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2020-2021 学年度第二学期
高三数学 高考模拟试卷
（满分 150 分，120 分钟完成，允许使用计算器，答案一律写在答题纸上）
命题：王敏杰 刘亚丽 审核：杨逸峰
一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，只要求直接填写结果，其中 1-6
题每题填对得 4 分，7-12 题每题填对得 5 分，否则一律得零分．
1、方程组 2 5 0
3 8
x y
x y
的增广矩阵为 ．
2、设向量 (2,1)a
， e
是与 a
方向相反的单位向量，则 e
的坐标为_______．
3、用二分法研究方程 3 3 1 0x x 的近似解 0x x ，借助计算器经过若干次运算得下
表：
运算
次数
1 … 4 5 6 …
解的
范围
(0,0.5) … (0.3125,0.375) (0.3125,0.34375) (0.3125,0.328125) …
若精确到 0.1，至少运算 n 次，则 0n x 的值为 ．
4 、 设 展 开 式中 二 项 式 系 数之 和 为 ， 各 项系 数 之 和 为 ， 则
．
5、若变量 x ， y 满足条
0
2 1
4 3
y
x y
x y
，则 2z x y 的最小值是___________
6、已知复数 ， 2| | 1z ， 1 2z z 是正实数，则复数 2z __________
7、已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为 4，
该几何体的体积为 ．直径为 4 的球的体积为 ，则
主视图 侧视图
俯视图
4
（第 7 题图）
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8、 已知函数 ( ) sin(2 )f x A x （ ,A 是常数， 0,| | 2A ），若 ( )f x 在区
间 4[ , ]3 3
上恰好有三个零点，则 的值为________.
9、 袋中装有 7 个大小相同的小球，每个小球上标记一个正整数号码，号码各不相同，
且成等差数列，这 7 个号码的和为 49，现从袋中任取两个小球，则这两个小球上的号
码均小于 7 的概率为_________．
10、设 1( )f x 为 ( ) cos4 8 8
xf x x , [0, ]x 的反函数，则 1( ) ( )y f x f x
的最大值为______.
11. 已知向量 ,a b
满足| | 1a
，| | 2b
，若存在单位向量 e
，使得| | | | 6a e b e
，
则 a b
的最小值为__________.
若改成下面题目（存在改成任意，等号改成不等号）：
已知向量 ,a b
满足| | 1a
，| | 2b
，对任意单位向量 e
，| | | | 6a e b e
恒成立，
求 a b
的取值范围。
12、焦点为 F 的抛物线 2
1 : 4C y x 与圆 2 2 2
2 :( 1) ( 0)C x y R R 交于 , A B 两
点，其中 A 点横坐标为 Ax ，方程
2
2 2 2
4 ,
( 1) ,
A
A
y x x x
x y R x x
的曲线记为 ，C 是圆
2C 与 x 轴的交点，O 是坐标原点.
有下面的四个命题，请选出所有正确的命题：___________
①对于给定的角 (0, ) ，存在 R ，使得圆弧 ACB 所
对的圆心角 AFB ；
F C
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②对于给定的角 (0, )3
，存在 R ，使得圆弧 ACB 所
对的圆心角 AFB ；
③对于任意 R ，该曲线有且仅有一个内接正 OPQ ；
④当 2021R 时，存在面积大于 2021 的内接正 OPQ 。
二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）每题有且只有一个正确选项.考生
应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13、 在 ABC 中，“ cos cosA B ”是“ sin sin "A B 的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
14、为了得到函数 sin 2 3 cos 2y x x 的图像，可以将函数 3 sin 2 cos 2y x x
的图像作这样的平移变换得到（ ）
（A）向左
6
（B）向左
4
（C）向右
2
（D） 向右
3
15、关于 x 的方程 2 0x ax b ，有下列四个命题：
甲： 1x 是方程的根 乙： 3x 是方程的根
丙：方程两根之和等于 2 丁：方程两根异号
如果只有一个假命题，该命题是（ ）
（A）甲 （B）乙 （C）丙 （D）丁
16、 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，
在鳖臑 A BCD 中，AB BCD 平面 ，且 BD CD ，AB BD CD
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点 P 在棱 AC 上运动，设CP 的长度为 x ，若 PBD 的面积为 ( )f x ，则 ( )f x 的
图像大致为（ ）
（A） （B） （C） （D）
三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）解答下列各题必须在答题纸
的相应位置写出必要的步骤.
