高三数学5月考前模拟（打靶卷）试题（Word版附答案）

1 徐州市 2021 届高三下学期 5 月考前模拟（打靶卷） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合 2{ | 6 0}A x x x    ， 2{ | log ( 2) 1}B x x   ，则 ( )A B R ð A． ( 2,3) B． (2,3) C．[3,4) D． ( ,2] [3, )  2．若纯虚数 z 满足 ( )i 2 iz m   (其中i 为虚数单位， m 为实数)，则 m  A． 2 B． 1 C．1 D． 2 3． 2 52( )x x  展开式中含 4x 项的系数是 A．40 B．10 C．－40 D．－10 4．已知函数 ln , 0 1,( ) 2 ( 1), 1, x xf x f x x     ≤ 则 7( )2f  A． 16ln 2 B．16ln 2 C． 8ln 2 D． 32ln 2 5．已知 a 与 b 均为单位向量，若 b⊥(2a＋b)，则 a 与 b 的夹角为 A．30° B．45° C．60° D．120° 6．函数 2 sin πy x x 的大致图象为 A B C D 7．对于数据组 ( , )i ix y ( 1,2,3, ,i n  )，如果由线性回归方程得到的对应于自变量 ix 的估计值是 iy ，那么 将 i iy y 称为相应于点 ( , )i ix y 的残差．某工厂为研究某种产品产量 x (吨)与所需某种原材料 y (吨)的相 关性，在生产过程中收集 4 组对应数据 ( , )x y 如下表所示： 2 x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 m 根据表中数据，得出 y 关于 x 的线性回归方程为  0.7y x a  ，据此计算出样本 (4,3) 处的残差为 0.15 ， 则表中 m 的值为_210084 A．3.3 B． 4.5 C． 5 D．5.5 8．已知 F 是双曲线 22 2 2 1yx a b   的左焦点，圆 2 2 2 2:O x y a b   与双曲线在第一象限的交点为 P ，若 PF 的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是 A． 5 B．2 C． 3 D． 5 2 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分。 9．已知 ，  是两个不同的平面， m ， n ，l 是三条不同的直线，则下列命题中正确的是 A．若 m  ， n  ，则 m ∥ n B．若  ， m  ， n  ，则 m n C．若 l   ， m ∥ ， m ∥  ，则 m ∥l D．若 l   ， m  ， m l ，则 m  10．已知某校有 1200 名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成-sa;;kf绩 X 近似服从正态分布 (100 225)N ， ，则 下列说法正确的有 （参考数据：① ( ) 0.6827P X      ≤ ； ② ( 2 2 ) 0.9545P X      ≤ ； ③ 3 3 0 9( ) . 973P X      ≤ ） A．这次考试成绩超过 100 分的约有 500 人 B．这次考试分数低于 70 分的约有 27 人 C． (115 130) 0.0514P X ≤ D．从中任取 3 名同学，至少有 2 人的分数超过 100 分的概率为 1 2 11．已知函数 π( ) sin(2 )4f x x  与 ( ) cos(2 )4g x x   ，则下列结论正确的是 A． ( )g x 的图象可由 ( )f x 的图象向左平移 2  个单位长度得到 B． ( )f x 的图象与 ( )g x 的图象相邻的两个交点间的距离为 C． ( ) g( )f x x 图象的一条对称轴为 2x  2 +8 2  3 D． ( ) g( )f x x 在区间 ( , )4 2   上单调递增_84 12．数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，心形曲线 C： 2 2 | | 1x y x y   就是其中之一，则下列结论 中正确的是 A．曲线 C 关于 y 轴对称 B．曲线 C 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C．曲线 C 上存在到原点的距离超过 2 的点 D．曲线 C 所围成的区域的面积大于 3 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．已知 tan( ) 2   ， 1tan( ) 2    ， π(0, )2   ，则 tan  的值为． 14．已知抛物线 C 的焦点为 F，过 F 的直线与抛物线 C 交于 A，B 两点，若 1 1 2AF BF   ，则符合条件的抛 物线 C 的一个方程为． 15．若数列{ }na 对任意正整数 n ，有 n m na a q  (其中 *mN ，q 为常数， 0q  且 1q  )，则称数列{ }na 是 以 m 为周期，以 q 为周期公比的类周期性等比数列．