山西省阳泉市2021届高三数学（文）下学期三模试题（Word版附答案）

2021 年阳泉市高三第三次教学质量监测试题 文科数学 一､选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合  2 4 5 0A x x x    ，  1,0,1,2,3,5B   ，则 A B  （ ）． A.  1,0 B.  1,0,1 C.  0,1,2 D.  0,1,2,3 2. 已知 a b R， ，i 是虚数单位.若 2a i b i   ，则  2a bi 等于（ ） A. 3 4i B. 3 4i C. 4 3i D. 4 3i 3. 设 xR ,则“ 2x > ”是“ 3 8x  ”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知 F 是抛物线 C ： 2 4y x 的焦点，过C 上一点 M 作其准线的垂线，垂足为 N ，若 120NMF   ，则点 M 的横坐标是（ ） A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 1 5. 如图，在正方形 ABCD 中， ,M N 分别是 ,BC CD 的中点，若 AC AM BN     ，则   的值为 A. 8 5 B. 5 8 C. 1 D. -1 6. 在锐角三角形 ABC 中，已知 , ,a b c 分别是角 , ,A B C 的对边，且 3 2 sin , 4b a B a  ，则 ABC 面积的最大值为 A. 2 3 B. 4 3 C. 8 3 D. 16 3 7. 在正项等比数列 na 中， 3 4a a m  ， 13 14a a n  ，则 23 24a a 的值为（ ） A. n m B. 2 2 n m C. 2n m D. 2 n m 8. 已知函数 ( ) x x x x e ef x e e     ，实数 ,m n 满足不等式 (2 ) (2 ) 0f m n f n    ，则下列不等 关系成立的是（ ） A. 1m n  B. 1m n  C. 1m n   D. 1m n   9. 从编号分别为 1，2，3，4，5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出两个小球，则取 出的两个小球的编号之差的绝对值为 2 的概率是（ ） A. 4 15 B. 8 15 C. 5 15 D. 6 15 10. 为了起到隔离防撞，减少车辆冲击力，疏散人群，警示司机等作用，一些道路路口经常会 摆放一些水泥隔离墩.已知某水泥隔离墩的三视图如图所示，则这个水泥隔离墩的表面积是 （ ） A. 48 B. 32 8 17 C. 48 8 17 D. 80 11. 设 1F ， 2F 分别为双曲线   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的左､右焦点，双曲线上存在一点 P 使 得 1 2 3PF PF b  ， 1 2 9 4PF PF ab  ，则该双曲线的离心率是（ ） A. 5 3 B. 2 C. 9 4 D. 5 2 12. 已知   sin ( 0)3f x x          同时满足下列三个条件：①T  ； ② 3y f x      是奇函数；③  0 6f f      .若  f x 在 0,t 上没有最小值，则实数t 的 取值范围是 A. 50, 12      B. 50, 6      C. 5 11,12 12       D. 5 11,6 12       二､填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 已知 21 3 2 1 1log , 2 ,3 3a b c        ，则 , ,a b c 的大小关系是___________________.(用“ ” 连结) 14. 设 x，y 满足约束条件 2 0 2 0 2y 6 0 x y x          ，则 z x y  的最小值是______. 15. 已知 是锐角，且 1cos 5 3      ，则 cos 2 15      ________． 16. 已知函数     2 2 1 1, 2 1ln 1 , 2 x xxf x x x         ，   2 3 3g x x x   .设b 为实数，若存在实数 a ， 使得     0f a g b  ，则b 的取值范围是___________. 三､解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤. 17. 已知等差数列 na 为递增数列，且满足 1 2a  , 2 2 2 43 5a a a  ． （1）求数列 na 的通项公式； （2）令 *1 ( )( 1)( 1)n n n b n Na a    ， nS 为数列 nb 的前 n 项和，求 nS ． 18. 随着我国老龄化进程不断加快，养老将会是未来每个人要面对的问题，而如何养老则是我 国逐渐进入老龄化社会后，整个社会需要回答的问题.为了调查某地区老年人是否愿意参加个 性化社区型医养结合型养老机构，用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老人，结果如 下： 是否愿意参加 男 女 不愿意 40 30 愿意 160 270 （1）估计该地区老年人中，愿意参加个性化社区型医养结合型养老机构的男性老年人的比例 以及女性老年人的比例； （2）根据统计数据能有多大的把握认为该地区的老年人是否愿意参加个性化社区型医养结合 型养老机构与性别有关？