2021 年高考数学四模试卷（文科）
一、选择题（共 12 小题）.
1．设集合 A＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，B＝{x|1＜x＜5}，则 A∩B＝（ ）
A．{x|﹣4＜x＜5} B．{x|﹣1≤x≤4} C．{x|1＜x≤4} D．{x|﹣1≤x＜5}
2．若
α
，
β
表示两个不同的平面，m 为平面
α
内一条直线，则（ ）
A．“m∥
β
”是“
α
∥
β
”的充分不必要条件
B．“m∥
β
”是“
α
∥
β
”的必要不充分条件
C．“m⊥
β
”是“
α
⊥
β
”的必要不充分条件
D．“m⊥
β
”是“
α
⊥
β
”的充要条件
3．在平面直角坐标系中，不等式组 ，所表示的平面区域的面积是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
4．函数 f（x）＝ 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．执行如图所示的程序框图，若输入的 N＝10，则输出的 X＝（ ）
A． B． C． D．
6．已知 3x＝2y＝t，且 ，则 t＝（ ）
A． B． C．36 D．6
7．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S5＝15，且 a1，a2，a3+1 成等比数列，则（ ）
A．a1＝0，S10＝45 B．a1＝0，S10＝90
C．a1＝1，S10＝100 D．a1＝1，S10＝55
8．已知函数 f（x）＝Asin（
ω
x+
φ
）（A＞0，
ω
＞0，|
φ
|＜ ）的部分图象如图所示．现将
函数 f（x）图象上的所有点向右平移 个单位长度后，横坐标再缩短到原来的 倍得到
函数 g（x）的图象，则函数 g（x）的解析式为（ ）
A．g（x）＝2sin（ x﹣ ） B．g（x）＝2sin（4x+ ）
C．g（x）＝2sin（ x+ ） D．g（x）＝2sin（4x﹣ ）
9．已知过点（0，2）的直线 l 与圆心为 C 的圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝10 相交于 A，B 两点，
当△ABC 面积最大时，直线 l 的方程为（ ）
A．2x﹣y+2＝0 B．2x﹣y+2＝0 或 2x+y﹣2＝0
C．x＝0 D．x＝0 或 2x+y﹣2＝0
10．如图，已知等边△ABC 与等边△ABD 所在平面成锐二面角的大小为 ，E，F 分别为
AB，AD 中点，则异面直线 EF 与 CD 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知以 F 为焦点的抛物线 y2＝4x 上的两点 A，B 满足 ＝3 ，则点 A 的横坐标为
（ ）
A．1 B． C．2 D．3
12．已知函数 f（x）＝ ，如果关于 x 的方程[f（x）]2+t•f（x）+1＝0（t
∈
R）
有四个不等的实数根，则 t 的取值范围（ ）
A．（﹣∞，﹣e﹣ ） B．（﹣e﹣ ，﹣2） C．（2，e+ ）
D．（e+ ，+∞）
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13．复数 z 满足|z+i|＝1，且 z+ ＝2，则 z＝ ．
14．已知△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且 b＝3，a﹣c＝2，A＝ ．则
△ABC 的面积为 ．
15．已知| |＝1，| |＝3，且| ﹣ |＝2，则| +2 |＝ ．
16．将正奇数按如图所示的规律排列：
则 2021 在第 行，从左向右第 个数．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn＝2n﹣1．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设 bn＝nan，求数列{bn}的前 n 项和 Tn．
18．某校食堂按月订购一种螺蛳粉，每天进货量相同，进货成本每碗 6 元，售价每碗 10 元，
未售出的螺蛳粉降价处理，以每碗 5 元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每
