江苏省 2021 届高考数学模拟试题（三）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1.已知集合 2 0,A x R x x t t R ， 2 6 0B x R x x ，若 2 9A B x x ，则
A B （ ）
A． 3,3 B． 2,2 C． 2,3 D． 3,2
【答案】B
【详解】
因为集合 2 0,A x R x x t t R ， 2 6 0 3 2B x R x x x x ，
且 2 9 3 3A B x x x x ，
所以 3 是方程 2 0x x t 的根，即 23 3 0t ，解得 6t ，
所以集合 2 6 0, 2 3A x R x x t R x x ，
所以 A B 2,2 ，
故选：B
2. 18 世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意
义，例如， z OZ ，也即复数 z 的模的几何意义为 z 对应的点 Z 到原点的距离．在复平面内，复数
0
2
1
a iz i
（i 是虚数单位，aR ）是纯虚数，其对应的点为 0Z ， Z 为曲线 1z 上的动点，则 0Z 与 Z
之间的最小距离为（ ）
A． 1
2 B．1 C． 3
2
D．2
【答案】B
【解析】由
0
2 1 2 22
1 1 1 2
a i i a a ia iz i i i
，
因为复数 0
2
1
a iz i
（i 是虚数单位， aR ）是纯虚数，所以 2 0a 得 2a
所以 0 2z i ，则 0 0,2Z
由于 1z ，故设 ,Z x y 且 2 2 1x y ， 1 1y
所以 22 2 2
0 2 4 4 5 4 1ZZ x y x y y y
故 0Z 与 Z 之间的最小距离为 1 故选：B．
3.“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写
“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某
商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满 50 元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任
意免费领取一件，若有 4 名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有 2 人领取的礼品种类相同的概率是
（ ）
A． 5
9 B． 4
9 C． 7
16 D． 9
16
【答案】B
【解析】从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，
有 4 名顾客都领取一件礼品，基本事件总数 n＝34＝81，
他们中有且仅有 2 人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数 m 2 3
4 3C A 36，
则他们中有且仅有 2 人领取的礼品种类相同的概率是 p 36 4
81 9
m
n
．
故选：B．
【点睛】本题考查了古典概型以及排列组合知识，考查运算求解能力，属于基础题．
4.如图，O 为正六边形 ABCDEF 的中心，则下列 的终点 P 落在△ODE 内部（不含边界）的是（ ）
A． B．
C． D．
解：对于 A， ＝ ﹣ ＝ + ，以 O 为公共起点， 、 为邻边作平行四边形，
得对角线 ＝ + ，显然点 P 不在△ODE 内部；
对于 B， ＝ + ，以 O 为公共起点， 、 为邻边作平行四边形，得对角线 ＝
+ ，显然点 P 在△ODE 内部；
对于 C， ＝ + ，以 O 为公共起点， 、 为邻边作平行四边形，得对角线 ＝
+ ，显然点 P 不在△ODE 内部；
对于 D， ＝ ﹣ ＝ + ，以 O 为公共起点， 、 为邻边作平行四边形，得对
角线 ＝ + ，显然点 P 不在△ODE 内部．
故选：B．
5.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 ，S6＝21，若 恒成立，则
λ
的最
小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】先根据等差数列的求和公式求得数列的首项与公差，得到 Sn，再根据裂项相消法求和，即可得到
结果．
【解答】解：因为 ，
所以 ，
得 12a1+18d＝10a1+20d，即 a1＝d，
由 S6＝21，知 ，
即 6a1+15d＝21，所以 a1＝d＝1，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以
λ
≥1．
故
λ
的最小值为 1．
故选：A．
6.已知函数
2log , 1
( ) 1 1, 14
x x
f x
x x
， ( ) ( )g x f x kx ，若函数 ( )g x 有两个零点，则 k 的取值范围是（ ）
A． 10, 4
B． 10, ln 2e
C． 10, e
D． 1 1,4 2eln
【答案】D
【详解】
作出
2log , 1
( ) 1 1, 14
x x
f x
x x
的图象，如图所示，
当 y kx 与 2logy x 相切时，设切点为( )0 0,x y ，
则有
0 0
0 2 0
0
log
1
ln 2
y kx
y x
k x
，解得 0x e ，
所以相切时的斜率 1
ln 2k e
；
将函数 y kx 的图象顺时针旋转，
当 1 1
4 ln 2k e
时， ( )f x 与 y kx 有 2 个交点，满足题意；
当 10 4k 时， ( )f x 与 y kx 有 3 个交点，不满足题意；
当 0k 时， ( )f x 与 y kx 有 1 个交点，不满足题意；
当 1
ln 2k e
时， ( )f x 与 y kx 有 0 个或 1 个交点，不满足题意.