已知类周期性等比数列{ }nb 的前 4 项为 1，1，2， 3，周期为 4，周期公比为 3，则数列{ }nb 前 21 项的和为． 16．已知球的直径 4AB  ，C ，D 是球面上的两点，且 2CD  ，若 ABC ABD   ，则三棱锥 A BCD 的体积的最大值是________． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分 10 分） 在平面四边形 ABCD 中， 8AB  ， 14AC  ， 5cos 7BAC  ，内角 B 与 D 互补，若 AC 平分 BAD ， 求 CD 的长． 4 18．（本小题满分 12 分） 已知数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，且 1n na S  ， n N ，数列{ }nb 满足 2logn nb a  ． （1）求数列 na 的通项公式； （2）设 2 2 1 n n n n n a bc b b     ，数列{ }nc 的前 n 项和为 nT ，求证： 1 4nT  ． 19．（本小题满分 12 分） 天文学上用星等表示星体亮度，星等的数值越小，星体越亮．视星等是指观测者用肉眼所看到的星体 亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球 32.6 光年的地方测得的恒星的亮度，反映恒星的真实发光本领． 下表列出了（除太阳外）视星等数值最小的 10 颗最亮恒星的相关数据，其中 [0,1.3]a . 星名 天狼星 老人星 南门二 大角星 织女一 五车二 参宿七 南河三 水委一 参宿四* 视星等 1.47 0.72 0.27 0.04 0.03 0.08 0.12 0.38 0.46 a 绝对 星等 1.42 5.53 4.4 0.38 0.6 0.1 6.98 2.67 2.78 5.85 赤纬 16.7  52.7  60.8  19.2 38.8 46 8.2  5.2 57.2  7.4 （1）从表中随机选择一颗恒星，求它的绝对星等的数值小于视星等的数值的概率； （2）已知徐州的纬度是北纬34 ，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于 56  时，能在徐州的夜空中 看到它．现从这10 颗恒星中随机选择 4 颗，记其中能在徐州的夜空中看到的数量为 X 颗，求 X 的分布列 和数学期望； （3）记 0a  时10 颗恒星的视星等的方差为 2 1s ，记 1.3a  时10 颗恒星的视星等的方差为 2 2s ，直接写出 2 1s 与 2 2s 之间的大小关系． 5 20．（本小题满分 12 分） 如图，已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 2， E 是 1DD 的中点．设平面 1 1ABB A 与平面 1ACE 的交 线为 l． （1）求证： //l 平面 ACE ； （2）求二面角 1B CA E  的大小． 21．（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 E ： 2 2 2 2 1x y a b   ( 0)a b  的四个顶点围成的四边形的面积为 4 3 ，左、右焦点分别为 1F ， 2F ，且 1 2 2F F  . （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）过 2F 的直线l 与椭圆 E 相交于 A B, 两点， 1ABF△ 的内切圆 C 的面积是否存在最大值？若存在， 求出这个最大值及直线l 的方程，若不存在，请说明理由． 22．（本小题满分 12 分） 已知函数 2 1( ) ln ( 1) ( )2 af x x x ax     R ． （1）当 1a   时，求曲线 ( )y f x 的过原点的切线方程； （2）当 1x  时， 1 1( ) exf x  ，求 a 的取值范围． 6 高三年级数学试题参考答案及评分标准 一、选择题： 1．C 2．B 3．A 4．C 5．D 6．D 7．B 8．A 二、选择题： 9．AC 10．BD 11．BCD 12．ABD 三、填空题： 13． 1 3 14．满足焦准距为 1 即可，如 2 2y x 15．1090 16． 4 3 3 四、解答题： 17．在 ABC△ 中，由余弦定理得， 2 2 2 cosBC AB AC AB AC BAC     2 2 58 14 2 8 14 107        ，…2 分 由 5cos 7BAC  可得， 2 25 2 6sin 1 cos 1 ( )7 7BAC BAC       ， 由正弦定理得， 14 2 6 2 6sin sin 10 7 5 ACB BACBC      ，……………………6 分 又内角 B 与 D 互补，所以 2 6sin sin 5D B  ， 因为 AC 平分 BAD ，所以 2 6sin sin 7DAC BAC    ， 所以由正弦定理得， 14 2 6sin 10sin 72 6 5 ACCD DACD      ．