“·大联考”2021 年高考考前诊断暨预测卷
文科数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴
在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答業标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试
卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要
求的．
1. 已知集合 23 2M x y x x ， 1N y y x ，则 M N （ ）
A. 1,1 B. 0,3 C. 1,3 D. 3,1
【答案】A
2. 已知复数 3 1 3i z i ，i 为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A. z i B. z i C. 2 1z D. z 的虚部为 i
【答案】B
3. 等比数列 na 中， 1 42, 16a a ，则 3 4 5a a a （ ）
A. 28 B. 56 C. 84 D. 102
【答案】B
4. 对于新型冠状病毒肺炎，目前没有特异治疗方法.只能严格落实常态化防控要求，落实隔离防控措施，全
力做好疫情防控工作.已知甲通过核酸检测确诊为呈“阳性”，经过追踪发现甲有乙，丙，丁，戊四位密切接
触者，现把这四个人平均分成二组，分别送到两个医院进行隔离观察，则乙，丙两人被分到同一个医院的
概率为（ ）
A. 1
6 B. 1
4 C. 1
3 D. 1
2
【答案】C
5. 2020 年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行.下图
是该地某小区 2019 年11月至 2020 年11月间，当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图.（图
中月份代码1 13 分别对应 2019 年11月 2020 年11月）
根据散点图选择 y a b x 和 lny c d x 两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个回归方程分别
为 0.9369 0.0285y x 和 0.9554 0.0306lny x ，并得到以下一些统计量的值：
0.9369 0.0285y x 0.9554 0.0306lny x
2R 0.923 0.973
注： x 是样本数据中 x 的平均数， y 是样本数据中 y 的平均数，则下列说法不一定成立的是（ ）
A. 当月在售二手房均价 y 与月份代码 x 呈正相关关系
B. 根据 0.9369 0.0285y x 可以预测 2021年 2 月在售二手房均价约为1.0509万元/平方米
C. 曲线 0.9369 0.0285y x 与 0.9554 0.0306lny x 的图形经过点 ,x y
D. 0.9554 0.0306lny x 回归曲线的拟合效果好于 0.9369 0.0285y x 的拟合效果
【答案】C
6. 点 0,1M 与圆 2 2 2 0x y x 上的动点 P 之间的最近距离为（ ）.
A. 2 B. 2 C. 2 1 D. 2 1
【答案】D
7. 函数 sin 0, 2f x x
的图象如图所示，先将函数 f x 图象上所有点的横坐标变为原来
的 6 倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移 7
2
个单位长度，得到函数 g x 的图象，下列结论正
确的是（ ）
A. 函数 g x 是奇函数 B. 函数 g x 在区间 2 ,0 上是增函数
C. 函数 g x 图象关于 3 ,0 对称 D. 函数 g x 图象关于直线 3x 对称
【答案】D
8. 已知函数
ln 1 , 0,
ln 1 , 0,
x xf x x x
则使得 2 1f x f x 成立的 x 的取值范围是（ ）
A. 1, 1 ,3
B. 11, 3
C. 1 ,13
D. 1, 1,3
【答案】A
9. 如图，四面体各个面都是边长为 1 的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是
上底面圆心，圆柱的侧面积是（ ）
A. 2
3
B. 3 2
4
C. 2 2
3
D. 2
2
【答案】C
10. 已知函数 3 1f x ax x 的图象与 x 轴有三个交点，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. 4
27a B. 4 027 a C. 1 0a D. 4
27a
【答案】B
11. 已知双曲线C ：
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，圆 O ： 2 2 2 2x y a b 与C 在
第一象限的交点为 M ，若 1 2MF F 的面积为 ab ，则双曲线C 的离心率为（ ）
A. 2 B. 3
C. 2 D. 5
【答案】A
12. 已知四面体 P ABC 的外接球的球心 O 在 AB 上，且 PO 平面 ABC， 2 3AC AB ，若四面体
P ABC 的体积为 3
2
，求球的表面积 ( )
A. 8 B. 12 C. 8 3 D. 12 3
【答案】B
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 若变量 x ， y 满足约束条件
2
2 3 9
0
x y
x y
x
，则 2z x y 的最小值是__________.
【答案】 6
14. 设向量 ,2a m ， 1,3b ，若 2b a mb
，则实数 m ______.
【答案】1
15. 已知直线 3y x= + 为曲线 xf x ae 的一条切线，则实数 a 的值为__________.
【答案】 2e
16. 如图，将数列 na 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表，已知表中的第一列 1a 、 2a 、 5a 、
构成一个公比为 2 的等比数列，从第 2 行起，每一行都是一个公差为 d 的等差数列，若 3 5a ， 86 524a ，
则 d ________.
【答案】 3
三、解答題：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17-21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答．第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分
17. 某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问 50 名学生，根据这 50 名学生对个性化作业
的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间 40,50 、 50,60 、…、 80,90 、
90,100 ．
（1）求频率分布直方图中 a 的值；
（2）估计该中学学生对个性化作业评分不低于 70 的概率；
（3）从评分在 40,60 的受访学生中，随机抽取 2 人，求此 2 人评分都在 50,60 的概率．
【答案】（1） 0.006a ；（2） 0.68；（3） 3
10
．
18. 已知 ABC 中， 2 7AB ，点 D在线段 BC 上，
3ADC ， 2BD ．
（1）求 AD 的长；
（2）若 1DC ， ACB ，求sin 2 的值．
【答案】（1） 4AD ；（2） 4 3
13
．
19. 如图，四边形 ABCD 为菱形，四边形 ACFE 为平行四边形，设 BD 与 AC 相交于点 G， 2AB ， 3AE ，
60BAD ， EAD EAB ．
(1)证明：平面 ACFE 平面 ABCD；
(2)若 AE 与平面 ABCD 所成角为 45°，求四棱锥 E ABCD 的体积．
【答案】(1)证明见解析；(2) 2 ．
20. 已知函数 22 2ln 02
af x x x x a ．
（1）讨论 f x 的单调性；
（2）是否存在实数 a，使得 f x 有两个零点？说明理由．
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）存在；答案见解析．
21. 已加圆
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
的短轴长为 2，且离心率为 2 2
3
．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）若过 0,1P 作斜率分别为 1k ， 2k 的两条直线 PA，PB，分别交椭圆于点 A，B，且 1 2 1k k ，证明：
直线 AB 经过定点．
【答案】（1）
2
2 19
x y ；（2）证明见解析．
（二）选考题：共 10 分请考生在第 22，23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题
计分．
【选修 4-4：坐标系与参数方程】
22. 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 过点 2, 2M
与
直线 5
6
R 垂直，曲线 C 的极坐标方程为 tan
4cos
．
（1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的普通方程；
（2）若 1 与曲线 C 交于点 A，B，求 1 1
MA MB
的值．
【答案】（1） 3 2y x ， 24 0y x x ；（2） 35
4
．
【选修 4-5：不等式选讲】
23. 已知函数 2 1 2 3f x x x ．
（1）求不等式 6f x 的解集；
（2）设函数 f x 的最小值为 m，若实数 a，b，c 满足 2 2 22 3a b c m ，求 2 3a b c 的最大值．
【答案】（1） 2 1x x ；（2） 2 6 ．
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