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【考前预测篇 2】命题专家押题
1．已知集合 { 2, 1,0,1,2}A , { | ln 1 }B x y x ，则 A B =（ ）
A．{ 1,0} B．{0,1}
C．{ 1,0,1} D．{0,1,2}
【解析】选 D, { | 1}B x x ， A B ={0,1,2}.注意注意代表元素的字母是 x 还是 y.
2．已知复数 2
1 2
iz i
，则复数 z 在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A． 0, 1 B． 0,1 C． 1, 1 D． 1,0
【解析】选 D， 2 = 11 2
iz i
，所以对应点坐标为（-1,0）.
3．下列说法错误的是（ ）
A．命题“若 x2﹣4x+3=0，则 x=3”的逆否命题是“若 x≠3，则 x2﹣4x+3≠0”
B．“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件
C．命题 p：“
∃
x∈R，使得 x2+x+1＜0”，则¬p：“
∀
x∈R，x2+x+1≥0”
D．若 p∧q 为假命题，则 p、q 均为假命题
【解析】选 D．若 p∧q 为假命题，则 p、q 至少有一个为假命题.
4．设 a
，b
是单位向量，且 a
， b
的夹角为 60°，则 3c a b 的模为（ ）
A． 13 B．13 C．4 D．16
【解析】选 A． 2 2 2 03 9 6 10 6cos60 13c a b a b a b
5．函数 ( ) sin( )f x x 的部分图像如图所示，则 ( )f x 的单调递减区间为（）
A． 1 3( , ),4 4k k k Z B． 1 3(2 ,2 ),4 4k k k Z
C． 1 3( , ),4 4k k k Z D． 1 3(2 ,2 ),4 4k k k Z
【解析】选 C．由图象可知最小正周期 T= 5 12 24 4
骣琪 - =琪桫 ， 2
T
pw p= = ，sin 04
p f骣琪 + =琪桫
所以 3 2 ,4 k k Z ，
所以函数 3 3( ) sin( 2 ) sin( )4 4f x x k x 的单调递减区间为，
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3 32 + + 22 4 2k x k ，即 1 32 24 4k x k ， k Z ．
6．钝角三角形 ABC 的面积是 1
2 ，AB=1，BC= 2 ，则 AC=( )
A． 5 B． 5 C． 2 D． 1
【解析】选 B． ，或，得
4
3π
42
2sin,2
1sin212
1 ====×××=Δ BBBBS ABC
π
2 2 2 cos 14B AC AB BC AB BC B
p= = + - × =当 时， ,此时三角形 ABC 为等腰直角三角形，不合题意；
2 23 2 cos 54B AC AB BC AB BC B
p= = + - × =当 时， .
7． 2 52( )x x
的展开式中 4x 的系数为（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
【解析】选 C． 2 2
5 2 40C ´ = .
8．函数 2 1 sin1 x xef x
的图象大致形状为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】选 A． 2 11 sin sin1 1
x
x x
exf x xe e
，
1 1sin sin sin1 1
1
1
x x x
x x x
e e ex x xf x f xe e e
，
所以 f x 为偶函数，排除 CD；
2
2
1 s 2 02 in1
e
ef
，排除 B．
9．设 Sn 是公差不为 0 的等差数列 na 的前 n 项和，且 =+=
45
9
17 ,2- aS
Saa 则 _____.
【解析】填 18.由题意 1 -2da = , 9 1
5 4 1 1
9 36 18 185 10 3
S a d d
S a a d a d d
+= = =+ + + + .
10．已知 P A B C、 、 、 是球面上的四点，且 , 2 2AC BC AB ，若三棱锥 P ABC 的体积的最大值为 4
3
，则球
的体积为________________.
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【 解 析 】 填 9
2
p . 由 题 意 可 知 ， 当 ABCD 是 等 腰 直 角 三 角 形 时 ， 1 2 4, 23 3 3P ABC ABC
hV S h h- D= £ = = ， 则 有
( )22 32 2 , 2R R= + - 得R= , 34 9
3 2V Rp p= =球 .