天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于 25，需求量为 200 碗；
如果最高气温位于区间[20，25），需求量为 300 碗；如果最高气温低于 20，需求量为
500 碗．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面
的频数分布表：
最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）
天数 4 7 25 36 16 2
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种螺蛳粉一天的需求量不超过 300 碗的概率；
（2）设六月份一天销售这种螺蛳粉的利润为 Y（单位：元），当六月份这种螺蛳粉一天
的进货量为 450 碗时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 的平均值（即加权平均数）．
19．如图，四边形 ABCD 是平行四边形，平面 AED⊥平面 ABGCD，EF∥AB，AB＝2，DE
＝3，BC＝EF＝1，AE＝ ，∠BAD＝60°，G 为 BC 的中点．
（1）求证：平面 BED⊥平面 AED；
（2）求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值．
20．已知函数 f（x）＝（x2﹣1）ex，其中 a
∈
R．
（1）求函数 f（x）在 x＝0 处的切线方程；
（2）
∀
x≥0，f（x）≥ax﹣1，求实数 a 的取值范围．
21．已知椭圆 E： + ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2，椭圆上的点到焦点
F1 的距离的最小值为 ﹣1，以椭圆 E 的短轴为直径的圆过点（2，0）．
（1）求椭圆 E 的标准方程；
（2）若过 F2 的直线交椭圆 E 于 A、B 两点，过 F1 的直线交椭圆 E 于 C，D 两点，且 AB
⊥CD，求四边形 ACBD 面积的取值范围．
请考生在 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分
22．已知曲线 C 的参数方程为 （t 为参数）．
（1）求曲线 C 的普通方程；
（2）过点 P（0，1）的直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求|PA|•|PB|的取值范围．
23．设函数 f（x）＝|2x+1|+|2x﹣1|．
（1）求不等式 f（x）≥6 的解集；
（2）若 f（x）的最小值是 m，a＞0，b＞0，且 a+b＝m，求 的最小值．
参考答案
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.）
1．设集合 A＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，B＝{x|1＜x＜5}，则 A∩B＝（ ）
A．{x|﹣4＜x＜5} B．{x|﹣1≤x≤4} C．{x|1＜x≤4} D．{x|﹣1≤x＜5}
解：∵A＝{x|﹣1≤x≤4}，B＝{x|1＜x＜5}，
∴A∩B＝{x|1＜x≤4}．
故选：C．
2．若
α
，
β
表示两个不同的平面，m 为平面
α
内一条直线，则（ ）
A．“m∥
β
”是“
α
∥
β
”的充分不必要条件
B．“m∥
β
”是“
α
∥
β
”的必要不充分条件
C．“m⊥
β
”是“
α
⊥
β
”的必要不充分条件
D．“m⊥
β
”是“
α
⊥
β
”的充要条件
解：因为 m 为平面
α
内一条直线，m∥
β
，所以
α
∥
β
或
α
与
β
相交，
故“m∥
β
”不能推出“
α
∥
β
”，
而
α
∥
β
，则两平面没有公共点，而 m 为平面
α
内一条直线，所以 m∥
β
，
所以“
α
∥
β
”可以推出“m∥
β
”，
所以“m∥
β
”是“
α
∥
β
”的必要不充分条件，故 A 不正确，B 正确；
根据面面垂直的判定可知，m 为平面
α
内一条直线，“m⊥
β
”可以推出“
α
⊥
β
”，
但“
α
⊥
β
”不能推出“m⊥
β
”，所以“m⊥
β
”是“
α
⊥
β
”的充分不必要条件，故 C、D
不正确．
故选：B．
3．在平面直角坐标系中，不等式组 ，所表示的平面区域的面积是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
