小学数学北京版三年级上册等量代换教学设计导学案

北京市中小学“京教杯”青年教师教学设计大赛 教学设计参与人员 姓名 单位 联系方式 设计者 吕艳娇 丰台区东高地第三小学 13466598896 实施者 吕艳娇 丰台区东高地第三小学 13466598896 指导者 吕志新 刘芙荣、漆敏 北京教育学院丰台分院 丰台区东高地第三小学 15011477095 13691065240 18611967106 其他参与者 无 指导思想与理论依据 《课程标准（2011 年版）》课程总目标中提出，“通过义务教育阶段的数学学习， 学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、 基本活动经验。”将“双基”变为“四基”，更加强调数学思想方法的重要性，更加重 视数学思想方法的贯彻落实。数学是作为培养人思维能力、创新能力的学科，在每个人 未来的社会生活和发展中起着重要的作用，这不仅仅是数学知识和技能在发挥作用，更 重要的是数学思想方法在发挥作用，而数学思想方法是数学素养的核心，是每个人所必 需的。 北京版教材“数学百花园”单元，旨在帮助学生感悟数学思想方法，提高学生的 思维水平、激发学生数学学习的兴趣、培养学生的创新意识等。基于这个单元的特点， 本课的设计主要想体现：让学生从头至尾经历数学活动过程，构建“发现问题——分析 推理——多角度验证——解决问题”的“问题解决”教学模式。主体参与，通过观察、 操作、思考与交流等活动，让学生体会等量代换的思想方法，培养学生的推理能力和语 言表达能力，发展学生的思维。利用多媒体课件教学，充分展现学生的学习过程、多样 的方法。促进学生思维深度和宽度的发展。在解决实际问题的过程中，体会等量代换思 想方法的价值，激发学生学习数学的兴趣。 教学基本信息 课名 《等量代换》 是否属于 地方课程或校本课程 否 学科 数学 学段 第一学段 年级 三 授课日期 2016 年 7 月 教材 书名： 义务教育教科书 数学 出版社： 北京出版社 出版日期： 2014 年 7 月 教学背景分析 教学内容分析： 现代数学中，等量代换是指用一种量（或一种量的一部分）来代替和它相等的另一 种量（或另一种量的一部分），是数学的基本思想方法之一，属于“数与代数”的范畴。 （裘光明，2002）等量代换思想方法用等式的性质来体现就是等式的传递性：如果 a=b， b=c，那么 a=c。在小学数学中，等量代换不仅是数学中的基本思想方法，也是代数思想 的方法基础。代换思想也可以理解成为换元法，这种数学思想方法不仅在实际生活中有 着广泛的应用，而且是今后学习方程解法的基础。学生掌握并善于运用“代换思想”， 对发展其思维的灵活性、敏捷性等都具有重要意义。同时，新课标明确提出，推理是数 学的核心思想之一，而等量代换的思想正是推理思想的下位思想，是应用基本推理得出 结论的过程，因此本节课对于培养学生的推理能力也能起到很好的作用。 本节课内容是北京版教科书三年级上册第 85~86 页的内容。我认为教材的安排是 有层次的，第一层：让学生初步体会等量代换的思想方法。教材首先通过《曹冲称象》 的故事引出等量代换的问题，借助天平原理，1 只小猫的质量等于 1 只小鸭的质量，1 只小猫的质量又等于 1 只小狗的质量，得知 1 只小鸭的质量等于 1 只小狗的质量。第二 层：运用“等量代换”的思想方法进行推理。再借助天平的直观信息，“2 只小猫等于 1 只小狗的质量，2 只小狗等于 1 只羊的质量”，引导学生在解决“两只羊和几只小猫一样 重？”