请说明理由. 参考公式：        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      参考数据：  2 0P K k 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 3.841 5.024 6.635 7.879 10828 19. 如图，在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 2AB  ， 1AD  ， 1 1A A  .点О 为对角线 1 1AC 的中点. （1）证明：直线 BO 平行于平面 1D AC ； （2）求点О 到平面 1D AC 的距离. 20. 已知椭圆C ：   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的离心率为 3 2 ，顶点  0,1B ， F 是椭圆C 的左 焦点，直线 BF 的斜率为 3 3 . （1）求椭圆C 的方程； （2）过点 2, 1  作直线交椭圆于 M ，N 两点，记直线 MB ，NB 的斜率分别为 MBk ， NBk ， 试判断 MB NBk k 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，说明理由. 21. 已知函数 2( ) ln 1f x x mx   ， mR . （1）当 2m   时，求函数 ( )f x 的单调区间及极值； （2）讨论函数 ( )f x 的零点个数. 22. 已知曲线 1C 的极坐标方程为 1  ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 的正半轴， 建立平面直角坐标系 xOy . （1）若曲线 2 1:{ (2 x tC ty t     为参数）与曲线 1C 相交于两点 ,A B ，求 AB ； （2）若 M 是曲线 1C 上的动点，且点 M 的直角坐标为  ,x y ，求   1 1x y  的最大值. 23. 设函数 ( ) | 1|f x x  ． （1）求 (2 ) ( 1)f x f x  的最小值 m ； （2）在（1）的件下，证明  2 2 1cos sin 2f f m       ． 2021 年阳泉市高三第三次教学质量监测试题 文科数学 答案版 一､选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合  2 4 5 0A x x x    ，  1,0,1,2,3,5B   ，则 A B  （ ）． A.  1,0 B.  1,0,1 C.  0,1,2 D.  0,1,2,3 【答案】D 2. 已知 a b R， ，i 是虚数单位.若 2a i b i   ，则  2a bi 等于（ ） A. 3 4i B. 3 4i C. 4 3i D. 4 3i 【答案】A 3. 设 xR ,则“ 2x > ”是“ 3 8x  ”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 4. 已知 F 是抛物线 C ： 2 4y x 的焦点，过C 上一点 M 作其准线的垂线，垂足为 N ，若 120NMF   ，则点 M 的横坐标是（ ） A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 1 【答案】A 5. 如图，在正方形 ABCD 中， ,M N 分别是 ,BC CD 的中点，若 AC AM BN     ，则   的值为 A. 8 5 B. 5 8 C. 1 D. -1 【答案】A 6. 在锐角三角形 ABC 中，已知 , ,a b c 分别是角 , ,A B C 的对边，且 3 2 sin , 4b a B a  ，则 ABC 面积的最大值为 A. 2 3 B. 4 3 C. 8 3 D. 16 3 【答案】B 7. 在正项等比数列 na 中， 3 4a a m  ， 13 14a a n  ，则 23 24a a 的值为（ ） A. n m B. 2 2 n m C. 2n m D. 2 n m 【答案】C 8. 已知函数 ( ) x x x x e ef x e e     ，实数 ,m n 满足不等式 (2 ) (2 ) 0f m n f n    ，则下列不等 关系成立的是（ ） A. 1m n  B. 1m n  C. 1m n   D. 1m n   【答案】C 9. 从编号分别为 1，2，3，4，5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出两个小球，则取 出的两个小球的编号之差的绝对值为 2 的概率是（ ） A. 4 15 B. 8 15 C. 5 15 D. 6 15 【答案】A 10. 为了起到隔离防撞，减少车辆冲击力，疏散人群，警示司机等作用，一些道路路口经常会 摆放一些水泥隔离墩.已知某水泥隔离墩的三视图如图所示，则这个水泥隔离墩的表面积是 （ ） A. 48 B. 32 8 17 C. 48 8 17 D. 80 【答案】C 11. 设 1F ， 2F 分别为双曲线   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的左､右焦点，双曲线上存在一点 P 使 得 1 2 3PF PF b  ， 1 2 9 4PF PF ab  ，则该双曲线的离心率是（ ） A. 5 3 B. 2 C. 9 4 D. 5 2 【答案】A 12. 