渭滨区高三适应性训练试题（二）数学（文）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一个是符合题目要求的．
1．已知集合 {1,2,3,4}, {2,3,4,5,6}, {1,2,3,4,5,6,7,8}A B U ，则 ( )U A B ð （ ）
A．{7,8} B．{1,5,6,7,8} C．{5,6} D．{2,3,4,5,6,7,8}
2．某学校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了 2021 年 4 月 18 日﹣27 日（共 10 天）
他们在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图．
根据组合图判断，下列结论正确的是（ ）
A．这 10 天学生在线学习人数的增长比例在逐日减小
B．前 5 天在线学习人数的方差大于后 5 天在线学习人数的方差
C．这 10 天学生在线学习人数在逐日增加
D．前 5 天在线学习人数增长比例的极差大于后 5 天在线学习人数增长比例的极差
3．若复数 z 满足 (3 4 ) 25z i ，则 z 在复平面内对应的点在（ ）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
4．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是 1 C ,空气的温度是 0 C ,那么 t 分钟后
物体的温度 （单位： C ）满足等式 0 1 0= +( )e ,kt 其中 k 为常数.现有 62 C 的物体放
到 22 C 的空气中冷却 2 分钟后，物体的温度为 42 C ，再经过 4 分钟冷却，该物体的温度可
以冷却到（ ）
A. 22 C B. 24.5 C C. 25 C D. 27 C
5.“ 2 4x ”是“3 9x ”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6.己知 1 2,F F 是双曲线：
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的两个焦点，以线段 1 2F F 为边作正三角形
1 2MF F .若边 1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为 （ ）
A． 4+2 3 B. 3 1 C. 3+1
2
D. 3+1
7．函数 | |
cos( ) 2 x
x xf x 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．若点 A 为抛物线 2 4y x 上一点，F 是抛物线的焦点， 5AF ，点 P 为直线 x＝﹣1 上的
动点，则 PA PF 的最小值为（ ）
A．8 B． C． D．
9.已知 ( , ),2
且 3cos 2 8cos 5 0 ，则 tan = （ ）
A． 2
3
B． 5
3
C． 5
2
D． 2 5
5
10．已知 nS 为数列 na 的前 n 项和， 1n nS a ，则 5S （ ）
A． 31
16
B． 31
32
C． 1
32
D． 31
2
11.某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成
是一个球被一个棱长为 4 3 的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心
与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为 4 ，则该球的半径
是（ ）
A．4 B．2
C． 4 6 D． 2 6
12.设定义在 R 上的函数 f x ，对于给定的正数 p ，定义函数
,
,p
f x f x pf x p f x p
，
则称函数 pf x 为 f x 的“ p 界函数”.关于函数 2 2 1f x x x 的“2 界函数”，则下
列等式不成立的是（ ）
A． 2 20 0f f f f B． 2 21 1f f f f
C． 2 22 2f f f f D． 2 23 3f f f f
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，把答案填在答题卡中对应题号后的
横线上．（注：16 题第一空 2 分，第二空 3 分）
13．已知向量 3,4a
r
， (1, )b k ，且 25a b ，则向量 ba, 的夹角为 ．
14.设 x，y 满足约束条件
4 0,
2 6 0,
0,
x y
x y
y
则 2x y 的取值范围为 .
15.已知 f x 是定义在 R 上的奇函数，当 0x 时， 2( ) log ( 2)f x x t ， 6f .
16 ． 如 图 , 在 四 棱 锥 S ABCD 中 , SA 平 面 ABCD , 底 面 ABCD 是 菱 形 , 且
60DAB , 1SA AB 则异面直线 SD 与 BC 所成的角的余弦
值为______,点C 到平面 SAD 的距离等于______.
三、解答题：共 70 分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选
考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分
17.已知函数 21( ) sin2 3cos2f x x x ．
（1）求函数 ( )y f x 的最小正周期；
（2）在 ABC△ 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若锐角 A 满足 1 3( ) 2f A ，
6C ，
2c ，求 ABC△ 的面积．
18. 如 图 ，在 四 棱 锥 P ABCD 中 ， PA 平 面 ABCD ， AB AD ， BC ∥ AD ，
2 2 =2 2AD BC PA AB ， E ， F ，G 分别为线段 AD ， DC ， PB 的中点．
（1）证明：直线 PF ∥平面 ACG ．
（2）求三棱锥 -P ACD 的侧面积.
19. 党中央、国务院历来高度重视青少年的健康成长.“少年强则国强”，青少年身心健康、
体魄强健、意志坚强、充满活力，是一个民族旺盛生命力的体现，是社会文明进步的标志，
是国家综合实力的重要方面.全面实施《国家学生体质健康标准》，把健康素质作为评价学生
全面健康发展的重要指标，是新时代的要求.《国家学生体质健康标准》有一项指标是学生体
质指数（ BMI），其计算公式为：
2 2
kgBMI
m
体重
身高 ，当 BMI 23.5 时，认为“超重”，应
加强锻炼以改善 BMI .某高中高一、高二年级学生共 2000 人，人数分布如表（a）.为了解这
2000 名学生的 BMI 指数情况，从中随机抽取容量为 160 的一个样本.