的问题过程中，感知事物间的等量关系，通过寻找中间量，进行相等量之间的替 换。第三层：将直观模型抽象成符号，体现等式的传递性，尝试解决问题。北京版教材 的编写特点是根据儿童的心理特点，选取学生熟悉的历史故事引入，激发学生学习数学 的兴趣，引导学生用数学的眼光看待周围的世界。利用有趣的情境和学生已有的生活经 验，在解决问题的过程中，让学生感知事物间的等量关系，体会等量代换的思想方法， 并运用它进行推理，解决实际问题。 人教版教材，从学生熟悉的情境出发，直接利用天平呈现出 1 个西瓜的质量等于 4 千克砝码、1 千克砝码等于 4 个苹果的质量，围绕“几个苹果与 1 个西瓜同样重”的问 题进行思考、分析、推理，学生在解决问题的过程中，体会等量代换的思想方法。在运 用等量代换的思想方法解决实际问题中，从天平的直观模型到文字描述再到符号语言， 逐层让学生经历用“一个量”去“与它相等的量”进行替换的过程，从直观到抽象。 两种版本教材的相同点：1、都是从学生的生活经验和已有的知识出发，利用天平 称小动物的体重，利用天平称水果的质量，以学生有所体验和容易理解的现实问题为素 材，让学生在熟悉的事物和具体的情境中理解数学思想方法。2、运用直观模型，帮助 学生理解数学思想，提高数学思维能力。3、让学生经历思考、探究的问题解决过程， 加深学生对所学数学思想方法的理解，将数学思想方法内化于知识结构中。不同点：北 京版教材通过历史故事渗透等量代换的思想方法，人教版教材通过丰富的情境体现等量 代换思想方法，体会在不相等的情况下仍有不变的相等关系。 受两种版本教材的启发，在我的教学设计中，要着力体现：1、要以学生熟悉的生 活和已有认知为基础，根据学生的年龄特点和生活经验创设教学情境。2、数学思想是 基于数学知识但又髙于数学知识的隐性科学，所以要充分运用直观模型，让学生经历观 察、操作、分析、推理的探究过程，给学生充分的自主思考、合作交流的时间和空间， 让学生体会等量代换的思想方法，并从不同的角度运用等量代换的思想方法解决实际问 题。3、从直观到抽象 ，培养学生的推理能力、语言表达能力，发展学生的思维。 学生情况分析： 课前，对 38 名学生进行调研。 1、1 只小狗的质量与几只小鸡的质量同样重？把你的思考过程写出来。 分析：正确率 100% 解决方式 百分比 文字表述 26.3% 列等式 52.6% 用算式计算 3×3=9 或 3＋3＋3=9 13.2% 画图 7.9% 从中看出，学生在学习计量单位时，就已经懂得了天平平衡的原理，具备一定的生 活经验。通过分析两组天平，能够找到中间量“小兔子”，用 1 只小兔子的质量代替 3 只小鸡的质量，得到 1 只小狗的质量与 9 只小鸡的质量相等。学生能运用列式、画图等 26.3% 52.6% 7.9% 13.2% 方式进行解决，还有部分学生能够直接通过“倍比”关系用乘法算式进行计算，但也发 现有的学生认为“3×3”中的 2 个 3 分别表示“3 只小鸡乘 3 只小兔子”含义不清楚。 大部分学生能够利用已有的生活经验和学习经验解决比较简单的实际问题。 2、4 根胡萝卜换 2 个大萝卜，5 个大萝卜换 3 棵大白菜。6 棵大白菜换多少根胡萝卜？ （把你的思考过程用你喜欢的方式表达出来。） 正确：38.6% 分析：能从条件入手进行分 析，根据倍数关系，找到 1 个 大萝卜换 2 根胡萝卜这个等 量关系，再借助 5 个大萝卜等 于 3 棵大白菜这个桥梁，得到 6 个大白菜=20 个胡萝卜。 分析：从问题入手进行分 析，对倍数关系和包含除的含 义理解准确，能灵活运用。