………………10 分 18．（1）因为 1n na S  ，所以当 1n  时有， 12 1a  ，即 1 1 2a  ， 当 2n≥ 时有， 1 1 1n na S   ，所以 1 1 0n n n na a S S     ，即 1 1 2n na a  ， 所以 na 是首项为 1 1 2a  ，公比为 1 2 的等比数列， 所以 11 1 1( ) ( )2 2 2 n n na    ．……………………………………………………4 分 （2）由 2logn nb a  得， 2 1log ( )2 n nb n   ，又 2 2 1 n n n n n a bc b b     ， 所以 2 1 2 1 1 1[ ]( 1) 2 2 2 ( 1) 2n n n n nc n n n n         ，……………………………8 分 所以 1 2 3n nT c c c c     1 2 2 3 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) [ ]2 1 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 4 2 2 2 ( 1) 2n nn n                  1 1 2 1 1 1 1 1[ ]2 1 2 ( 1)2 4 ( 1) 2n nn n        ，…………………………………10 分 由 n N 可知， 2 1 0( 1) 2nn    ，所以 1 4nT  ．……………………………12 分 19．（1）设一颗星的绝对星等的数值小于视星等的数值为事件 A . 由图表可知，10 颗恒星有 5 颗恒星绝对星等的数值小于视星等的数值. 7 所以 5 1( ) 10 2P A   ．…………………………………………………………3 分 （2）由图表知，有8颗恒星的“赤纬”数值大于 56  ，有 2 颗恒星的“赤纬”数值小于 56  . 所以随 机变量 X 的所有可能取值为： 2,3,4.……………………4 分 2 2 8 2 4 10 C C 28 14( 2) C 210 105P X     ， 3 1 8 2 4 10 C C 112 56( 3) C 210 105P X     ， 4 0 8 2 4 10 C C 70 1( 4) C 210 3P X     . ………………………………………………7 分 所以随机变量 X 的分布列为： 所以 14 56 1 336 16( ) 2 3 4105 105 3 105 5E X         .……………………………10 分 （3） 2 2 1 2s s . …………………………………………………………………………12 分 20．（1）在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，平面 1 1 //CDD C 平面 1 1ABB A ， 又因为平面 1 1ABB A  平面 1ACE ＝l，平面 1 1CDD C  平面 1ACE CE ， 所以 //l CE ， ………………………………………………………………………2 分 又因为 l  平面 ACE ， CE  平面 ACE ，所以 //l 平面 ACE ．………………4 分 （2）以 A 为坐标原点，分别以 AB ， AD ， 1AA 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 (0,0,0)A ， (2,0,0)B ， (2,2,0)C ， 1(0,0,2)A ， (0,2,0)D ， (0,2,1)E ． 设平面 1BCA 的法向量为 1 1 1 1( , , )x y zn ，由已知得， 1 (2,0, 2)A B   ， 1 (2,2 2)AC  ，- ， 由 1 1 1 1 0 0 A B AC        ， ， n n 得 1 1 1 1 1 2 2 0 2 2 2 0. x z x y z       ， 不妨取 1 1x  ，则 1 10 1y z ， ， 从而平面 1BCA 的一个法向量为 1 (1,0,1)n ．…………6 分 设平面 1A CE 的法向量为 2 2 2 2( , , )x y zn ， ( 2,0,1)CE   ， 由 2 1 2 0 0 AC CE        ， ， n n 得 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0. x z x y z        ， 不妨取 2 1z  ，则 2 2 1 1 2 2x y ， ， 所以平面 1A CE 的一个法向量为 2 1 1( , ,1)2 2 n ．……………………………………8 分 则 1 2 1 2 1 2 1 +1 32cos , | || | 232 2      n nn n n n ， 又因为 1 2, [0,π] n n ，所以 1 2 π, 6  n n ，……………………………………10 分 由图形可知，二面角 1B CA E  的大小为 5π 6 ．