【考前预测篇4】解三角形的最值问题-2021年高考数学考前十天终极预测 解析版

第 1 页 共 130 页 【考前预测篇 4】解三角形的最值问题 三角形中最值或范围问题，一般转化为条件最值或范围问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件 灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、 凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得 的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 1.三角函数问题在求解时要注意结合正弦定理的边角互化关系快速转换求解，涉及面积最值时明确面积公式结合基本不 等式求解是借此题第二问的关键. 2.解三角形问题不是孤立的，而是跟其他相关知识紧密联系在一起，例如，通过向量的工具作用，将条件集中到三角形 中，然后利用三角恒等变换、正弦定理和余弦定理及其相关知识解题，是常见的解题思路，为此，熟练掌握向量的基 本概念和向量的运算，熟练进行三角变换和熟练运用正弦定理以及余弦定理及均值不等式是解题的关键． 题型一：与三角形的边相关 1．在平面四边形 ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则 AB 的取值范围是（ ） 【解析】如图所示，延长 BA，CD 交于 E，平移 AD，当 A 与 D 重合与 E 点时，AB 最长，在 △ BCE 中，∠B=∠C=75°， ∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得 ，即 o o 2 sin30 sin 75 BE ，解得 BE = 6+ 2 ，平移 AD ，当 D 与 C 重 合 时 ， AB 最 短 ， 此 时 与 AB 交 于 F ， 在 △ BCF 中 ， ∠ B= ∠ BFC=75° ， ∠ FCB=30° ， 由 正 弦 定 理 知 ， sin sin BF BC FCB BFC   ，即 o o 2 sin30 sin 75 BF  ，解得 BF= 6 2 ，所以 AB 的取值范围为（ 6 2 ， 6+ 2 ）． 2．在 ABC 中， 060B  ， 3AC  ，则 2AB BC 的最大值为 ． 【解析】由正弦定理 sin sin sin AC BC AB B A C   得， sin 2sinsin AC CAB CB   ， BC = sin 2sinsin AC ABC AB   ， ∴ 2AB BC = 2sinC + 4sin A = 02sin(120 ) 4sinA A  = 3sin 5cosA A = 2 7 sin( )A  （ 5 3tan 3   ， 0 00 120 )A  ， 故 2AB BC 的最大值为 2 7 ． 3．在 ABC△ 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ， 120ABC  ， ABC 的平分线交 AC 于点 D，且 1BD  ，则 4a c 第 2 页 共 130 页 的最小值为 ． 【解析】因为 120ABC  ， ABC 的平分线交 AC 于点 D ， 所以 60ABD CBD     ， 由三角形的面积公式可得 1 1 1sin120 sin 60 sin 602 2 2ac a c    ， 化简得 ac a c  ，又 0a  ， 0c  ，所以 1 1 1a c   ， 则 1 1 4 44 (4 )( ) 5 5 2 9c a c aa c a c a c a c a c          ≥ ， 当且仅当 2c a 时取等号，故 4a c 的最小值为 9． 4. ABC 中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC． （1）求 A； （2）若 BC＝3，求 ABC 周长的最大值. 【解析】（1）由正弦定理可得： 2 2 2BC AC AB AC AB    ， 2 2 2 1cos 2 2 AC AB BCA AC AB      ，  0,A  ， 2 3A   . （2）由余弦定理得： 2 2 2 2 22 cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB         ， 即  2 9AC AB AC AB    . 2 2 AC ABAC AB       （ 当 且 仅 当 AC AB 时 取 等 号 ） ，       2 2 2 239 2 4 AC ABAC AB AC AB AC AB AC AB             ， 解得： 2 3AC AB  （当且仅当 AC AB 时取等号）， ABC 周长 3 2 3L AC AB BC     ， ABC 周长的最大值为3 2 3 . 【点睛】求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值. 题型二：与三角形的角相关 1.在锐角 △ ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2 sin 3b A a ． （1）求角 B； （2）求 cosA＋cosB＋cosC 的取值范围． 【解析】（1）由 2 sin 3b A a 结合正弦定理可得： 32sin sin 3sin , sin 2B A A B   ， △ ABC 为锐角三角形，故 3B  . 第 3 页 共 130 页 （2）结合(1)的结论有： 1 2cos cos cos cos cos2 3A B C A A         1 3 1cos cos sin2 2 2A A A    3 1 1sin cos2 2 2A A   1sin 6 2A       . 