同 样，能借助中间量“大萝卜” 以及它们之间的倍数关系，推 断出 6 棵大白菜=10 棵大萝卜 =20 个胡萝卜。 错误：61.4% 错因分析： 1、 读不懂题意，没有方法。 2、 不能准确找到中间量，进 行等量之间的替换。 3、 对乘法的倍数关系易理 解，但对于包含除的理解 和运用易错。 4、 文字抽象，没有直观模型 的支撑，有的学生能够想 到用画图或符号等式来解 决，但还有些学生不能将 文字信息转化成图或等 式。 通过访谈发现，有些学生通过课外班的学习已经知道了什么是等量代换，并且能用 计算的方法解决一些简单的实际问题。但是，这些学生并不能清楚地解释所使用的计算 方法中蕴含的道理，这说明他们缺少感悟等量代换思想方法的切身经历。基于学情调研， 学生学习等量代换的难点是：一是三年级的学生主要还是以形象思维为主，如果缺少了 具体形象或模型的支撑，而进行抽象的推理是很难的。二是等量代换思想方法的推理过 程逻辑推理性较强，如何将这种隐性的逻辑推理过程进行外显的表达，对学生来说也是 比较难的；三是尤其在多个量中，学生要准确的找到中间量，把“谁换成谁？”“怎么 换？”“为什么可以这样换？”，学生不能准确把握。四是怎样把已知条件与问题相联 系，从哪个条件出发，寻找相应的条件，或者从问题出发怎么去寻找相适应的条件？要 让每个学生都能找到合适自己的解题思路。 基于以上的教材分析和学生分析，我在思考：本节课要以学生熟悉的生活情境和直 观模型作为支撑，体会等量代换的思想；引领学生在实际情境中经历观察、操作、分析、 推理的过程，给学生充分交流的时间和空间，鼓励学生用自己喜欢的方式进行表达，在 多种表达方式的讨论和比较中，深化对等量代换思想方法的理解和运用；重视数学思想 方法与实际生活的联系，让学生体会数学思想方法在现实生活中的作用和价值。因此， 我的设计思想定为：立足学生起点与现实生活，凸显数学思想方法的价值；经历探究过 程，感悟数学思想方法的内涵；聚焦数学本质，形成解决问题的策略，发展学生思维。 教学方式：小组合作探究 教学手段：多媒体课件演示 技术准备：多媒体、实物展台 教学目标(内容框架) 教学目标设计： 1、联系生活情境，学习用等量代换的思想方法解决实际问题。体会等量代换思想方法 的价值。 2、在解决实际问题的过程中，让学生经历观察、操作、分析、推理的全过程，培养学 生的观察力及初步的逻辑推理能力。 3、培养学生认真观察、积极思考、善于动脑、敢于质疑的学习品质，使学生在解决问 题中不断反思，感受等量代换在解决特定问题中的价值。 教学重点：体验和感悟等量代换的思想方法，并能运用等量代换的思想方法解决简单的 实际问题。 教学难点：学生在解决问题过程中的逻辑推理和语言表达。 问题框架(可选项) 同学们喜欢做游戏吗？今天我们来做几个“换一换”的游戏好吗？ 要想“换”都是有条件的，要保证什么？ 观察天平，你有什么发现？展示交流你的发现。 古代的“以物换物”是怎么回事？ 符号能代替所有的东西吗？ 今天的易货是怎么回事？ 用废纸换大树，你有什么想说的？ 教学流程示意(可选项) 创设情境，体会等量关系。 深入探究，感受推理过程。 应用代换，解决实际问题。 拓展延伸，体会现实价值。 联系生活，感悟实际作用。 教学过程(文字描述) （一）创设情境，初步体会等量关系 同学们喜欢做游戏吗？今天我们先来做几个“换一换”的游戏吧！ 1、换钱： 师：要将 100 元换成零钱，可以怎么换？（让学生说出能想到的不同方法） 师：将 100 元换成零钱的方法有很多，我只要保证什么，就可以换？（为什么可以这样 换？） 师：只要在钱数相等的情况下，就可以进行交换。