专题九 解三角形及其应用
一、单选题
1．（2021·四川高三三模（文））设 ABC 的内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ．若 3a b ， 3sin 5A ，
则sin B 的值为（ ）
A． 1
5 B． 1
15 C． 1
3 D． 5
9
【答案】A
【分析】
直接运用正弦定理进行求解即可.
【详解】
由正弦定理可知：
3 1sin3sin sin sin 5
5
a b b b BA B B
，
故选：A
2．（2021·北京高三二模）在 ABC 中， 6, ,sin 2sin3BC A B C .则 ABC 的面积为（ ）
A． 6 3 B．6 C．9 3 D． 4 2
【答案】A
【分析】
由余弦定理可得 2 236 c b bc ，由正弦定理可得 2b c ，解得b 和 c 的值，再由 1 sin2S bc A 即可得
解．
【详解】
2 2 2 2 cosa b c bc A ，
2 236 c b bc ，
sin 2sinB C ，
2b c .
解得： 2 3, 4 3c b ，
ABC 的面积为 1 1 3sin 2 3 4 3 6 32 2 2S bc A .
故选：A.
3．（2021·吉林长春市·东高三其他模拟（理））已知 ABC 的面积是 2 21
4S b c （其中 b，
c 为 ABC 的边长），则 ABC 的形状为（ ）
A．等边三角形 B．是直角三角形但不是等腰三角形
C．是等腰三角形但不是直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】
利用三角形的面积公式化简已知条件，结合基本不等式判断出三角形的形状.
【详解】
依题意 ABC 的面积是 2 21
4S b c ，则 2 21 1sin2 4bc A b c ，
2 22 sinbc A b c ，由于 0 ,0 sin 1A A ，所以 0 2 sin 2bc A bc ，
由基本不等式可知 2 2 2b c bc ，当且仅当b c 时等号成立，
所以sin 1A ，
2A ，三角形 ABC 是等腰直角三角形.
故选：D
4．（2021·甘肃高三二模（理））在 ABC 中，内角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ， c ，若
sin :sin :sin 5:7:9A B C ，则 cosC = （ ）
A． 3
35
B． 1
14
C． 1
5
D． 1
10
【答案】D
【分析】
根据条件 sin :sin :sin 5:7:9A B C ，由正弦定理得 : : 5:7:9a b c ，可令 5 , 7 , 9 ( 0)a t b t c t t ，
再利用余弦定理求解.
【详解】
由正弦定理： 2sin sin sin
a b c RA B C
得 2 sin , 2 sin , 2 sina R A b R B c R C
又因为sin :sin :sin 5:7:9A B C ，所以 : : 5:7:9a b c
令 5 , 7 , 9 ( 0)a t b t c t t
所以 2 2 2 2 2 225 49 81 1cos 2 2 5 7 10
a b c t t tC ab t t
故选：D.
5．（2021·江西高三二模（理））如图是公元前约 400 年古希腊数学家泰特托斯用来构造无理数 2, 3, 5 ，…
的图形之一，此图形中 BAD 的余弦值是（ ）
A． 4 3
6
B． 4 3
6
C． 2 3 6
6
D． 2 3 6
6
【答案】C
【分析】
在 BCD 中，利用余弦定理求出 2BD ,再在 BAD 中，利用余弦定理求出 BAD 的余弦值.
【详解】
在△ABC 中， 45ACB ,
在 BCD 中， 2 290 45 135 , 1 1 2 2 221 1DCB BD ，
在 BAD 中， 3 1 2 2 2 3 6cos 62 3
BAD .
故选：C
【点睛】
方法点睛：解三角形需要三个条件，且至少有一个为边，对于未知的元素可以放到其它三角形中去求解.
6．（2021·河南开封市·高三三模（理））如图， A ， B ，C 是半径为 1 的圆周上的点，且
3BAC ，
6AB AC ，则图中阴影区域的面积为（ ）
A．
3
B．
6
C． 3
3 4
D． 3
6 4
【答案】A
【分析】
设圆心为 O，连接 OA，OB，OC，BC，易得 2
3BOC ，
6OBC OCB ，在 OBC 中，求得
2 cos 36BC BO ，然后在 ABC 中，利用余弦定理结合 6AB AC ，求得 1AC AB ，然后由图
中阴影区域的面积为 ABC OBCOBCS S S S 扇形 求解.
【详解】
如图所示：
设圆心为 O，连接 OA，OB，OC，BC，
因为
3BAC ，
所以 2
3BOC ，
6OBC OCB
2 cos 36BC BO ，
在 ABC 中，
由余弦定理得 2 2 2 2 cos 3BC AC AB AC AB ，
2 3AC AB AC AB ，
因为 6AB AC ，
所以 2
3 6 3AC AB ，
解得 1AC AB ，
所以 1 3sin2 3 4ABCS AC AB ， 1 2 3sin2 3 4OBCS OB OC ，
扇形 OBC 的面积为： 21 2 12 3 3S
所以图中阴影区域的面积为 3 3
4 3 4 3ABC OBCOBCS S S S 扇形 ，
故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题关键是由
3BAC ，分别求得 2
3BOC ，
6OBC 进而求得 ABC OBCOBCS S S 扇形， ，
而得解.
7．（2021·河南洛阳市·高三三模（理））在 ABC 中，内角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ， c ，且
2 sin sin sina b A c b C B ，设 D 是 AB 的中点，若 1CD ，则 ABC 面积的最大值是
（ ）
A． 2 1 B． 2 1 C．3 2 2 D．3 2 2
【答案】A
【分析】
根据正弦定理、余弦定理、平面向量的加法的几何意义，结合三角形的面积公式、重要不等式进行求解即
可.
【详解】
2 2 22 sin sin sin 2 2 ,a b A c b C B a b a c b c b a ab c b
所以 2 2 2 2c a b ab ，由余弦定理可知： 2 2 2 2 cosc a b ab C ，
因此有 2cos , (0, ),2 4C C C ，
因为 D 是 AB 的中点，所以有 1 ( )2CD CA CB ，平方得：
2 2 2 2 2 2 21 2( 2 ) 4 2 2 44 2CD CA CB CA CB b a ba b a ba ，
因为 2 2 2a b ab ，所以 4 2 2 2(2 2)ab ab ab ，
1 2 2sin 2 (2 2) 2 12 4 4ABCS ab C ab
，
故选：A.
