2021 届高三适应性考试试题 2021.5
数 学
一、 选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的。
1． 已知全集U R ，集合 2| 100A x x ， | lg 1B x x ，则
A． A B BU B． ABA C． BACU D． U UC B C A
2． 已知复数 1 2z i ， 1
2
zz i
，在复平面内复数 1 2z z、 所对应的两点之间的距离为
A． 10 B． 5 C．4 D．10
3． 若 是平面 内的一组基底，则下列四组向量能作为平面 的一组基底的是
A． 1 2 2 1,e e e e
B． 1 2 1 2,e e e e
C． 2 1 1 22 3 , 6 4e e e e
D． 1 2 1 2
12 , 2e e e e
4． 小张、小李、小王、小赵四名同学，仅有一人做了数学老师布置的一道题目. 当他们被问
到谁做了该题目时，小张说：“小王或小赵做了”；小李说：“小王做了”；小王说：“小张
和小赵都没做”；小赵说：“小李做了”．假设这四名同学中只有两人说的是对的，那么做
了该题目的学生是
A．小张 B．小赵 C．小王 D．小李
5． 被 除所得的余数为 ( ,1 10)t t N t ，则t
A．4 B．5 C．6 D．7
6． 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，
次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有
一个人走了 378 里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一
半，走了 6 天后到达目的地．”则此人第 5 天和第 6 天共走了
A．24 里 B． 6 里
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项：
1.本试卷满分 150 分，考试时间为 150 分钟。考试结束后，请将答题卡交回。
2.答题前，请将自己的姓名、考试号用 0.5 毫米黑色签字笔填涂在答题卡指定的位置。
3.选择题答案用 2B 铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用 0.5mm 的黑色签
字笔在每题对应的答题区域内做答，在其他位置作答一律无效。
21 ee，
C．12 里 D． 18 里
7． 已知函数 ( )f x 是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数，当
2
[0,1], ( ) 12 2
x xx f x ，则函
数 ( )y f x 的图象与函数 | | 1
3 3
xy 的图象交点个数为
A．6 B．7 C．8 D．9
8． 圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆
2
2 12
x y 在 x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点
的两条切线相互垂直并分别过椭圆不同的焦点，则圆的半径为
A． 2 B． 2 2
3 C． 3
2 D． 4 2
3
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9． 已知直角 ABC 中有一个内角为
3
，如果双曲线 E 以 ,A B 为焦点，并经过点 C，则该双曲
线的离心率可能是
A． B．2 C． D．
10．已知函数 2( ) 2 sin cos 2cos 1f x a x x x ( 0, 0)a ，若 ( )f x 的最小正周期
为 ，且对任意的 xR ， 0( )f x f x 恒成立，下列说法正确的是
A． 2
B．若 0 6x ，则 3a
C．若 ，则 3a
D．若 ( ) ( ) 2 | ( ) |g x f x f x 在 0 0
3 ,4x x
上单调递减，则 3
2 4
11．已知 12121212 32 xxxx n = n
n xaxaxaa 2
210 ，下列说法正确的
是
A．设 1abn ，则数列 nb 的前 n 项的和 422 2 nS n
n
B．
3
823
2 2
22
2
n
n
a
C． 1na =
2
22
n n
n
（ ）
220
xf
D．数列 1{ -1}( )n
n
a n Na
为等比数列
12．已知正方体 1111 DCBAABCD 中，点 E 为棱 1DD 的中点，点 P 是线段 DC1 上的动点,
21 AA , 则下列选项正确的是
A．直线 AP 与 EB1 是异面直线
B．点 P 到平面 1AEB 的距离是一个常数
C．过点 C 作平面 1AEB 的垂线，与平面 DCAB 11 交于点 Q，若 PCDC 11 3 ，则 Q AP
D．若面 11CCDD 内有一点 Q，它到 CD 距离与到 1CB 的距离相等，则 Q 轨迹为一条直线
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．某人准备在某一周的七天中选择互不相邻的三天出游玩，则不同的选法的种数
为___________．
14．请写出与函数 12 xexf 的图象在点 00， 处具有相同切线的一个函数
xg ___________．
15．据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类以平均每年 4％的速度增加.按这个增长速度，大
约经过___________年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的 4 倍或 4 倍以上 (结果保留
整数)（参考数据： lg2 0.30,lg13 1.11 ）．
16．已知正三棱柱 1 1 1ABC A B C 的各条棱长均为 1，则以点 为球心､1 为半径的球与正三
棱柱各个面的交线的长度之和为___________．
四、解答题:本题共 6 小题，共 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知 ABC 中， D 是 AC 边的中点，且① 3BA ； ② 7BC ；③ 7BD ；
④ 60OA ．
(1)求 AC 的长；
(2) BAC 的平分线交 BC 于点 E，求 AE 的长.
