河南省郑州市2021届高三文科数学5月第三次预测试题（Word版附答案）

郑州市 2021 年高中毕业年级第三次质量预测 文科数学试题卷 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.若全集U R ，   ln 1M x y x   ， 1 1 N x y x      ，则（ ） A． M N B． N M C． UN C M D． UC M N 2.如图，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为 1，两点 1Z 、 2Z 对应的复数分别为 1z 、 2z ，则复数 1 2 z z 的虚部为 （ ） A． 1 B． i C． 1 D．i 3.古希腊数学家阿基米德在《论球和圆柱》中，运用穷竭法证明了与球的面积和体积相关的 公式.其中包括他最得意的发现—“圆柱容球”.设圆柱的高为 2，且圆柱以球的大圆（球大圆 为过球心的平面和球面的交线）为底，以球的直径为高.则球的表面积与圆柱的体积之比为 （ ） A． 4:3 B． 3:2 C． 2:1 D．8:3 4. 函 数 ①   sinf x x x  ， ②   sin cosf x x x  ， ③   1 cos2 sin 2 xf x x  ， ④   2 1cos 4 2f x x       ，是奇函数且在 0, 4      上单调递减的函数的序号是 （ ） A．① B．② C．③ D．④ 5.已知函数   4 1 2 x xf x  ，  0.32a f ，  0.30.2b f ，  0.3log 2c f ，则 , ,a b c 的大 小关系为 （ ） A． c b a＜ ＜ B．b a c＜ ＜ C． b c a＜ ＜ D． c a b＜ ＜ 6.在矩形 ABCD 中，其中 3AB  ， 1AD  ，AB 上的点 E 满足 2AE BE  0   ，F 为 AD 上任意 一点，则 EB BF   （ ） A．1 B． 3 C． 1 D． 3 7.已知圆 M 过点  1,3A 、  1, 1B  、  3,1C  ，则圆 M 在点 A 处的切线方程为 （ ） A ． 3 4 15 0x y   B ． 3 4 9 0x y   C ． 4 3 13 0x y   D． 4 3 5 0x y   8.在平面直角坐标系 xOy 中， 为第四象限角，角 的终边与单位圆 O 交于点  0 0,P x y ， 若 3cos 3 3      ，则 0x  （ ） A． 3 3 2 6  B． 3 3 2 6  C． 6 3 6  D． 6 3 6  9. 已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 1 1a  ， 1 3n nS a   ，若 125kS  ，则 k 的最小值 为（ ） A．5 B． 6 C． 7 D． 8 10.公元前 5 世纪下半叶开奥斯的希波克拉底解决了与“化圆为方”有关的化月牙为方问题， 如图， OAB 为直角三角形， AO BO ，以 O 为圆心、以 OA 为半径作大圆 O，以 AB 为直径 作小圆.在整个图形中随机取一点，此点取自阴影部分的概率为 （ ） A． 2 2 1     B． 1 2     C． 1 2 1     D． 1 2 1     11.已知奇函数  f x 在 R 上的导函数为  'f x ，且当  ,0x  时，  ' 1f x ＜ ，则不等式    2 1011 1010 2021f x f x x     的解集为 （ ） A．  2021, B． 2021, C． ,2021 D． ,2021 12.如图，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，下面结论错误的是 （ ） A． 1 1 1/ /B D A BD平面 B． 1 1AC A BD 平面 C．异面直线 1DA 与 1 1B D 所成角为 3  D．直线 1AC 与 1 1ADD A平面 所成角为 4  第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.若变量 x，y 满足约束条件 0 2 2 0 3 2 6 0 x y x y x y           ，则 2z x y  的最大值为 ． 14.函数   ln xf x x  在   0 0,x f x 处的切线方程经过点 0,0 ，则 0x  ． 15.已知圆  2 21 4x y   与双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b   ＞ ＞ 的两条渐近线相交于四个 点，按顺时针顺序依次排列记为 M，N,P,Q，且 2MN PQ ，则 C 的离心率为 ． 16. 1967 年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长?》标志着几何概念从整数 维到分数维的飞跃.1977 年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建立了以这类图形为 对象的数学分支——分形几何.分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它们是 描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具. 