【点睛】
关键点睛：由 D 是 AB 的中点得到 1 ( )2CD CA CB 是解题的关键.
8．（2021·山西高三二模（理））在 ABC 中，已知 3AB AC ， ABC 的面积为 2，则边 BC 的长有（ ）
A．最大值 2 5 B．最小值 2 5
C．最大值 2 D．最小值 2
【答案】D
【分析】
设 , ,AB c AC b BC a ，则由已知条件可得 cos 3bc A ， sin 4bc A ，从而可得 sin 4
cos 3
A
A
，再结合
2 2sin cos 1A A 求得 4 3sin ,cos5 5A A ， 5bc ，由余弦定理可得 2 2 2 6a b c ，再结合基本不等
式可得答案
【详解】
解：设 , ,AB c AC b BC a ，
因为 3AB AC ，所以 cos 3bc A ，
因为 ABC 的面积为 2，所以 1 sin 22 bc A ，即 sin 4bc A ，
所以 sin 4
cos 3
bc A
bc A
，得 sin 4
cos 3
A
A
，且sin 0,cos 0A A ，
因为 2 2sin cos 1A A ，
解得 4 3sin ,cos5 5A A ，所以 5bc ，
所以由余弦定理得
2 2 2 2 2 2 3cos 2 10 5
b c a b c aA bc
，
所以 2 2 2 6a b c ，
因为 2 2 2 10b c bc ，当且仅当 5b c 时，取等号，
所以 2 2 2 6 10 6 4a b c ，
所以 a 的最小值为 2，无最大值，即 BC 的最小值为 2，无最大值，
故选：D
9．（2021·山西晋城市·高三二模（文））在 ABC 中，角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、 c ，若 2c b ，
2 2 1sin 3sin sin sin2A B A C ，则角C （ ）
A．
6
B．
3
C．
2
D． 2
3
【答案】B
【分析】
由正弦定理结合已知条件可得出 2 23a b ab ，再利用余弦定理求得 cosC 的值，结合角 C 的取值范围可
求得角C 的值.
【详解】
因为 2 2 1sin 3sin sin sin2A B A C ，由正弦定理可得 2 2 13 2a b ac ，
2c b ，所以， 2 2 13 22a b a b ab ，
由余弦定理可得
2 2 2 2 23 1cos 2 2 2 2
a b c a b abC ab ab ab
，
0 C ，因此，
3C .
故选：B.
【点睛】
方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到
答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有 a 、b 、 c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
10．（2021·吉林长春市·东高一期中）已知 ABC 内角 A B C， ， 所对边的长分别为 a b c， ， ，
cosa b C ，则 ABC 形状一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
【答案】D
【分析】
由余弦定理化简可得 2 2 2a c b ，即可判断.
【详解】
cosa b C ，余弦定理可得
2 2 2
2
a b ca b ab
，则 2 2 2 22a a b c ，
则 2 2 2a c b ，所以 ABC 为直角三角形.
故选：D.
11．（2021·浙江高一期末） ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c 若 105 , 45 , 2 2A B b ,
则 c 等于（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
【答案】D
【分析】
计算 30C ，再利用正弦定理计算得到答案.
【详解】
由已知得 180 30C B A ，根据正弦定理： 2 2
sin 45 sin30
c
，故 2c .
故选：D.
12．（2021·安徽马鞍山市·高三二模（文））在ΔABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 ccosA+acosC=2，
AC 边上的高为 3 ，则∠ABC 的最大值为（ ）
A．
6
B．
3
C．
2
D． 2
3
【答案】B
【分析】
由余弦定理可求得 2b ，再由等面积关系可得 2 3
sinac B
，利用余弦定理结合基本不等式得出
2cos 1B ac
，即可求得 3sin 3 2B
，再结合 B 的范围即可得出结论.
【详解】
cos cos 2c A a C ，
由余弦定理可得
2 2 2 2 2 2
22 2
b c a a b cc abc ab
，整理可得 2b ，
又 AC 边上的高为 3 ，所以 1 12 3 sin2 2 ac B ，即 2 3
sinac B
，
2 2 2 22 2cos 12 2
a c b ac bB ac ac ac
，当且仅当 a c 取等号，
3cos 1 sin3B B ，即 3sin 3cos 3B B ，即 3sin 3 2B
，
0,B ， 4,3 3 3B
，则 2,3 3 3B
，
0, 3B
，故∠ABC 的最大值为
3
.
故选：B.
【点睛】
关键点睛：本题考查余弦定理的应用，解题的关键是等面积关系得 2 3
sinac B
，由基本不等式得
2cos 1B ac
.
二、多选题
13．（2021·吉林长春市·东高一期中）已知 ABC 的内角 A B C， ， 所对边的长分别为 a b c， ， ，
4A ， a m ， 4b ，若满足条件的 ABC 有两个，则 m 的值可以是（ ）
A． 2 2 B． 2 3 C．3 D． 4
【答案】BC
【分析】
在 ABC 中，由余弦定理建立起关于 c 的一元二次方程，利用这个方程有二不等的正根求出 m 的范围即可
得解.
【详解】
在 ABC 中，由余弦定理 2 2 2 2 cosa b c bc A 得： 2 2 24 2 4 cos 4m c c ，
即 2 24 2 16 0c c m ，依题意，关于 c 的一元二次方程有两个不等的正根，
所以 2 2 2 2(4 2) 4 (16 ) 4 32 0 8m m m ，并且 2 216 0 16m m ，
而 m>0，则 2 2 4m ，取 2 3m 或 3m ，选项 B，C 符合条件.