由 20 3 2 0 2 A A          可得： 6 2A   ， 2 3 6 3A     ， 则 3sin ,13 2A            ， 1 3 1 3sin ,2 23 2A             . 即 cos cos cosA B C  的取值范围是 3 1 3,2 2     . 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常 见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函 数思想求最值. 2．在 △ ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 tan tan2(tan tan ) .cos cos A BA B B A    （1）证明： 2a b c  ； （2）求 cosC 的最小值． 【解析】(1)由 tan tan2(tan tan ) cos cos A BA B B A    得 sin sin sin2 cos cos cos cos cos cos C A B A B A B A B    ， 所以 CBC sinsinsin 2 ，由正弦定理，得 cba 2=+ ． （2）由 ab cabba ab cbaC 2 2 2 22222  )(cos 2 2 2 3 3 3 11 1 12 2 22( )2 c c a bab      … ． 所以 Ccos 的最小值为 1 2 ． 题型三：与三角形的面积相关 1． ABC 在内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，已知 cos sina b C c B  ． （1）求 B ；（2）若 2b  ，求 △ ABC 面积的最大值． 【解析】（1）因为 cos sina b C c B  ，所以由正弦定理得： sin sin cos sin sinA B C C B  ， 所以sin( ) sin cos sin sinB C B C C B   ， 即 cos sin sin sinB C C B ，因为sinC  0，所以 tan 1B  ，解得 B= 4  ； 第 4 页 共 130 页 （2）由余弦定理得： 2 2 2 2 cos 4b a c ac    ，即 2 24 2a c ac   ，由不等式得： 2 2 2a c ac  ，当且仅当 a c 时 ， 取 等 号 ， 所 以 4 (2 2)ac  ， 解 得 4 2 2ac   ， 所 以 △ ABC 的 面 积 为 1 sin2 4ac  2 (4 2 2)4    = 2 1 ，所以 △ ABC 面积的最大值为 2 1 ． 2．已知 , ,a b c 分别为 ABC 的三个内角 , ,A B C 的对边， a=2，且 (2 )(sin sin ) ( )sinb A B c b C    ，则 ABC 面 积的最大值为 ． 【解析】由 2a  且 (2 )(sin sin ) ( )sinb A B c b C    ， 即 ( )(sin sin ) ( )sina b A B c b C    ，由及正弦定理得： ( )( ) ( )a b a b c b c    ∴ 2 2 2b c a bc   ，故 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc    ，∴ 060A  ，∴ 2 2 4b c bc   2 24 b c bc bc    ，∴ 1 sin 32ABCS bc A   ． 3． △ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 sin sin2 A Ca b A  ． （1）求 B； （2）若 △ ABC 为锐角三角形，且 c=1，求 △ ABC 面积的取值范围． 【解析】（1）由题设及正弦定理得 sin sin sin sin2 A CA B A  ． 因为sin 0A  ，所以 sin sin2 A C B  ． 由 180A B C    ，可得sin cos2 2 A C B  ，故 cos 2sin cos2 2 2 B B B ． 因为 cos 02 B  ，故 1sin 2 2 B  ，因此 60B  ． （2）由题设及（1）知 △ ABC的面积 3 4ABCS a△ ． 由正弦定理得  sin 120sin 3 1 sin sin 2tan 2 Cc Aa C C C       ． 由于 ABC△ 为锐角三角形，故 0 90A    ， 0 90C    ， 由（1）知 120A C   ，所以30 90C    ，故 1 22 a  ，从而 3 3 8 2ABCS △ ． 因此， ABC△ 面积的取值范围是 3 3,8 2       ． 4． ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a ， b ， c ．已知 sin sin2 A Ca b A  ． （1）求 B ； 第 5 页 共 130 页 （2）若 ABC 为锐角三角形，且 1c  ，求 ABC 面积的取值范围． 【解析】（1） sin sin2 A Ca b A  ，即为 sin cos sin2 2 B Ba a b A    ， 可得 sin cos sin sin 2sin cos sin2 2 2 B B BA B A A  ， sin 0A  ， cos 2sin cos2 2 2 B B B  ， 若 cos 02 B  ，可得 (2 1)B k   ， k Z 不成立， 1sin 2 2 B  ， 由 0 B   ，可得 3B  ； （2）若 ABC 为锐角三角形，且 1c  ， 由余弦定理可得 2 21 2 1 cos 13b a a a a       ， 由三角形 ABC 为锐角三角形，可得 2 2 1 1a a a    且 2 21 1a a a    ，解得 1 22 a  ， 可得 ABC 面积 1 3 3sin (2 3 4 8S a a   ， 3)2 ．