11．已知点 F1,F2 是椭圆 C: )0(12
2
2
2
bab
y
a
x 的左、右焦点，以 F1 为圆心，F1F2 为半径的圆与椭圆在第一象限的交
点为 P.若椭圆 C 的离心率为
3
2 ，且 1521
FPFS ,则椭圆 C 的方程为_______.
【解析】填
2 2
19 5
x y+ = .由题意知 2
3
c
a
= ①, 1 22 , 2 2 ,PF c PF a c= = -
( )( ) ( ) ( )2 21 2 2 2 152OAFS a c c a cD = - ´ - - = ②，所以 2, 3, 5c a b= = = ，
椭圆 C 的方程为
2 2
19 5
x y+ = .
12．在一个袋子中装有分别标注数字 1，2，3，4，5 的 5 个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中随机取 2
个小球，则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是________．
【解析】填 3
10 .两个数之和为 3 或 6 的有：（1，2），（1，5），（2，4）共三种，从 5 个球中取出两个球有（1，2），
（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共 10 种取法， 2
5
3 3
10p C
= = .
13．2020 年，全球 70 多亿人口受影响、30 余万人的生命被夺走。一场来势汹汹的新冠肺炎疫情，成为二战结束以来
最严重的全球公共卫生突发事件。面对肆虐的疫情，人们寄希望于今早开发出有效的疫苗，摆脱病毒带来的威胁。
如今，多国在研发领域按下“快进键”，中国不仅在进度上是“第一梯队”，更提出新冠疫苗研发完成并投入使用后，将
作为全球公共产品。现某科研团队为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表。
患病 未患病 总计
服用药 10 45
没服用药 50
总计 30
（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）能否有 97.5%的把握认为药物对预防疾病有效？说明你的理由；
（3）为了进一步研究，现按分层抽样的方法从未患病动物中抽取 10 只，设其中未服用药的动物数为 只，求 的分
布列与期望.
下面的临界值表供参考:
2P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
其中 n a b c d ）
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【解析】（1）列联表补充如下
患病 未患病 总计
服用药 10 45 55
没服用药 20 30 50
总计 30 75 105
（2）∵
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
∴ 2
2 105 10 30 20 45 1008= 6.109 5.02430 75 55 50 165K
∵ 2 5.024 0.025P K
∴有 97.5%的把握认为药物对预防疾病有效。
（3）根据题意，10 只未患病动物中，有 6 只服用药，4 只没服用药；所以x 的值可能为 0，1，2，3，4
( ) 4
10
4
6 150 210
CP C
x = = = ， ( ) 4
4
10
3 1
61 210
80C CP C
x = = = ， ( ) 4
4
10
2 2
62 210
90C CP C
x = = = ，
( ) 4
4
10
1 3
63 210
24C CP C
x = = = ， ( ) 4
4
4
10
4 210
1CP C
x = = = ，
分布列如下:
ξ 0 1 2 3 4
P 15
210
80
210
90
210
24
210
1
210
则 0 1 2 3 4 =1.6210 210 21 1
15 80 1
0 2 0 21
9 24
0
0 8
5Ex = ´ + ´ + ´ + ´ + ´ =
14．已知椭圆 的左、右焦点为 ，点 在椭圆 上.
（1）设点 到直线 的距离为 ，证明： 为定值；
（2）若 是椭圆 上的两个动点（都不与 重合），直线 的斜率互为相反数，求直线 的斜率（结
果用 表示）
【解析】（1）由已知，得 ，所以 ，即
因为点 在椭圆 上，所以 ，即
又
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所以 为定值.
（2）当 时，则 ，直线 的斜率一定存在.
设 ，直线 的斜率为 ，则 的方程为 ，即 ，与椭圆 的方程
，联立组成方程组，消去 ，
整理得 .
由韦达定理，得 ，于是 .