解：由约束条件作出可行域如图中阴影部分，
由图可知，A（1，0），C（0，1），
联立 ，解得 A（1，2），
∴平面区域的面积 S＝ ．
故选：C．
4．函数 f（x）＝ 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
解：∵f（﹣x）＝ ＝﹣f（x），∴函数 f（x）为奇函数，排除选项 B 和 C，
当 x→+∞时，ex 比 x 增长的快，∴f（x）→0，排除选项 D，
故选：A．
5．执行如图所示的程序框图，若输入的 N＝10，则输出的 X＝（ ）
A． B． C． D．
解：模拟程序的运行，可得
X＝ ，n＝2
X＝ ，n＝3
X＝ ，n＝4
…
X＝ ，n＝11＞N，
故输出的 X＝ ．
故选：B．
6．已知 3x＝2y＝t，且 ，则 t＝（ ）
A． B． C．36 D．6
解：∵3x＝2y＝t，∴x＝log3t，y＝log2t，
又 ，
∴ ＝2，则 t＝ ．
故选：B．
7．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S5＝15，且 a1，a2，a3+1 成等比数列，则（ ）
A．a1＝0，S10＝45 B．a1＝0，S10＝90
C．a1＝1，S10＝100 D．a1＝1，S10＝55
解：设等差数列{an}的公差为 d，
由 S5＝15，且 a1，a2，a3+1 成等比数列，
得 ，即 ，
解得： 或 ．
结合选项可知，a1＝1，则 d＝1，
∴ ．
故选：D．
8．已知函数 f（x）＝Asin（
ω
x+
φ
）（A＞0，
ω
＞0，|
φ
|＜ ）的部分图象如图所示．现将
函数 f（x）图象上的所有点向右平移 个单位长度后，横坐标再缩短到原来的 倍得到
函数 g（x）的图象，则函数 g（x）的解析式为（ ）
A．g（x）＝2sin（ x﹣ ） B．g（x）＝2sin（4x+ ）
C．g（x）＝2sin（ x+ ） D．g（x）＝2sin（4x﹣ ）
解：由函数 f（x）＝Asin（
ω
x+
φ
）的部分图象知，A＝2，
＝ ﹣ ＝ ，解得 T＝
π
，所以
ω
＝ ＝2，
又 f（ ）＝2sin（ +
φ
）＝﹣2，即 sin（ +
φ
）＝﹣1，解得 +
φ
＝ +2k
π
，
k
∈
Z，
所以
φ
＝ +2k
π
，k
∈
Z，
又|
φ
|＜ ，解得
φ
＝ ，
所以 f（x）＝2sin（2x+ ），
将函数 f（x）图象上的所有点向右平移 个单位长度，得 y＝f（x﹣ ）＝2sin（2x﹣ ），
横坐标再缩短到原来的 倍，得 y＝2sin（4x﹣ ）的图象，
则函数 g（x）＝2sin（4x﹣ ）．
故选：D．
9．已知过点（0，2）的直线 l 与圆心为 C 的圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝10 相交于 A，B 两点，
当△ABC 面积最大时，直线 l 的方程为（ ）
A．2x﹣y+2＝0 B．2x﹣y+2＝0 或 2x+y﹣2＝0
C．x＝0 D．x＝0 或 2x+y﹣2＝0
解：当△ABC 的面积最大时，CA⊥CB，
∵圆 C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝10 的半径为 ，
∴圆心 C 到 AB 的距离 d＝ ，
当直线斜率不存在时，不合题意；
故直线斜率存在，设直线方程为 y＝kx+2，即 kx﹣y+2＝0．
C（2，1）到直线 kx﹣y+2＝0 的距离 d＝ ，
解得 k＝2．
∴当△ABC 的面积最大时直线 l 的方程为 y＝2x+2，
即 2x﹣y+2＝0，
故选：A．
10．如图，已知等边△ABC 与等边△ABD 所在平面成锐二面角的大小为 ，E，F 分别为
AB，AD 中点，则异面直线 EF 与 CD 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
解：如图，连接 CE，DE，
因为△ABC 与△ABD 都是等边三角形，E 为 AB 中点，
所以 CE⊥AB，DE⊥AB，
所以∠CED 即为平面 ABC 与平面 ABD 所成二面角的平面角，
所以∠CED＝ ，因为 CE＝DE，
所以△CED 为等边三角形，
设 BC＝2，则 CE＝DE＝CD＝ ，
因为 E，F 分别为 AB，AD 中点，所以 EF∥BD，
所以异面直线 EF 与 CD 所成角为∠BDC 或其补角，