上面问题的条件有多余，现请你在①，②，③，④中删去一个，并将剩下的三个作
为条件解答这个问题，要求答案存在且唯一．你删去的条件是___________，请写出用
剩余条件解答本题的过程．
A
18．已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且满足 2 1( )n nS a n N ，数列 nb 满足
2
1 ( 1) 2 2 ( )n nnb n b n n n N
且 1 1b ．
（1）求证：数列 nb
n
成等差数列，并求 na 和 nb 的通项公式；
（2）设 ，求数列 nc 的前 n 项和 nT ．
19 ．如 图 ， 在 五 面体 ABCDEF 中 ， 底 面 四 边形 ABCD 为 正 方 形 ， 面 ABFE 面
CDEF EF ， EDAD ， EACD ．
（1）求证： ∥ ；
（2）若 ， ，求平面 与平面 所成的二面角．
20．为全面推进学校素质教育，推动学校体育科学发展，引导学生积极主动参与体育锻炼，
促进学生健康成长，从 2021 年开始，参加某市初中毕业和高中阶段学校考试的初中毕
业生，体育中考成绩以分数（满分 40 分计入中考总分）和等级作为高中阶段学校招生
投档录取依据.考试由必考类、抽考类、抽选考类三部分组成，必考类是由笔试体育保
健知识（分值 4 分），男生 1000 米跑、女生 800 米跑（分值 15 分）组成；抽考类是篮
球、足球、排球，由市教育局从这三项技能中抽选一项考试（分值 5 分）；抽选考类是
立定跳远、1 分钟跳绳、引体向上（男）、斜身引体（女）、双手头上前掷实心球、1 分
钟仰卧起坐，由市教育局随机抽选其中三项，考生再从这三个项目中自选两项考试，每
项 8 分.已知今年教育局已抽选确定：抽考类选考篮球，抽选考类选考立定跳远、1 分钟
跳绳、双手头上前掷实心球这三个项目．甲校随机抽取了 100 名本校初三男生进行立定
跳远测试，根据测试成绩得到如下的频率分布直方图．
nnn bnac
AB EF
1 EDEF 2CD ADE BCF
（1）若该市初三男生的立定跳远成绩 X （单位：厘米）服从正态分布 2,N ，并
用上面样本数据的平均值和标准差的估计值分别作为 和 ，已计算得上面样本的标
准差的估计值为 379 19 （各组数据用中点值代替）．在该市 2021 届所有初三男生中
任意选取 3 人，记立定跳远成绩在 231 厘米以上（含 231 厘米）的人数为 ，求随机变
量 的分布列和期望．
（2）已知乙校初三男生有 200 名，男生立定跳远成绩在 250 厘米以上（含 250 厘米）
得满分．
（i）若认为乙校初三男生立定跳远成绩也服从（1）中所求的正态分布，请估计乙校初
三男生立定跳远得满分的人数（结果保留整数）；
（ii）事实上，（i）中的估计值与乙校实际情况差异较大，请从统计学的角度分析这个
差异性．（至少写出两点）
附：若 2~ ,X N ，则 0.6826P X ，
2 2 0.9544P X ， 3 3 0.9974P X .
21．已知双曲线C ：
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
的两个焦点为 1 2,F F ，一条渐近线方程为
bxy ， 且双曲线C 经过点 12，D ．
（1）求双曲线C 的方程；
（2）设点 P 在直线 ,0 1,x m y m m m 且 为常数 上，过点 P 作双曲
线C 的两条切线 ,PA PB ，切点为 ,A B ，求证：直线 AB 过某一个定点．
22．已知函数 2 axexf x （ 1a ）．
（1）证明：函数 xfy 在 0， 内存在唯一零点；
（2）若函数 ( )y f x 有两个不同零点 1 2,x x 且 1 2x x ，当 1 2x x 最小时，求此时 a 的
值.