故选：BC
14．（2021·浙江高一期末）在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，给出下列命题，其中正确
的命题为（ ）
A．若 A B C ，则 sin sin sinA B C ；
B．若 40, 20, 25a b B ，则满足条件的 ABC 有两个；
C．若 0 tan tan 1A B ，则 ABC 是钝角三角形；
D．存在角 A，B，C，使得 tan tan tan tan tan tanA B C A B C 成立；
【答案】ABC
【分析】
A.利用正弦定理判断该选项正确；
B. 由于 40sin 25 40sin 30 20 ，因此满足条件的 ABC 有两个，所以该选项正确；
C. 可以证明 tan 0C ， ABC 是钝角三角形，所以该选项正确；
D. 可以证明 tan A tan B tan tan tan tanC A B C ，所以该选项不正确.
【详解】
A.若 A B C ， a b c ，由正弦定理可得：
sin sin sin
a b c
A B C
，则sin sin sinA B C ，所以该
选项正确；
B. 若 40a ， 20b ， 25B ，则 40sin 25 40sin 30 20 ，因此满足条件的 ABC 有两个，所以该
选项正确；
C. 若 0 tan A tan 1B ，则 tan tantan tan( ) 01 tan tan
A BC A B A B
， tan 0C ， (0, )C ， ( , )2C ，
ABC 是钝角三角形，所以该选项正确；
D. 由于当
2C 时， tan tantan tan( ) 1 tan tan
A BC A B A B
， tan A tan B tan tan tan tanC A B C ，所以
该选项不正确.
故选：ABC
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是灵活利用和角的正切公式 tan tantan( ) 1 tan tan
A BA B A B
，只有灵活运用该公式
才能简洁高效地判断后面两个选项的真假.
第 II 卷（非选择题）
三、解答题
15．（2021·宁夏高三二模（文））从① 4a c ， 2b ② 5 3tan 11A ， 5a ③ 3b a ， 2c ，这三
个条件中，任选一个，补充在下面问题中并解答.
ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， sin 3 cos 0b A a B ，___________，求 ABC 的面
积.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
【答案】答案见解析.
【分析】
先化简已知条件得
3B ，若选择①，结合余弦定理解出 4ac ，利用面积公式 1 sin2ABCS ac B△ 计算即
可；若选择②，利用同角三角函数的基本关系解出 5 3sin 14A ，结合正弦定理解出b 边，再利用余弦定理
解出 c 边，利用面积公式计算即可；若选择③，先利用余弦定理解出 c 边，再利用面积公式计算即可.
【详解】
解： sin 3 cos 0b A a B Q
由正弦定理得sin sin 3sin cos 0B A A B ，
sin (sin 3 cos ) 0B A B .
(0, )B ，sin 0B .
sin 3 cos 0A B
sin 3 cosB B ，即 tan 3B ， (0, )B ，故
3B .
若选择①：
由余弦定理得 2 2 2 2 cosb a c ac B ，
整理得 2 24 2 cosa c ac B ，即 2 24 a c ac ，
24 ( ) 3a c ac ，解得 4ac ，
1 1 3sin 4 32 2 2ABCS ac B
；
若选择②：
5 3tan 11A (0, )2A
根据题意得
2 2
sin 5 3
cos 11
sin cos 1
A
A
A A
，解得 5 3sin 14A ，
在 ABC 中，由正弦定理得
sin sin
a b
A B
，即
5
5 3 3
14 2
b ，解得 7b ，
由余弦定理得 2 2 2 2 cosb a c ac B ，
整理得 249 25 5c c ，即 2 5 24 0c c ，解得 8c ( 3c 舍去)，
1 1 3sin 5 8 10 32 2 2ABCS ac B △ ；
若选择③：
在 ABC 中，由余弦定理得 2 2 2 2 cosb a c ac B ，即 2 2 13 4 2 2 2a a a ，
化简为 2 2 0a a ，解得 1a ( 2a 舍去)，
1 1 3sin 1 2 2 32 2 2ABCS ac B △ .
【点睛】
思路点睛：
一般地，解有关三角形的题目时，要有意识地根据已知条件判断用哪个定理更合适. 如果式子中含有角的余
弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理.
16．（2021·黑龙江哈尔滨市·高三三模（文））已知锐角 ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别为
a ，b ， c ，且满足 2 0b c cosA acosC .
（1）求角 A 的大小；
（2）求 cosB cosC 的取值范围.
【答案】（1）
3
；（2） 3 ,12
.
【分析】
（1）由 2 0b c cosA acosC ，根据正弦定理化简得 2 0sinBcosA sinB ，进而求得 1
2cosA ，即
可求解；
（2）由（1）得到 2
3C B ，根据三角恒等变换的公式，化简
6cosB cosC sin B
，进而得到
2
3 6 3B ，得到
6sin B
的范围，即可求解.
【详解】
（1）在 ABC 中，由 2 0b c cosA acosC ，
利用正弦定理得 2 0sinB sinC cosA sinAcosC ，
所以 2 0sinBcosA sin A C ，即 2 0sinBcosA sinB ，
因为 0 B ，可得 0sinB ，所以 1
2cosA ，
又因为 0 A ，所以
3A .
（2）由（1）知
3A ，可得 2
3B C ，可得 2
3C B ，
所以 2
3cosB cosC cosB cos B
2 2
3 3cosB cosBcos sinBsin
3 1
2 2 6sinB cosB sin B
，
因为 ABC 为锐角三角形，所以 0 2B ， 0 2C ，且
3A ，
所以
6 2B ， 2
3 6 3B ，所以 3 12 6sin B
故 cosB cosC 的取值范围为 3 ,12
.
17．（2021·江西高三三模（理））已知在 ABC 中，角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，
2 2(sin sin ) sin 3sin sinA B C A B ．
（1）求角 C 的大小；
（2）若 2a b ，求 cos 2
CB
的值．
【答案】（1） 2
3
；（2） 7
14
.
【分析】
（1）由正弦定理将 2 2(sin sin ) sin 3sin sinA B C A B 转化为 2 2( ) 3a b c ab ，化简后结合余弦定
理可得 1cos 2C ，从而可求出角 C 的大小；
（2）由正弦定理将 2a b 转化为sin 2sinA B ，再由 2
3C 可得 3tan 5B ，从而可求出sin ,cosB B 的
值，进而可求得 cos cos2 3
CB B
的值
【详解】
（1） 2 2(sin sin ) sin 3sin sinA B C A B
∴由正弦定理得 2 2( ) 3a b c ab ，即 2 2 2a b c ab
1cos 2C ，
又 2(0, ) 3C C Q ；
（2） 2 ,a b 由正弦定理得 sin 2sinA B ，
, sin 2sin3 3A B B B ，
∴sin cos cos sin 2sin3 3B B B ，即 3 1cos sin 2sin2 2B B B ，
3tan 5B ，
21 5 70, sin ,cos2 14 14B B B
，
5 7 1 21 3 7cos cos cos cos sin sin2 3 3 3 14 2 14 2 14
CB B B B
18．（2021·天津市滨海新区塘沽第一中学高三三模）函数 2sin cos 3 cos 2f x x x x ·
（1）求函数 f x 的最小正周期并求当 0, 2x
时，函数 f x 的最大值和最小值；
（2）已知 ABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 12
Af
，sin 2sinC B ，且 2a ，
求 ABC 的面积.
