第 1 页 共 130 页
【考前预测篇 5】零点问题
从近几年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型主要以选择题、填空题为主，难度中等
及以上．主要考查转化与化归、数形结合及函数与方程的思想．
1.函数零点的定义
对于函数 y＝f(x) (x∈D)，把使 f(x)＝0 成立的实数 x 叫做函数 y＝f(x) (x∈D)的零点．
2.零点存在性定理(函数零点的判定)
若函数 y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即 f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，
b)内，函数 y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程 f(x)＝0 在区间(a，b)内至少有一个实数解．
也可以说：如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)＜0，那么，函数 y＝f(x)在
区间(a，b)内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根．
【提醒】此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数．
3.几个等价关系
函数 y＝f(x)有零点
⇔
方程 f(x)＝0 有实数根
⇔
函数 y＝f(x)的图象与函数 y＝0(即 x 轴)有交点．
推广：函数 y＝f(x)－g(x)有零点
⇔
方程 f(x)－g(x)＝0 有实数根
⇔
函数 y＝f(x)－g(x)的图象与 y＝0(即 x 轴)有交点．
推广的变形：函数 y＝f(x)－g(x)有零点
⇔
方程 f(x)＝g(x)有实数根
⇔
函数 y＝f(x)的图象与 y＝g(x)有交点．
题型一：判断零点所在区间
1. 函数 零点所在大致区间是( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
【解析】因为函数 3log)( 3 xxf x 的定义域为： 0x > ，函数是连续函数
( ) ( )3 3 3
22 log 2 2 3 log 0, 3 log 3 3 3 1 03f f= + - = < = + - = >
根据函数的零点判定定理，故选 C．
2.设函数 ( ) 4sin(2 1)f x x x ，则在下列区间中函数 ( )f x 不存在零点的是（ ）
A． 4, 2 B． 2,0 C． 0,2 D． 2,4
【解析】由函数零点的定义，知 ( ) 0f x > 不存在零点，，即方程 ( )4sin 2 1 0x x+ - =
在这个区间上无解 ( ) ( ) ( )4sin 2 1 ,y g x x y h x x= = + = = ，则这两个函数图像在这个区间上无交点。
做出 ( ) ( ) ( )4sin 2 1 ,y g x x y h x x= = + = = 的图像，观察图像知选 A．
第 2 页 共 130 页
题型二：求零点个数
1．函数 ( ) cos(3 )6f x x 在[0, ] 的零点个数为_____．
【解析】由题意知， cos(3 ) 06x ，所以3 6 2x k ， k Z ，
所以
9 3
kx ， k Z ，当 0k 时，
9x ；当 1k 时， 4
9x ；
当 2k 时， 7
9x ，均满足题意，所以函数 ( )f x 在[0, ] 的零点个数为 3．
2．关于函数 ( ) sin | | | sin |f x x x 在[ , ] 有_______个零点.
【解析】 ( ) sin sin sin sin ( )f x x x x x f x ，则函数 ( )f x 是偶函数，
0 , ( ) sin sin 2sinx f x x x x 当 ，
由 0f x 得 2sin 0x ,得 0x 或 x ，
由 ( )f x 是偶函数，得在 ,0 上还有一个零点 x ，即函数 ( )f x 在 , 上有 3 个零点.
3．函数 1
1y x
的图像与函数 2sin ( 2 4)y x x 的图像所有交点的横坐标之和等于________.
【解析】图像法求解． 1
1y x
的对称中心是 (1,0) 也是 2sin ( 2 4)y x x 的中心， 2 4x 他们的图像
1x 的左侧有 4 个交点，则 1x 右侧必有 4 个交点．不妨把他们的横坐标由小到大设为 1, 2 3 4 5 6 7 8, , , , , ,x x x x x x x x ，
则 1 8 2 7 3 6 4 5 2x x x x x x x x ，所以选 D
2,
,
-3 +2=0f x f x f x
2
xcos 1 x 12
x 1 x 1
4.已知函数 的实根的个数是___.
