2021年普通高等学校招生全国统一考试(包头市第二次模拟考
试)
文科数学
一､选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 5 16A x x ， 3,4,6,7,9,12,13,16B ，则 A B 中元素的个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2. 复数 1
1 5i
的虚部是（ ）
A. 5
26
B. 5
26 C. 1
26 D. 1
26
3. 已知 s ， r 都是 q的充分条件， p 是 q的必要条件， r 是 p 的必要条件，则（ ）
A. s 是 r 的既不充分也不必要条件 B. s 是 p 的必要条件
C. q是 r 的必要不充分条件 D. p 是 r 的充要条件
4. 地震的震级越大，以地震波的形式从震源释放出的能量就越大，震级 M 与所释放的能量 E
的关系如下： 4.8 1.510 ME （焦耳）（取 10 3.16 ），那么 8 级地震释放的能量是 7 级地震
释放的能量的（ ）
A. 30.6 倍 B. 31.6 倍 C. 3.16 倍 D. 3.06 倍
5. 已知 cos cos 13
πα α
，则 cos 6
（ ）
A. 1
3 B. 1
2 C. 2
2
D. 3
3
6. 圆C ： 2 2 1x y 上的点到直线l ： 3 4y x 的最大距离为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
7. 在平面直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆C ：
2 2
2 2 1x y
a b
（ 0a b ）的右焦点，直线
3
by
与椭圆C 交于 M ， N 两点，且 90MFN ，则椭圆 C 的离心率是（ ）
A. 6
3
B. 6
4
C. 14
3
D. 14
4
8. 在 ABC 中，已知 60C ， 4AB ，则 ABC 周长的最大值为（ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
9. 已知 ABC 是等腰直角三角形， 90A ， 4AB AC ，S 是平面 ABC 内一点，则
SA SB SC
的最小值为（ ）
A. 4 B. 4 C. 6 D. 6
10. 已知 0.90.8a ， 0.80.9b ， 0.9log 0.8d ，则（ ）
A. b a d B. a d b C. a b d D.
b d a
11. 在三棱锥 S ABC 中，若 4SB SC AB AC BC ， 2 3SA ， SA BC ，设
异面直线 SC 与 AB 所成角为 ，则 cos （ ）
A. 1
8
B. 1
8 C. 1
4 D. 1
4
12. 已知函数 sin 06f x x
，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 2 ，则 f x 的图象关于原点中心对称
B. 若 2 ，则把 sin 2y x 的图象向右平移
3
个单位长度可得到 f x 的图象
C. 若 f x 在 1x 、 2x 分别取得极大值和极小值，且 1 2x x 的最小值为 ，则 1
D. 若 1 ，则 f x 在 0,2 有且只有 3个零点
二､填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 实数 x ， y 满足
2 4 0,
1,
1 1,
x y
x
y
则 2z x y 的最小值为______．
14. 设函数 exf x x a ，若 2
1
e2f ，则 a ______．
15. 设直线l ： 1 12y x 与双曲线C ：
2
2
2 1x ya
（ 0a ）的两条渐近线分别交于 P ，Q
两点，若线段 PQ 的中点在直线 2x 上，则双曲线 C 的离心率为______．
16. 做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是 64π ，且用料最省，则该圆柱形水桶的高为
______．
三､解答题：共 70 分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.第 17-21
题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22､23 题为选考题，考生根据要求作答.