2021 届高三适应性考试试题 2021.5
参考答案
一、 选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的。
1、已知全集U R ，集合 2| 100A x x ， | lg 1B x x ，则 （ ）
A. A B BU B. AB A C. BACU )( D. U UC B C A
【答案】C
2、已知复数 1 2z i ， 1
2
zz i
，在复平面内复数 1 2z z、 所对应的两点之间的距离为（ ）
A. 10 B. 5 C.4 D.10
【答案】A
3、若 1 2,e e 是平面 内的一组基底,则下列四组向量能作为平面 的一组基底的是 （ ）
A． 1 2 2 1,e e e e
B． 1 2 1 2,e e e e
C． 2 1 1 22 3 , 6 4e e e e
D． 1 2 1 2
12 , 2e e e e
【答案】B
4、小张、小李、小王、小赵四名同学，仅有一人做了数学老师布置的一道题目. 当他们被问
到谁做了该题目时，小张说：“小王或小赵做了”；小李说：“小王做了”；小王说：“小张和小
赵都没做”；小赵说：“小李做了”. 假设这四名同学中只有两人说的是对的，那么做了该题目
的学生是（ ）
A. 小张 B. 小赵 C.小王 D.小李
【答案】D
5、 被 除所得的余数为 ( ,1 10)t t N t ，则 t （ ）
.A 4 .B 5 .C 6 .D 7
【答案】B
6、中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，
次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个
人走了 378 里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6
天后到达目的地．”则此人第 5 天和第 6 天共走了( )
A．24 里 B． 6 里
C．12 里 D． 18 里
【答案】D
7、已知函数 ( )f x 是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数，当
2
[0,1], ( ) 12 2
x xx f x ，则函
数 ( )y f x 的图象与函数 | | 1
3 3
xy 的图象交点个数为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】A
8、圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆
2
2 12
x y 在 x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的
两条切线相互垂直并分别过椭圆不同的焦点，则圆的半径为（ ）
A、 2 B、 2 2
3 C、 3
2 D、 4 2
3
【答案】D
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9、已知直角 ABC 中有一个内角为
3
，如果双曲线 E 以 ,A B 为焦点，并经过点 C，则该双曲
线的离心率可能是（ ）
A、 B、2 C、 D、
【答案】ACD
10、已知函数 2( ) 2 sin cos 2cos 1f x a x x x ( 0, 0)a ，若 ( )f x 的最小正周期
为 ，且对任意的 xR ， 0( )f x f x 恒成立，下列说法正确的有（ ）
A． 2
B．若 0 6x ，则 3a
C．若 ，则 3a
D．若 ( ) ( ) 2 | ( ) |g x f x f x 在 0 0
3 ,4x x
上单调递减，则 3
2 4
【答案】BCD
11 已知 ,2
210
n
n xaxaxaa 下列说法正确
的是（ ）
220
xf
.A 设 ，则数列{b }n 的前 n 项的和为
.B 2a
.C 1na =
2
22
n n
n
（ ）
.D 1{ -1}( )n
n
a n Na
为等比数列
【答案】AD
12、已知正方体 1111 DCBAABCD 中，点 E 为棱 1DD 的中点，点 P 是线段 DC1 上的动点,
21 AA , 则下列选项正确的是( )
A. 直线 AP 与 EB1 是异面直线
B. 点 P 到平面 1AEB 的距离是一个常数
C. 过点 C 作平面 1AEB 的垂线,与平面 DCAB 11 交于点 Q,若 PCDC 11 3 ,则 Q AP
D. 若面 11CCDD 内有一点 Q，它到 CD 距离与到 1CB 的距离相等，则 Q 轨迹为一条直线
【答案】ABC
四、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13、某人准备在某一周的七天中选择互不相邻的三天出游玩，则不同的选法的种数为 。
【答案】10
14 、请写出与函数 12 xexf 的图象在点 00， 处具有相同切线的一个函数
xg ___________.
【答案】 xx 22 （答案不唯一）
15、据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类以平均每年 4％的速度增加.按这个增长速度，大
约经过 年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的 4 倍或 4 倍以上.(结果保留整数)（参
考数据： lg2 0.30,lg13 1.11 ）
【答案】60
16、已知正三棱柱 1 1 1ABC A B C 的各条棱长均为 1，则以点 A 为球心､1 为半径的球与正三棱
柱各个面的交线的长度之和为___________.
