宝鸡市 2021 年高三联考试题
数学（文科）
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分 150 分，考试时间 120 分钟．
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把
答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在
答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草
稿纸上作答无效．
3.本卷命题范国：高考范围．
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合 { 1 3}A x x ∣ ， { 1,1,2}B ，那么 A B 的子集个数为
A.8 B.6 C.4 D.2
2.已知复数 1 i
3 i
a
为实数，则实数 a＝
A.3 B.－3 C.0 D. 1
3
3.我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，
南乡六千九百一十ニ人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”
其意思为：“今有某地北面若干人，西面有 7488 人，南面有 6912 人，这三面要征调 300 人，
而北面共征调 108 人（用分层抽样的方法），则北面共有多少人
A.8000 B.8100 C.8200 D.8300
4.设双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
的实轴长与焦距分別为 2.4，则双曲线 C 的渐近线方
程为
A. 3
3y x B. 1
3y x C. 3y x D. 3y x
5.函数
6
6 2, 0,( )
log 12, 0
x xf x
x x
的零点之和为
A.－1 B.1 C.－2 D.2
6.函数 ( ) cos 3 2f x x
的单调递增区间为
A. 2 2, ( )6 3 2 3
k k k Z B. , ( )6 3 2 3
k k k Z
C. , ( )6 3 6 3
k k k Z D. 2 2, ( )6 3 6 3
k k k Z
7.设平面 与平面 相交于直线 m，直线 a 在平面 内，直线 b 在平面 内，且 b⊥m，则“a⊥b
是“ ”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.已知两个单位向量 1 2,e e 的夹角为 60°，向量 1 22 ( 0)m te e t ，则
A. | |m
t
的最大值为 3
2
B. | |m
t
的最小值为－2
C. | |m
t
的最小值为 3
2
D. | |m
t
的最大值为－2
9.若直线 2y kx 与曲线 1 3lny x 相切，则 k
A.2 B. 1
3 C.3 D. 1
2
10.已知不等式组
1 0,
0,
3 3 3 0
x
kx y
x y
表示的平面区域为等边三角形，则 3z x y 的最小值为
A. 2 3 3 B.1 3 3 C. 2 3 D.1 3
11.点 M 为圆 2 2:( 2) ( 1) 1C x y 上任意一点，直线 (1 3 ) (1 2 ) 2 5x y 过定
点 P，则 MP 的最大值为
A. 2 3 B. 13 C. 2 3 1 D. 13 1
12.已知数列 na 的前 n 项和为 2 3n
nS ，则此数列奇数项的前 m 项和为
A. 9 9
4 4
m
B. 5 9
4 4
m
C.
19 9
4 4
m
D.
13 9
4 4
m
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13.已知 tan 64
，则 tan ．
14.在等差数列 na 中， 3 4 7a a ，则 1 2 6a a a ．
15.四棱锥 P－ABCD 的每个顶点都在球 O 的球面上，PA 与矩形 ABCD 所在平面垂直，AB＝3，
AD＝ 3 ，球 O 的表面积为13 ，则线段 PA 的长为 ．
16.已知 F 是抛物线 2: 16C y x 的焦点，过 F 的直线 l 与直线 3 1 0x y 垂直，且直线 l
与抛物线 C 交于 A，B 两点，则| |AB ．
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题
为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分
17.（本小题满分 12 分）
在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 14 sin 3 sin ,tan 2 2
Ac B a C ．
（1）求 sinB；
（2）设 D 为 AB 边上一点，且 BD＝3AD，若△ABC 的面积为 24，求线段 CD 的长．
18.（本小题满分 12 分）
共享单车是指企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行
车单车共享服务，是一种分时租赁模式．某共享单车企业为更好服务社会，随机调查了 100
人，统计了这 100 人每日平均骑行共享单车的时间（单位：分钟），由统计数据得到如下频率
分布直方图．已知骑行时间在[60，80），[20，40），[40，60）三组对应的人数依次成等差数
列．
（1）求频率分布直方图中 a，b 的值；
（2）若将日平均骑行时间不少于 80 分钟的用户定义为“忠实用户”，将日平均骑行时间少于
40 分钟的用户定义为“潜力用户”．现从上述“忠实用户”与“潜力用户”的人中按分层抽样
选出 5 人，再从这 5 人中任取 3 人，求恰有 1 人为“忠实用户”的概率．
19.（本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，∠BAC＝∠CAD＝60°，AB⊥BC，AD⊥DC，
点 E 为 PD 的中点，PA＝2，AC＝4.