，
则关于x的方程
＞ ，
【解析】 2 -3 +2=0 =1 =2f x f x f x f x方 等价于程 或
1,1 , >1 1 0
,
,
f x f x x f
2
xcos 1 x 12 1 x 1
x 1 x 1
函
，
当 ， 时,
＞ ，
数
2=1 cos 1 1 1, 0 22f x x x x x时， 或 所以 或
2=2 1 2, 3f x x x时， 所以
2 -3 +2=0f x f x 的实根个数为5个综上知方程
题型三：根据零点个数求参数
1.已知函数
0,ln
0,
xx
xexf
x
， axxfxg ．若 xg 存在 2 个零点，a
的取值范围是（ ）
第 3 页 共 130 页
A．[–1，0） B．[0，+∞）
C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
【解析】函数 ( ) ( ) g x f x x a 存在 2 个零点，即关于 x 的方程 ( ) f x x a 有 2 个不同的实根，即函数 ( )f x 的
图象与直线 y x a 有 2 个交点，作出直线 y x a 与函数 ( )f x 的图象，如图所示，由图可知， 1 ≤a ，解得
1≥a ，故选 C．
2．已知函数 2 1 1( ) 2 ( )x xf x x x a e e 有唯一零点，则 a
A． 1
2
B． 1
3 C． 1
2 D．1
【解析】令 ( ) 0f x ，则方程 1 1 2( ) 2x xa e e x x 有唯一解，
设 2( ) 2h x x x ， 1 1( ) x xg x e e ，则 ( )h x 与 ( )g x 有唯一交点，
又 1 1 1
1
1( ) 2x x x
xg x e e e e
≥ ，当且仅当 1x 时取得最小值 2．
而 2( ) ( 1) 1 1h x x ≤ ，此时 1x 时取得最大值 1，
( ) ( )ag x h x 有唯一的交点，则 1
2a ．选 C．
3．已知函数 ( )f x = 3 23 1ax x ，若 ( )f x 存在唯一的零点 0x ，且 0x ＞0，则 a 的取值范围为
A．（2，+∞） B．（-∞，-2） C．（1，+∞） D．（-∞，-1）
【解析】 ( ) 30 3a f x= ±当 时， 有两个零点 不合题意，
( ) ( )/ 2 /
1 2
2 20 3 3 =0 0, ,a f x ax x a x f x x xa a
骣琪¹ = = - = =琪桫
当 时， -6 ，令 得
( ) ( ) 20 ,0 ,
20,
a f x a
a
骣琪> -¥ +¥琪桫
骣琪琪桫
若 时，则可判断 在 和 单调递增，
在 单调递减，
( ) ( ) ( ) ( )0 1, ,0 .f x f f x= = \ -¥ 极大值 在 必有一个零点，与题意矛盾
( ) ( ) 20 ,0 ,
20,
a f x a
a
骣琪< -¥ +¥琪桫
骣琪琪桫
若 时，则可判断 在 和 单调递减，
在 单调递增，
( ) ( ) 02
2 4 1,f x f f x Ra a
骣琪= = - +琪桫 极小值 要使 在 有唯一一个零点x ，
( ) 2
2 4 1 0, 2,f x f a Ba a
骣琪= = - + > < -琪桫极小值只需 解得 故选
4．设函数 ( ) sin( )( 0)5f x x ，已知 ( )f x 在 20， 有且仅有 5 个零点． 的取值范围是____________.
