宝鸡市 2021 年高三联考试题
数学（理科）
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分 150 分，考试时间 120 分钟．
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把
答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在
答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草
稿纸上作答无效．
3.本卷命题范围：高考范围．
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合 2 2 3 0 ,A x x x B N∣ ，则集合 A B
A.{0} B.{0,1} C.{0,1,2} D.{1,2,3}
2.已知 i 为虚数单位，纯虚数 z 满足 ( )i 1 iz a ，则实数 a＝
A.－1 B.1 C.0 D.2
3.我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，
南乡六千九百一十ニ人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”
其意思为：“今有某地北面若干人，西面有 7488 人，南面有 6912 人，这三面要征调 300 人，
而北面共征调 108 人（用分层抽样的方法），则北面共有多少人．”
A.8000 B.8100 C.8200 D.8300
4.设双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
的实轴长与焦距分别为 2，4，则双曲线 C 的渐近线方
程为
A. 3
3y x B. 1
3y x C. 3y x D. 3y x
5.函数
6
6 2, 0,( )
log 12, 0
x xf x
x x
的零点之和为
A.－1 B.1 C.－2 D.2
6.函数 ( ) cos 3 2f x x
的单调递增区间为
A. 2 2, ( )6 3 2 3
k k k Z B. , ( )6 3 2 3
k k k Z
C. , ( )6 3 6 3
k k k Z D. 2 2, ( )6 3 6 3
k k k Z
7.设公差为质数的等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，已知 5 7 9 15a a a ，则 15S 不可能为
A.120 B.135 C.180 D.240
8.已知两个单位向量 1 2,e e 的夹角为 60°，向量 1 22 ( 0)m te e t ，则
A. | |m
t
的最大值为 3
2
B. | |m
t
的最小值为 2
C. | |m
t
的最小值为 3
2
D. | |m
t
的最大值为 2
9.已知不等式组
1 0,
0,
3 3 3 0
x
kx y
x y
表示的平面区域为等边三角形，则 3z x y 的最小值为
A. 2 3 3 B.1 3 3 C. 2 3 D.1 3
10.点 M 为圆 2 2:( 2) ( 1) 1C x y 上任意一点，直线 (1 3 ) (1 2 ) 2 5x y 过定
点 P，则 MP 的最大值为
A. 2 3 B. 13 C. 2 3 1 D. 13 1
11.已知某三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为 4，6，12，则该三棱锥
的外接球的表面积为
A.36 B.52 C.56 D. 224
12. 抛 物 线 2 8y x 的 焦 点 为 F ， 设 1 1 2 2, , ,A x y B x y 是 抛 物 线 上 的 两 点 ，
1 2 4 2 | |x x AB ，则∠AFB 的最大值为
A.
3
B.
2
C. 3
4
D. 5
6
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13.已知 tan 64
，则 tan ．
14.若
51a x
的展开式中 3
1
x
的系数为 1，则| |a ．
15.在等差数列 na 中， 2 4a ，且 3 6 101 , ,4a a a 成等比数列，则公差 d＝ ．
16.若曲线 3 2y x ax 存在平行于直线 3 1y x 的切线，则 a 的取值范围为 ．
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题
为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分
17.（本小题满分 12 分）
在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 14 sin 3 sin ,tan 2 2
Ac B a C ．
（1）求 sinB；
（2）设 D 为 AB 边上一点，且 BD＝3AD，若△ABC 的面积为 24，求线段 CD 的长．
18.（本小题满分 12 分）