17、长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，底面 ABCD 是正方形， 1 2AA ， 1AB ，E 是
1DD
上的一点；
（1）求异面直线 AC 与 1B D 所成的角；
（2）若 1B D 平面 ACE ，求三棱锥 A CDE 的体积；
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18、第十届中国花博会于 2021 年 5 月 21 日在崇明举办，其标志建筑——世纪馆以“蝶
恋花”为设计理念，拥有全国跨度最大的自由曲面混凝土壳体，屋顶跨度 280 米，屋
面板只有 250 毫米，相当于一张 2 米长的桌子，其桌面板的厚度不到 2 毫米。
图 1 为馆建成后的世纪馆图； 图 2 是建设中的世纪馆；图 3 是场馆的简化图。
（图 1） 图 2
如 （ 图 3 ） 是 由 两 个 半 圆 及 中 间 的 阴 影 区 域 构 成 的 一 个 轴 对 称 图 形 ，
'/ / '/ / '/ / 'AA PP OO BB ，其中 ' 280AA 米；圆心距 ' 160OO 米；半径 75R 米；
椭圆中心 P 与圆心 O 的距离 40PO 米。 , 'C C 为直线 'PP 与半圆的交点，
60COB 。
（1）设 'A AB ，并计算sin 的值；
（2）计算 COP 的大小（精确到 1°）。
A A’
O O’
B B’
C
D
C’
D’
P’P
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19、 已知函数 2( ) 3 2logf x x ， 2( ) logg x x .
（1）当 [1,4]x 时，求函数 ( ) [ ( ) 1] ( )h x f x g x 的值域；
（2）给定 n N ，如果对任意的 1[2 ,2 ]n nx ，不等式 2( ) ( ) ( )f x f x k g x 恒成
立，求实数 k 的取值范围.
20、已知椭圆
2 2
: 14 3
x yC ，直线l 过右焦点 F 与椭圆交于 ,A B 两点， PQR 的
三个顶点均在椭圆上，且O 为坐标原点。
（1）小明在计算 OAB 的面积的最大值的时候用了如下方法，其中有两处出错，请
指出其中的一处错误之处，并说明原因。
解答：设 (2cos , 3sin )A ， (2cos , 3sin )B ，则
2cos 3sin 1
1 2cos 3sin 1 3 | sin( ) | 32 0 0 1
AOBS
所以 OAB 的面积的最大值为 3 .
（2）请给出题目（1）中问题的正确解答；
（3）小明虽然做错了，但这种方法在计算某些题目时会比常规方法便捷些，如求证
下面问题。
求证：当 PQR 的重心为原点O 时， PQR 的面积是定值。
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21、在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数。最基本的双曲函数是双曲正弦函
数 与 双 曲 余 弦 函 数 。 其 中 双 曲 正 弦 ： sinh( ) 2
x xe ex
， 双 曲 余 弦 函 数 ：
cosh( ) 2
x xe ex
。
（ e 是自然对数的底数）。
（1）解方程： cosh( ) 2x ；
（ 2 ） 写 出 双 曲 正 弦 与 两 角 和 的 正 弦 公 式 类 似 的 展 开 式 ：
sinh( )x y __________________，并证明；
（3）无穷数列{ }na ， 1a a ， 2
1 2 1n na a ，是否存在实数 a ，使得 2021
5
4a ？
若存在求出 a 的值，不存在说明理由。
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2020-2021 学年度第二学期
高三数学 高考模拟试卷
1、【答案】 1 2 5
3 1 8
；
2、
【答案】
2 5 5( , )5 5e
3、【答案】5.3；
4、【答案】 ；
5、【答案】 3
【解析】画出变量 x ， y 满足条
0,
2 1,
4 3,
y
x y
x y
的可行
域，如图，
2z x y 的最小值是 3 ，目标函数过 C(−1,1)取到.