（板书：钱数相等） 2、换墙砖 师：这是一面墙，我想用花砖来装饰墙面。如果我用这种长方形的花砖可以铺几块？（8 块）用正方形的呢？（16 块），用三角形的呢？（32 块）。花砖的形状不同，大小不同， 要想换不同的花砖都能铺满这面墙，只要保证什么，就可换？ 生：大小相等。（板书：大小相等） 在 “换一换”的游戏中，要 “换”都是有条件的，要保证什么？（板书：等量） 3、《曹冲称象》的故事： 讲《曹冲称象》的故事，体会等量代换的应用。 这个故事你还记得吗？（曹冲称象），早在 1700 多年前，7 岁的小曹冲做了一件让所有 人赞叹的事，（称出了大象的质量）谁能把这个故事给大家讲讲？ 学生边讲故事，老师边播放动画。 师：曹冲聪明吗？聪明在哪？（用与大象质量相等的石头来代替大象的质量，从而测出 了大象的体重） 师小结：曹冲在 7 岁的时候就用到了数学中一个非常重要的思想方法——等量代换。（在 只有在两个量相等的条件下，才可以把它们互相替换。）请同学们齐读课题。（板书：代 换） 【设计意图】联系生活，借助游戏，让学生理解“等量”；借助曹冲称象的故事，让学 生体会“等量代换 ”。这样的设计不仅调动了学生学习的积极性，也促进了学生对新知 的理解。 （二）深入探究，感受推理。 1、观察，你有什么发现？ 【设计意图】借助天平，引导学生发现等量关系。在这个过程中运用推理，让学生初步 感受等量代换思想的传递性，如果 a＝b,b＝c,那么 a＝c。 2、看这两幅图，你能从中知道什么？ 一个菠萝等于 2 个苹果的质量，一个苹果等于 3 个桔子的质量 出示问题：2 个菠萝等于几个桔子的质量？ 师：请同学们拿出学习资料，选择你喜欢的方式，写出自己的想法。 学习材料 我是这样想的：_________________________________ _________________________________ 出示活动提示： （1）利用图上的信息和天平，把你手中的学具摆一摆。 （2）把你解决问题的过程用最简洁的方式记录下来。 （3）根据情况让学生展示交流。 师：请一位同学到黑板上摆一摆（为学生准备菠萝、苹果、桔子和天平的卡片，到黑板 ？个桔子 ？个桔子 上贴图，展示出自己思考的过程），边摆边说一说你的想法。 预设一：因为一个菠萝等于 2 个苹果的质量，所以 2 个菠萝等于 4 个苹果的质量，又因 为一个苹果等于 3 个桔子的质量，所以 2 个菠萝等于 12 个桔子的质量。 预设二：因为一个苹果的质量等于 3 个桔子的质量，所以 2 个苹果就等于 6 个桔子的质 量，也就是 1 个菠萝的质量等于 6 个桔子的质量，那么 2 个菠萝等于 12 个桔子的质量。 预设三：列算式 (1)2×2＝4 4×3＝12 (2)2×3＝6 2×6＝12 预设四：用符号表示。 预设五：画图表示。 【设计意图】经历观察、操作、分析、推理的交流过程，感受等量代换的思想。通过动 手操作，独立思考，合作交流，呈现不同算法，体会等量代换在实际问题中的应用，培 养学生的推理能力和解决问题的能力。 （三）应用代换，解决问题。 1、古代的以物换物。 古代，既没有秤，也没有我们现在用来购物用的钱币。那古代社会的人要想得到自己想 要的东西，那该怎么办呢？交换双方经过商量达成一种价值相等的协议来交换。 （PPT 出示图片）师：张大伯家养了很多羊，他想和王大爷换猪，王大爷的一头猪换张 大伯的一只羊，谁划算呢？会不会就这一样一对一的来换了呢？ 出示课件：经过商定后张大伯决定用他家的 2 只羊去换王大爷家的 1 头猪。 