如图，在多面体 ABCDEF 中，平面 ABCD⊥平面 CDEF，四边形 CDEF 是边长为 2 的正方形，
四边形 ABCD 是直角梯形，其中 BC∥AD，BC⊥CD，且 BC＝CD＝ 1
2 AD．
（1）证明：BE⊥DF；
（2）求平面 ABF 与平面 CDEF 所成的锐二面角的余弦值．
19.（本小题满分 12 分）
抖音是一款音乐创意短视频社交软件，是一个专注年轻人的 15 秒音乐短视频社区．用户可以
通过这款软件选择歌曲，拍摄 15 秒的音乐短视频，形成自己的作品．2018 年 6 月首批 25 家
央企集体入驻抖音．一调研员在某单位进行刷抖音时间的调查，若该单位甲、乙、丙三个部
门的员工人数分别为 24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人．
（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（2）若抽出的 7 人中有 3 人是抖音迷，4 人为非抖音迷，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一
步的详细登记．
（i）用 X 表示抽取的 3 人中是抖音迷的员工人数，求随机变量 X 的分布列与数学期望；
（ii）设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有是抖音迷的员工，也有非抖音迷的员工”，求事件 A
发生的概率．
20.（本小题满分 12 分）
已知函数 2 21( ) ( 1)e 2
xf x x a ax a x ，其中 a e ．
（1）若 a＝2，求 f（x）的单调区间；
（2）若 f（x）在（1，2）内只有一个零点，求 a 的取值范围．
21.（本小题满分 12 分）
已知点 ( 3,0)F 是椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的一个焦点，点 13, 2M
在椭圆 C 上．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）若直线 l 与椭圆 C 交于不同的 A，B 两点，且 1
2OA OBk k （O 为坐标原点），求直线
l 斜率的取值范围．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则
按所做的第一题计分．
22.（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，直线 1 : 3C y ，圆 2 2
2 :( 1) ( 1) 2C x y ，以坐标原点为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求 1 2,C C 的极坐标方程；
（2）若直线 3C 的极坐标方程为 2 ( )3
R ，设 3C 与 1 2,C C 的交点为 M、N（异于原点），
求 2C MN 的面积．
23.（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲
已知函数 ( ) | 1| | 2 |f x x x ．
（1）求不等式 f（x）≤2 的解集 M；
（2）当 x M 时， 2| ( ) |f x a a ，求实数 a 的取值范围．
2021 年高三联考试题・数学（理科）
参考答案、提示及评分细则
1.C 本题考査集合的运算．由 { 1 3},A x B N 得， {0,1,2}A B ．
2.B 本题考査纯虚数及复数运算问题．设 i,z b b R ，可得 ( i )i 1 ib a ，即
i 1 ib a ，那么 1a ．
3.B 设北面人数为 x 则有 108
7488 6912 300
x
x
，解得 8100x ．
4.C 因为 2 2,2 4a c ，所以 1, 2, 3a c b ，所以 C 的渐近线方程为 3y x ．
5.A 函数
6
6 2, 0,( )
log 12, 0
x xf x
x x
的零点为 6 6log 2, log 12 ，
故零点之和为 6 6 6log 2 log 12 log 6 1 ．
6.A 因 为 ( ) sin3f x x ， 所 以 只 要 求 sin3y x 的 递 减 区 间 ． 令
32 3 2 ( )2 2k x k k Z ，解得
6
2 2 ( )3 2 3
k kx k Z ．
7.B 5 7 9 7 7 15 83 15,, 5, 15 15(5 )a a a a a S a d
当 d＝4 时， 15 135S ；当 d＝3 时， 15 120S ；当 d＝7 时， 15 180S ；当 d＝11 时， 15 240S ．
其中，只有 4 不是质数，故选 B．
8.A 因为 0t ，所以 2 2 2
1 2 1 22 4 4| | 2 4t t t t
t t t t
te e e em
22
2
2 4 2 1 3
2 4
t t
t t
，当 2 1
2t
，即 4t 时，| |m
t
取得最大值，且最大值
为 3
2
．
9.D 依题意可得 3