7.已知 1 2,F F 分别是双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的左、右焦点，点 P 是该双曲线上一点且在第一象限内，
1 2 2 12sin sinPF F PF F ，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A. (1,2) B. (1,3) C. (3, ) D. (2,3)
【答案】B
【解析】在 1 2PF F△ 中，由正弦定理知， 1 2
2 1 1 2
| | | |
sin sin
PF PF
PF F PF F
，
1 2 2 12sin sinPF F PF F ，
2 12 | | | |PF PF
由双曲线的定义知， 1 2| | | | 2 ,PF PF a
1 24 , 2 ,PF a PF a
1 2 1 2| | | | | |PF PF F F ，即 4 2 2 ,a a c
3ac c
又 1, (1,3)e e ,故选：B
【点睛】本题考查了由正弦定理得 2 12 | | | |PF PF ，由双曲线定义知 1 2| | | | 2PF PF a ，结合三角形的性质
1 2 1 2| | | | | |PF PF F F ，建立不等关系是解题的关键，属于中档题.
8.如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，P 为棱 CC1 上的动点（包含端点 C1），过点 P 作平面α分
别与棱 BC，CD 交于 M，N 两点，若 CP＝2CM＝2CN，则下列说法正确的是（ ）
A．当点 P 与 C1 重合时，直线 A1C 与平面α的交点恰好是
△
PMN 的重心
B．存在点 P，使得 A1C⊥平面α
C．点 A1 到平面α的距离最小为
D．用过 P，M，A 三点的平面截正方体，所得截面与棱 A1D1 的交点随点 P 而改变
【答案】C
【分析】以 C 为原点建立空间直角坐标系，设 CP＝t，
A，令
△
PMN 的重心为 G，通过 与 是否平行，判定 A；
B，由 对 0＜t≤1 恒成立，判定 B；
C，求得 ＝（2，2，1）为平面α的一个法向量，点 A1 到平面α的距离 d＝ ＝ ，
求得最小值即可判定 C．
D，设平面 PMN 与棱 A1D1 的交点为 Q（1，q，1），由 ，从而﹣t（q﹣1）＝ ，解得
q 为定值，即可判定 D．
【解答】解：如图，以 C 为原点建立空间直角坐标系，设 CP＝t，因此 P（0，0，t），M（0， ，0），N
（ ，0，0），
由此
△
PMN 的重心为 G（ ， ， ）， ， ，
当 CP＝t＝1 时， 与 （1，1，1）不平行，因此选项 A 错误；
，从而 对 0＜t≤1 恒成立，因此 PM 不垂直 CA1，从而选
项 B 错误；
， ＝（2，2，1）为平面α的一个法向量， ，
因此点 A1 到平面α的距离 d＝ ＝ 在（0，1）上为奇函数，因此（d）min＝ ．故
C 选项正确．
设平面 PMN 与棱 A1D1 的交点为 Q（1，q，1），则 ＝（（0，q﹣1，1），因为 PM∥AQ，所
以 ，从而﹣t（q﹣1）＝ ，解得 q＝ 为定值，即点 Q 为棱 A1D1 上的定点，因此 D
选项错误，综上，只有 C 选项正确．
故选：C．
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9.为了解目前淮安市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩
~ 70,100X N ，其中 60 分及以上为及格，90 分及以上为优秀．则下列说明正确的是（ ）
参考数据：随机变量 2~ ( , )N ，则 ( ) 0.6826P ，
( 2 2 ) 0.9544P ， ( 3 3 ) 0.9974P ．
A．该校学生体育成绩的方差为 10
B．该校学生体育成绩的期望为 70
C．该校学生体育成绩的及格率不到 85%
D．该校学生体育成绩不及格的人数和优秀的人数相当
【答案】BC
【详解】
A：由题设知 2 100 ，所以该校学生体育成绩的方差100，错误；
B：由题设知 70 ，即该校学生体育成绩的期望为 70，正确；
C： 1 ( )( 60) ( ) 1 ( ) 0.84132
P XP X P X P X ，所以该校学生
体育成绩的及格率不到 85%，正确；
D： ( 60) ( ) 0.1587P X P X ，而 ( 90) ( 2 ) 0.0228P X P X ，错误；
故选：BC.