【答案】（1）T ，最大值为 1，最小值为 3 1 ；（2） 2 3
3
.
【分析】
（1）根据同角三角函数关系式、正弦的二倍角公式、余弦诱导公式，结合辅助角公式、正弦型函数的最小
正周期公式、单调性进行求解即可；
（2）根据特殊角的三角函数值，结合正弦定理、余弦定理、三角形面积公式进行求解即可.
【详解】
（1） 2sin cos 3 cos 2f x x x x
1 sin 2 3 cos2 2sin 2 13x x x
，
∴函数 f x 的最小正周期 2
2T ；
因为 0, 2x
所以 223 3 3x ，
因为函数 f x 在 50, 12x
单调递增，在 5 ,12 2x
上单调递减
所以 30 2 1 3 12f ，
5 112f
， 32 1 3 12 2f
所以函数的最大值为 1，最小值为 3 1 ；
（2） 2sin 1 12 3
Af A
，sin 03A
∵ 523 3 3A ，∴. 03A ，即
3A ，
由正弦定理以及sin 2sinC B ，可得 2c b ，
由余弦定理可得 2 2 2 2 22 cos 4 14 2 2 2a b c bc A b b b b ，
可得 2 3
3b ，
∴ 4 3
3c ，∴ 2 21 3 2 3 3 2 3sin ( )2 2 3 2 3ABCS bc A b .
19．（2021·浙江高三月考）设常数 k R ，已知 ( ) cos2 2 3sin cosf x k x x x .
（Ⅰ）若 ( )f x 是奇函数，求 k 的值及 ( )f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）设 1k ， ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，b .若 ( ) 1f A ，且 ABC 的面积 S abc ，
求 ABC 周长的取值范围.
【答案】（Ⅰ） 0k ， ,4 4k k
， k Z ；（Ⅱ） 3 3 3,2 4
.
【分析】
（Ⅰ）根据奇函数的性质，结合正弦型函数的单调性进行求解即可；
（Ⅱ）根据辅助角公式，结合特殊角的正弦函数值、三角形面积公式、正弦定理、正弦型函数的性质进行
求解即可.
【详解】
（Ⅰ）由题意知， (0) 0f k ，得 0k ，
下面对 0k 进行检验：
若 0k ，则， ( ) 2 3sin cos 3sin 2f x x x x ，
对任意 xR 都有 ( ) 3sin( 2 ) 3sin 2 ( )f x x x f x ，
( )f x 是奇函数， 0k .
又因为 ( ) 3 sin 2f x x ，由 2 2 22 2k x k ， k Z ，
所以得
4 4k x k ， k Z
( )f x 的单调递增区间为 ,4 4k k
， k Z .
（Ⅱ）当 1k 时 ( ) cos2 3sin 2 2sin 2 6f x x x x
，
( ) 2sin 2 16f A A
；得 1sin 2 6 2A
(0, )A ， 132 ,6 6 6
A ，
3A
由 1 sin 2 sin 2 sin ,2 sin2S abc bc A a A b B c C ，
ABC 的周长为：
1 1 2 3(sin sin sin ) [sin sin( )]2 2 3 4a b c A B C B B
1 3 1 3(sin cos sin )2 2 2 4B B B
1 3 3 3( cos sin )2 2 2 4B B
3 3sin( )2 6 4B
2 5 1(0, ) ( , ) sin( ) ( ,1]3 6 6 6 6 2B B B
ABC 的周长的取值范围为 3 3 3,2 4
.
20．（2021·河南高三一模（文））在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知
sin sin sin sinb C a A b B c C ．
（I）求 A；
（Ⅱ）设 D 是线段 BC 的中点，若 2c ， 13AD ，求 a．
【答案】（I）
3
；（Ⅱ） 2 7
【分析】
（I）先由正弦定理，将所给条件化为 2 2 2bc b c a ，再由余弦定理，即可得出结果；
（Ⅱ）根据题中条件，得到 cos cos 0ADB ADC ，推出 2 22 44a b ，再由余弦定理得到
2 2 4 2a b b + ，两式联立求出b ，进而可求出 a .
【详解】
（I）根据正弦定理，由 sin sin sin sinb C a A b B c C 可得 2 2 2bc a b c ，
即 2 2 2bc b c a ，
由余弦定理可得，
2 2 2 1cos 2 2
b c aA bc
，
因为 A 为三角形内角，所以
3A ；
（Ⅱ）因为 D 是线段 BC 的中点， 2c ， 13AD ，
所以 ADB ADC ，则 cos cos 0ADB ADC ，
所以
2 2 2 2 2 2
02 2
AD BD AB AD DC AC
AD BD AD DC
，
即
2 2
2 213 2 134 4 0
2 13 2 132 2
a a b
a a
，整理得 2 22 44a b ；
又 2 2 2 22 cos 4 2a b c bc A b b ，
所以 2 24 2 2 44b b b ，解得 6b 或 8b （舍），
因此 2 22 44 28a b ，所以 2 7a
【点睛】
思路点睛：
求解三角形中的边长或面积等问题时，一般需要根据正弦定理，或余弦定理，将题中条件进行转化，得出
对应的方程求解即可.
21．（2021·浙江高三三模）在 ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，已知
1cos , sin 2 cos3A C B .
（1）求sin B 的值；
（2）若 2c ，求 a 的值.
【答案】（1） 6
3
；（2） 4 3
3
.
【分析】
（1）首先求出 sin A ，然后由 sin sin sin cos cos sin 2 cosC A B A B A B B 得到
sin 2 cos BB ，然后结合平方关系可得答案；
（2）首先求出sinC ，然后利用正弦定理求解即可.