【答案】
2
3
四、解答题:本题共 6 小题，共 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、已知 ABC 中, D 是 AC 边的中点，且① 3BA ② 7BC ③ 7BD
④ 60OA
(1)求 AC 的长；
(2) BAC 的平分线交 BC 于点 E，求 AE 的长.
上面问题的条件有多余，现请你在①，②，③，④中删去一个，并将剩下的三个作为条件
解答这个问题，要求答案存在且唯一。你删去的条件是 ，请写出用剩余
条件解答本题的过程。
解：删② ③两解，不合.
方法一：删①. …………………………2 分
(1)取 DC 中点 H ，设 ABHxDH ， 中，可得 3 3BH x . …………………………4 分
BCH 中，可得
2
1x ，即 AC=2. …………………………6 分
(2) ABC 中，由余弦定理 3,602
0
222
ABCOSACBC
BCACAB . …………………8 分
设 AE=t 由 ABCACEABE SSS 可得
5
36t . ………………………10 分
方法二：删④. ……………………………2 分
（1） ABH 中， DH x ，可得 29 9BH x . …………………………………4 分
BCH 中，可得 1
2x , 2AC . …………………………………6 分
(2)余弦定理易得
2 2 2
cos2
AB AC BC AABAC
, 060A . …………………………………8 分
设 AE t ，由 ABES ACES ABCS ，可得
5
36t . ………………………………10 分
方法三：删④. …………………………………2 分
（1）在 ABCS 与 ABDS 中,由余弦定理得
2 2 2 2 2 2
2 2
AB AC BC AB AD BD
ABAC ABAD
………………………………………4 分
得 2AC . ………………………………………6 分
(2)余弦定理易得
2 2 2
cos2
AB AC BC AABAC
， 060A .…………………………………8 分
设 AE t ，由 ABES ACES ABCS ，可得
5
36t . ………………………………10 分
18 、 已 知 数 列 na 的 前 n 项 和 为 nS ， 且 满 足 2 1( )n nS a n N ， 数 列 nb 满 足
2
1 ( 1) 2 2 ( )n nnb n b n n n N
且 1 1b .
（1）求证：数列 nb
n
成等差数列，并求 na 和 nb 的通项公式；
（2）设 n n nc a n b g ，求数列 nc 的前 n 项和 nT .
解析（1）因为 2
1 ( 1) 2 2 ( )n nnb n b n n n N
，
所以 1 21
n nb b
n n
，
所以 nb
n
为首项为 1，公差为 2 的等差数列. ………………………………2 分
所以 1 ( 1)2 2 1nb n nn
，
所以 22nb n n . ………………………………3 分
因为 2 1( )n nS a n N ，
所以 1 12 1( 2)n nS a n ，
相减得， 12 2 ( 2)n n na a a n
所以 12 ( 2)n na a n .
又因为 1 12 1a a 即 1 1 0a ，所以 0na ，
所以
1
2( 2)n
n
a na
，
所以 na 为首项为-1，公比为 2 的等比数列. ………………………………5 分
所以 1 11 2 2n n
na . ………………………………6 分
（2）因为 n n nc a n b g 1 2 12 2 2 2n nn n g ， ………………………………8 分
所以 0 1 2 12(1 2 2 2 3 2 2 )n
nT n .
记 0 1 2 11 2 2 2 3 2 2n
nP n ，
则 1 2 12 1 2 2 2 ( 1) 2 2n n
nP n n ，
所以 1 2 11 2 2 2 2n n
nP n
1 2 21 2
n
nn (1 ) 2 1nn ，
所以 ( 1) 2 1n
nP n ，
所以 2( 1) 2 2n
nT n . ………………………………12 分
19、如图，在五面体 ABCDEF 中，底面四边形 ABCD 为正方形，面 EFCDEFABFE 面面
EACDEDAD , .
(1) 求证: EFAB // ;
(2) 若 ,2,1 CDEDEF 求平面 ADE 与平面 BCF 所成的二面角。
解：(1)在正方体 ABCD 中 CDAB // ，因为 ,平面CDEFCD ,平面CDEFAB
所以 ,平面// CDEFAB
因为 ,平面ABFEAB ,平面平面 EFCDEFABFE 所以 EFAB // ……………5 分
（2）因为四边形 ABCD 是正方形，所以 ADCD ，因为 AECD ， AAEAD ,
ADEAEAD 面, ,所以 ADECD 面 .因为 ADEDE 面 ,所以 DECD .