10.已知函数 sin 3 sin 2f x x x
，则（ ）
A． f x 在 ,2
上的最小值是1
B． f x 的最小正周期是
2
C．直线 2
kx k Z 是 f x 图象的对称轴
D．直线 2y x 与 f x 的图象恰有 2 个公共点
【答案】ACD
【详解】
对于 A 选项，当 ,2x
时，
sin 3 sin sin 3 cos sin 3 cos 2sin2 3f x x x x x x x x
，
且 2
6 3 3x ，则当
3 6x 时，函数 f x 取最小值，即 min 2sin 16f x ，
A 选项正确；
对于 B 选项， sin 3 cosf x x x ， 0 3f ， 12f
，则 0 2f f
，
故函数 f x 的最小正周期不是
2
，B 选项错误；
对于 C 选项，若 k 为奇数，则
sin 3 cos sin 3 cos sin 3 cosf k x k x k x x x x x f x ；
若 k 为偶数，则 sin 3 cos sin 3 cos sin 3 cosf k x k x k x x x x x f x .
由上可知，当 k Z 时， f k x f x ，
所以，直线 2
kx k Z 是 f x 图象的对称轴，C 选项正确；
对于 D 选项， sin 3 cos sin 3 cos sin 3 cosf x x x x x x x ，
所以， 为函数 f x 的周期.
当 0 2x 时， sin 3 cos 2sin 23f x x x x
；
当
2 x 时， sin 3 cos 2sin 23f x x x x .
综上可知， 2f x .
当 0x 时，2 0x ， sin 3 cos 0f x x x ，即函数 2y x 与 f x 在 ,0 上的图象无交点；
当 x 时， 2 2x ， 2f x ，所以，函数 2y x 与 f x 在 , 上的图象也无交点.
作出函数 2y x 与函数 f x 在 0, 上的图象如下图所示：
由图象可知，函数 2y x 与函数 f x 在 0, 上的图象有两个交点，D 选项正确.
11.已知 P 是双曲线
2 2
: 13
x yC m
上任一点， ,A B 是双曲线上关于坐标原点对称的两点.设直线 ,PA PB 的
斜率分别为 1 2 1 2, 0k k k k ，若 1 2k k t 恒成立，且实数 t 的最大值为 2 33 .则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的方程为
2
2 13
x y
B．双曲线的离心率为 2
C．函数 log 1 ( 0, 1)ay x a a 的图象恒过C 的一个焦点
D．直线 2 3 0x y 与C 有两个交点
【答案】AC
【解析】设 0 0 0 0 0( , ), ( , ), ( , ),A x y B x y P x y x x ，
22 2 2
2 2 0
01, ,3 3 3
mxx y mxy m y mm
，
2 2
0 0 0
1 22 2
0 0 0 3k y y y y y y m
x x x x x xk ，
1 2 2 3
mk k ，若 1 2 3
mk k ，
直线 ,PA PB 与渐近线平行或重合，不合题意，所以不等式取不到等号，
而 1 2k k t 恒成立， 2 32 , 13 3
mt m ，
双曲线方程为
2
2 13
x y ，选项 A 正确；
双曲线的离心率为 2 3
3
，选项 B 错误；
双曲线的焦点为 ( 2 0)±, ，
函数 log ( 1)( 0, 1)uy x a a 的图象过定点 (2,0) ，
所以选项 C 正确；
双曲线
2
2 13
x y 渐近线方程为 3
3y x ，
而直线 2 3 0x y 的斜率为 2 3
3 3
，
所以直线 2 3 0x y 与双曲线没有交点，
所以选项 D 错误.故选：AC.
12.已知函数
2
2
log ( 1) ,1 3
( ) 1 296 , 32 2
x x
f x
x x x
，若方程 ( )f x m 有四个不同的实根 1x ， 2x ， 3x ， 4x 满足
1 2 3 4x x x x< < < ，则下列说法正确的是（ ）
A． 1 2 1x x B．
1 2
1 1 1x x
C． 3 4 12x x D． 3 4 (27,29)x x
【答案】BCD
【分析】
作出函数 ( )f x 的图象，可知 2 1 2 2| log ( 1) | | log ( 1) |x x ，即可得到 1x ， 2x 的关系，由 3x ， 4x 是方程
21 296 (0 1)2 2x x m m 的两根，利用根与系数关系可得 3x ， 4x 的关系，由此即可判断出正确选项.