17. 设等差数列 na 满足 1 2a ， 1 2 2 1n na a n ．
（1）求数列 na 的公差 d ，并求数列 na 的通项公式；
（2）设
1
1
n
n n
b a a
，求数列 nb 的前 n 项和 nS ．
18. 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的 100 件产品作
为样本称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为 485,495 ， 495,505 ，…，
525,535 ．由此得到样本的频率分布直方图如下图．
（1）估计这条生产流水线上，质量超过 515 克的产品的比例；
（2）求这条生产流水线上产品质量的平均数 x 和方差 2s 的估计值（同一组中的数据用该组区
间的中点值作代表）．
19. 如图，在正三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， P 、Q 分别为 1BB ， AC 的中点． E 为线段 AB 延
长线上一点，且 AB BE ， 1 1 1 4A A A B ．
（1）证明： //BQ 平面 1A PC ；
（2）证明：点 E 在平面 1A PC 内；
（3）求三棱锥 1A A PC 的体积．
20. 已知点 M 是抛物线 1C ： 21
4y x 的准线上的任意一点，过点 M 作 1C 的两条切线 MP ，
MQ ，其中 P 、Q 为切点．
（1）证明：直线 PQ 过定点，并求出定点坐标；
（2）若直线 PQ 交椭圆 2C ：
2 2
14 5
x y 于 A ， B 两点，求 PQ
AB
的最小值．
21. 设函数 cosxf x e x ax ， 0,2x ，（ a 为参数）．
（1）当 0a 时，求 f x 的单调区间，并证明 f x 有且只有两个零点；
（2）当 1a 时，证明： f x 在区间 0,2 上有两个极值点．
22. 在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为
2
2
2
4 ,1
1
1
tx t
ty t
（t 为参数），以坐标原点 O 为
极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
3 cos 2 sin 2 0ρ θ ρ θ ．
（1）求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；
（2）求C 上的点到直线l 距离的最大值．
23. 已知 x 、 y 、 z R ，且 3x y z ．
（1）求 2 2 2x y z 的最小值；
（2）证明： 1 1 1 1 1 1 0x y y z x z ．
2021年普通高等学校招生全国统一考试(包头市第二次模拟考
试)
文科数学 答案版
一､选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 5 16A x x ， 3,4,6,7,9,12,13,16B ，则 A B 中元素的个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
2. 复数 1
1 5i
的虚部是（ ）
A. 5
26
B. 5
26 C. 1
26 D. 1
26
【答案】A
3. 已知 s ， r 都是 q的充分条件， p 是 q的必要条件， r 是 p 的必要条件，则（ ）
A. s 是 r 的既不充分也不必要条件 B. s 是 p 的必要条件
C. q是 r 的必要不充分条件 D. p 是 r 的充要条件
【答案】D
4. 地震的震级越大，以地震波的形式从震源释放出的能量就越大，震级 M 与所释放的能量 E
的关系如下： 4.8 1.510 ME （焦耳）（取 10 3.16 ），那么 8 级地震释放的能量是 7 级地震
释放的能量的（ ）
A. 30.6 倍 B. 31.6 倍 C. 3.16 倍 D. 3.06 倍
【答案】B
5. 已知 cos cos 13
πα α
，则 cos 6
（ ）
A. 1
3 B. 1
2 C. 2
2
D. 3
3
【答案】D
6. 圆C ： 2 2 1x y 上的点到直线l ： 3 4y x 的最大距离为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
7. 在平面直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆C ：
2 2
2 2 1x y
a b
（ 0a b ）的右焦点，直线
3
by
与椭圆C 交于 M ， N 两点，且 90MFN ，则椭圆 C 的离心率是（ ）
A. 6
3
B. 6
4
C. 14
3
D. 14
4
【答案】D
8. 在 ABC 中，已知 60C ， 4AB ，则 ABC 周长的最大值为（ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