根据直线 的斜率为 ，将上式中的 用 代替，
得 .
于是
.
.
注意到 得 ，于是
因此，直线 的斜率为 .
15.已知函数 2( ) ( )Raf x x ax ax
.
（1）当 1a 且 1x 时，求函数 ( )f x 的单调区间；
（2）当 2
e
e +1a 时，若函数 2( ) ( ) lng x f x x x 的两个极值点分别为 1 2,x x ，
证明： 1 2 2
40 | ( ) ( ) | e 1g x g x .
【解析】（1）解法一：
当 1a 时， 2 1( )f x x x x
，所以
3 2
2 2
1 2 1( ) 2 1 x xf x x x x
，
①当 0x 时， ( ) 0f x 恒成立，所以函数 ( )f x 在区间 (0, ) 上单调递增；
②当 ( 1,0)x 时，记 3 2( ) 2 1x x x ，则 2 1( ) 6 2 6 ( )3x x x x x ，
所以当 1( ,0)3x 时， ( ) 0x ， ( )x 单调递减，且有 ( ) (0) 1x ；
当 1( 1, )3x 时， ( ) 0x ， ( )x 单调递增，且 ( ) ( 1) 0x ，
所以当 ( 1,0)x 时， ( ) 0x ，函数 ( )f x 单调递增.
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综上，函数 ( )f x 的单调递增区间为 ( 1,0) 和 (0, ) ，无单调递减区间.
解法二：
当 1a 时， 2 1( )f x x x x
（ 0x ），
所以
3 2
2 2
1 2 1( ) 2 1 x xf x x x x
2
2
( 1)(2 1)x x x
x
，
因为 1x ，且 2 21 72 1 2( ) 04 8x x x ，
所以当 ( 1,0) (0, )x 时，均有 ( ) 0f x ，
所以函数 ( )f x 的单调递增区间为 ( 1,0) 和 (0, ) ，无单调递减区间.
（2）因为 2( ) ( ) ln lnag x f x x x ax xx
（ Ra ， 0x ），
所以
2
2 2
1( ) a ax x ag x a x x x
.
因为 1 2,x x 是函数 ( )g x 的两个零点，所以 1 2,x x 是方程 2 0ax x a 的两个实数解，
由 21 4 0a ，且 2
e
e 1a
，即 2
e 1
e 1 2a
，
因为 1 2 1x x ，则 2
1
1x x
，不妨设 1 2x x ，所以 1 20 1x x ，
则 1 2 1
1
1 1x x x x a
，因为 2
e 1
e 1 2a
，所以
21 e +1 12 ee ea
，
所以 1
1
1 1e ex x
，即 1
1 1e x .
由二次函数的图象及性质可知，函数 ( )g x 在 1x 处取得极大值，在 2x 处取极小值，即 1 2( ) ( )g x g x ，
故 1 2 1 2 1
1
1| ( ) ( ) | ( ) ( ) ( ) ( )g x g x g x g x g x g x
1 1 1 1
1 1
( ln ) ( ln )a aax x ax xx x
1 1
1
2( ln )aax xx
（*）
又因为 1x 是方程 2 0ax x a 的根，所以 1
2
1 1
xa x
，代入（*）式，
2 2
21 1
1 2 1 12 2 2
1 1 1
11 1( ) ( ) 2( ln ) 2( ln )1 1 2
x xg x g x x xx x x
，
令 2
1x t ，则 2
1 1e t ， 1 1( ) 2( ln )1 2
tg t tt
.
设 1 1( ) 2( ln )1 2
xh x xx
， 2
1 1e x ，所以
2
2
( 1)( ) 0( 1)
xh x x x
，则 ( )h x 单调递减，
从而有 2 2
1 40 (1) ( ) ( )e e 1h h x h ，即 2
40 ( ) e 1g t ，
所以 1 2 2
40 ( ) ( ) e 1g x g x ，即 1 2 2
40 | ( ) ( ) | e 1g x g x ，证毕
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