【详解】
解：作出函数 ( )f x 的图象，方程 ( )f x m 有四个不同的实根，
即函数 ( )y f x 与 y m 有四个不同的交点，如图所示：
依题意 2 1 2 2| log ( 1) | | log ( 1) |x x ，且 1 21 2 3x x ，
所以 2 1 2 2log ( 1) log ( 1)x x ，即 2 1 2 2log ( 1) log ( 1) 0x x ，
所以 2 1 2log [( 1)( 1)] 0x x ，即 1 2( 1)( 1) 1x x ，
所以 1 2 1 2x x x x ，所以
1 2
1 1 1x x
，故选项 A 错误，选项 B 正确；
又 3x ， 4x 是方程 21 296 (0 1)2 2x x m m 的两根，
即 3x ， 4x 是方程 2 12 29 2 0x x m 的两根，
所以 3 4 12x x ， 3 4 29 2x x m ，
因为方程 ( )f x m 有四个不同的实根，所以由图可知 (0,1)m ，
所以 3 4 29 2 (27 29)x x m ， ，故选项 C，选项 D 均正确．
故选：BCD.
【点睛】
本题主要考查分段函数的图象与性质，同时考查含有绝对值的对数型函数的图象变换及函数与方程思想，
对于方程根的个数问题常用数形结合的思想解决．
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13.在 2 72 1x x 的展开式中，含 4x 项的系数为_________.
【答案】301
【详解】
2 7 7 7 722 1 1 4 1 4 1x x x x x x x ，
所以含 4x 项的系数为 2 3 4
7 7 74 4 301C C C .
14.已知函数 2 1 1(sin ) sin 2 0,2 2f x x x R ，若 f x 在区间 ,2 内没有极值点，则
的取值范围是___________.
【答案】 3 3 70, ,16 8 16
【解析】 2 1 1 1 1 2(sin ) sin 2 sin 2 cos2 sin(2 )2 2 2 2 2 4f x x x x x x ，
∴ ,2x 上 2 (2 ,4 )4 4 4x ， ( )f x 没有极值点，
∴ 2 2 4 22 4 4 2k k 或 32 2 4 22 4 4 2k k ，
∴
1
8
3
2 16
k
k
或
3
8
7
2 16
k
k
，而 4 (2 ) 24 4x x 且 0 得： 10 2
≤ ，
∴ 0k ， 30 16
或 3 7
8 16
.
故答案为： 3 3 70, ,16 8 16
15.以 ABC 为底的两个正三棱锥 P ABC 和Q ABC 内接于同一个球，并且正三棱锥 P ABC 的侧面与
底面 ABC 所成的角为 45°，记正三棱锥 P ABC 和正三棱锥Q ABC 的体积分别为 1V 和 2V ，则
1
2
V
V
______.（注：底面为正三角形且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥为正三棱锥）
【答案】 1
4
【详解】
如图，连接 PQ，则 PQ 中点为球心 O，PQ 与平面 ABC 交于 1O ，即三角形 ABC 中心，
且 PQ 平面 ABC ，设三角形 ABC 边长为 2，
取 AB 中点 E，连接 CE，PE，则 1O 在CE 上，且 ,CE AB PE AB ，
1PEO 即为 P ABC 的侧面与底面 ABC 所成的角， 1 45PEO ，
1 1
3
3PO EO ，设球半径为 R，
在直角三角形 1OO C 中， 2 2 2
1 1OO OC OC ，
即
2 2
23 2 3
3 3R R
，解得 5 3
6R ，
1
5 3 3 3
6 3 2OO ,则 1
5 3 3 4 3
6 2 3QO ，
1 1
2 1
1
4
V PO
V QO
.
故答案为： 1
4 .
16.已知 a，b， 0c ，记 4 1 9 4 9 1
abcT a a b b c c
，则 T 最大值为________.
【答案】 10
1
2
【分析】
将 4 1 9 4 9 1
abcT a a b b c c
分子分母同除以 ac，利用基本不等式可得分母
14 1 9 4 9ba b ca c
2 2
2 3 6 1b b ，再将 2 2
2 3 6 1
bT
b b
，分子分母同除以
b，利用基本不等式求解.