在△BCD 中，由余弦定理可得 cos∠BDC＝ ＝ ＝ ．
即异面直线 EF 与 CD 所成角的余弦值为 ．
故选：C．
11．已知以 F 为焦点的抛物线 y2＝4x 上的两点 A，B 满足 ＝3 ，则点 A 的横坐标为
（ ）
A．1 B． C．2 D．3
解：设直线 AB 的斜率为 k，则直线 AB 的方程为：y＝k（x﹣1），
联立方程组 ，消元得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，
设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1x2＝1．
∵ ＝3 ，F（1，0），
∴1﹣x1＝3（x2﹣1），
解方程组 ，可得 x1＝3，x2＝ ，
故选：D．
12．已知函数 f（x）＝ ，如果关于 x 的方程[f（x）]2+t•f（x）+1＝0（t
∈
R）
有四个不等的实数根，则 t 的取值范围（ ）
A．（﹣∞，﹣e﹣ ） B．（﹣e﹣ ，﹣2） C．（2，e+ ）
D．（e+ ，+∞）
解：函数 f（x）＝ ，
当 x≥0 时，f（x）＝xex，则 f'（x）＝ex（x+1）＞0，
故 f（x）在[0，+∞）上单调递增，
当 x＜0 时，f（x）＝﹣xex，所以 f'（x）＝﹣ex（x+1），
所以 f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，0）上单调递减，且 f（﹣1）＝ ，
作出函数 f（x）的图象如图所示，
令 f（x）＝m，由图象可知，
当 m＝ 时，f（x）与 y＝m 有两个交点，
当 m＞ 或 m＝0 时，f（x）与 y＝m 有 1 个交点，
当 0＜m＜ 时，f（x）与 y＝m 有 3 个交点，
当 m＜0 时，f（x）与 y＝m 没有交点，
因为[f（x）]2+t•f（x）+1＝0（t
∈
R）有四个不等的实数根，
则方程 m2+tm+1＝0 有两个不同的实数根，m1＜m2，
因为 m1m2＝1，m1+m2＝﹣t，所以 m1≠0，
所以 ，且 m2＝ ，
所以 m1+m2＝m1+ ，m1 ，
设 g（x）＝ ， ，则 ，
所以 g（x）在 上单调递减，
则 g（x）＞ ，
故 ，
所以 ．
故选：A．
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13．复数 z 满足|z+i|＝1，且 z+ ＝2，则 z＝ 1﹣i ．
解：设复数 z＝a+bi， ，解得 a＝1，
又 z+i＝a+（b+1）i＝1+（b+1）i，且|z+i|＝1，
所以 ，解得 b＝﹣1，
所以 z＝1﹣i．
故答案为：1﹣i．
14．已知△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且 b＝3，a﹣c＝2，A＝ ．则
△ABC 的面积为 ．
解：由已知得 ，
将前两个式子代入第三个式子后解得：c＝5，a＝7．
故 S△ABC＝ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
15．已知| |＝1，| |＝3，且| ﹣ |＝2，则| +2 |＝ 7 ．
解：根据题意，| |＝1，| |＝3，且| ﹣ |＝2，
则有| ﹣ |2＝ 2+ 2﹣2 • ＝10﹣2 • ＝4，变形可得 • ＝3，
则| +2 |2＝ 2+4 2+4 • ＝49，
故| +2 |＝7，
故答案为：7．
16．将正奇数按如图所示的规律排列：
则 2021 在第 32 行，从左向右第 50 个数．
解：由题意知，第一行有 1 个奇数，第二行有 3 个奇数，…第 n 行有 2n﹣1 个奇数，
则前 n 行共有正奇数 1+3+5+…+2n﹣1＝n2 个，
所以第 n 行的最后一个正奇数为 2n2﹣1，
当 n＝31 时，第 31 行的最后一个正奇数为 1921
当 n＝32 时，第 32 行的最后一个正奇数为 2047，
所以 2021 在第 32 行，
前 31 行共有 312＝961 个正奇数，2021 是第 1011 个正奇数，
1011﹣961＝50，
所以 2021 在第 32 行，从左向右第 50 个数．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn＝2n﹣1．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设 bn＝nan，求数列{bn}的前 n 项和 Tn．