3k ，作出不等式组表示的平面区域如图所示，当直线 3z x y 经过
点 31, 3
时， z 取得最小值1 3 ．
10.D 直线方程 ( 2) (3 2 5) 0x y x y ， 2 0 1
3 2 5 0 1
x y x
x y y
．
圆 心 C 到 定 点 P （ 1 ， 1 ） 的 距 离 加 半 径 为 最 大 值 ， | |MP 的 最 大 值 为
2 2( 2 1) ( 1 1) 1 13 1 ．
11.C 三个侧面的面积分别为 4，6，12，则三条侧棱长分别为 2，4，6，则外接球的半径
2 2 22 4 6
2R 56
2
，所以外接球的表面积为
2
564 562
12.B
13. 5
7
设 tan x ，则 1 61
x
x
，解得 5
7x ．
14. 10
10
因为
51a x
的展开式中 3
1
x
的项为
3 2
3 2
5 3
1 10aC a x x
．所以 210 1a ，则 10| | 10a ．
15.3
由 3 6 101 , ,4a a a 成等比数列， 2 4a ，得 2(4 4 ) (1 4 )(4 4 8 )d d d ，化简得
2 2 3 0d d ，所以，d＝3，或 d＝－1，当 d＝－1 时， 6 0a ，舍去．
16.( , 3] (3, )
设平行于直线 y＝－3x＋1 的切线的切点为 3 2,m m am ，
2 2 23 2 , 3 2 3, Δ 4 36 0y x ax m am a
，解得 ( , 3] [3, )a
若切点在直线 y＝－3x＋1 上，则 3 2 3 1m am m ，又 23 2 3m am ，
从而 3 23 2 ( 1) ( 2) 0m m m m ，解得 m＝1 或 2m ．
当 m＝1 时，a＝3，此时方程 23 6 3 0m m 有两个相等的实根，曲线 3 2y x ax 不存在
平行于直线 y＝－3x＋1 的切线；
当 2m 时， 15
4a ，此时方程 22 5 2 0m m 有两个不等的实根，曲线 3 2y x ax 仅
存在一条平行
于直线 y＝－3x＋1 的切线．
综上，a 的取值范围为 ( , 3] (3, ) ．
17.解：（1） 4 sin 3 sin , 4sin sin 3sin sinc B a C C B A C ………………2 分
3sin 0, sin sin4C B A ．………………4 分
2
1 1 4 4 3tan , tan , sin , sin2 2 3 5 511 2
A A A B
……………………6 分
（2） sin sin ,B A B 为锐角， 4cos 5B ．………………7 分
又
4 3tan , cos , sin sin( ) sin cos cos sin 13 5A A C A B A B A B ．………………
……9 分
2C ，则△ABC 的面积为 1 sin 424, 48,2 sin 3
a Aab ab b B
，
8, 6, 10a b c ，又 1 53 , 4 2BD AD AD AB ，
2 2 2 25 97 972 cos 36 18 ,4 4 2CD AD AC AD AC A CD ．………………
12 分
18.（1）证明：连结 CE，DF，
因为四边形 CDEF 是正方形，
所以 DF⊥CE．…………………………1 分
因为 BC⊥CD，平面 ABCD⊥平面 CDEF，
所以 BC⊥平面 CDEF，从而 DF⊥BC．………………………3 分
又 BC CE C ，
所以 DF⊥平面 BCE，所以 BE⊥DF．…………………5 分
（2）解：如图所示，以 DA，DC，DE 分別为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 D－xyz，
依题意知 A（4，0，0），B（2，2，0），F（0，2，2），D（0，0，0）．……………………7 分
设平面 ABF 的法向量为 1 1 1, ,m x y z ，
( 2,2,0), ( 4,2,2)AB AF ，
1 1
1 1 1
2 2 0
4 2 2 0
x y
x y z
，令 1 1y ，则
1
1
1
1
1
1
x
y
z
，所以 (1,1,1)m ……………………10 分
易知平面 CDEF 的法向量为 (1,0,0)n ，………………11 分
设该二面角的平面角为 ，所以 | | 1 3cos | || | 33 1
m n
m n
．………………12 分
19.解：本题考査概率与统计
（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 3：2：2，由于采用分层抽样的方法从
中抽取 7 人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人，2 人，2 人．……………………
3 分
（2）（i）随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3，
3
3 4
3
7
C C( ) ( 0,1,2,3)C
k k
P X k k
