如皋市 2021 年新高考第三次适应性考试
数学
2
021.5
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条
形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标
号涂黑．
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签宇笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．1 2 1 2
1 1
i i
i i
（ ）
A． 1 B． i C．1 D．i
2．已知随机变量 2~ 1,X N ，若 ( 0) 0.6P X ，则 ( 2)P X （ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
3．1943 年深秋的一个夜晚，年仅 19 岁的曹火星在晋察冀边区创作了歌曲《没有共产党就没
有中国》，毛主席得知后感觉歌名的逻辑上有点问题，遂提出修改意见，将歌名改成《没有
共产党就没有新中国》，今年恰好是建党 100 周年，请问“没有共产党”是“没有新中国”的条件．
A．充分 B．必要 C．充分必要 D．既非充分又非必
要
4．已知
1
3
3 1
3
1 1log 5, , log2 6a b c
，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A．a b c B．b a c C．c b a D．c a b
5． 52 3 2x x 的展开式中 2x 的系数为（ ）
A．625 B．800 C．750 D．600
6．已知正三角形 ABC 的边长为 3，且 2 , 2 , 2AP PB BQ QC CR RA ，则 PQ PR
=（ ）
A． 3
2 B． 3
4 C． 3
3
D． 3
2
7．已知椭圆
2
2
2
1
1x ya
与双曲线
2
2
2
2
1x ya
有相同的焦点 1 2, F F ，设椭圆与双曲线的离心率
分别为 e 21,e e ，则（ ）
A． 1 2 1e e B． 2 2
2 1 1e e C． 2 2 2 2
1 2 1 22e e e e D． 2 12e e
8．已知四棱锥 P ABCD 的侧面 PAD 为正三角形，底面 ABCD 为矩形，且面 PAD 面 ABCD，
若 4 3 , 23PA AB ，则该四棱锥内可以放置最大的球的半径为（ ）
A． 3
3
B． 2 2 C． 2 3
3
D． 2
3
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．已知 , , ,a b c d R ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． 2 2 2 2 2a b c d abcd B． 4 4 3 3a b a b ab
C． 2 2 2 2 2( )ab cd a c b d D．
2 2 2 2 2 2( ) ( )a b c d a c b d
10．已知圆 2 2: 4, (1,0), (4,0) O x y A C ，点 P 在圆上且在第一象限内，则下列结论正确的
是（ ）
A． 2PC PA B．
6PCA
C． 2PAC PCA D． 2PAC PCA
11．已知正方体 1 1 1 1 ABCD A B C D 中，设与对角线 AC，垂直的平面α截正方体表面所得截面
多边形记为 M，则关于多边形 M 的说法正确的是（ ）
A．M 可能为正三角形 B．M 可能为正方形
C．若 M 为六边形，则面积为定值 D．若 M 为六边形，则周长为定值
12．已知声音是由物体振动产生的声波．其中包含着正弦函数或余弦函数，而纯音的数学模
型是函数 siny A t ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数
学模型是函数 ( ) 2sin sin3f x x x ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是 ( )f x 的一个周期 B． ( )f x 在[0,2 ] 上有 7 个零点
C． ( )f x 的最大值为 3 D． ( )f x 在 ,6 2
上是增函数
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知 , , 2 1x y R x y ，则 1 x y
x y
的最小值为_____________．
14．已知锐角 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，现有下列四个判断：
甲： a b ； 乙：sin cosA B ； 丙： tan( ) 0A B ；丁： cos cosA B ．
若上述四个论断有且只有一个是正确的，那么正确的是______________．
15．已知圆周上等距离的排列着八个点 1 2 8, , ,A A A ，现从中任取三个不同的点作为一个三角