第 4 页 共 130 页
【解析】当 [0,2 ]x 时， ,25 5 5x
，
因为 f x 在 0 2， 有且仅有 5 个零点，所以5 2 + 65
，
所以12 29
5 10
，
5．已知函数
2
1
2
log , 0
( ) log ( ), 0
x x
f x x x
，若 a ，b ， c 均不相等，且 ( )f a = ( )f b = ( )f c ，则 abc 的取值范围是
A．（1，10） B．(5，6) C．(10，12) D．(20，24)
【解析】画出函数的图象，
如图所示，不妨设 a b c ，因为 ( ) ( ) ( )f a f b f c ，所以 1ab ， c 的取值范围是 (10,12) ，所以 abc 的取值范
围是 (10,12) ．
6．已知函数 2( ) ( 2) ( 1)xf x x e a x 有两个零点，求 a 的取值范围；
【解析】Ⅰ） '( ) ( 1) 2 ( 1) ( 1)( 2 )x xf x x e a x x e a ．
（i）设 0a ，则 ( ) ( 2) xf x x e ， ( )f x 只有一个零点．
（ii）设 0a ，则当 ( ,1)x 时， '( ) 0f x ；当 (1, )x 时， '( ) 0f x ．
所以 ( )f x 在 ( ,1) 上单调递减，在 (1, ) 上单调递增．
又 (1)f e ， (2)f a ，取 b 满足 0b 且 ln 2
ab ，则
2 2 3( ) ( 2) ( 1) ( ) 02 2
af b b a b a b b ，故 ( )f x 存在两个零点．
（iii）设 0a ，由 '( ) 0f x 得 1x 或 ln( 2 )x a ．
若
2
ea ，则 ln( 2 ) 1a ，故当 (1, )x 时， '( ) 0f x ，
因此 ( )f x 在 (1, ) 上单调递增．又当 1x 时， ( ) 0f x ，
所以 ( )f x 不存在两个零点．
若
2
ea ，则 ln( 2 ) 1a ，故当 (1,ln( 2 ))x a 时， '( ) 0f x ；
当 (ln( 2 ), )x a 时， '( ) 0f x ．因此 ( )f x 在 (1,ln( 2 ))a 上单调递减，
在 (ln( 2 ), )a 上单调递增．又当 1x 时， ( ) 0f x ，
所以 ( )f x 不存在两个零点．综上， a 的取值范围为 (0, ) ．
7．已知函数 2( ) ( 2)x xf x ae a e x ．
(1)讨论 ( )f x 的单调性；
第 5 页 共 130 页
(2)若 ( )f x 有两个零点，求 a 的取值范围．
【解析】（1） ( )f x 的定义域为 ( , ) ，
2( ) 2 ( 2) 1 ( 1)(2 1)x x x xf x ae a e ae e ，
（ⅰ）若 0a ≤ ，则 ( ) 0f x ，所以 ( )f x 在 ( , ) 单调递减．
（ⅱ）若 0a ，则由 ( ) 0f x 得 lnx a ．
当 ( , ln )x a 时， ( ) 0f x ；当 ( ln , )x a 时， ( ) 0f x ，
所以 ( )f x 在 ( , ln )a 单调递减，在 ( ln , )a 单调递增．
（2）（ⅰ）若 0a ≤ ，由（1）知， ( )f x 至多有一个零点．
（ⅱ）若 0a ，由（1）知，当 lnx a 时， ( )f x 取得最小值，
最小值为 1( ln ) 1 lnf a aa
．
①当 1a 时，由于 ( ln ) 0f a ，故 ( )f x 只有一个零点；
②当 (1, )a 时，由于 11 ln 0aa
，即 ( ln ) 0f a ，故 ( )f x 没有零点；
③当 (0,1)a 时， 11 ln 0aa
，即 ( ln ) 0f a ．
又 4 2 2( 2) e ( 2)e 2 2e 2 0f a a ，
故 ( )f x 在 ( , ln )a 有一个零点．
设正整数 0n 满足 0
3ln( 1)n a
，
则 0 0 0 0
0 0 0 0( ) e ( e 2) e 2 0n n n nf n a a n n n ．
由于 3ln( 1) ln aa
，因此 ( )f x 在 ( ln , )a 有一个零点．
综上， a 的取值范围为 (0,1) ．
【考点总结与提高】
1.确定函数零点所在区间的方法
（1）解方程法：当对应方程 f(x)＝0 易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上。
（2）利用函数零点的存在性定理：首先看函数 y＝f(x)在区间 ba, 上的图象是否连续，再看是否有 f(a)·f(b)＜0。若有，
函数 y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点。
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断。
2.判断函数零点个数的方法
（1）解方程法：令 f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点。
（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数
的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质。
(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标
第 6 页 共 130 页
有几个不同的值，就有几个不同的零点。
3.函数零点的应用问题类型及解题思路
（1）已知函数零点情况求参数。根据函数零点或方程的根所在的区间求解参数应分三步：
①判断函数的单调性；
②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；
③解不等式，即得参数的取值范围。
（2）已知函数零点的个数求参数，常利用数形结合法。
微信/支付宝扫码支付