广东省高州市2021届高三二模数学试题（解析版）

高州市 2021 届高三第二次模拟考试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分 150 分，考试时间 120 分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上 对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题 区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：高考范围． 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1. 设集合 1 01 xA x x      ，  2 ,xB y y x A   ，则 A B  （ ） A.  0,1 B.  1,2 C.  1, D. 1 ,12     【答案】D 2. 已知复数 z 满足：   3i 1 2i iz    （其中i 为虚数单位），复数 z 的虚部为（ ） A. 4 5  i B. 4 i5 C. 4 5  D. 4 5 【答案】C 3. 已知 nS 是数列 na 的前 n 项和，则“ 2 nS n n  ”是“数列 na 是公差为 2 的等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 4. 53y x x y      的展开式中 1 xy 的系数为（ ） A. 15 B. -15 C. 10 D. -10 【答案】D 5. 蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、 内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006 年 5 月 20 日，蹴 鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列人第一批国家非物质文化遗产名录．已知某蹴鞠的表面上有四个 点 S、A、B、C，满足 S ABC 为正三棱锥，M 是 SC 的中点，且 AM SB ，侧棱 2SA  ，则该蹴鞠的 表面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 36 【答案】C 6. 函数   2 1 e 1xx xf   的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 7. 已知点 P 是双曲线 2 2 : 14 5 x yC - = 右支上一点， 1F 、 2F 为双曲线C 的左、右焦点，若 1 2PF F△ 的周长为 16，点 O 为坐标原点，则 1 2PO F F   （ ） A. 20 B. -20 C. 40 D. -40 【答案】B 8. 已知 A 、B 、P 是直线l 上三个相异的点，平面内的点O l ，若正实数 x 、y 满足 4 2OP xOA yOB      ， 则 2x y xy  的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多 项符合要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得⒉2 分，有选错的得 0 分． 9. 某电子商务平台每年都会举行“年货节”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从2012年到2020年共9年“年 货节”期间的销售额（单位：亿元）并作出散点图，将销售额 y 看成年份序号 x（2012 年作为第 1 年）的函 数．运用 Excel 软件，分别选择回归直线和三次函数回归曲线进行拟合，效果如下图，则下列说法中正确的 是（ ） A. 销售额 y 与年份序号 x 呈正相关关系 B. 销售额 y 与年份序号 x 线性相关显著 C. 三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果 D. 根据三次函数回归曲线可以预测 2021 年“年货节”期间的销售额约为 8454 亿元 【答案】ABC 10. 已知函数     3sin 0,0f x x         的部分图象如图所示，将  f x 的图象向左平移 6  个 单位长度得到函数  g x 的图象，则下列结论正确的是（ ） A.  g x 为非奇非偶函数 B.  g x 的一个单调递增区间为 ,3 12      C.  g x 为奇函数 D.  g x 在 0, 2      上只有一个极值点 【答案】CD 11. 古希腊时期，人们把宽与长之比为 5 1 5 1 0.6182 2        的矩形称为黄金矩形，把这个比值 5 1 2  称 为黄金分割比例．下图为希腊的一古建筑，其中图中的矩形 ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK 均为黄金矩形，若 M 与 K 间的距离超过 1.5m，C 与 F 间的距离小于 11m，则该古建筑中 A 与 B 间的距离 可能是（ ）（参考数据： 20.618 0.382 ， 30.618 0.236 ， 40.618 0.146 ， 50.618 0.090 ， 60.618 0.056 ， 70.618 0.034 ） A. 26.8m B. 30.1m C. 27m D. 29.2m 【答案】AC 12. 