【详解】
14 1 9 4 9 1 4 1 9 4 9
abc bT ba a b b c c a b ca c
，
而 1 44 1 9 4 9 36 9 4 36 9 1b b ba b c a b b ca c a c
，
2 2
4 12 9 36 12 1 2 3 6 1b b b b b b ，
当且仅当 2144 4 9a b c 时，等号成立，
所以 2 2 2 232 3 6 1 12 20 3 12 2
1
0
b bT
b b b b b
b
，
2 10
1
232 12
1
20b
b
.
当且仅当 312 b
b
，即 1
4b 时取等号，
所以 T 最大值为 10
1
2
故答案为： 10
1
2
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成
积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所
求的最值，这也是最容易发生错误的地方
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.设各项均为正数的等差数列 na 的前 n 项和为 nS ， 7 35S ，且 1a ， 4 1a ， 7a 成等比数列．
（1）求数列 na 的通项公式；
（2）数列 nb 满足 1n n nb b a ，求数列 nb 的前 2n 项的和 2nT ．
【解析】（1）设数列 na 的公差为 0d d ，则 7 47 35S a ，即 4 5a ，
所以 1 4 3 5 3a a d d ， 7 4 3 5 3a a d d ．
因为 1a ， 4 1a ， 7a 成等比数列，所以 2
4 1 71a a a ，
即 24 5 3 5 3d d ，解得 1d （舍去）或 1d ，
所以 1na n ．
（2）因为 1n n nb b a ，所以 2 1 2 3 4 2 1 2n n nT b b b b b b
1 2 3 4 2 1 2 1 3 2 1n n nb b b b b b a a a
22 2
2
n n n n
．
18.在 ABC 中，内角 A， B ，C 所对的边为 a ，b ， c ，若 ABC 的面积 1
4S abc ，且
2sin sin 2sin sin 2sinb B a A B C C .（1）求角 A的大小；（2）求 ABC 面积的最大值.
【答案】（1）
3
；（2） 3 3
4
【解析】
【详解】（1）由题意知， ABC 的面积 1
4S abc ，可得 1 1sin2 4S ab C abc ，解得 2sin
c
C
，根据
正弦定理，可得 2sin sin
b a
B A
，即 2sin , 2sina A b B ，
又由 22sin sin 2sin sin sinB C C b C c C ，即 sin sin sin sinb B a A b C c C ，可得
2 2 2b c a bc ，所以
2 2 2 1cos 2 2
b c aA bc
，因为 (0, )A ，所以
3A .
（2）由（1）知，
3A ，所以 2sin 3a A ，又由余弦定理，得 2 2 2 2 22 cosa b c bc A b c bc
即 2 2 2 23 2 cosb c bc A b c bc bc ，当且仅当 b c 时，等号成立，即 3bc ，所以
1 3 3 3sin sin2 2 4ABCS bc A A △ ，
即 ABC 面积的最大值为 3 3
4
，此时 ABC 是正三角形.
19.如图，在四棱锥 P ABCD 中，PA 平面 ABCD ， / /AD BC ， 2BC AD ， 2AP AB AD CD .
（1）求证：平面 PAC 平面 PAB ；
（2）若 E 为棱 PB 上一点(不与 P ， B 重合)，二面角 E CD P 的余弦值为 5 7
14
，求 PE
PB
的值.
【答案】（1）证明见解析；（2） 1
3 .
【解析】
【分析】（1）通过线面垂直证明面面垂直；
（2）先设 PE PB ，然后两个平面的法向量用 表示，由二面角的余弦值建立方程，然后通过换元计算
可得.
【详解】（1）证明：取 BC 的中点 M ，连接 AM .
因为 / /AD BC ， 2BC AD ，
所以 / /AD MC ， AD MC ，
从而四边形 AMCD 为平行四边形，
所以 2AM DC ，
于是 1
2AM BC ，所以 AB AC .
因为 PA 平面 ABCD ， AC 平面 ABCD ，所以 PA AC .
又 AB ， PA 平面 PAB ， AB PA A ，所以 AC 平面 PAB .
又 AC 平面 PAC ，所以平面 PAC 平面 PAB .
（2）由（1）知 AB ， AC ， AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz ，
所以 (2,0,0)B ， (0,2 3,0)C ， ( 1, 3,0)D ， (0,0,2)P .