6、【答案】 1 3
2 2 i
7、【答案】 ；
8、【答案】
3
注意到 ( )f x 的周期恰好等于区间长（该区间是含一个完整的周期+一点），于是
3
一
定是零点。
9、 【答案】 1
7
【解析】 4 7a ，于是标号小于 7 的三个球，大于 7 的也是 3 个球。于是概率为
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2
3
2
7
1
7
CP C
。
10、 【答案】 ；
【 解 析 】 函 数 ( )f x 在 [0, ] 上 是 单 调 增 函 数 ， 且 值 域 为 [0, ]2
， 于 是 函 数
1( ) ( )y f x f x 为 单 调 增 函 数 ， 且 定 义 域 为 [0, ]2
， 于 是 函 数 最 大 值 为
1 5( ) ( )2 2 4 4f f 。
11. 【答案】 2
【解析】最小时夹角为 ，此时向量共线，只要满足 a
在其上面的投影长等于
1 66 11 2 3
，这种单位向量存在。
注：若题目改成求取值范围，答案应该是 1 1[ 2, ] [ ,2]2 2
。
解答如下：
当 a e
与b e
同号时（含 0），| | | | 6 | | 6a e b e a e b e
，
即：存在 e
使得：| ( ) | 6a b e
只 需 | | 6a b
即 可 ， 平 方 可 得 1
2a b
， 又
| || | 2a b a b
于是： 1[ ,2]2a b
。
同理，当 a e
与b e
异号时（含 0），| | | | 6 | | 6a e b e a e b e
，
即：存在 e
使得：| ( ) | 6a b e
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只 需 | | 6a b
即 可 ， 平 方 可 得 1
2a b
， 又
| || | 2a b a b
于是： 1[ 2, ]2a b
。
综上： 1 1[ 2, ] [ ,2]2 2a b
。
若改成下面题目（存在改成任意，等号改成不等号）：
已知向量 ,a b
满足| | 1a
，| | 2b
，对任意单位向量 e
，| | | | 6a e b e
恒成立，
求 a b
的取值范围。
【答案】 1 1[ , ]2 2
【 解 析 】 方 法 同 上 ： 当 a e
与 b e
同 号 时 （ 含 0 ） ，
| | | | 6 | | 6a e b e a e b e
，
即：对任意 e
使得：| ( ) | 6a b e
恒成立
只需左边最大值| | 6a b
即可，平方可得 1
2a b
；
同理， 当 a e
与b e
异号时（含 0），得到： 1
2a b
。
对一切单位向量成立，求交集，于是答案是： 1 1[ , ]2 2
。
本题还可用几何意义，当两向量夹角最大时，其在任意向量上的投影长的绝对值的最
大值等于| | 6a b
，此时数量积为 1
2
；夹角最小时，其中一向量改为其相反向
量，由上面知最大为 1
2
。于是取值范围是： 1 1[ , ]2 2
。
第11页
12、
【答案】①②③
【解析】当 R 变化时弧所对圆心角可以取到 (0,2 ) 内的所有值（因为过 F 的任意斜
率不为 0 的直线，均与抛物线有两个交点）；由| | | |OP OQ ，于是 PQ x 轴，直线：
3: 3OP y x ，随着 R 从 1（取不到 1）开始逐渐变大，三角形的面积从 3 3
4
（取
不到）逐渐增大，增大到16 3 （此时 PQ 均在 1C 上）后，不再变化。
二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）每题有且只有一个正确选项.考生
应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13、【答案】C
14、【答案】B
15、【答案】A
【解析】甲乙丙矛盾，于是丁正确，于是甲错误，选 A。
16、【答案】A
【解析】可把鳖臑放长方体中，判断出是二次曲线关系。
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三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）解答下列各题必须在答题纸
的相应位置写出必要的步骤.
17、长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，底面 ABCD 是正方形， 1 2AA ， 1AB ，E 是
1DD
上的一点；
（1）求异面直线 AC 与 1B D 所成的角；
（2）若 1B D 平面 ACE ，求三棱锥 A CDE 的体积；
【解析】（1） AC 平面 1B BD ， AC 1B D ，
异面直线 AC 与 1B D 所成的角为
2
；
（2）由题得， 1A D AE ，∴ : 1:2ED AD ，
∴ 1
2ED ， 1 1 1 1
3 2 2 12V
18、第十届中国花博会于 2021 年 5 月 21 日在崇明举办，其标志建筑——世纪馆以“蝶
恋花”为设计理念，拥有全国跨度最大的自由曲面混凝土壳体，屋顶跨度 280 米，屋
面板只有 250 毫米，相当于一张 2 米长的桌子，其桌面板的厚度不到 2 毫米。
图 1 为馆建成后的世纪馆图； 图 2 是建设中的世纪馆；图 3 是场馆的简化图。
（图 1） 图 2
如 （ 图 3 ） 是 由 两 个 半 圆 及 中 间 的 阴 影 区 域 构 成 的 一 个 轴 对 称 图 形 ，
'/ / '/ / '/ / 'AA PP OO BB ，其中 ' 280AA 米；圆心距 ' 160OO 米；半径 75R 米；
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椭圆中心 P 与圆心 O 的距离 40PO 米。 , 'C C 为直线 'PP 与半圆的交点，
60COB 。
（1）设 'A AB ，并计算sin 的值；
（2）计算 COP 的大小（精确到 1°）。
【解析】（1）由 'OO 为梯形 ' 'ABB A 的中位线，于是，于是
280 160
42cos 75 5
，
所以 3sin 5
。
（2）由直线平行于是 ' ' 60O OB PCO COO 。
于是在 CPO 中，利用正弦定理
sin sin(60 )
OC OP
P ，计算出 132.56P ，于
是 24COP 。
19、 已知函数 2( ) 3 2logf x x ， 2( ) logg x x .