（1）证明：PB∥平面 AEC；
（2）求点 D 到平面 AEC 的距离．
20.（本小题满分 12 分）
已知直线 1 : 2l y kx 与椭圆
2 2
: 18 2
x yC 交于 A，B 两点， 1l 与直线 2 : 2 4 0l x y 交
于点 M．
（1）证明： 2l 与 C 相切；
（2）设线段 AB 的中点为 N，且| | | |AB MN ，求 1l 的方程．
21.（本小题满分 12 分）
已知函数 21( ) ( 1) ln2f x x a x a x ．
（1）当 a＞1 时，求 f（x）的单调区间；
（2）当 a＜1 且 a≠0 时，若 f（x）有两个零点，求 a 的取值范围．
（ニ）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第
一题计分．
22.（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，直线 1 : 3C y ，圆 2 2
2 :( 1) ( 1) 2C x y ，以坐标原点为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求 1 2,C C 的极坐标方程；
（2）若直线 3C 的极坐标方程为 2 ( )3
R ，设 3C 与 1 2,C C 的交点为 M、N（异于原点），
求 2C MN 的面积．
23.（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲
已知函数 ( ) | 1| | 2 |f x x x ．
（1）求不等式 f（x）≤2 的解集 M；
（2）当 x∈M 时， 2| ( ) |f x a a ，求实数 a 的取值范围．
2021 年高三联考试题・数学（文科）
参考答案、提示及评分细则
1.C 本题考査集合的交集运算和子集问题．因为 {1,2}A B ，所以 A B 的子集为必
,{1},{2},{1,2} ．
2.D 本题考査复数的运算．由 2 2
1 i (1 i) (3 i) 3 (3 1)i
3 i 3 i 10
a a a a
为实数，所以
3 1 0a ，即 1
3a ．
3.B 设北面人数为 x，则有 108
7488 6912 300
x
x
，解得 8100x ．
4.C 因为 2 2,2 4a c ，所以 1, 2, 3a c b ，所以C 的渐近线方程为 3y x ．
5.A 函 数
6
6 2, 0,( )
log 12, 0
x xf x
x x
的 零 点 为 6 6log 2, log 12 ， 故 零 点 之 和 为
6 6 6log 2 log 12 log 6 1 ．
6.A 因 为 ( ) sin3f x x ， 所 以 只 要 求 sin3y x 的 递 減 区 间 ． 令
32 3 2 ( )2 2k x k k Z ，解得
6
2 2 ( )3 2 3
k kx k Z ．
7.B 充分性：若 / /a m ，则无法判断 是否成立，所以充分性不成立；必要性：根据
面面垂直的性质定理，由 ， , ,b m m b b ，又 a b a ，
所以必要性成立．
8.A 因 为 t ＜ 0 ， 所 以
2 2 2
1 2 1 22 4 4| | 2 4t t t
t t t t
te e te em
22
2
2 4 2 1 3
2 4
t t
t t
，当 2 1
2t
，即 4t 时，| |m
t
取得最大值，且最大值
为 3
2
．
9.C 设切点为 0 0, 2x kx ，∵ 3y x
，∴
0 0
0
1
3
2 3ln
kx
kx x
①
②
，由①得 0 3kx ，代入
②得 01 3ln 1x ，则 0 1, 3x k ．
10.D 依题意可得 3
3k ，作出不等式组表示的平面区域如图所示，当直线 3z x y 经
过点 31, 3
时， z 取得最小值1 3 ．
11.D 直线方程 ( 2) (3 2 5) 0x y x y ， 2 0 1
3 2 5 0 1
x y x
x y y
．
圆 心 C 到 定 点 P （ 1 ， 1 ） 的 距 离 加 半 径 为 最 大 值 ， | |MP 的 最 大 值 为
2 2( 2 1) ( 1 1) 1 13 1 ．
12.B 当 2n
时， 1 1
1 2 3 2 3 2 3n n n
n n na S S
，因为当 n＝1 时， 1 1a
不满足，所以数
列 na 从第二项开始成等比数列，又 3 18a ，则数列 na 的奇数项构成的数列的前 m 项
