【考前预测篇3】与平面向量相关的范围和最值问题-2021年高考数学考前十天终极预测 解析版

【考前预测篇 3】与平面向量相关的范围和最值问题 纵观近几年高考对于圆的的考查，平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知 识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围 的等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面 向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合． (一) 平面向量数量积的范围问题 已知 两个非 零向量 和 b  ,它们 的夹角 为  , 把数量 cosa b    叫做 a  和 b  的数 量积 (或内 积), 记作 a b  .即 a b  = cosa b    ,规定 0 0a   ,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即 a b  = cosa b    ；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若 a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则 a·b＝x1x2＋y1y2；（3）运用 平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算． 1．在边长为 的正方形 中， 为 的中点，点 在线段 上运动，则 的取值范围是( ) A． B． C． D． 【 解 析 】 将 正 方 形 放 入 如 图 所 示 的 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 设 E(x ， 0) ， 0≤x≤1 ． 又 ， C(1 ， 1) ， 所 以 ， 所以 ， 因为 0≤x≤1，所以 ，即 的取值范围是 ． 本题选择 C 选项． 2．已知 A、B 是单位圆 O 上的两点（O 为圆心），∠AOB=120°，点 C 是线段 AB 上不与 A、B 重合的动点．MN 是圆 O 的一条直径，则CM CN  的取值范围是（ ） A． [ 3 4  ，0） B． [ 3 4  ，0] C． [ 1 2  ，1） D． [ 1 2  ，1] 【 解 析 】 建 立 如 图 所 示 的 坐 标 系 ， 1, 120 ,OA OB AOB O     到 直 线 AB 的 距 离 21 1 1, 1, 12 2 4d OC OC       ，则    CM CN OM OC ON OC            2 OM ON OM ON OC OC           2 1 OC    ， 3 0,4 CM CN CM CN         的取值范围是 3 ,04     ，故选 A． 3.如图，在四边形 ABCD 中， 60 , 3B AB   ， 6BC  ，且 3, 2AD BC AD AB       ，则实数  的值为 _________，若 ,M N 是线段 BC 上的动点，且| | 1MN  ，则 DM DN  的最小值为_________． 【解析】 AD BC   ， //AD BC ， 180 120BAD B     ， cos120AB AD BC AB BC AB            1 36 3 92 2              ， 解得 1 6   ， 以点 B 为坐标原点， BC 所在直线为 x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系 xBy ，  6 6,0BC C  ， ,∵ 3, 60AB ABC    ，∴ A 的坐标为 3 3 3,2 2A       , ∵又∵ 1 6AD BC  ,则 5 3 3,2 2D       ，设  ,0M x ，则  1,0N x  （其中 0 5x  ）， 5 3 3,2 2DM x         ， 3 3 3,2 2DN x         ，   2 225 3 3 3 21 134 22 2 2 2 2DM DN x x x x x                          ， 所以，当 2x  时， DM DN  取得最小值13 2 .故答案为： 1 6 ； 13 2 . (二) 平面向量模的取值范围问题 设 ( , )a x y ,则 2 2 2a a x y    ,向量的模可以利用坐标表示,也可以借助“形”,向量的模指的是有向线段的长度, 过可结合平面几何知识求解,尤其注意,如果直接求模不易,可以将向量用基底向量表示再求． 1.已知向量 , ,a b c    满足 4, 2 2,a b   a  与 b  的夹角为 4  , ( ) ( ) 1c a c b        ,则 c a  的最大值为 . 【解析】设 , ,OA OB OC     a b c ； 以 OA 所在直线为 x,O 为坐标原点建立平面直角坐标系, ∵ 4, 2 2,a b   a  与 b  的夹角为 4  , 则 A（4,0）,B（2,2）,设 C（x,y） ∵ ( ) ( ) 1c a c b        , ∴ 2 2 6 2 9 0x y x y     , 即    2 23 1 1x y    表示以（3,1）为圆心,以 1 为半径的圆, c a  表示点 A,C 的距离即圆上的点与点 A（4,0）的距离； ∵圆心到 B 的距离为 2)01()43( 22  , ∴ c a  的最大值为 12  ． 2．在 ABC 中， 2AB  ， 3AC  ， 13BC  ，若向量 m 满足 2 3m AB AC    ，则 m 的最大值与最小值 的和为（ ） A． 7 B． 8 C． 9 D． 10 【解析】由 2AB  ， 3AC  ， 13BC  得 2 2 2BC AB AC  ，即 A 为直角，以 A 点为原点， AB 为 x 轴， AC 为 y 轴建立直角坐标系，则  0,0A ，  2,0B ，  0,3C ，设 m 的终点坐标为 ,x y ，∵ 2 3m AB AC    ，∴    2 24 3 9x y    ，故 m 的最大值与最小值分别为圆    2 24 3 9x y    上的点到原点距离的最大值和最小 值，故最大值为 5 3 8  ，最小值为5 3 2  ，即之和为 10，故选 D． 3．若平面向量 1e ， 2e 满足 1 1 23 2e e e     ，则 1e 在 2e 方向上投影的最大值是________． 【解析】由 1 1 23 2e e e     可得： 1 2 2 1 1 2 2 2 9 6 4 e e e e e             ∴ 2 1 2 24 36 6 cosθe e e      1e 在 2e 方向上投影 2 2 1 2 2 2 32 1 32 1 4 2cosθ 2 326 6 36 e e e e e                     故最大值为： 4 2 3  (三) 平面向量夹角的取值范围问题 设 1 1( , )a x y , 2 2( , )b x y ,且 ,a b   的夹角为 ,则 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos x x y ya b a b x y x y            ． 1.设 1e  ， 2e  为单位向量，满足 21| 2 2|   ee ， 1 2a e e    ， 1 23b e e    ，设 a  ，b  的夹角为 ，则 2cos  的最小值为 _______． 【解析】 1 2| 2 | 2e e  ur ur Q ， 1 24 4 1 2e e     ur ur ， 1 2 3 4e e   ur ur ， 22 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 (4 4 ) 4(1 )( )cos (2 2 )(10 6 ) 5 3 e e e ea b e e e e e ea b               ur ur ur urr r ur ur ur ur ur urr r 1 2 4 2 4 2 28(1 ) (1 )33 3 295 3 5 3 4 e e          ur ur . 故答案为： 28 29 . 2. 已知向量  OA 与  OB 的夹角为 , ,)1(,,1,2 →→→→→→ OBtOQOAtOPOBOA ==== PQ  0t在 时取得最小值,当 0 10 5t  时,夹角 的取值范围为_________. 【解析】由题意知， , , 所以 +1 由二次函数的图像及其性质知，当上式取最小值时， , 由题意可知 ,q 求得 所以 .