（1）当 [1,4]x 时，求函数 ( ) [ ( ) 1] ( )h x f x g x 的值域；
（2）给定 n N ，如果对任意的 1[2 ,2 ]n nx ，不等式 2( ) ( ) ( )f x f x k g x 恒成
立，求实数 k 的取值范围.
【解析】（1） 2
2 2 2( ) (4 2log ) log 2(log 1) 2h x x x x ，
∵ 1,4x ，∴ 2log 0,2x ，∴函数 ( )h x 的值域为 0,2 .
A A’
O O’
B B’
C
D
C’
D’
P’P
第14页
（2）由 2( ) ( ) ( )f x f x k g x 得 2 2 2(3 4log )(3 log ) logx x k x ，
令 2logt x ，∵ 12 ,2n nx ，∴ 2log , 1t x n n ，
∴ (3 4 )(3 )t t k t 对一切的 , 1t n n 恒成立，
①当 0n 时，若 0t 时， k R ；
当 0,1t 时， (3 4 )(3 )t tk t
恒成立，即 94 15k t t
，
函数 94 15t t
在 0,1t 单调递减，于是 1t 时取最小值 2 ，此时 2x ，
于是 , 2k ；
②当 1n 时，此时 [1,2]t 时， (3 4 )(3 )t tk t
恒成立，即 94 15k t t
，
∵ 94 12t t
，当且仅当 94t t
，即 3
2t 时取等号，∴ 94 15t t
的最小值为 3 ，
, 3k ；
③当 2n 时，此时 [ , 1]t n n 时， (3 4 )(3 )t tk t
恒成立，即 94 15k t t
，
函数 94 15t t
在 [ , 1]t n n 单调递增，于是t n 时取最小值 94 15n n
，此时
2nx ，
于是 9,4 15k n n
.
20、已知椭圆
2 2
: 14 3
x yC ，直线l 过右焦点 F 与椭圆交于 ,A B 两点， PQR 的
三个顶点均在椭圆上，且O 为坐标原点。
（1）小明在计算 OAB 的面积的最大值的时候用了如下方法，其中有两处出错，请
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指出其中的一处错误之处，并说明原因。
解答：设 (2cos , 3sin )A ， (2cos , 3sin )B ，则
2cos 3sin 1
1 2cos 3sin 1 3 | sin( ) | 32 0 0 1
AOBS
所以 OAB 的面积的最大值为 3 .
（2）请给出题目（1）中问题的正确解答；
（3）小明虽然做错了，但这种方法在计算某些题目时会比常规方法便捷些，如求证
下面问题。
求证：当 PQR 的重心为原点O 时， PQR 的面积是定值。
【解析】（1）错误有两处，首先是行列式化简错误，化简结果应该是 3 | sin( ) | 。
其次是没有验证| sin( ) | 1 等号是否能取到，因为条件中
陠䘆陠䗮
三点共线还没有
考虑.
若仍用行列式参数法计算，当
陠䘆陠䗮
三点共线时
2cos 3sin 1
2cos 3sin 1 0
1 0 1
化 简 得 sin sin 2sin( ) 0 ， 按 小 明 方 法 计 算 当 面 积 最 大 时 ，
| sin( ) | 1 ，显然两式无法同时成立.