【详解】
（1）因为 1cos 3A ，所以 0, 2A
， 2 2sin 3A
因为 sin sin sin cos cos sin 2 cosC A B A B A B B
所以 2 2 1cos sin 2 cos3 3B B B ，即 1 2sin cos3 3B B ，即sin 2 cos BB
因为 2 2sin cos 1B B ，所以可解得 6 3sin ,cos3 3B B
（2）因为 6sin 2 cos 3C B ， 2c ，
sin sin
a c
A C
所以
2 22sin 4 33
sin 36
3
c Aa C
22．（2021·四川高三二模（文）） ABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，已知
sin cos 6b A a B
- .
（1）求 B ；
（2）设 2a ， 7b ，延长 AC 到点 D 使 2AC CD ，求 BCD△ 的面积.
【答案】（1）
3
；（2） 3 3
4
.
【分析】
（1）根据正弦定理可得sin cos 6B B
，进而得 tan 3B ，从而得解；
（2）根据正弦定理解得 sin A ，再根据同角关系和 sin sinC A B ，得sinC ，再由 2ABC BCDS S 可
得解.
【详解】
（1）∵ sin cos 6b A a B .由正弦定理
sin sin
a b
A B
，可得 sin sinb A a B ，
∴可得： sin cos 6a B a B
，
可得： 3 1sin cos = cos sin6 2 2B B B B
，化简可得： tan 3B ，
∵ 0,B ，∴
3B .
（2）由
sin sin
a b
A B
，可得
32sin 212sin 77
a BA b
，
可得 cos 7
2 7A ，
3 21sin sin sin cos cos sin 14C A B A B A B ，
所以 1 1 3 21 3 32 sin 2 72 2 14 2ABC BCDS S ab C
，可得 3 3
4BCDS △ .
23．（2021·辽宁高三一模）在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，
2 2 2cos cos cos 1 sin sinB C A B C
（1）求 A；
（2）若 3a ，求 ABC 的面积的最大值．
【答案】（1）
3A ；（2） 3 3
4
．
【分析】
（1）根据题中条件 2 2 2cos cos cos 1 sin sinB C A B C 的特点，将余弦转化为正弦，利用正弦定理转
化为关于 a,b,c 的式子，用余弦定理求解即可.
（2）结合
3A 以及 3a ，题目求的是面积的最大值，想到求 bc 的最大值，利用余弦定理及基本不等
式求解.
【详解】
（1）由已知得： 2 2 2sin sin sin sin sinB C A B C
2 2 2b c a bc ，
2 2 2 1
2 2
b c a
bc
由余弦定理得： 1cos 2A
( )0, , 3A A
（2）由余弦定理得： 2 23 b c bc bc ，即， 3bc
当且仅当 b c 时，等号成立
1 3 3 3sin2 4 4ABCS bc A bc V
∴ ABC 面积最大值为 3 3
4
.
【点睛】
（1）观察式子的特点，对正弦、余弦定理的特点要比较熟练.
（2）注意题目的问题是面积的最大值，故联想基本不等式，余弦定理等知识点.
24．（2021·安徽高三三模（文））在 ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 sin cosa b C C .
（1）求 B ；
（2）若 1b ，求 ABC 面积的最大值.
【答案】（1）
4B ；（2） 2 1
4
.
【分析】
（1）根据题设条件和利用正弦定理，化简得到 cos sinB B ，进而求得 B 的大小.
（2）由余弦定理得到 2 22 1ac a c ，结合基本不等式，求得 2 2
2ac ，利用面积公式，即可求解.
【详解】
（1）由题意，在 ABC 中，满足 (sin cos )a b C C ，
利用正弦定理得sin sin (sin cos )A B C C ，
即sin( ) sin (sin cos )B C B C C ，
即sin cos cos sin sin sin sin cos )B C B C B C B C ，
可得 cos sin sin sinB C B C ，
因为 (0, )C ，可得sin 0C ，所以 cos sinB B ，即 tan 1B ，
又因为 0,B ，所以
4B .
（2）在 ABC 中，由余弦定理
2 2 2
cos 2
a c bB ac
，可得
2 22 1
2 2
a c
ac
，
所以 2 22 1 2 1ac a c ac ，即 1 2 2
22 2
ac
，当且仅当 a c 时取等号，
所以 ABC 的面积 1 1 2 2 2 2 1sin2 2 2 2 4S ac B ，
所以 ABC 面积的最大值为 2 1
4
.
【点睛】
对于解三角形问题的常见解题策略：
对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、
余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.
25．（2021·江西赣州市·高三二模（理））在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足
(2 3 )cos 3 cos 0b c A a C .
（1）求角 A 的大小；
（2）求
2 2 2
2sin a b cB ab
的取值范围.
【答案】（1）
6A ；（2）( 3,2 3] .
【分析】
（1）利用正弦定理求出 3cos 2A ，又 (0, )A ，即可求出 A；
（2）由余弦定理及三角形内角和定理把原文太转化为求 2 3sin 6B
在 50 6B 上的范围，利用三
角函数即可求解.
【详解】
（1）由 (2 3 )cos 3 cos 0b c A a C ，
结合正弦定理可得： 2sin cos 3sin cos 3cos sin 0B A C A C A
整理得： 2sin cos 3sin( ) 0B A A C ，即 2sin cos 3sin 0B A B
又sin 0B ，所以 3cos 2A ，又 (0, )A ，故
6A .
（2）由余弦定理知：
2 2 2
2sin 2sin 2cosa b cB B Cab
，再结合内角和定理：
从而 2sin 2cos 2sin 2cos 3sin 3cos 2 3sin6 6B C B B B B B
又因为 50 6B ，故 2
6 6 3B ，从而 1 sin 12 6B
即
2 2 2
2sin a b cB ab
的取值范围为 ( 3,2 3] .
【点睛】
解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种
常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的
函数，利用函数思想求最值.
26．（2021·湖南高三月考）已知 ABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，且 2c a .
（1）若 πtan 34A
，求sinC ；
（2）若 6 7 cos cosa b a B b A ，求 cosC .
【答案】（1） 2 5
5
；（2） 11
24
.
【分析】
（1）根据两角差的正切公式，结合同角的三角函数关系式、正弦定理进行求解即可；
（2）根据正弦定理、两角和的正弦公式，结合余弦定理进行求解即可.