由 DEAD ,所以可以建立如图以 D 为坐标原点的空间直角坐标系. ……………7 分
由已知， )0,2,2(B , )0,2,0(C , )1,1,0(F ,易知平面 ADE 的法向量为 )0,1,0(m ……………8 分
设平面 BCF 的法向量为 ),,( zyxn ,所以
0
0
FCn
BCn ,则
0
0
FCn
BCn ，所以
0
02-
zy
x
令 ,1y 解得 1,0 zx ,所以平面 BCF 的法向量为 )1,1,0(n ……………10 分
设平面 ADE 与平面 BCF 所成的二面角为 ,则
2
2,coscos
nm
nm
nm ,
],0[ ,
4
……………12 分
20、为全面推进学校素质教育，推动学校体育科学发展，引导学生积极主动参与体育锻炼，
促进学生健康成长，从 2021 年开始，参加某市初中毕业和高中阶段学校考试的初中毕业生，
体育中考成绩以分数（满分 40 分计入中考总分）和等级作为高中阶段学校招生投档录取依据.
考试由必考类、抽考类、抽选考类三部分组成，必考类是由笔试体育保健知识（分值 4 分），
男生 1000 米跑、女生 800 米跑（分值 15 分）组成；抽考类是篮球、足球、排球，由市教育
局从这三项技能中抽选一项考试（分值 5 分）；抽选考类是立定跳远、1 分钟跳绳、引体向上
（男）、斜身引体（女）、双手头上前掷实心球、1 分钟仰卧起坐，由市教育局随机抽选其中三
项，考生再从这三个项目中自选两项考试，每项 8 分.已知今年教育局已抽选确定：抽考类选
考篮球，抽选考类选考立定跳远、1 分钟跳绳、双手头上前掷实心球这三个项目.甲校随机抽
取了 100 名本校初三男生进行立定跳远测试，根据测试成绩得到如下的频率分布直方图.
（1） 若该市初三男生的立定跳远成绩 X （单位：厘米）服从正态分布
2,N ，并用上面样本数据的平均值和标准差的估计值分别作为 和 ，已计算
得上面样本的标准差的估计值为 379 19 （各组数据用中点值代替）.在该市 2021
届所有初三男生中任意选取 3 人，记立定跳远成绩在 231 厘米以上（含 231 厘米）的
人数为 ，求随机变量 的分布列和期望.
（2）已知乙校初三男生有 200 名，男生立定跳远成绩在 250 厘米以上（含 250 厘米）得满分.
（i）若认为乙校初三男生立定跳远成绩也服从（1）中所求的正态分布，请估计乙校初三男生
立定跳远得满分的人数（结果保留整数）；
（ii）事实上，（i）中的估计值与乙校实际情况差异较大，请从统计学的角度分析这个差异性.
（至少写出两点）
附：若 2~ ,X N ，则 0.6826P X ，
2 2 0.9544P X ， 3 3 0.9974P X .
解：（1）由题意，得 19 ，
180 0.05 200 0.05 220 0.35 240 0.4 260 0.15 231 ，……………2 分
所以 ( 231) ( ) 0.5P X P X ，所以 1~ 3, 2B
，
所以
0 3
0
3
1 1 1( 0) 12 2 8P C
，
2
1
3
1 1 3( 1) 12 2 8P C
，
2
2
3
1 1 3( 2) 12 2 8P C
，
3 0
3
3
1 1 1( 3) 12 2 8P C
，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
P 1
8
3
8
3
8
1
8
……………4 分
1 3 3 1 3( ) 0 1 2 38 8 8 8 2E . ……………5 分
（2）（i）记乙校初三男生立定跳远成绩为Y 厘米，则
2~ ,Y N ， 231 ， 19 ，
所以 1( 250) ( ) (1 ( ))2P Y P Y P Y
1 (1 0.6826) 0.15872
， ……………8 分
所以估计乙校初三男生立定跳远得满分的人数为 200 0.1587 32 . ……………9 分
（ⅱ）本题结论开放，只要考生能从统计学的角度作出合理的分析即可.如：①一次取样未必
能客观反映总体；②样本容量过小也可能影响估计的准确性；③忽略异常数据的影响也可能
导致估计失真；④模型选择不恰当，模型的拟合效果不好，也将导致估计失真；⑤样本不具
代表性，也会对估计产生影响等等。 ……………12 分
21、已知双曲线 C ：
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
的两个焦点为 1 2,F F ，一条渐近线方程为
y bx b N ， 且双曲线C 经过点 12，D
（1）求双曲线C 的方程；