2 只羊＝1 头猪 出示课件：李大哥看见张大伯和王大爷在交换羊和猪，李大哥也想用自己家的牛来换羊， 但张大伯不需要牛，需要的是猪，请同学们帮帮他，这可怎么办呢？ 学生讨论，交流发现，要借助中间量“猪”来进行替换，运用等量代换的方法找到它们 的相等关系，1 头猪＝2 只羊，1 头牛＝2 头猪，那么 1 头牛＝4 只羊, 2 头牛＝8 只羊。课件出示，经过商定，李大哥用自家的牛先换来猪，再用猪去换羊。 1 头牛＝2 头猪＝4 只羊 2 头牛＝8 只羊 【设计意图】以故事的形式呈现，增加趣味性，让学生了解数学的思想来源于生活，同 时也应用于生活。在条件缺失的情况下，借助其他条件建立等量关系，进一步理解等量 代换思想，体会其实际应用的价值。 2、无论是水果，还是牛、羊、猪都可以用符号来表示，用等量代换的方法试试这道题。 出示下题，要想找到正方形和三角形的相等关系，你想请谁来帮忙？ 学习材料二：□＝○+○+○ ○＝□+□ ○＝△+△ □＝☆+☆+☆ □＝（ ）个△ ○+○＝（ ）个☆ 【设计意图】将具体事物间的等量代换抽象成数学符号间的等量代换，帮助学生进一步 明晰等量代换的思想方法，可以使学生由形象思维向抽象思维过渡，促进思维的发展。 学习材料三：从图上你都知道什么了？ 预 设 一： 去掉 价 钱相 同 的部 分 预设二：一一对应 通过两种方法引导学生发现：1 个羽毛球的价钱等于 2 个乒乓球的价钱。 追问：一个羽毛球和一个乒乓球各多少元？ 引导学生把 1 个羽毛球的价钱与 2 个乒乓球的价钱进行替换，计算得出 1 个羽毛球 4 元， 一个乒乓球 2 元。 【设计意图】从无序变得有序，渗透一一对应的思想，从相等的整体中去掉相等的部分， 剩下的仍然相等，引导学生在这个过程中找到等量关系，这也是等量代换在二元一次方 程中换元法的应用。 （四）拓展延伸。 在刚才的过程中，大家用等量代换解决了实际问题，对它又有了进一步的认识。其 实，在现代社会中，等量代换在我们日常生活中发挥着重要作用，虽然现在有货币帮助 人们进行买卖，但是依然有像古时候一样以物换物的形式，只不过说法变了，现在叫易 货。例如：大到国与国之间：棉花换石油，小到企业：土豆换木材，现在互联网时代还 有专门的易货交易网站。比如汇源果汁作为中国果汁产业的龙头企业，专门成立易货贸 易部，用自己的果汁产品换取数以百计的汽车、价值几千万元的冰箱和展示柜等产品。 通过易货交易不仅节省了购买这些产品的现金，降低了财务成本，而且销售了产品，实 现了利润。 （五）联系现实生活，感悟等量代换的作用： 前几天我了解到这样一条信息，出示信息：废纸回收 。。。 1、15 棵生长了五年的大树能制造出 800 千克纸； 2、回收 1 吨废纸能再生 800 千克纸； 3、全校同学每个学期可回收约 500 千克废纸。 看到上面这些信息，你想对平常不重视废纸回收的同学说些什么？ 小结：真没想到， 回收 1 吨废纸就相当于保护了 15 棵生长了五年的大树。其实，据我 了解，每张废纸可以回收再生两次，而且还可以节约大量的造纸原料。 我相信那些以 往不太注意废纸回收的同学以后肯定会改正了。我也希望大家积极行动起来，好吗？ 【设计意图】等量代换策略在现实生活中的实例介绍，拓宽了学生的视野，让数学思想 方法回归生活。通过对实际生活自然、合理的沟通、联系和推理，使学生发现隐藏在其 中的重要结论，既解决了问题又使学生受到了思想教育。 （六）总结 通过今天的学习，我们学会了用等量代换的方法解决问题，体会了等量代换的数学 思想。随着我们一天天长大，学到更多的知识，我们将会发现等量代换在我们日常生活 中的重要作用。同学们，通过这节课的学习，你有哪些收获？