已知   sin ( 0)3f x x          同时满足下列三个条件：①T  ； ② 3y f x      是奇函数；③  0 6f f      .若  f x 在 0,t 上没有最小值，则实数t 的 取值范围是 A. 50, 12      B. 50, 6      C. 5 11,12 12       D. 5 11,6 12       【答案】D 二､填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 已知 21 3 2 1 1log , 2 ,3 3a b c        ，则 , ,a b c 的大小关系是___________________.(用“ ” 连结) 【答案】 a c b  14. 设 x，y 满足约束条件 2 0 2 0 2y 6 0 x y x          ，则 z x y  的最小值是______. 【答案】0 15. 已知 是锐角，且 1cos 5 3      ，则 cos 2 15      ________． 【答案】 4 6 7 18  16. 已知函数     2 2 1 1, 2 1ln 1 , 2 x xxf x x x         ，   2 3 3g x x x   .设b 为实数，若存在实数 a ， 使得     0f a g b  ，则b 的取值范围是___________. 【答案】 1,2 三､解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤. 17. 已知等差数列 na 为递增数列，且满足 1 2a  , 2 2 2 43 5a a a  ． （1）求数列 na 的通项公式； （2）令 *1 ( )( 1)( 1)n n n b n Na a    ， nS 为数列 nb 的前 n 项和，求 nS ． 【答案】（1） 2 .na n （2） 2 1n nS n   18. 随着我国老龄化进程不断加快，养老将会是未来每个人要面对的问题，而如何养老则是我 国逐渐进入老龄化社会后，整个社会需要回答的问题.为了调查某地区老年人是否愿意参加个 性化社区型医养结合型养老机构，用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老人，结果如 下： 是否愿意参加 男 女 不愿意 40 30 愿意 160 270 （1）估计该地区老年人中，愿意参加个性化社区型医养结合型养老机构的男性老年人的比例 以及女性老年人的比例； （2）根据统计数据能有多大的把握认为该地区的老年人是否愿意参加个性化社区型医养结合 型养老机构与性别有关？请说明理由. 参考公式：        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      参考数据：  2 0P K k 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 3.841 5.024 6.635 7.879 10828 【答案】（1） 4 5 ， 9 10 ；（2）有 99.5%的把握认为是否愿意参加个性化社区型医养结合型养老 机构与性别有关，理由见解析. 19. 如图，在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 2AB  ， 1AD  ， 1 1A A  .点О 为对角线 1 1AC 的中点. （1）证明：直线 BO 平行于平面 1D AC ； （2）求点О 到平面 1D AC 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2） 2 3 . 20. 已知椭圆C ：   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的离心率为 3 2 ，顶点  0,1B ， F 是椭圆C 的左 焦点，直线 BF 的斜率为 3 3 . （1）求椭圆C 的方程； （2）过点 2, 1  作直线交椭圆于 M ，N 两点，记直线 MB ，NB 的斜率分别为 MBk ， NBk ， 试判断 MB NBk k 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，说明理由. 【答案】（1） 2 2 14 x y  ；（2）是定值，定值为 1. 21. 已知函数 2( ) ln 1f x x mx   ， mR . （1）当 2m   时，求函数 ( )f x 的单调区间及极值； （2）讨论函数 ( )f x 的零点个数. 【答案】（1）增区间为 10, 2      ，减区间为 1 ,2     ，极大值为 1 ln22  ，无极小值，（2）答 案见解析. 22. 已知曲线 1C 的极坐标方程为 1  ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 的正半轴， 建立平面直角坐标系 xOy . （1）若曲线 2 1:{ (2 x tC ty t     为参数）与曲线 1C 相交于两点 ,A B ，求 AB ； （2）若 M 是曲线 1C 上的动点，且点 M 的直角坐标为  ,x y ，求   1 1x y  的最大值. 【答案】（1） 2AB  （2）  21 2 12  23. 设函数 ( ) | 1|f x x  ． （1）求 (2 ) ( 1)f x f x  的最小值 m ； （2）在（1）的件下，证明  2 2 1cos sin 2f f m       ． 【答案】（1） 1 2m  ；（2）证明见解析.