…………………………………12 分 X 2 3 4 P 14 105 56 105 1 3 A B C D E A1 B1 C1 D1 y x z l x y F2 A B OF1 8 21．（1）依题意有 2 2 2 1 2 2 4 3,2 2 2, , a b c a b c           解得 2, 3, a b   所以椭圆 E 的标准方程是 2 2 14 3 x y  ．…………………………………………4 分 （2）如图，设 1ABF△ 内切圆C 的半径为 r ，则 1ABF△ 的面积 1 1 1 1 (| | | )2 | | |ABFS AB AF BF r   △ 1 2 1 2 1[(| |) (| | || | |)] 2 42 AF AF BF BF r ar r      ， 当 1ABFS△ 最大时， r 也最大， 1ABF△ 内切圆的面积也最大．…………………6 分 设直线l 的方程为 1x my  ，由 2 2 1, 14 3 x my x y     得 2 2(3 4) 6 9 0m y my    ， 设 1 1 2 2 1 2( , ), ( , )) 0, 0(A x y B x y y y  ，则可解得 2 2 1 22 2 3 6 1 3 6 1,3 4 3 4 m m m my ym m         ，……………………………………8 分 1 1 2 1 221 2 1 1 1| | | | | |2 2| |ABFS F F y F F y y y     △ 2 2 12 1 3 4 m m   ，…………………10 分 令 2 1t m  ，则 1t≥ ，且 2 2 1m t  ，则有 1 2 12 12 13( 1) 4 3 ABF tS t t t     △ ， 令 1( ) 3f t t t   ，则 2 1'( ) 3f t t   ，当 1t≥ 时， '( ) 0f t  ， ( )f t 在[1, ) 上单调递增， 有 (( 4) 1)ff t ≥ ， 1 12 34ABFS ≤△ ，即当 1, 0t m  时， 4r 有最大值 3 ，得 max 3 4r  ， 此时所求内切圆的面积为 9 16  ，所以存在直线 : 1l x  ，使得 1ABF△ 的内切圆 C 的面积最大值为 9 16  .……………………………………………………………………12 分 22．（1）当 1a   时， 21 1( ) ln ( 1)2f x x x x     ， 3 2 2 1 1 1( ) xf x x x x x x        ， 设切点为 0 0( , ( ))x f x ，则切线方程为 3 0 0 0 02 0 1( ) ( )xxy x x f xx     ， 代入原点坐标，得 3 20 0 0 0 02 0 0 1 1 10 ( ) ln ( 1)2 x x xx xx x        ， 即 2 0 0 0 2 1 3ln 02 2x xx     ．…………………………………………………3 分 令 22 1 3( ) ln 2 2g x x xx     ， 0x  ， 3 2 2 1 2 2( ) 0x xg x xx x x         ， 所以 ( )g x 是 (0, ) 上的减函数，又 (1) 0g  ， 所以方程 2 0 0 0 2 1 3ln 02 2x xx     有唯一根 0 1x  ， 因此曲线 ( )y f x 的过原点的切线方程为 y x ．…………………………5 分 9 （2）设 1( ) exu x x  ， (1, )x  ，则 1( ) e 1 0xu x     ， 所以 ( )u x 在 (1, ) 单调递增，所以 ( ) (1) 0u x u  ， 令 1 1 1 1 1 e( ) e e x x x xh x x x       ， (1, )x  ，则 ( ) 0h x  ．…………………7 分 令 2( ) ( 1) ln2 ax x x    ， (1, )x  ，则 21 1( ) axx ax x x      ， ①当 0a≤ 时， ( ) 0x  ，所以 ( )x 在 (1, ) 单调递减，所以 ( ) (1) 0x   ， 此时， 2 1 1 1 0 ( 1) lne 2x a x xx      ，不符合题意；………………………8 分 ②当 0 1a  时， ( )x 在 1(1, )a 上单调减，在 1( , )a  上单调增， 所以在区间 1(1, )a 上有 ( ) (1) 0x   ，不符合题意；……………………9 分 ③当 1a≥ 时，设 2 1 1 1( ) ( 1) ln2 ex aF x x x x      ，由 ( ) 0h x  可知， 1 1 1 ex x   ， 所以 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 ( 1)( 1)( ) 0ex x xF x ax xx x x x x x            ， 所以 ( )F x 在 (1, ) 上单调递增， 又 (1) 0F  ，所以 1x  时， ( ) 0F x  ，即 1 1( ) exf x  ． 故 a 的取值范围为[1, ) ．…………………………………………………12 分 10