形的三个顶点，则恰好能构成一个直角三角形的概率为___________．
16．已知函数
2021
1
( ) | |
i
f x x i
，则当 0x x 时，函数 f(x)有最小值，则 0 =x ____________．
此时
2021
0 0
1i
g x x i
___________．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
17．(10 分）已知 ABC 中， / 3, 17B AC ，________，求 ABCS ．
请从②sin 4 4sin C ；② 3a c ；③ 7cos 1326C 三个条件中选择一个补充在上面问题
中，并作答．
18．(12 分）已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 1 11,2 n n na S a a ．
（1)求数列 na 的通项公式；
（2)若 1
2 2
1
n n
n
n n
a ab a a
，求数列 nb 的前 n 项和 nT ．
19．(12 分）某空调商家，对一次性购买两台空调的客户推出两种质保期两年内的保维修方案：
方案一：交纳质保金 300 元，在质保的两年内两条空调共可免费维修 2 次，超过 2 次每次收
取维修费 200 元．
方案二：交纳质保金 400 元，在质保的两年内两台空调共可免费维修 3 次，超过 3 次每次收
取维修费 200 元．
小李准备一次性购买两台这种空调，现需决策在购买时应购买哪种质保方案，为此搜集并整
理了 100 台这种空调质保期内两年内维修的次数，统计得下表：
维修次数 0 1 2 3
空调台数 20 30 30 20
用以上 100 台空调维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率．
（1)求购买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数超过 2 次的概率；
（2)请问小李选择哪种质保方案更合算．
20．(12 分）如图，在三棱台 ABC DEF 中，CF 面 DEF， AB BC ，
1 1 22 2AB BC EF CF ．
（1)若 2CP BP ，证明：面 PDF 面 CDE；
（2)求二面角 A CE D 的余弦值．
21．(12 分）已知椭圆
2 2
2 2 : 1( ,0 2)x yC a b ba b
的左、右焦点分别为 1 2, F F ，点 P
在椭圆上， 2 1 2 PF F F ．若 1 2 PF F 的周长为 6，面积为 3
2
．
（1)求椭圆 C 的标准方程；
（2)已知椭圆的左、右顶点分别为 A，B，过 1 ,02
直线与椭圆交于 M，N 两点，设直线 AM，
BN 的斜率分别为 1 2,k k ，证明： 1
2
k
k 为定值．
22．(12 分）已知函数 21( ) , ( ) 2 (ln )f x x g x xx
．
（1)证明：两函数图像有且只有一个公共点；
（2)证明： *
1 1
1 ln( 1)1
n n
k k
k k n n eNk k
．
2021 年新高考第三次适应性考试
数学答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．A 2．B 3．A 4．D 5．B 6．A
7．C
【解析】法一：
2 2 2 2
1 21 , 1a c c a
2 2
2 2 2 1 2
1 2 2 22 , 2a aa a c c c
2 2 2 2
2 1 1 22 2
1 2
1 1 2, 2e e e ee e
．
法二：
由 2 2
1 21 1a a ，则
2 2 2 2
1 2 1 1
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1
21 1 21 1 1 1
a a a a
e e a a a a
，
所以 2 2 2 2
2 1 1 22e e e e ．
8．B
【解析】法一：
当球与面 PAD，ABCD，面 PBC 相切时，半径最大，取 AD，BC 中点分别为 E，F，则有
2PE EF ，
所以 2 2PF ，最大的半径为 2 22
PE EF PF ．
法二：
取 AD 的中点 E，BC 的中点 F，连接 PE，EF，PF 则由面 PAD 面 ABCD 知 PE 平面 ABCD，
PE EF 易知四棱锥内可以放置最大的球，半即为 PEF 内切圆的半径，
其中 4 3 3 2, 2, 2 23 2PE EF PF
max
2 2 2 2 2 22r ，故选 B．
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．ABC 10．ABC
11．AD
【解析】法一：
如图所示，截面有这两种可能性，A 正确，B 错误，截面变化过程中，六边形的面积在发生变
化，C 错误，周长恒为3 2a ， a 为正方体棱长，D 正确．
法二：
对于 A，M 为 1 1B CD 知 M 可能为正三角形
对于 B，由截面为三角形或六边形知 B 错误