解：（Ⅰ）∵Sn＝2n﹣1，
∴当 n＝1 时，有 S1＝2﹣1＝1＝a1，
当 n≥2 时，有 an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣2n﹣1＝2n﹣1，
综上，an＝2n﹣1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：bn＝n×2n﹣1，
∴Tn＝1+2×21+3×22+…+n×2n﹣1，
又 2Tn＝1×21+2×22+…+（n﹣1）•2n﹣1+n×2n，
两式相减得：﹣Tn＝1+2+22+…+2n﹣1﹣n×2n＝ ﹣n×2n，
整理得：Tn＝（n﹣1）•2n+1．
18．某校食堂按月订购一种螺蛳粉，每天进货量相同，进货成本每碗 6 元，售价每碗 10 元，
未售出的螺蛳粉降价处理，以每碗 5 元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每
天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于 25，需求量为 200 碗；
如果最高气温位于区间[20，25），需求量为 300 碗；如果最高气温低于 20，需求量为
500 碗．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面
的频数分布表：
最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）
天数 4 7 25 36 16 2
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种螺蛳粉一天的需求量不超过 300 碗的概率；
（2）设六月份一天销售这种螺蛳粉的利润为 Y（单位：元），当六月份这种螺蛳粉一天
的进货量为 450 碗时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 的平均值（即加权平均数）．
解：（1）设六月份这种螺蛳粉一天的需求量不超过 300 碗为事件 A，
P（A）＝ ；
（2）当一天需求量为 200 碗时，Y＝﹣450×6+200×10+（450﹣200）×5＝550 元，
当一天需求量为 300 碗时，Y＝﹣450×6+300×10+（450﹣300）×5＝1050 元，
当一天需求量为 500 碗时，Y＝﹣450×6+450×10＝1800 元，
所以 Y 的所有可能值为 550，1050，1800；
P（Y＝550）＝ ，P（Y＝1050）＝ ，P（Y＝1800）＝ ，
所以 E（Y）＝ ＝841.7 元．
19．如图，四边形 ABCD 是平行四边形，平面 AED⊥平面 ABGCD，EF∥AB，AB＝2，DE
＝3，BC＝EF＝1，AE＝ ，∠BAD＝60°，G 为 BC 的中点．
（1）求证：平面 BED⊥平面 AED；
（2）求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：在△ABD 中，AD＝1，AB＝2，∠BAD＝60°，
由余弦定理可得 ，
所以 AD2+BD2＝AB2，故 BD⊥AD，
又因为平面 AED⊥平面 ABCD，平面 AED∩平面 ABCD＝AD，BD
⊂
平面 ABCD，
所以 BD⊥平面 AED，
又因为 BD
⊂
平面 BED，
所以平面 BED⊥平面 AED；
（2）解：因为 EF∥AB，
所以直线 EF 与平面 BED 所成的角即为直线 AB 与平面 BED 所成的角，
过点 A 作 AH⊥DE 于点 H，连结 BH，如图所示，
又平面 BED∩平面 AED＝ED，
由（1）可知，AH⊥平面 BED，
所以直线 AB 与平面 BED 所成的角为∠ABH，
在△ADE 中，AD＝1，DE＝3， ，
由余弦定理可得， ，
所以 ，
故 ，
在 Rt△AHB 中， ＝ ，
故直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值为 ．
20．已知函数 f（x）＝（x2﹣1）ex，其中 a
∈
R．
（1）求函数 f（x）在 x＝0 处的切线方程；
（2）
∀
x≥0，f（x）≥ax﹣1，求实数 a 的取值范围．
解：（1）由 f（x）＝（x2﹣1）ex，得 f′（x）＝（x2+2x﹣1）ex，
