数式规律探索题

《数式规律探索题》专题复习 学情分析：数式规律探索题是中考常考类型题，有些同学解决起来特 别容易，可是有的同学一见规律题就犯愁摸不着头脑，主要还是学生 没有一个思考的方法和方向，所以对这类题集中强化是很有必要的 教学目标：本次专题主要讲两种常考的两种数式规律探索题数字规律 探索题和数式规律探索题，在探索数列或数阵的规律时，一般先把各 数按顺序或位置进行编号，再从数的符号和绝对值两个方面来分析； 再解答数式规律题时，先观察分析前后几个不同式，从中找出变化的 量及符号，不变的量及符号，再将某式中变化的量用字母表示，从而 得到本组式的数学模型。 一、基本方法——看增幅 （一）如增幅相等（此数列实为等差数列）：对每个数和它的前 一个数进行比较，如增幅相等，则第 n个数可以表示为：a+(n-1)b， 其中 a 为数列的第一位数，b 为增幅，(n-1)b 为第一位数到第 n位的 总增幅。然后再简化代数式 a+(n-1)b。 例：4、10、16、22、28……，求第 n位数。 分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加 6，增幅相都是 6， 所以，第 n位数是：4+(n-1)×6＝6n－2 （二）如增幅不相等，但是，增幅以同等幅度增加（即增幅的增 幅相等，也就是说增幅是等差数列）。如数列 2、5、10、17、26……， 其增幅分别为 3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第 n 位的数也有一种通用求法。 基本思路是：1、求出数列的第 n-1 位到第 n 位的增幅； 2、求出第 1 位到第第 n 位的总增幅； 3、数列的第 1位数加上总增幅即是第 n 位数。 举例说明：2、5、10、17、26……，求第 n位数。 分析：数列的增幅分别为：3、5、7、9，增幅以同等幅度增加。 那么，数列的第 n-1 位到第 n 位的增幅是：3+2×(n-2)=2n-1。数列 第 1位到第 n 位的总增幅为：第一位到第二位的增幅加上第 n-1 位到 第 n位的增幅，乘以数列第 1 位到第 n位增幅的项数，再除以 2，即： ［3+（2n-1）］×(n-1)÷2＝（n+1）×(n-1)＝n 2 -1 所以，第 n位数是：2+ n 2 -1= n 2 +1 此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用下 文介绍的基本技巧解决，方法就简单的多了（具体见基本技巧（三） 中的例题）。 （三）增幅不相等，但增幅以倍数的形式增加，也有通用解法， 但此数列不应该叫初中学生做了。 二、基本技巧 （一）标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一 系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律，通 常包序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易 发现其中的奥秘。 例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。试按此规律 写出的第 100 个数是 。 解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第 100 个数。我们把有关的量放在一起加以比较： 给出的数：0，3，8，15，24，……。 序列号： 1，2，3， 4， 5，……。 容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减 1。因 此，第 n 项是 n 2 -1，第 100 项是 100 2 -1。 （二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律， 看是不是与 n 2 、n 3 ,或 2 n 、3 n ,或 2n、3n 有关。 例 1：1，9，25，49，（），（），的第 n为（2n-1） 2 例 2： 2、9、28、65.....增幅是 7、19、37....，增幅的增幅是 12、 18 答案与 3 有关，即：n 3 +1 例 3：2、4、8、16.......增幅是 2、4、8.. .....答案与 2 的乘方 有关 即：2 n （三）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新 数列，然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系。再 加上第一位数，恢复到原来。 例：2、5、10、17、26……，同时减去 2 后得到新数列： 0、3、8、15、24……， 序列号：1、2、3、4、5 分析观察可得，新数列的第 n 项为：n 2 -1，所以题中数列的第 n 项为：（n 2 -1）+2＝n 2 +1 （四）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成 为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。 例 ： 4，16，36，64，？，144，196，… ？（第一百个数） 同除以 4 后可得新数列：1、4、9、16…，很显然是位置数的平方。 （五）同技巧（三）、（四）一样，有的可对每位数同加、或减、 或乘、或除同一数（一般为 1、2、3）。 （六）观察一下，能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成 为两个数列，再分别找规律。 三、基本步骤 1、 先看增幅是否相等，如相等，用基本方法（一）解题。 2、 如不相等，综合运用技巧（一）、（二）找规律 3、 如不行，就运用技巧（三）、（四）、（五）、（六），变换成新 数列，然后运用技巧（一）、（二）找出新数列的规律 4、 最后，如增幅以同等幅度增加，则用用基本方法（二）解题 四、练习题 例 1：一道初中数学找规律题 0，3，8，15，24，······ 2，5，10，17，26，····· 0，6，16，30，48······ （1）第一组有什么规律？ （2）第二、三组分别跟第一组有什么关系？ （3）取每组的第 7 个数，求这三个数的和？ 2、观察下面两行数 2，4，8，16，32，64， ．．．（1） 5，7，11，19，35，67．．．（2） 根据你发现的规律，取每行第十个数，求得他们的和。（要求写出 最后的计算结果和详细解题过程。） 3、白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑 排列的珠子，前 2002 个中有几个是黑的？ 4、 3^2-1^2=8×1 5^2-3^2=8×2 7^2-5^2=8×3 …… 用含有 N 的代数式表示规律 写出两个连续技术的平方差为 888 的等式 五、对于数表 1、先看行的规律，然后，以列为单位用数列找规律方法找规律 2、看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差