所以，随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P 4
35
18
35
12
35
1
35
随机变量 X 的数学期望 4 18 12 1 9( ) 0 1 2 335 35 35 35 7E X ………………………8 分
（ii）设事件 B 为“抽取的 3 人中，是抖音迷的员工有 1 人，非抖音迷的员工有 2 人”；事件
C 为“抽取的 3 人中，是抖音迷的员工有 2 人，非抖音迷的员工有 1 人”，则 A B C ，且
B 与 C 互 斥 ， 由 （ i ） 知 P （ B ） ＝ P （ X ＝ 1 ）， P （ C ） ＝ P （ X ＝ 2 ）， 故
6( ) ( ) ( 1) ( 2) 7P A P B C P X P X ．
所以，事件 A 发生的概率为 6
7
．……………12 分
20.解：（1）若 22, ( ) ( 3)e 4xa f x x x x ，
( ) ( 2) e 2xf x x …………………………1 分
令 ( ) 0f x ，得 1 2ln 2, 2x x ；
令 ( ) 0f x ，得 ln2< 2x ；……………………2 分
令 ( ) 0f x ，得 ln 2x 或 2x ．………………………3 分
故 f（x）在 (ln 2,2) 上单调递减，…………………4 分
在 ( ,ln 2),(2, ) 上单调递增．……………………5 分
（2） ( ) ( ) exf x x a a ，
当 1a 时， ( ) 0f x 对 (1,2)x 恒成立，………………………6 分
则 f（x）在（1，2）上单调递增，
从而
2
1(1) e 02
(2) (1 ) e 2 0
f a a
f a a
，则 (0,1)a ……………………8 分
当 1＜a＜2 时，f（x）在（1，a）上单调递减，在（a，2）上单调递増，………………………
9 分
1 21(1) e 0, ( ) 0, (2) 02
af a a f a f
，则 a．……………………10 分
当 2 ea 时， ( ) 0f x 对 (1,2)x 恒成立，则 f（x）在（1，2）上单调递减，
(1) 0, ( )f f x 在（1，2）内没有零点．……………………11 分
综上，a 的取值范围为（0，1）．………………………12 分
21.解：（1）由题可知，椭圆的另一个焦点为 ( 3,0) ，…………………………1 分
所以点 M 到两焦点的距离之和为
2
2 1 1(2 3) 4 22 2 a
，……………………3 分
所以 a＝2，…………4 分
又因为 3c ，所以 b＝1，则椭圆 C 的方程为
2
2 14
x y ．……………………5 分
（2）当直线 l 的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知， 0OA OBk k ，不符合题
意．……………………6 分
故设直线的方程为 1 1 2 2, , , ,y kx m A x y B x y ，
联立 2
2 14
y kx m
x y
，可得 2 2 24 1 8 4 1 0k x kmx m ．
所以
1 2 2
2
1 2 2
2 2
8
4 1
4 1
4 1
Δ 16 4 1 0
kmx x k
m
x x k
k m
……………………8 分
而
2
1 2 2 1 1 21 2
22
1 2 1 2 1 2
8 22 2 14 1OA OB
kx m x kx m x m x xy y km kk k k kx x x x x x mm
，
由 1
2OA OBk k ，可得 2 4 1m k ．……………………10 分
所以 1
4k
，
又因为 2 216 4 1 0k m ，所以 24 4 0k k ，
综上， 1 ,0 (1, )4k
．………………………12 分
22.解：本题考查极坐标与参数方程．
（1）因为 cos , sinx y ，所以 1C 的极坐标方程为 sin 3 ，所以 2C 的极坐标
方程为 2(sin cos ) ．……………………5 分
（2）因为直线 3C 的极坐标方程为 2 ( )3
R ，所以 1 2
3 2 3, 3 12sin 3
，
所以 2 1| |MN 3 3 1 ，点 2C 到直线 3 : 3C y x 的距离 2 2
| 3 1| 3 1
23 1
d
，
所以
2
1 (3 3 1)2C MNS
3 1 322 2
．………………10 分
23.解：本题考查绝对值不等式．
（1）
3, 2,
( ) | 1| | 2| 2 1, 2 1
3, 1.
x
f x x x x x
x
，当 1x
时， ( ) 2f x ；当 2 1x 时，
由 2 1 2x ，得 3
2x
．
综上所述，不等式 ( ) 2f x 的解集 M 为 3
2x x
∣
．……………………6 分
（2）由（1）得，当 x M 时， ( ) 2f x ，那么| ( ) | 0f x
，从而可得 2 0a a ，即实数 a
的取值范围是（0，1）．………………10 分
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