希望同学们通过今天的数 学课，不仅能掌握数学知识，而且能在今后的学习和生活中运用等量代换的方法解决问 题。 （七）板书设计： 1 苹果=3 桔子 1 菠萝=2 苹果 1 菠萝=2 苹果=6 桔子 2 菠萝=4 苹果=12 桔子 2 12 2×3=6 2×2=4 2×6=12 3×4=12 ?个桔子 学习效果评价设计 评价方式：后测问卷 评价量规 后测题 学生作品 百 分 比 分析 1、请你用简单的方式写 出你的思考过程。 100% 学生能够通过观 察天平，找到中 间量“砝码”，借 助 1 千克砝码等 于 4 个苹果的 质量，1 个西 瓜的质量等于 4 千克砝码， 将相等质量的 砝码替换成苹 果，推断出 1 个西瓜的质量 等于 16 个苹 果的质量。 学生能通过画 图、用符号列 等式、计算等 方式解决实 际问题。 2、 和 分别是多 少？请你写出思考过程。 93.8% 观察两组符号 表达式，学生 能在所给的两 组等式中寻找 中间量，将 1 个○替换成 3 个△，从而分 别计算出○和 △分别是几。学 生通过多种形式 ，运用等量代 换的思想方法 解决问题。同 时渗透了代数 思想，为将来的 学习打下基础。 。 3、 1 只兔子的重量＋1 只猴子的重量＝8只鸡的 重量 3 只兔子的重量＝9 只鸡的重量 1 只猴子的重量＝ 只鸡的重量，你是怎么知 道的？ 65.6% 大部分学生能 够正确解决较 复杂的实际问 题，学生能从 问题入手分析 ，要想知道 1 只猴子的质 量等于几只鸡 的质量，就要 借助兔子的质 量进行替换。学 生根据兔子与鸡 质量的倍数关 系，找到 1 只 兔子等于 3 只 鸡的等量关系 ，再代入第一 个等式，将兔 子的质量替换 成鸡的质量，再 运用和差关系进 行计算，得出 1 只猴子的质 量等于 5 只鸡 的质量。 本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点(300-500 字数) 本节课在教学设计上体现了以下几点。 1、故事激发兴趣，让学生爱数学。本节课的教学设计贴近学生生活，把儿童喜闻乐见 的事物“搬”进课堂。由学生熟悉的生活和“曹冲称象”的故事，让学生初步感受 等量代换在实际生活中的价值。古代“以物换物”的故事，不但让学生感到数学的 趣味性，而且感受到数学源于生活，用于生活，从故事中体会等量代换的思想。 2、重视学生认知起点，经历探究过程，发展学生思维能力。等量代换的思想方法是抽 象的，本节课在充分进行学情调研的基础上，通过小组合作，通过摆一摆、画一画、 算一算、说一说的活动，经历观察、操作、分析、推理的交流过程，帮助学生找出 事物之间的关系，运用等量代换的方法，通过多种方式解决实际问题。学生的思维 从无序到有序，从直观到抽象，经历着数学思想方法的形成过程。在这一过程中， 学生将等量代换这个抽象的数学思想方法，用自己可感受的形式呈现出来，再内化 到自己的知识结构中，不但掌握了数学知识，而且培养了学生分析问题的能力和推 理能力，发展学生的思维。 3、联系现代生活，体会数学思想方法的现实价值。等量代换在日常生活中普遍存在， 等量代换策略在现实生活中的实例介绍，不但拓宽了学生的视野，让数学知识、数 学方法回归生活，而且让学生学会用数学的眼睛发现生活，用数学的头脑分析问题， 体会数学思想方法的现实价值。 4、给学生更加自主、开放的空间。在小组合作探究的环节，给学生自主提问的空间， 让学生变换条件，或缺失条件进行尝试解决。这样不但能更丰富对等量代换思想方 法的理解，而且激发学生深入思考、培养创新精神。