已知函数    1 2 log 1 , 0, ( 1), 0, x x f x f x x        若函数    g x f x x a   有且只有两个不同的零点，则实数 a 的取值可以是（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 1765 年欧拉在其著作《三角形的几何学》首次提出：三角形的重心、垂心、外心在同一条直线上，我们 把这条直线称为该三角形的欧拉线，若 ABC 的顶点都在圆 2 2 4x y  上，边 AB 所在直线方程为 2 1x y  ，且 AC BC ，则 ABC 的欧拉线方程为________________． 【答案】 2 0x y  14. 国庆节期间，某市举行―项娱乐活动，需要从 5 名男大学生志愿者及 3 名女大学生志愿者中选出 6 名分 别参与 A，B，C 三个服务项目，每个项目需要 2 人，其中 A 项目需要男志愿者，B 项目需要 1 名男志愿者 及 1 名女志愿者，则不同的选派方法种数为_________________． 【答案】540 15. 已知 ,2      ，且 2 cos 2 sin 1   ，则 tan  _________________． 【答案】 3 7 7  16. 已知区域 D 表示不在直线 21 2 2 2 3m x my m    ( mR )上的点构成的集合，则区域 D 的面积 为___________，若在区域 D 内任取一点  ,P x y ，则 2 2 x y x y   的取值范围为___________. 【答案】 (1).  (2). 1, 2   四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，△ BCD为等腰三角形，点 A，E 在△ BCD外，且 8DE  ，若 2 3BCD BAE     ， 2 3BC  ． （1）从以下三个条件中任选一个，求 BE 的长度； ① 2 3CDE   ；② 3cos 5DBE  ，③锐角 DBE 的面积为12 3 ． （2）在你所选的（1）条件下，求 BA AE 的最大值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一解答给分． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析. 18. 已知数列 na 中， 1 1a  ， 1 3 n n n aa a   ( *nN ). （1）求 na 的通项公式 na ； （2）数列 nb 满足  3 1 2 n n nn nb a    ，设 nT 为数列 nb 的前 n 项和，求使 nk T 恒成立的最小的整数 k . 【答案】（1） 2 3 1n na   ；（2） 4k  . 19. 如图，在等腰梯形 ABCD 中， //AB CD ， 2 2 4 3AB CD AD   ，将 ADC 沿着 AC 翻折，使得 点 D 到点 P ，且 2 6PB  ． （1）求证：平面 APC  平面 ABC ； （2）求直线 AB 与平面 BCP 所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 13 4 . 20. 为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育“健康知识＋基本运动技能＋ 专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛－校级联赛－选拔性竞赛－国际交流比赛”为一体的竞赛体系，构 建校、县（区）、地（市）、省、国家五级学校体育竞赛制度．某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定 点踢足球”深受同学们喜爱．其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同 的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有 1 人命中，命中者得 1 分，未命 中者得 1 分；两人都命中或都未命中，两人均得 0 分，设甲每次踢球命中的概率为 1 2 ，乙每次踢球命中的 概率为 2 3 ，且各次踢球互不影响． （1）经过 1 轮踢球，记甲的得分为 X ，求 X 的数学期望； （2）若经过 n 轮踢球，用 ip 表示经过第i 轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率． ①求 1p ， 2p ， 3p ； ②规定 0 0p  ，且有 1 1i i ip Ap Bp   ，请根据①中 1p ， 2p ， 3p 的值求出 A 、 B ，并求出数列 np 的 通项公式． 【答案】（1） 1 6  ；（2）① 1 1 6p  ， 2 7 36p  ， 3 43 216p  ；② 6 1 7 7A B ， ， 1 115 6n nP      . 21. 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的离心率为 cos30，直线 5x y  与椭圆 相切． （1）求椭圆的方程； （2）已知 M，N 为椭圆 C 的上、下端点，点 T 的坐标为 ,2t ，且直线 TM、TN 分别与椭圆交于两点 C， D（M，N，C，D 四点互不相同），求点 M 到直线 CD 距离的取值范围． 【答案】（1） 2 24 4x y  ；（2） 10, 2      ． 22. 已知函数   2 1xf axx e   ． （1）当 1 2a  时，证明：  f x 在 R 上为减函数． （2）当 0, 2x     时，   cosf x a x ，求实数 a 的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2） 12 2 1 4, e e           ．