【详解】
（1）∵ πtan 34A
，∴ π π 3 1 1tan tan 4 4 1 3 2A A
，
则 sin 1
cos 2
A
A
，又 2 2sin cos 1A A ，∴ 2 1sin 5A .
∵sin 0A ，∴ 5sin 5A .
又 2c a ，故 2 5sin 2sin 5C A .
（2）∵ 6 7 cos cosa b a B b A ，∴ 6 sin sin 7 sin cos sin cosA B A B B A ，
即 6 sin sin 7sin 7sinA B A B C ，
则 6 7a b c .
∵ 2c a ，∴ 4
3
ab ，故
2 2 2
2 2 2
16 4 119cos 42 242 3
a a aa b cC ab a a
.
27．（2021·福建南平市·高三二模）在① 2 cos 2c B a b ，② ABC 的面积为 2 2 23
4 a b c ，
③ 2 2 2cos cos sin sin sinA C B A B ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．（如
果选择多个条件作答，则按所选的第一个条件给分）
已知 ABC 的内角 A ， B ，C 所对的边分别是 a ，b ， c ，且________．
（1）求角C 的大小；
（2）若 2c 且 4sin sin 3A B ，求 ABC 的面积．
【答案】条件选择见解析（1）
3C ；（2） 3 ．
【分析】
（1）分别选择①②③，根据正弦定理、余弦定理和三角恒等变换即可求出角C ；
（2）运用正弦定理求出 ab ，再根据三角形面积公式即可求出.
【详解】
（1）若选条件① 2 cos 2c B a b ，则
2 2 2
2 22
a c bc a bac
，
即 2 2 2a b c ab ，所以 1cos 2C ，
又因为 (0, )C ，所以
3C ．
（1）若选条件② ABC 的面积为 2 2 23
4 a b c ，则 2 2 23 1 sin4 2a b c ab C ，
即sin 3 cosC C ，所以 tan 3C ，
又因为 (0, )C ，所以
3C ．
（1）若选条件③ 2 2 2cos cos sin sin sinA C B A B ，
则 2 2 21 sin 1 sin sin sin sinA C B A B ，
即 2 2 2sin sin sin sin sinA B C A B ，
即 2 2 2a b c ab ，所以 1cos 2C ，
又因为 (0, )C ，所以
3C ．
（2）因为 2c ，所以
2 4
sin sin sin 3sin 3
a b c
A B C ，
所以 3sin 4A a ， 3sin 4B b ，
又因为 4sin sin 3A B ，所以 4ab ，
ABC 的面积为 1 sin 32 ab C ．
【点睛】
思路点睛：
（1）在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系；
（2）题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理；
（3）应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用；
（4）解决三角形问题时，注意角的限制范围.
28．（2021·江西高三其他模拟（理））已知 ABC 的三个内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，满足
cos cos sin 3 cos 0b C c B B b A ．
（1）求 A ；
（2）若 2c ， 2 3a ，角 B 的角平分线交边 AC 于点 D ，求 BD 的长．
【答案】（1） 2
3A ；（2） 6BD .
【分析】
（1）利用正弦定理将边化为角，即可化简得出答案.
（2）利用角 A 的余弦定理求出边b ，根据 BD 为角 B 的平分线可求出
4ADB ，再在 ABD 中利用一
个正弦定理即可求出答案.
【详解】
（1）由正弦定理得 sin cos sin cos sin 3sin cos 0B C C B B B A ．
sin sin 3sin cos 0A B B A ，即 tan 3A ．
故 2
3A .
（2） ABC 中，由余弦定理得 2 2 2 2 cosa b c bc A ，即 212 4 2b b .
解得 2b 或 4b （舍去）．
ABD 中，由 BD 是 ABC 的角平分线，得
12ABD ，则
4ADB .
由正弦定理得 2sin sin3 4
BD AB
，解得 6BD .
【点睛】
本题考查利用正余弦定理解三角形，属于基础题.熟练掌握正余弦定理及其使用是解本题的关键.本类题型常
用结论：在三角形中有：
sin( ) sinA B C sin(B+C) sinA， ,sin(C A) sinB , cos(A B) cosC , cos(B C) cosA ,
cos(C A) cosB .
29．（2021·四川广元市·高三二模（文））在 ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，且 2b-c=2acosC．
（1）求 A；
（2）若 ABC 的面积 4 3ABCS ，求 a 的取值范围．
【答案】（1）
3A ；（2） 4, ．
【分析】
（1）由 2b-c=2acosC，利用余弦定理化简得到 b2+c2-a2=bc，然后利用余弦定理求解；
（2）根据ABC 的面积 1 sin 4 32ABCS bc A 结合（1）求得 bc，再利用余弦定理结合基本不等式求
解.
【详解】
（1）∵2b-c=2acosC，
∴
2 2 2a b c2 2 2abb c a ，化简得 b2+c2-a2=bc，
由余弦定理知，
2 2 2 1cos 2 2 2
b c a bcA bc bc
，
∵ 0,A ，
∴
3A ．
（2）∵ ABC 的面积 1 sin 4 32ABCS bc A ，
∴ 1 sin 4 32 3bc ，即 bc=16，
由（1）知， 2 2 2 2 16a b c bc bc bc bc ，当且仅当 b=c=4 时，等号成立，
∴a≥4，
故 a 的取值范围为 4, ．
30．（2021·湖南高三二模）如图， ABC 中， 1 302BD CD BAD ， ．
（1）若 AB AC ，求sin DAC ；
（2）若 AD BD ，求 AC
BC
的值．
【答案】（1） sin 1DAC ；（2） 3
3
．
【分析】
（1）利用三角形的面积比列方程，化简求得sin DAC .
（2）设 AD x ，求得 3BC x ，利用余弦定理列方程，求得 3AC x ，从而求得 AC
BC .
【详解】
（1）设 BC 边上的高为 h，
1 1 sin2 2
1 1 sin2 2
BAD
CAD
BD h AB AD BADS
S CD h AC AD CAD
，
而 1 sin 302BD CD AB AC BAD ， ， ，∴sin 1DAC .