和 mT 118 1 9 5 911 9 4 4
m m
．
13. 5
7
设 tan x ，则1 61
x
x
，解得 5
7x ．
14.21 1 6
6 3 4
6 3 212
a aS a a
．
15.1 因为球 O 的表面积为13 ，所以
2
23 94 132
PA
，则 1PA ．
16. 64
3
由已知 F（4，0），因为直线 l 与直线 3 1 0x y 垂直，所以直线 l 的斜率为 3 ，
所以 : 3( 4)l y x ．设 1 1 2 2, , ,A x y B x y ，
联立 2
3( 4)
16
y x
y x
，得 23 40 48 0x x ，所以 1 2
40
3x x ，
所以 1 2
40 64| | 83 3AB x x p ．
17.解：（1） 4 sin 3 sin , 4sin sin 3sin sinc B a C C B A C ………………2 分
3sin 0, sin sin4C B A ．………………4 分
2
1 1 4 4 3tan , tan , sin , sin2 2 3 5 511 2
A A A B
……………………6 分
（2） sin sin ,B A B 为锐角， 4cos 5B ．………………7 分
又
4 3tan , cos , sin sin( ) sin cos cos sin 13 5A A C A B A B A B ．………………
……9 分
2C ，则△ABC 的面积为 1 sin 424, 48,2 sin 3
a Aab ab b B
，
8, 6, 10a b c ，又 1 53 , 4 2BD AD AD AB ，
2 2 2 25 97 972 cos 36 18 ,4 4 2CD AD AC AD AC A CD ．………………
12 分
18. 解 ： （ 1 ） 由 (0.0025 2 0.0075 3 ) 20 1a ， 解 得 0.0125a ， 又
0.0165 2 0.025b a ，所以 0.0085b ．………………6 分
（ 2 ） “ 忠 实 用 户 ”“ 潜 力 用 户 ” 的 人 数 之 比 为
(0.0075 0.0025) :(0.0125 0.0025) 2:3 ．………………7 分
“忠实用户”抽取 25 25
人，………………………………8 分
“潜力用户”抽取 35 35
人．…………………………9 分
记事件 A：从 5 人中任取 3 人恰有 1 人为“忠实用户”，
设两名“忠实用户”的人记为 1 2,B B ，三名“潜力用户”的人记为 1 2 3, ,b b b ，则从这 5 人中任
选 3 人 有 ： 1 2, ,B B 1 1 2 2 1 2 3, , , , , ,b B B b B B b ，
1 1 2 1 1 3 1 2 3 2 1 2 2 1 3 2 2 3, , , , , , , , , , , , , , , , ,B b b B b b B b b B b b B b b B b b ， 1 2 3, ,b b b 共 10 种情
形 ． 符 合 题 设 条 件 的 有 1 1 2 1 1 3 1 2 3 2 1 2 2 1 3, , , , , , , , , , , , , ,B b b B b b B b b B b b B b b ，
2 2 3, ,B b b 6 种，因此， 6 3( ) 10 5P A ．…………………………12 分
19. （ 1 ） 证 明 ： 连 接 BD ， 交 AC 于 O 点 ， 因 为
60 ,BAC CAD ABC ADC 90 , AC AC
所以 Rt Rt ,ABC ADC AB AD ．……………………2 分
又 AO 为∠BAD 的平分线，
所以 AO⊥BD，且 O 为 BD 中点．
又因为 E 为 PD 的中点，所以 OE∥PB．…………………………4 分
因为 PB 平面 AEC， OE 平面 AEC，所以 PB∥平面 AEC．……………………5 分
（2）解：在 Rt△ACD 中，AC＝4，∠CAD＝60°，所以 AD＝2，CD＝ 2 3 ．
由 PA⊥平面 ABCD，得 PA⊥CD，因为 AD⊥CD， PA AD A ．
所以 CD⊥平面 PAD，从而 CD_⊥PD．……………………7 分
在 Rt△PAD 中，PA＝2，AD＝2，所以 PD＝ 2 2 ，AE＝ED＝ 2 ．
在 Rt△CDE 中 可 得 14EC ， 且 满 足 2 2 2AC AE EC ， 所 以