对于 C，D，当截面 M 为六边形时， 1 1// , // //EF CD EJ BD BD
设正方棱长 a．
1 2
EF EF DE
CD CDa
，且
2
EJ EJ CE
BD CDa
1
2 2
EF EJ DE CE DE CE
CD CD CDa a
2 , 2EF EJ a IJ IH a
2 ,HG GF a M 为六边形时周长为 3 2a 为定值，面积不为定值，C 错，D 正确
故选 AD．
12．BCD
【解析】法一：
对于 A， ( ) 2sin( ) sin3( ) 2sin sin3 ( ), Af x x x x x f x 错误
对于 B，令 3 3( ) 2sin 3sin 4sin 4sin sin 0 sin 0f x x x x x x x 或 1sin 2x
由sin 0 0, ,2x x ，由 1 5,2 6 6x x
由 1 7 11sin ,2 6 6x x ，共 7 个零点，B 正确．
对于 C， 3( ) 4sin sinf x x x
令 3sin , ( ) ( ) 4 , [ 1,1]x t f x g t t t t
2 3( ) 12 1 0 6g t t t
且当 31 6t 时， ( ) 0, ( )g t g t ；
当 3 3
6 6t 时， ( ) 0, ( )g t g t ；
当 3 16 t 时， ( ) 0, ( )g t g t
注意到 max
3 3(1) 3, 0, ( ) 36 9g g g t
，即 max ( ) 3f x
C 正确．
对于 D，当时， 1sin ,12x t
( )g t 在 1 ,12
上单调递增且 sin x 在 ,6 2
上
( )f x 在 ,6 2
上，D 正确
故选 BCD．
法二：
( ) 2sin sin3 ( )f x x x f x ，A 错误；
( ) 2sin sin3 2sin sin cos2 sin 2 cosf x x x x x x x x
2 2 22sin sin 1 2sin 2sin 1 sin sin 4sin 1x x x x x x x
令 ( ) 0f x ，可得 1sin 0 , 2x ，故可知 B 正确；
由 ( ) 2sin sin3 3f x x x ，当
2x 取等，C 正确；
又 2 ( ) 12sin 1 cosf x x x ，可知 ( ) 0f x 在 ,6 2
成立，D 正确．
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13． 2 2 2 14．乙
15． 3
7
【解析】如图，可知构成直角三角形有 4 6 24 种，故 3
8
24 3
7P C
．
16．1011；0
【解析】法一：
由 (2022 ) ( )f x f x ，可知 ( )f x 关于 1011x 对称，
故可知 ( )f x 取到最小值时， 0 1011x ，
则有
2021
0 0
1
2021 (1 2021)2021 1011 02i
g x x i
．
法二：
( ) | 1| | 2| | 2021|f x x x x
当1010 1011x 时
( ) 1 2 1010 1011 1012 2021f x x x x x x x
1010 1011 (1 2 1010) (1011 1012 2021)x x
(1 2 1010) (1011 1012 2021)x
此时 ( )f x
当1011 1012x 时
( ) 1 2 1011 1012 1013 2021f x x x x x x x
1011 1010 (1 2 1011) 1012 1013 2021x x
(1 2 1011) (1012 1013 2021)x
( )f x
当 0 1011x 时， ( )f x 有最小值
此时
2021
0
1
(1010 1010) 2021(1011 ) 02i
g x i
应填：1011，0．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
17．【解析】选①
由sin 4sin 4A C a c
在 ABC 中，由余弦定理 2 2 2 212 13 17 4 13, 12a c ac c c c
1 34, 4 1 32 2ABCa S
．
选②
由余弦定理可知 2 2 2 13b a c ac ，即 2( ) 13a c ac ，
又 3a c ，所以 4ac ，则 1 sin 32ABCS ac B ．
18．【解析】法一：
（1）由 12 n n nS a a ①
当 2n 时， 1 1n n nS a a ②
①—② 1 12 n n n na a a a
显然 1 10, 2n n na a a
na 的奇数项与偶数项各自成等差数列， 1 21, 2a a
2 1 21 2( 1) 2 1, 2 2( 1) 2 ,n n na n n a n n a n
（2） 2 2 2 2 2 2
1 2 1 1 1
( 1) ( 1) ( 1)n
n n nb n n n n n n
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 11 12 2 3 ( 1) ( 1)nT n n n