下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图 1，线段 AB 的长度为 a，在线段 AB 上取两个点 C，D，使得 1 3AC DB AB  ，以 CD 为一边在线段 AB 的上方做一个正三角形， 然后去掉线段 CD，得到图 2 中的图形；对图 2 中的线段 EC、ED 作相同的操作，得到图 3 中的 图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形： 记第 n 个图形（图 1 为第一个图形）中的所有线段长的和为 nS ，对任意的正整数 n，都有 nS a＜ ， 则 a 的最小值为 ． 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. 17. 在 ABC 中，角 A,B,C 所对边分别为 a，b，c，现有下列四个条件：①： 6b  ；② 2c  ； ③ 2 2 2 2 3 3a b c ab   ；④ cos2 3 cos 2A A  . （Ⅰ）③④两个条件可以同时成立吗？请说明理由； （Ⅱ）已知 ABC 同时满足上述四个条件中的三个，请选择使 ABC 有解的三个条件，求 ABC 的面积.（注：如果先择多个组合作为条件分别解答，按第一个解答计分.） 18. 如 图 ， 四 棱 锥 P ABCD 中 ， 底 面 ABCD 为 矩 形 ， 1 12PD AD AB   ， 1 12PD AD AB   ，E 为 CD 中点. （Ⅰ）线段 PC 上是否存在一点 F，使得 BE AF ； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求点 E 到平面 ADF 的距离. 19. 2021 年 5 月 19 日是第 11 个“世界家庭医生日”.某地区自 2016 年开始全面推行家庭医 生签约服务.已知该地区人口为 1000 万，从 1 岁到 101 岁的居民年龄结构的频率分布直方图 如图 1 所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了 1000 名年满 18 周岁的居民， 各年龄段被访者签约率如图 2 所示： (I)国际上通常衡量人口老龄化的标准有以下四种：①60 岁以上人口占比达到 7%以上；②少 年人口(14 岁以下)占比 30%以下；③老少比 30%以上；④人口年龄中位数在 30 岁以上.请任选 两个角度分析该地区人口分布现状； (Ⅱ)估计该地区年龄在 71-80 岁且已签约家庭医生的居民人数； (Ⅲ）据统计，该地区被访者的签约率约为 44%，为把该地区年满 18 岁居民的签约率提高到 55%以上，应着重提高图 2 中哪个年龄段的签约率?并结合数据对你的结论作出解释. 20. 已知   sin cos= x x xf x e  （Ⅰ）求  f x 的单调区间； （Ⅱ）求证曲线  y f x 在 0, 2      上不存在斜率为-2 的切线. 21. 椭圆   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b   ＞ ＞ 经过点  0,1 ，离心率是 6 3 .若斜率为 k 的直线l 与椭圆交 于不同的两点 E、G. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）设  2,0P  ，直线 PE 与椭圆的另一点交点为 M，直线 PG 与椭圆的另一个交点为 N.若 M、N 和点 7 1,4 4Q    共线，求 k. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极 坐标方程 2cos 4 2       ，曲线 C 的极坐标方程为  2 21 3sin 4   . （Ⅰ）写出直线l 和曲线 C 的直角坐标方程； （Ⅱ）已知点  1,0A ，若直线l 与曲 C 线交于 P、Q 两点，PQ 中点为 M，求 AP AQ AM  的值 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数   1 2 4f x x x    . （Ⅰ）在平面直角坐标系中画出函数  f x 的图象； （Ⅱ）若对 x R  ，  f x t 恒成立，t 的最小值为 m，且正实数 a，b，c 满足 2 3a b c m   ， 求 1 2 a c b c   的最小值. 试卷答案 一、选择题 1-5: DACDA 6-10: DAABA 11、12：CD 二、填空题 13. 5 6 ; 14. e ; 15. 3 62 ; 16.2. 三、解答题 17.（1）由条件④ 2cos32cos  AA ，可得 03cos3cos2 2  AA ， 解得或 2 3cos A ，或 3 （舍去） 因为  0,A  ，所以 6 5A ；由条件③ abba 3 32c- 222  ，可得 3 3cos C ， 因为 3 3 3 3 2 1  ，所以 36   C ， 于是与  CA 矛盾，所以 ABC 不能同时满足③④ （2）因为 ABC 同时满足上述条件中的三个，不能同时满足③④， 则满足三角形有解的所有组合为①②③①②④， 若选择①②③： 6b ， 2c ， 3 3cos C ，所以 3 6sin C 因为 C c B b sinsin  ，所以 1sin B 因为  0,B  ，所以 2B  ，所以 ABC 为直角三角形 所以 2a ，所以 ABC 的面积为 2S 若选组合①②④： 6b ， 2c ， 6 5A ，所以 ABC 的面积为 2 6S 18.