（2）构成三角形，于是直线 AB 斜率不为 0，且右焦点 (1,0)F 。设 : 1l x my
将之代入椭圆中： 2 2(3 4) 6 9 0m y m
1 2 2
6
3 4
my y m
， 1 2 2
9
3 4y y m
第16页
于是 2
1 2 2 2
1 1 6 9| || | ( ) 4 ( )2 2 3 4 3 4OAB
mS OF y y m m
2 2 2
2 2
3 3 4 6 1
3 4 3 4
m m m
m m
设 2 1 1t m ，于是 2
6 6
13 1 3
OAB
tS t t t
函数 13 , [1, )y t tt
上单调递增，于是当 1t 分母最小，函数值最大。于是当
: 1l x 时，面积最大为 3
2
。
（3）设 (2cos , 3cos )P ， (2cos , 3sin )Q ， (2cos , 3cos )R ，
由 重 心 为 原 点 ， 于 是
2cos 2cos 2cos 0, 3sin 3sin 3sin 0
即： cos cos cos ,sin sin sin
平方相加得出 1cos( ) 2
。
因为 O 是重心，于是
3PQR OPQS S
2cos 3sin 1
3 3 92cos 3sin 1 3 3 | sin( ) | 3 32 2 20 0 1
为
定值。
（分析：先化简行列式，发现只需求 sin( ) ，于是考虑把两式平方相加，求出余
弦再求正弦，写答案则从前往后写。）
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21、在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数。最基本的双曲函数是双曲正弦函
数 与 双 曲 余 弦 函 数 。 其 中 双 曲 正 弦 ： sinh( ) 2
x xe ex
， 双 曲 余 弦 函 数 ：
cosh( ) 2
x xe ex
。
（ e 是自然对数的底数）。
（1）解方程： cosh( ) 2x ；
（ 2 ） 写 出 双 曲 正 弦 与 两 角 和 的 正 弦 公 式 类 似 的 展 开 式 ：
sinh( )x y __________________，并证明；
（3）无穷数列{ }na ， 1a a ， 2
1 2 1n na a ，是否存在实数 a ，使得 2021
5
4a ？
若存在求出 a 的值，不存在说明理由。
【解析】（1）即： 24 ( ) 4 1 0x x x xe e e e ，于是解为： ln(2 3)x ；
（2）sinh( ) sinh( )cosh( ) cosh( )sinh( )x y x y x y
左边= sinh( ) 2
x y x ye ex y
右边= sinh( )cosh( ) cosh( )sinh( ) 2 2 2 2
x x y y x x y ye e e e e e e ex y x y
4 4
x y x y y x x y x y y x x y x ye e e e e e e e
2
x y x ye e
左边等于右边，于是sinh( ) sinh( )cosh( ) cosh( )sinh( )x y x y x y 成立。
（3）当 1 [ 1,1]a a 时，存在 [0, ] ，使得 cos a ，可用数学归纳法证明
1cos(2 )n
na
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证明如下：i）当 1n 时， 1 1
1 cos(2 )a a 成立
ii）假设 n k 时， 1cos(2 )k
ka
于是 2 2 1 1
1 2 1 2cos (2 ) 1 cos(2 2 ) cos(2 )k k k
k ka a
成立。
综上： 1cos(2 )n
na 。
于是若 1 [ 1,1]a a ，则 [ 1,1]na ， 2021 2021a 。
当 1 ( , 1) (1, )a a 时，由 1| | 1a
函数 cosh( ) 2
x xe ex
的值域为[1, ) ，于是对于任意大于 1 的实数 1| |a ，存在不
为 0 的实数 m ，使得 1cosh( ) | |m a 。
类比余弦 2 倍角公式，猜测 2cosh(2 ) 2cosh ( ) 1x x 。
证明如下：
2 2 2 2 2
2 22cosh ( ) 1 2 1 1 cosh(2 )2 2 2
x x x x x xe e e e e ex x
。
类 比 前 面 1 [ 1,1]a 时 的 做 法 ， 由 1| | cosh( )a m ， 于 是
2
2 2cosh ( ) 1 cosh(2 )a m m ，
2
3 cosh(2 )a m ，……， 1cosh(2 )n
na m ，…………，
于是 2020
2021
5cosh(2 ) 4a m 。
设 20202t m ，解方程： 5 1cosh( ) 22 4 2
t t
te et e
或 。
解得： ln 2t ， 2020
ln2
2m ，
于是
1 1
2020 2020
1
1| | cosh( ) (2 2 )2 2
m me ea m
。
综上：存在实数
1 1
2020 20201 (2 2 )2a
使得 2021
5
4a 成立。
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