（2）设 AD x ，则 30 60AD BD x BAD ABD ADC ， ， ， 2 , 3CD x BC x ，在
ADC 中，由余弦定理得：
2 22 22 2 2 cos60 3AC x x x x x ，
∴ 3AC x ，∴ 3 3
3 3
AC x
BC x
.
31．（2021·全国高三月考（理））在 ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，已知
sin 2 2 sin cos 2 3 cosc B b B C b A ．
（1）求角 A；
（2）若 4a ，求 BC 边上的中线 AD 长度的取值范围．
【答案】（1）
3A ；（2） 2 2 3AD ， ．
【分析】
（1）由正弦定理化边为角，化简可得sin 3cosA A ，即可求出 A ；
（2）由余弦定理可得 2 2 16b c bc ，结合基本不等式可求出 2 216 32b c ＜ ，再由余弦定理可得
2
2 2 22 2
aAD b c ，即可求出范围.
【详解】
（1）因为 sin 2 2 sin cos 2 3 cosc B b B C b A ，
所以 2 sin cos 2 sin cos 2 3 cosc B B b B C b A ．
由正弦定理可得 2sin sin cos 2sin sin cos 2 3sin cosC B B B B C B A ．
因为sin 0B ，所以sin cos sin cos 3 cosC B B C A ，
即 sin 3 cosB C A ，即sin 3cosA A ，即 tan 3A ．
又 0,A ，所以
3A ．
（2）由（1）得
3A ，所以 2 2 16 2 cosb c bc A bc ．
因为 0bc＞ ，所以 2 2 16 0b c ＞ ．
由基本不等式可得
2 2
2 2 16 2
b cb c ，
所以 2 2 32b c ，故 2 216 32b c ＜ ．
设 ADB ，则
2
2 2 cos2
ac AD a AD
，
2
2 2 cos2
ab AD a AD
，
所以
2
2 2 22 2
aAD b c ，
所以 24 12AD ＜ ，所以 2 2 3AD ， ．
【点睛】
关键点睛：本题考查正余弦定理的应用，解题的关键是化边为角得出sin 3cosA A ，由余弦定理结合基
本不等式得出 2 216 32b c ＜ .
32．（2021·福建龙岩市·高三三模） ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , , ,a b c 且 4,BC BC 边上的中线
4.AD
（1）求 AB AC
uuur uuur 的值；
（2）在①
3A ；②
6A ；③
4A 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
问题：若___________，则 ABC 是否存在？若存在，请求出 ABC 的面积；若不存在，请说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）12 ；（2）答案见解析.
【分析】
（1）化简可得 2 2
AB AC AD DB 可求解；
（2）利用 cos cos 0ADB ADC 结合余弦定理可得 2 2 40b c .选①，由基本不等式得出 20bc ，
再由余弦定理可求出 24bc 可判断；选②，余弦定理可得 8 3bc ，即可求出面积；选③余弦定理可得
12 2bc ，即可求出面积.
【详解】
解：（1）因为 ( ) ( ) ( ) ( )AB AC AD DB AD DC AD DB AD DB ，
所以 2 22 2
16 4 12AB AC AD DB AD DB
（2）因为 cos cos 0ADB ADC ，所以
2 216 4 16 4 016 16
c b ，
所以 2 2 40b c ；
选①当
3A 时， 2 2 40 2b c bc ，
20bc ，当且仅当 2 5b c 等号成立；
由余弦定理 2 2 2 2 cosa b c bc A ，得到 2 2 16b c bc ，
所以 16 40,bc 解得 24bc 与 20bc 矛盾，此时 ABC 不存在.
选②当
6A ，则 2 2 2 2 cos 6a b c bc 即 2 216 3b c bc ， 8 3bc
1 1sin 2 32 4ABCS bc A bc
选③当
4A ，则 2 2 2 2 cos 4a b c bc 即 2 216 2b c bc ， 12 2bc
1 2sin 62 4ABCS bc A bc .
【点睛】
关键点睛：本题考查数量积的运算，考查余弦定理的应用，解题的关键是利用 cos cos 0ADB ADC
结合余弦定理可得 2 2 40b c .
33．（2021·陕西高三其他模拟（文）） ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 3, 2a b .
（1）若
6A ，求 cos2B ；
（2）当 A 取得最大值时，求 ABC 的面积.
【答案】（1） 1
3
；（2） 3
2
.
【分析】
（1）利用正弦定理求得sin B 的值，由此求得 cos2B 的值.
（2）利用余弦定理求得 cos A，结合基本不等式求得 A 的最大值，由此求得此时 ABC 的面积.
【详解】
（1）由正弦定理
sin sin
a b
A B
，得
3 2
1 sin
2
B
，解得 3sin 3B
所以 2 1cos2 1 2sin 3B B .
（2）由余弦定理得
2 2 2 2 1cos 2 4
b c a cA bc c
.
因为
2 1 2 1
4 4 2
c c
c c
，
当且仅当 1c 时，等号成立，
所以 1cos 2A≥ ，则 0 3A ，则 A 的最大值为
3
.
此时， ABC 的面积 1 1 3sin 2 1 sin2 2 3 2S bc A .
34．（2021·全国高三月考（理））已知 ABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，且
sin sin sin4 cos 0cos sin
a A b B c Cc A A B
．
（1）求 A ；
（2）若 a c ，求 a b
c
的取值范围．
【答案】（1）
3A ；（2） (2, ) ．
【分析】
（1）利用正弦定理与余弦定理将题中所给条件化简整理，即可求出 1cos 2A ，从而可得角 A ；
（2）先由题中条件，得到 0, 3C
，再由正弦定理将所求式子化为 sin sin
sin
A B
C
，进而转化为关于C 的
函数，即可求出结果.
【详解】
（1）由条件与正弦定理可得，
2 2 2
4 cos 0cos
a b cc A b A
，
即
2 2 2
4 cos 0cos
b c ac A b A
，
由余弦定理得， 2 cos4 cos 0cos
bc Ac A b A
，
所以 2cos 1 0A ，即 1cos 2A ．
由 0 A 得，
3A ．
（2）由 a c 可知， 0, 3C
．
由正弦定理可知，
3 2 3 3 1sin cos sinsin sin 2 3 2 2 2
sin sin sin
C C Ca b A B
c C C C
22cos1 3 1 cos 1 3 2
2 2 sin 2 2 2sin cos2 2
C
C
C CC
1 3 1
2 2 tan 2
C
又知 0,2 6
C
，所以 3tan 0,2 3
C
，所以 2a b
c
，
故 a b
c
的取值范围为 (2, ) ．
【点睛】
方法点睛：
求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，
建立 a b ， ab ， 2 2a b 之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解.