AE CE ．……………………9 分
所以 1 12 14 7, 2 2 3 2 32 2AEC ACDS S ．………………10 分
设点 D 到平面 AEC 的距离为 h，则 1 1 1
3 3 2AEC ACDS h S PA ，
解得 2 3 2 21
77
h ．…………………………12 分
20.（1）证明：联立
2 2
18 2
2 4 0
x y
x y
，得 2 2(4 2 ) 4 8y y ，
即 2 2 1 0y y ，…………………………2 分
2Δ 0, l 与 C 相切．……………………3 分
（注：消去 y 得到关于 x 的一元ニ次方程，根据判別式等于 0 是一样得分的）
（2）解：联立 2
2 4 0
y kx
x y
，得 M 的坐标为（0，2）．……………………4 分
联立
2 2
18 2
2
x y
y kx
，得 2 21 4 16 8 0k x kx ，……………………5 分
设 1 1 2 2, , ,A x y B x y ，则 1 2 1 22 2
16 8,1 4 1 4
kx x x xk k
……………………6 分
2 2 2Δ (16 ) 32 1 4 128 32 0k k k ，即 2 1
4k ．………………7 分
设 0 0,N x y ，则 1 2
0 2
8
2 1 4
x x kx k
，……………………8 分
2 2
1 2 0| | | |, 1 1 0AB MN k x x k x ．……………………9 分
则 2
1 2 1 2 04x x x x x ，即
2
2 2
8 4 2 4 1
1 4 1 4
k k
k k
．………………10 分
整理得 2 1 1
2 4k ，………………11 分
故 1
2 ,2k l 的方程为 2 22y x ．……………………12 分
21.解：（1） ( 1)( )( ) ( 1) ( 0)a x x af x x a xx x
．………………1 分
当 a＞1 时，由 ( ) 0f x ，得 0＜x＜1 或 x＞a；……………………2 分
由 ( ) 0f x ，得 1＜x＜a．…………………………3 分
故 f（x）在（0，1）， ( , )a 上单调递増，在（1，a）上单调递减．………………5 分
（2）①当 a＜0 时，f（x）在 (1, ) 上单调递增，在（0，1）上单调递減，
则 min
1( ) (1) 2f x f a ，……………………6 分
因为 (0,1), ( ) 0m f m ，且 (2) ( 2 ln 2) 0f a ，………………7 分
所以 1(1) 02f a ，即 1 02 a ．……………………8 分
②当 0＜a＜1 时，f（x）在（0，a）， (1, ) 上单调递增，在（a，1）上单调递减，
f（x）在 x＝a 时取得极大值，且 2 21 1( ) ( 1) ln ( 1 ln )2 2f a a a a a a a a a ，
因为 0＜a＜1，所以 1 ln 0a ，则 f（a）＜0，………………………10 分
所以 f（x）在 (0, ) 只有一个零点．……………………11 分
综上，a 的取值范围为 1 ,02
．………………12 分
22.解：本题考査极坐标与参数方程．
（1）因为 cos , sinx y ，所以 1C 的极坐标方程为 sin 3 ，所以 2C 的极坐标
方程为 2(sin cos ) ．…………………………5 分
（2）因为直线 3C 的极坐标方程为 2 ( )3
R ，所以 1 2
3 2 3, 3 12sin 3
，
所以 2 1| |MN 3 3 1 ，点 2C 到直线 3 : 3C y x 的距离 2 2
| 3 1| 3 1
23 1
d
，
所以
2
1 (3 3 1)2C MNS
3 1 322 2
．………………10 分
23.解：本题考查绝对值不等式．
（1）
3, 2,
( ) | 1| | 2| 2 1, 2 1
3, 1.
x
f x x x x x
x
，当 1x
时， ( ) 2f x ；当 2 1x 时，
由 2 1 2x ，得 3
2x
．
综上所述，不等式 ( ) 2f x 的解集 M 为 3
2x x
∣
．……………………6 分
（2）由（1）得，当 x M 时， ( ) 2f x ，那么| ( ) | 0f x
，从而可得 2 0a a ，即实数 a
的取值范围是（0，1）．………………10 分
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