设 PE PB ， 0 1 ，则 (1, 3,0)DC ， (0,2 3, 2)PC ， (2 ,0, 2 )PE PB ，
于是 ( 2 ,2 3, 2 2 )EC PC PE
.
设平面 PCD的一个法向量为 1 1 1 1, ,n x y z ，
则 1
1
0,
0,
n DC
n PC
即 1 1
1 1
3 0,
2 3 2 0.
x y
y z
令 1 1y ，得 1 ( 3,1, 3)n
.
设平面 ECD 的一个法向量为 2 2 2 2, ,n x y z
则 2
2
0
0
n DC
n EC
即 2 2
2 2 2
3 0,
2 2 3 (2 2) 0.
x y
x y z
令 2 1y ，得 2
13,1, 3 1n
.
令 1
1t
，则 1t .
因为二面角 E CD P 的余弦值为 5 7
14
，
所以 1 2
1 2 2
1 2
| 4 3 | 5 7cos , 147 4 3
n n tn n
n n t
，
化简得 213 32 12 0t t ，即 ( 2)(13 6) 0t t ，
解得 2t 或 6
13t (舍去)，
所以 1 21t
，
解得 1
3
，因此 PE
PB
值为 1
3 .
20.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵人机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾
病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区 1000 名患者的相关信息，得到如
下表格：
潜伏期（单位：天） 0,2 2,4 4,6 6,8
8,10 10,12 12,14
人数 85 205 310 250 130 15 5
（1）求这 1000 名患者的潜伏期的样本平均数 x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ；
（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过 6 天为标
准进行分层抽样，从上述 1000 名患者中抽取 200 人，得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表
判断是否有 95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；
潜伏期 6 天 潜伏期 6 天 总计
50岁以上（含50岁） 100
50岁以下 55
总计 200
（3）以这 1000 名患者的潜伏期超过 6 天的频率，代替该地区 1 名患者潜伏期超过 6 天发生的概率，每名
患者的潜伏期是否超过 6 天相互独立，为了深入研究，该研究团队随机调查了 20 名患者，其中潜伏期超过
6 天的人数最有可能（即概率最大）是多少？
附：
2
0P K k 0.05 0.025 0.010
0k 3.841 5.024 6.635
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
，其中 n a b c d .
【答案】（1） 5.4 天；（2）见解析，没有；（3）8 人.
【分析】
（1）根据统计数据计算平均数即可；（2）根据题意补充完整的列联表，计算 2K ，对照临界值表得出结论；
（3）根据题意知随机变量 220, 5X B
: ，计算概率 P X k ，列不等式组并结合题意求出 k 的值.
【详解】
（1） 1 1 85 3 205 5 310 7 250 9 130 11 15 13 5 5.41000
x 天；
（2）根据题意补充完整的列联表如下：
潜伏期 6 天 潜伏期 6 天 总计
50岁以上（含50岁） 65 35 100
50岁以下 55 45 100
总计 120 80 200
则 2
2 200 65 45 55 35 25 2.083120 80 100 100 12
K ， 2 2.083 3.841K ，
所以没有 95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；
（3）由题可得该地区 1 名患者潜伏期超过 6 天发生的概率为 250 130 15 5 2
1000 5
，
设调查的 20 名患者中潜伏期超过 6 天的人数为 X ，则 220, 5X B
: ，
20
20
2 3
5 5
k k
kP X k C
，
1,2,3, ,20 k ，
由
1
1
P X k P X k
P X k P X k
，即
20 +1 19
+1
20 20
20 1 21
1
20 20
2 3 2 3
5 5 5 5
2 3 2 3
5 5 5 5
k k k k
k k
k k k k
k k
C C
C C
，
化简得
3 1 2 20
2 21 3
k k
k k
解得 37 42
5 5k ，又 1,2,3, ,20 k ，所以 8k = ，
即这 20 名患者中潜伏期超过 6 天的人数最有可能时 8 人.
21.已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
离心率为 2
3
，点 A，B，D，E 分别是 C 的左，右，上，下顶点，且
四边形 ADBE 的面积为 6 5 .
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）已知 F 是 C 的右焦点，过 F 的直线交椭圆 C 于 P，Q 两点，记直线 AP ， BQ 的交点为 T，求证：点 T
横坐标为定值.
【答案】（1）
2 2
19 5
x y ；（2）T 横坐标为定值 9
2
，证明见解析.