【答案】C
9. 已知 ABC 是等腰直角三角形， 90A ， 4AB AC ，S 是平面 ABC 内一点，则
SA SB SC
的最小值为（ ）
A. 4 B. 4 C. 6 D. 6
【答案】A
10. 已知 0.90.8a ， 0.80.9b ， 0.9log 0.8d ，则（ ）
A. b a d B. a d b C. a b d D.
b d a
【答案】C
11. 在三棱锥 S ABC 中，若 4SB SC AB AC BC ， 2 3SA ， SA BC ，设
异面直线 SC 与 AB 所成角为 ，则 cos （ ）
A. 1
8
B. 1
8 C. 1
4 D. 1
4
【答案】B
12. 已知函数 sin 06f x x
，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 2 ，则 f x 的图象关于原点中心对称
B. 若 2 ，则把 sin 2y x 的图象向右平移
3
个单位长度可得到 f x 的图象
C. 若 f x 在 1x 、 2x 分别取得极大值和极小值，且 1 2x x 的最小值为 ，则 1
D. 若 1 ，则 f x 在 0,2 有且只有 3个零点
【答案】C
二､填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 实数 x ， y 满足
2 4 0,
1,
1 1,
x y
x
y
则 2z x y 的最小值为______．
【答案】 2
14. 设函数 exf x x a ，若 2
1
e2f ，则 a ______．
【答案】2
15. 设直线l ： 1 12y x 与双曲线C ：
2
2
2 1x ya
（ 0a ）的两条渐近线分别交于 P ，Q
两点，若线段 PQ 的中点在直线 2x 上，则双曲线 C 的离心率为______．
【答案】 6
2
16. 做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是 64π ，且用料最省，则该圆柱形水桶的高为
______．
【答案】4
三､解答题：共 70 分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.第 17-21
题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22､23 题为选考题，考生根据要求作答.
17. 设等差数列 na 满足 1 2a ， 1 2 2 1n na a n ．
（1）求数列 na 的公差 d ，并求数列 na 的通项公式；
（2）设
1
1
n
n n
b a a
，求数列 nb 的前 n 项和 nS ．
【答案】（1） 2d ， 2na n ；（2） 4 1
n
n ．
18. 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的 100 件产品作
为样本称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为 485,495 ， 495,505 ，…，
525,535 ．由此得到样本的频率分布直方图如下图．
（1）估计这条生产流水线上，质量超过 515 克的产品的比例；
（2）求这条生产流水线上产品质量的平均数 x 和方差 2s 的估计值（同一组中的数据用该组区
间的中点值作代表）．
【答案】（1）30%；（2）平均数 x 和方差 2s 的估计值分别为 509，139．
19. 如图，在正三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， P 、Q 分别为 1BB ， AC 的中点． E 为线段 AB 延
长线上一点，且 AB BE ， 1 1 1 4A A A B ．
（1）证明： //BQ 平面 1A PC ；
（2）证明：点 E 在平面 1A PC 内；
（3）求三棱锥 1A A PC 的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 16 3
3
．
20. 已知点 M 是抛物线 1C ： 21
4y x 的准线上的任意一点，过点 M 作 1C 的两条切线 MP ，
MQ ，其中 P 、Q 为切点．
（1）证明：直线 PQ 过定点，并求出定点坐标；
（2）若直线 PQ 交椭圆 2C ：
2 2
14 5
x y 于 A ， B 两点，求 PQ
AB
的最小值．
【答案】（1）证明见解析；定点 0,1 ；（2） 5
2
．
21. 设函数 cosxf x e x ax ， 0,2x ，（ a 为参数）．
（1）当 0a 时，求 f x 的单调区间，并证明 f x 有且只有两个零点；
（2）当 1a 时，证明： f x 在区间 0,2 上有两个极值点．
【答案】（1） f x 在 0, 4
和 5 ,24
单调递增，在 5,4 4
单调递减；证明见解析；
（2）证明见解析．
22. 在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为
2
2
2
4 ,1
1
1
tx t
ty t
（t 为参数），以坐标原点 O 为
极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
3 cos 2 sin 2 0ρ θ ρ θ ．
（1）求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；
（2）求C 上的点到直线l 距离的最大值．
【答案】（1）
2
2 14
x y （ 1y ）； 3 2 2 0x y ；（2） 6 7
7
．
23. 已知 x 、 y 、 z R ，且 3x y z ．
（1）求 2 2 2x y z 的最小值；
（2）证明： 1 1 1 1 1 1 0x y y z x z ．
【答案】（1）3；（2）证明见解析．
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