∴f′（0）＝﹣1，又 f（0）＝﹣1，
∴函数 f（x）在 x＝0 处的切线方程为 y+1＝﹣x，即 x+y+1＝0；
（2）x＝0 时，不等式 f（x）≥ax﹣1 为﹣1≥﹣1，对任意实数 a 都成立；
x＞0 时，不等式化为 f（x）﹣ax+1≥0，令 g（x）＝f（x）﹣ax+1，
则 g′（x）＝f′（x）﹣a，由 f′（x）＝（x2+2x﹣1）ex，
令 h（x）＝（x2+2x﹣1）ex，h′（x）＝（x2+4x+1）ex＞0，
∴h（x）即 f′（x）在（0，+∞）上单调递增，f′（x）＞f′（0）＝﹣1，
∴g′（x）＞g′（0）＝﹣1﹣a，
若﹣1﹣a≥0，即 a≤﹣1，则 g′（x）＞0 在（0，+∞）上恒成立，g（x）在（0，+∞）
上单调递增，
g（x）＞g（0）＝0，不等式 f（x）﹣ax+1≥0 成立；
若 a＞﹣1，由上讨论可知，存在 x0＞0，使得 g′（x0）＝0，且当 0＜x＜x0 时，g′（x）
＜0，g（x）单调递减，
当 x＞x0 时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）min＝g（x0），
而 g（0）＝0，因此，0＜x＜x0 时，g（x）＜g（0）＝0，g（x）≥0 不成立．
综上，a≤﹣1．
21．已知椭圆 E： + ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2，椭圆上的点到焦点
F1 的距离的最小值为 ﹣1，以椭圆 E 的短轴为直径的圆过点（2，0）．
（1）求椭圆 E 的标准方程；
（2）若过 F2 的直线交椭圆 E 于 A、B 两点，过 F1 的直线交椭圆 E 于 C，D 两点，且 AB
⊥CD，求四边形 ACBD 面积的取值范围．
解：（1）由题意可知，b＝2，a﹣c＝ ﹣1，
又 a2＝b2+c2，解得 a＝ ，c＝1，
所以椭圆的标准方程为： ；
（2）设四边形 ACBD 的面积为 S，则 S＝ ，
①当 AB⊥x 轴时，|AB|＝ ，|CD|＝2a，所以 S＝ ，
②当 CD⊥x 轴时，|CD|＝ ，|AB|＝2a，所以 S＝ ，
③当 AB 与 CD 都不与 x 轴垂直时，直线 AB 的斜率存在且不为 0，
设 A（x1，y1），B（x2，y2），设直线 AB 的斜率为 k，则直线 CD 的斜率为﹣ ，
则设直线 AB 的方程为：y＝k（x﹣1），联立方程 ，
消去 y 整理可得：（4+5k2）x2﹣10k2x+5k2﹣20＝0，
所以 x ，
所 以 |AB| ＝ ＝
（*），
过 F2 做直线 CD 的平行线和椭圆 E 交于点 C1，D1，由对称性知|C1D1|＝|CD|，
在（*）中的 k 换成﹣ ，得|C1D1|＝ ＝ ，
所以|CD|＝ ，
所以 S＝ |AB||CD|＝ • • ＝ ，
令 t＝1+k2，则 t＞1，
所以 S＝ ＝ ＝ ，
令 u＝ ，则 u
∈
（0，1），所以 S＝ ＝ ，
因为﹣（u﹣ ）2+
∈
（20， ]，所以 S
∈
[ ，8）
所以四边形 ACBD 面积的取值范围[ ，8]．
请考生在 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分
22．已知曲线 C 的参数方程为 （t 为参数）．
（1）求曲线 C 的普通方程；
（2）过点 P（0，1）的直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求|PA|•|PB|的取值范围．
解：（1）曲线 C 的参数方程为 ，消去参数 t，可得 5 分（除不除 x
＝1 均可）
（2）直线 代入曲线 C 得：（1+3cos2
α
）•t2+2sin
α
•t
﹣3＝0
设两根为 t1，t2，
故 .10 分．
23．设函数 f（x）＝|2x+1|+|2x﹣1|．
（1）求不等式 f（x）≥6 的解集；
（2）若 f（x）的最小值是 m，a＞0，b＞0，且 a+b＝m，求 的最小值．
解：（1）f（x）＝|2x+1|+|2x﹣1|＝ ，
因为 f（x）≥6，所以 或 或 ，
解得 x≤﹣ 或 x≥ ，
故不等式 f（x）≥6 的解集为（﹣∞，﹣ ]∪[ ，+∞）．
（2）由（1）可知 f（x）的最小值为 2，即 m＝2，所以 a+b＝2，
则 ＝ （ ）（a+b）＝ （ + +10）≥ ×（6+10）＝8，
当且仅当 ＝ ，即 a＝ ，b＝ 时等号成立，
故 的最小值为 8．
微信/支付宝扫码支付