．
法二：
（1）由 1 12 , 1n n nS a a a ，可得 2 1 1 22,2 n n na S a a ，
作差得 1 2 12 n n n na a a a ，得 2 2n na a ，又 2 1 1a a ，
所以 3 2 1a a ，以此类推可得 1 1n na a ，所以 na n ；
（2）由 1
2 2 2 2 2 2
1
2 1 1 1
( 1) ( 1)
n n
n
n n
a a nb a a n n n n
，所以 2
11 ( 1)nT n
．
19．【解析】
（1）两台空调在质保期的两年内维修次数超过 2 次的概率为
2 2
1 1 1 2 2
2 2 2 2 2
1 1 3 1 3 1 3 1 63C C C C C5 5 10 2 10 5 10 5 100
或用间接法：
2 2
1 2 2
2 2 2
1 3 1 3 631 5 5 5 10 100C C C
（2）方案一的维修费用期望为： 13 21 3 1200 400 600 800 24050 100 25 25
元
维修总费用为：300 240 540 元
方案二的维修费用期望为： 21 3 1200 400 600 114100 25 25
元
维修总费用为：114 400 514 元
故方案二更合算．
20．【解析】
（1）若 2CP BP ，延长 CB 至 P 使 BP CB ，连接 PD，PF，PE
1 ,2BC EF PC EF ∥ ∥ CF 面 DEF， CF EF 且CF DE
又 CF EF ，四边形 PCFE 为正方形
PF CE ，又 ,DE EF CF EF F ， DE 平面 PCFE
DE PF ，又 CE DE E ， PF 平面 CDE， PF 平面 PDF
面 PDF 面 CDE．
（2）如图建立空间直角坐标系
(0,4,4), (0,0,0), (4,0,0), (0,2,4)C E D B
由 1 (2,2,4)2BA ED A
(2,2,4), (0, 4, 4), (4,0,0)EA CE ED
设平面 ACE 与平面 CED 的一个法向量分别为
1 1 1 1 2 2 2 2, , , , ,n x y z n x y z
1 1 1 1
1
1 11
0 2 2 4 0 (1,1, 1)4 4 00
n EA x y z ny zn CE
2 2 2
2
22
0 4 4 0 (0,1, 1)4 00
n CE y z nxn ED
设二角 A CE D 的平面角为 ， 1 2,n n
所成角为
1 2
1 2
2 6cos | cos | 33 2
n n
n n
21．【解析】
（1） 2
2 2 6 2
1 32 32 2
a c a
bc ba
，
椭圆 C 的标准方程为
2 2
14 3
x y
（2）
设直线 MN 的方程为： 1 1 2 2
1 , , , , , ( 2,0), (2,0)2x my M x y N x y A B
2 2 2
2 2
1 13 4 122 43 4 12
x my m y my y
x y
2 2 453 4 3 04m y my ，由 2 2 2
2 2 2
2 2
4
2 314 3 2
yx y x
y x
1 2 1 2
1 1 2
2 1 2 1 2
1 2
4 4
2 3 3
5 52 2 2
2 2
y y y yk y x
k x y x x my my
2
1 2
2
1 2 1 2 2
2 2
45
4
4 4 3 4
5 25 453 3
5 3 252 4 4
3 4 2 3 4 4
y y m
m y y m y y mm mm m
2 2 2
15 3
45 15 75 5254 2 4m m m
为定值．
22．【解析】
（1）令 21 2 (ln )x xx
，令 21( ) (ln ) 2h x x xx
2
1 2ln1 1( ) 1 2ln
x xxh x xx x x
令
2 2
2 2 2
1 1 2 2 1 ( 1)( ) 2ln , ( ) 1 0x x xx x x xx x x x x
( )x 在 (0, ) 上，注意到 (1) 0
当 0 1x 时， ( ) 0, ( ) 0, ( )x h x h x ；
当 1x 时， ( ) 0, ( ) 0, ( )x h x h x
( ) (1) 0h x h ，当且仅当 1x 时取" = "，两函数图像有且只有一个公共点．
（2）由（1）知 21 (ln ) 2 0x xx
对任意的 0x 恒成立
2
2 1(ln )x x
x
，当 1x 时， 1ln x x
x
取 *1 1 1, ln , 1,2, , ,1
k k k kx k n kk k k k
N
1 ln( 1) ln1
k k k kk k
1 1
1 [ln( 1) ln ]1
nn
k k
k k k kk k
*
1 1
1 ln( 1),1
n n
k k
k k n nk k
N ，证毕！
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