解：证明：(1) PC 上存在一点 F ，此点是 PC 的中点 取 PC 中点 F，连接 EF 、 AE 、 DF 、 AF ，∵ PD  平面 ABCD ， PD // EF . ∴ EF 平面 ABCD ，又 BE  平面 ABCD ，∴ BEEF  . 而 ABCD 为矩形, 1AD ， 2AB ，故 2 AEBE ， ∴在△ ABE 中， 222 ABBEAE  ，即 BEAE  . 又 EEFAE  ，则 BE 平面 AEF ，又 AF 面 AEF ， ∴. AFBE  (2) ADEFADFE VV   ， 因为 12 1ADEFV 4 5ADFS 设点 E 到平面 AEF 的距离为 h ,所以 h = 5 5 19 解：（1）①60 岁以上人口比例是：（0.01+0.003+0.003）×10=0.16; ②少年（14 岁以下）人口比例：小于 0.1+0.05=0.15; ③老少比：0.16:0.15>30%; ④由于 1-41 岁人口比例 0.53，所以年龄中位数在 31-40 岁范围内. 所以由以上四条中任意两条均可分析出该地区人口已经老龄化(考生答对两条即可,每条 2 分) （2）0.03×1000 万×70%=21 万人 （3）由图 1、2 可知该地区年龄段 18-30 岁的人口为 180-230 万之间，签约率为 30.3%； 年龄段 31-50 岁的人口数为（0.20+0.16）×1000 万=360 万，签约率为 37.1%； 年龄段 51-60 岁的人口数为 0.15×1000 万=150 万，签约率为 55.7%； 年龄段 61-70 岁的人口数为 0.1×1000 万=100 万，签约率为 61.7%； 年龄段 71-80 岁的人口数为 0.03×1000 万=30 万，签约率为 70%； 年龄段 80 岁以上的人口数为 0.03×1000 万=30 万，签约率为 75.8%. 由以上数据可知，这个地区在 31-50 岁这个年龄段人数为 360 万，基数较其他地区是最大 的，且签约率仅为 37.1，比较低，所以应着重提高此年龄段的签约率 20.解：（1） xe xxf sin2)('  ， 令 0)(' xf ，则 0sin2 x ， 所以 )(xf 的单调递增区间是: Zkkk  )22,2 （ ; 单调递减区间是： Zkkk  )2,2 （ . (2)原命题等价于：在区间 ），（ 20  上方程 2sin2- xe x 无解 令 xe xxg sin)(  ，则 xx e x e xxxg )-4sinsincos(' （ ）  ； 当 )4,0( x 时， ,0)(' xg 所以 )(xg 的单调递增区间是 ），（ 40  ； 同理， )(xg 单调递减区间是 ），（ 24  ； 因为 )(xg 的最大值是 12 2)4( 4    eg ，所以不存在斜率为-2 的切线 21 解：（1）b=1， 2 2 2 2 2 2 11 , , 33 3 b be aa a      2 2 13 x y  . (2)设     ),(),,(,,,, 44332211 yxNyxMyxFyxE ,则 2 2 1 13 3x y  , ① 2 2 2 23 3x y  , ② 又  2,0P  ，所以可设 21 1 1  x ykk PE ，直线 PE 的方程为  1 2y k x  ， 由  1 2 2 2 13 y k x x y      消去 y 可得  2 2 2 2 1 1 11 3 12 12 3 0k x k x k     ， 则 2 1 1 3 2 1 12 1 3 kx x k     ，即 2 1 3 12 1 12 1 3 kx xk    ， 又 1 1 1 2 yk x   ，代入①式可得 1 3 1 7 12 4 7 xx x    ，所以 1 3 14 7 yy x   ， 所以， )74,74 127( 1 1 1 1   x y x xM 同理可得 )74,74 127( 2 2 2 2   x y x xN , 又因为 7 1,4 4Q   , 由Q 、 M 、 N 三点共线， 可得 1 2 1 2 1y y x x   ，即 1k  22.解：（1）因为直线 2: cos 4 2l       ，故 cos sin 1 0      ， 即直线l 的直角坐标方程为 1 0x y   因为曲线 C ： 2 2(1 4sin ) 4   ，则曲线C 的直角坐标方程为 2 24 4x y  ， 即 2 2 14 x y  （2）设直线 l 的参数方程为 21 ,2 2 2 x t y t      （ t 为参数），代入曲线 C 的直角坐标系方程得 25 2 2 6 0t t   . 设 P ，Q 对应的参数分别为 1t ， 2t ，则 1 2 6 5t t   ， 1 2 2 2 5t t   ， 所以 M 对应的参数 1 2 0 2 2 5 t tt    ， 故 2 1 2 1 2 0 0 2 2 6( ) 4 ( )| |+| | | || | + | | 5 5= 8| | | | | | 2 5 t t t tAP AQ AM t t       23.（1）   5, 2 3 3, 1 2 5, 1 x x f x x x x x             ，图像如下所示 （2）由（1）知，  max 3f x  ，所以 3, 3t m  ，利用柯西不等式    1 2 1 1 4 2 23 2 2 a c b ca c b c a c b c               2 1 1 4 2 2 33 2 2a c b ca c b c             . 所以 1 2 a c b c   最小值为 3.当且仅当 = =1a c b c  时等号成立