表（a）
性别
年级
男生 女生 合计
高一年级 550 650 1200
高二年级 425 375 800
合计 975 1025 2000
（1）为了使抽取的 160 个学生更具代表性，宜采取分层抽样，试给出一个合理的分层抽样方
案，并确定每层应抽取出的学生人数；
（2）分析这 160 个学生的 BMI 值，统计出“超重”的学生人数分布如表（b）.
表（b）
性别
年级
男生 女生
高一年级 4 6
高二年级 2 4
（ⅰ）试估计这 2000 名学生中“超重”的学生数；
（ⅱ）对于该校的 2000 名学生，应用独立性检验的知识，可分析出性别变量与年级变量哪一
个与“是否超重”的关联性更强.应用卡方检验，可依次得到 2K 的观测值 1k ， 2k ，试判断 1k
与 2k 的大小关系.（只需写出结论）
20.设椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yE a ba b
的离心率为 1 2
2 2 , ,3 F F 分别为椭圆 E 的左、右焦点，P 为椭
圆上异于左、右顶点的任一点， 1 2PF F 的周长为 6 4 2 .
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）直线 3
2y k x
交椭圆 E 于 C，D 两点，A，B 分别为椭圆 E 的左、右顶点，直线 AC 和
直线 BD 交于点 M，求证：点 M 到 y 轴的距离为定值 6.
21．已知函数 2
x
x ax a
f x e
，其中 a R .
（1）当 0a 时，求曲线 y f x 在点 1, 1f 的切线方程；
（2）求证：若 f x 有极值，则极大值必大于 0.
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题
计分.作答时请先涂题号.
22.在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C ： 3 cos ,
2 sin
x a t
y a t
（t 为参数， 0a ），在以坐标原点为
极点， x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 2C ： 4sin .
（1）试将曲线 1C 与 2C 化为直角坐标系 xOy 中的普通方程，并指出两曲线有公共点时 a 的取
值范围；
（2）当 4a 时，两曲线相交于 A ， B 两点，求| |AB 的值.
23．设函数 ( ) 1 2 3 1f x x x ， ( )f x 的最大值为 M ，正数 a，b 满足 3 3
1 1 Maba b
（1）求 M；
（2）是否存在 a，b，使得 6 6a b ab ？若存在,求出 a,b 的值，不存在请说明理由．
渭滨区高三适应性训练试题（二）数学（文）参考答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一个是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C D D D D A D C B A B
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，把答案填在答题卡中对应题号后的
横线上．（注：16 题第一空 2 分，第二空 3 分）
13． 3
4
14. [ 2,4] 15． 2 16． 2
2
3
2
三、解答题：共 70 分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分
17. 【答案解析】（1） 1 3(1 cos2 ) 3( ) sin2 sin(2 )2 2 3 2
xf x x x
所以函数 ( )y f x 的最小正周期 2
| |T
（2）由 1 3( ) 2f A ，得： 1sin(2 )=3 2A
因为 (0, )2A ，所以 22 ( , )3 3 3A ，所以 2 =3 6A ，
4A
所以
2 2 2 2 4 2cos 2 4 2
b c a bA bc b
，所以 2 6
2b
所以 1 sin 3 12ABCS bc A
18. 【答案解析】（1）证明：连接 EC ，设 EB 与 AC 相交于点O ，如图，
因为 BC ∥ AD ，且 1
2BC AD AE ， AB AD ，
所以四边形 ABCE 为矩形，
所以O 为 EB 的中点，又因为G 为 PB 的中点，
所以OG为 PBE 的中位线，即 / /OG PE ,
因为 OG 平面 PEF ， PE 平面 PEF ，
所以 //OG 平面 PEF ，
因为 E ， F 分别为线段 AD ， DC 的中点，所以 //EF AC ，
因为 AC 平面 PEF ， EF 平面 PEF ，
所以 / /AC 平面 PEF ，
因为 OG 平面 GAC ， AC 平面GAC ， AC OG O ，
所以平面 PEF ∥平面GAC ,因为 PF 平面 PEF ,所以 PF ∥平面 GAC .
（2）因为 PA 底面 ABCD ，
所以 PA AD , PA AC , PA CD
因为 2 2 =2AD BC AB ， E 为线段 AD 的中点，
所以 =1AE BC AB ,又因为 AB AD ， BC ∥ AD ，
所以 CE AD ,所以 2AC CD ,所以 2 2 2AC CD CG ,所以 CD AC ,
因为 PA AC A ,所以 CD 平面 PAC ,所以 CD PC
所以三棱锥 -P ACD 的侧面积为：
1 1 1 1 1 1 2 2 61 2 1 2 3 22 2 2 2 2 2 2PA AD PA AC PC CD .