【分析】
（1）根据题意 2
3
c
a
， 1 2 2 6 52 a b ，结合 a，b，c 的关系，即可求得 a，b，c 的值，即可得答案；
（2）设 0 0, ,( )T x y ， 1 1( , )P x y ， 2 2,Q x y ，根据 TA PAk k ， TB QBk k 可得 0 1 2
6 1 2
3 3
3 3
x y x
x x y
，根据
1 1( , )P x y 在椭圆 C 上，代入方程化简整理可得 0 1 2
0 1 2
3 3
3 3
x y x
x x y
1 2
1 2
( 3)( 3)5
9
x x
y y
，设直线 PQ 的
方程为 2x my ，与椭圆 C 联立，得到关于 y 的一元二次方程，根据韦达定理，可得 1 2 1 2,y y y y 的表
达式，代入上式，即可得证
【详解】
（1）设椭圆 C 的半焦距长为 c，根据题意
2 2 2
2
3
1 2 2 6 52
c
a
a b
c a b
，解得
3
5
2
a
b
c
，
故 C 的标准方程为
2 2
19 5
x y .
（2）由（1）知 3 0A , ， 3,0B ， 2,0F ，
设 0 0, ,( )T x y ， 1 1( , )P x y ， 2 2,Q x y ，
由 0 1
0 13 3TA PA
y yk k x x
'①，
0 2
0 23 3TB QB
y yk k x x
，②
①②两式相除得 0 1 2
0 1 2
3 3
3 3
x y x
x x y
，
又
2 2
1 1 19 5
x y ，故
2 2
1 119 5
x y ，
所以
2
1 1 1( 3)( 3)
9 5
x x y ，故 1 1
1 1
35
3 9
y x
x y
.
所以 0 1 2
0 1 2
3 3
3 3
x y x
x x y
1 2
1 2
( 3)( 3)5
9
x x
y y
③
由题意知直线 PQ 不平行于 x 轴，由于直线 PQ 经过 F 点，所以设直线 PQ 的方程为 2x my ，
代入
2 2
19 5
x y 整理，得 2 2( 9 0 2)5 2 5 0m y my ，
把
1 2 2
1 2 2
20
5 9
25
5 9
my y m
y y m
代入③，
所以 0 1 2
0 1 2
3 ( 3)( 3)5
3 9
x x x
x y y
1 2
1 2
( 1)( 1)5
9
my my
y y
2
1 2 1 2
1 2
( ) 15
9
m y y m y y
y y
所以 0
0
3
3
x
x
2
2 2
2
25 20( ) ( ) 15 5 9 5 9
259
5 9
mm mm m
m
1
5
解得 0
9
2x .
所以点 T 横坐标为定值 9
2 .
【点睛】
解题的关键是根据 A、P、T 和 B、Q、T 共线得到 TA PAk k ， TB QBk k ，化简整理，结合韦达定理求解，直
线 PQ 的方程为 2x my ，可避免讨论直线 PQ 的斜率是否存在，简化计算，提高正确率，考查分析理解，
计算化简的能力，属中档题.
22. 已知函数
(a R)．
（1）讨论函数 的极值点的个数；
（2）已知函数 有两个不同的零点 ， ，且 ＜ ．证明： 2 1x x ．
【解析】（1）函数 ，故 的定义域为 ，则
，令 ，则 ，
当 时， ，则 单调递增，
当 时， ，则 单调递减，
所以当 时， 取得最大值 ，
当 时， ，则 ，所以 在 上单调递减，此时 无极值
点；
当 时， ，因为 ， ，
所以 在 上有且只有一个零点，
所以 在 上有且只有一个极值点，
又
所以 在 上有且只有一个零点，
所以 在 上有且只有一个极值点．
综上所述，当 时， 无极值点；当 时， 有 2 个极值点．
（2）证明：函数 ，
则 ，
当 时， ，则 单调递减，
当 1 时， ，则 单调递增，
所以当 时， 取得最小值 ，
因为函数 有两个不同的零点 且
所以 ，即 所以
又 ，
令 则
令 则
所以 单调递增，所以 ，
所以 ，所以 单调递增，
所以 ，
所以 ，所以 ，
令 ，则 ，
当 时， ，则 单调递增，
当 1 时， ，则 单调递减，
所以当 时， 取到最大值为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
令 ，则 ，所以 ，
所以
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