（2）设点 P 在直线 ,0 1,x m y m m m 且 为常数 上，过点 P 作双曲线C 的两条切
线 ,PA PB ，切点为 ,A B ，求证：直线 AB 过某一个定点
解：（1）双曲线方程为： 2 2 1x y ………………………………3 分
（2）解：设 1 1 2 2, , ,A x y B x y ， PA 的斜率为 k
则 1 1:PA y y k x x ，联立方程
1 1
2 2 1
y y k x x
x y
消去 y 可得：
22
1 1 1x kx kx y ，整理可得：
22 2
1 1 1 11 2 1 0k x k y kx x y kx ，因为 PA 与双曲线相切
所以 2 22 2 2
1 1 1 14 4 1 4 1 0k y kx k y kx k ………………………5 分
2 2
1 14 4 1 0y kx k
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 12 1 0 1 2 1 0k x kx y y k x k kx y y
2 2
1 1 1x y 2 2 2 2
1 1 1 11 , 1x y y x 代入可得：
2 2 2
1 1 1 12 0y k x y k x 即 2
1 1 0y k x
即 1
1
xk y
1
1 1 1 1
1
: 1xPA y y x x y y x xy
………………………………8 分
同理，切线 PB 的方程为 2 1 1y y x x ………………………………9 分
0,P m y 在切线 ,PA PB 上，所以有 0 1 1
0 2 2
1
1
y y mx
y y mx
,A B 满足直线方程 0 1y y mx ，而两点唯一确定一条直线…………………………11 分
0: 1AB y y mx 所以当
1
0
x m
y
时，无论 0y 为何值，等式均成立
点 1 ,0m
恒在直线 AB 上，故无论 P 在何处， AB 恒过定点 1 ,0m
……………12 分
22、已知函数 ( )= 2 1)xf x e ax a （ ，
（1） 证明：函数 ( )y f x 在 ( ,0) 内存在唯一零点；
（2） 若函数 ( )y f x 有两个不同零点 1 2,x x 且 1 2x x ，当 1 2x x 最小时，求此时 a 的值.
解析：
2
1 '( )= 0, 1
'( ) 0 ( ) 1
2(0)= 1 0 ( ) 0 ( )
2( ,0) ( )=0 3
x
a
f x e a x a
f x f x
f f e f xa
x f xa
Q（） 又
在（- ,0)上单调减 分
图象不间断
存在唯一 使得 分
1
2
1 2 1 2
2 2
2
2
1
2
1 2 1 2
1 2
2
2
2
2=02
2=0
2 2
( 1) 20
1 2 5
1 ( 1) 1( ) ( 0) '( )
( ) ( 1) 1 '( ) 0
( ) (0, ) ( ) (0)
x
x
x x x x
x xt
xt
x
t t
t t
e ax
e ax
e e e ea x x x x
e e et x x a t x
e e
t x e
e t eg t t g tt t
h t t e h t te
h t h t h
（ ）由条件知
令
则有 分
令
令
在 单调增
2
2
2 2 2
2 2
2 2
2
2
2 2 2
2 22 2
2 2
2 2 2
2
1
2
0
0
( ) (0, )
( ) 7
2( =
( 1)( 2) 2 2'( = 0
( ) 2 2 '( ) 2 0
( )
(0) 1 0, ( 1) 0, (
( 1,0)
x
x
x x x
x x
x x
g t
t g t
ev x x e
x e x e x ev x xx e x e
m x x e m x e
m x
m m e m x
x
在 单调增
要求 的最小值即求 最小值 分
令 ）
）
令
在（- ,0)上单调增
又 ）图象不间断
存在唯一 使得 0
0
0 0
2 0 0 0
2
2
2 0 2
0
1 2
0 0
( )=0. 2 2
( , ) ( , )
'( 0
(
(
2 2 22 2 11
( ) 12
x
x
m x e x
x x x x
v x
v x
x x v x
xex x a x x
f x
] Z
此时
）
） 极小
当 时 ）有最小值
故 取最小值时 分
此时 在(-1,0)和（0,2）各有唯一零点. 分
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