19. 【答案解析】（1）考虑到 BMI 应与年级或性别均有关，最合理的分层应分为以下四层：
高一男生、高一女生、高二男生、高二女生.
高一男生： 550 160 442000
人；高一女生： 650 160 522000
人；
高二男生： 425 160 342000
人；高二女生： 375 160 301200
人.
（2）（ⅰ）160 人中，“超重”人数为 4 6 2 4 16 人，“超重”发生的频率为 0.1，用
样本的频率估计总体概率，估计在这 2000 人中，“超重”人数为 2000 0.1 200 人.
（ⅱ） 1 2k k .
20. 【答案解析】（1）设椭圆 E 的焦距为 2c，
则根据题意知 2 2 ,2 2 6 4 23
c a ca
，解得 3, 2 2a c ，故 1b ，
因此椭圆 E 的方程为
2
2 19
x y .
（2）设 1 1 2 2, , ,C x y D x y ，由（1）可知 ( 3,0), (3,0)A B ，
则直线 AC 的方程为 1
1
( 3)3
yy xx
，直线 BD 的方程为 2
2
( 3)3
yy xx
，
所以直线 AC 与 BD 的交点 M 的横坐标为
1 2 2 1
2 1 1 2
3 3 3 3
3 3M
y x y xx y x y x
，
将 1 1 2 2
3 3,2 2y k x y k x
代入上式化简得，
1 2 2 1
1 2 2 1
2 1
2 1
3 93 2 4 3 92 2
9 3 3 692 2
M
x x x x x x x xx x xx x
.
将 3
2y k x
代入椭圆方程
2
2 19
x y 整理得， 2 2 2 236 4 108 81 36 0, 0k x k x k ，
所以
2 2
1 2 1 22 2
108 81 36,36 4 36 4
k kx x x xk k
，
所以
1 2 1 21 2 2 1
2 1 2 1
4 15 364 3 96 63 6 3 6M
x x x xx x x xx x x x x
2 2
2 2
2 1
81 36 1084 15 3636 4 36 4 03 6
k k
k k
x x
.
因此，点 M 的横坐标为 6，即点 M 到 y 轴的距离为定值 6.
21．【答案解析】（1） 2 2 2 2
x x
x a x a x a xf x e e
，
当 0a 时， 11f e
， 11f e
，则 f x 在 1, 1f 的切线方程为 1y xe
；
（2）证明：令 0f x ，解得 2x 或 x a ，
①当 2a 时， 0f x 恒成立，此时函数 f x 在 R 上单调递减，
∴函数 f x 无极值；
②当 2a 时，令 0f x ，解得 2a x ，令 0f x ，解得 x a 或 2x ，
∴函数 f x 在 ,2a 上单调递增，在 , a ， 2, 上单调递减，
∴ 2
42 0af x f e
极大值 ；
③当 2a 时，令 0f x ，解得 2 x a ，令 0f x ，解得 2x 或 x a ，
∴函数 f x 在 2, a 上单调递增，在 ,2 ， ,a 上单调递减，
∴ 0a
af x f a e
极大值 ，综上，函数 f x 的极大值恒大于 0.
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题
计分.作答时请先涂题号.
22.【答案解析】（1）曲线 1C ： 3 cos ,
2 sin ,
x t
y t
消去参数t 可得普通方程为
2 2 2( +3) ( 2)x y a .
由 4sin ，得 2 4 sin .故曲线 2C ： 4sin 化为平面直角坐标系中的普通方程
为 2 2( 2) 4x y , 得 1 2| | =3C C ，
当两曲线有公共点时,由 1 22 | | 2 , 0a C C a a ,解得： [1,5]a .
（2）当 3a 时，曲线 1C ： 3 3cos ,
2 3sin ,
x t
y t
即 2 2( 3) ( 2) 9x y ，
联立方程
2 2
22
( +3) ( 2) 16,
2 4,
x y
x y
消去 y ，得两曲线的交点 A ， B 所在直线方程为 1
2x .
曲线 2 2( 2) 4x y 的圆心到直线 1
2x 的距离为 1
2d ，
所以 1| | 2 4 154AB .
23． 【答案解析】：（1）分三类讨论如下：
①当 x＜﹣1 时，f（x）＝x+4，单调递增，f（x）＜3；
②当﹣1≤x≤ 时，f（x）＝﹣5x﹣2，单调递减，f（x）max＝f（﹣1）＝3，
③当 x＞ 时，f（x）＝﹣x﹣4，单调递减，f（x）＜f（ ）＝﹣ ，
综合以上讨论得，f（x）的最大值 M＝3；
（2）假设存在正数 a，b，使得 a6+b6＝ ≥2 ＝2a3b3，
所以， ≤ ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①
又因为 + ＝Mab＝3ab≥2• ，
所以， ≥ ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②
显然①②相互矛盾，
所以，假设不成立，即不存在 a，b 使得 a6+b6＝ ．
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