35．（2021·四川凉山彝族自治州·高三二模（文））如图在锐角 ABC 中，内角 , ,A B C 的对边分别是 , ,a b c ，
若 3 sin sin sin 2 sin sina A c C b B a B C ．
（1）求角 B ；
（2）若在线段 AC 上存在一点 D ，使得 2BD ， E 为 BD 延长线上一点， CE BE ， 3 1CD ，
3 3
2CE ，求 ABC 的面积．
【答案】（1）
3
；（2） 9 3 3
2
．
【分析】
（1）利用正弦定理角化边可得余弦定理形式，得到 sincos
3
BB ，由此求得 tan B ，根据 B 的范围可求得
结果；
（2）由长度关系可求得
3CDE ，从而得到 cos CDB ，在 BCD△ 中利用余弦定理可求得 BC ，由
正弦定理求得 2sin 2BCD ；在 ABC 中，利用正弦定理求得 AB ，由三角形面积公式可求得结果.
【详解】
（1）由正弦定理知：
sin sin sin
a b c
A B C
，
3 sin sin sin 2 sin sina A c C b B a B C ， 2 2 23 2 sina c b ac B ，
即
2 2 2 sincos2 3
a c b BBac
， sintan 3cos
BB B
，
0, 2B ，
3B ；
（2）在 Rt CDE 中，
3 3
32sin 23 1
CECDE CD
，
3CDE ，
1cos cos cos 2CDB CDE CDE ，
在 BCD△ 中，由余弦定理知：
2 2 2 2 cosBC BD CD BD CD CDB 2 14 3 1 2 2 3 1 2
6 ，
6BC ，
由正弦定理知：
sin sin
BD BC
BCD CDB
，即
2 6
sin 3
2
BCD
，
2sin 2BCD ， BCD 为锐角， 2cos 2BCD ，
sin sinA BCD ABC sin cos cos sinBCD ABC BCD ABC
2 3 2 1 6 2
2 2 2 2 4
，
在 ABC 中，由正弦定理知：
sin sin
AB BC
BCD A
，即
6
2 6 2
2 4
AB
，
3 2 6AB ，
ABC 的面积 1 sin2S AB BC B 1 3 9 3 33 2 6 62 2 2
.
【点睛】
关键点点睛：本题考查解三角形的相关知识，解题关键是能够将所需的线段放入三角形中，利用正余弦定
理求得所需的线段长度和角度.
36．（2021·河南开封市·高三三模（文））在 ABC 中， 2AB ，
4B ，D 为 BC 边上一点，且 3BD ．
（1）求 AD ；
（2）若 2 2AC ，求sinC ．
【答案】（1） 5AD ；（2） 2sin 4C ．
【分析】
（1）在△ ABD 中，由余弦定理 2 2 2 2 cosAD AB BD AB BD B ，即可求 AD .
（2）在 ABC 中，由正弦定理
sin sin
AB AC
C B
，即可求 sinC .
【详解】
（1）在△ ABD 中， 2AB ，
4B ， 3BD ，
由余弦定理得： 2 2 2 22 co 2 6 2 5s 9 2AD AB BD AB BD B ，
∴ 5AD ．
（2）在 ABC 中， 2AB ， 2 2AC ，
4B ，
由正弦定理得：
sin sin
AB AC
C B
，即
2 2 2
sin sin 4
C ，
∴ 2sin 4C ．
37．（2021·福建莆田市·高三三模） ABC 的内角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c .已知 3a ， 2b .
（1）若
6A ，求 cos2B ；
（2）若 3c ，求 ABC 的面积.
【答案】（1） 1cos2 3B ；（2） 11
2ABCS △ .
【分析】
（1）利用正弦定理求得sin B 的值，利用二倍角的余弦公式可求得 cos2B 的值；
（2）利用余弦定理求出 cos A值，利用同角三角函数的平方关系求出 sin A 的值，再利用三角形的面积公
式可求得 ABC 的面积.
【详解】
（1）由正弦定理可得
sin sin
a b
A B
，所以，
12sin 32sin 33
b AB a
，
因此，
2
2 3 1cos2 1 2sin 1 2 3 3B B
；
（2）由余弦定理可得
2 2 2 5cos 2 6
b c aA bc
，则 A 为锐角，
所以， 2 11sin 1 cos 6A A ，
因此， ABC 的面积为 1 1 11 11sin 2 32 2 6 2ABCS bc A △ .
38．（2021·安徽合肥市·高三三模（理））在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 2 sin 4
a Cb
．
（1）求 B；
（2）若 2 (2 2)b ac ， 2c ，求 ABC 的面积．
【答案】（1）
4B ；（2） 2 ．
【分析】
（1）利用正弦定理以及三角恒等变换公式变形可得 cos sinB B ，即 tan 1B ，根据角 B 的范围可得结
果；
（2）由 2 (2 2)b ac 结合余弦定理可得 a c 2 ，再根据三角形的面积公式可求出结果.
【详解】
（1）由 2 sin 4
a Cb
2 22(sin cos )2 2C C 得 (sin cos )a b C C ．
由正弦定理得sin sin (sin cos )A B C C ，即 sin( ) sin (sin cos )B C B C C ，
∴ cos sin sin sinB C B C ．
∵在 ABC 中，sin 0C ，∴ cos sinB B ，即 tan 1B ．
∵ (0, )B ，∴
4B ．
（2）由余弦定理得
2 2 2
cos 2
a c bB ac
，即
2 2 22
2 2
a c b
ac
，∴ 2 2 2 2b a c ac ．
又∵ 2 (2 2)b ac ，∴ 2 2 2a c ac ，即 a c ．
由（1）知
4B ，又∵ 2c ，∴ ABC 面积 1 1 2sin 2 2 22 2 2S ac B ．
39．（2021·江苏镇江市·高三其他模拟）若函数 2( ) 3sin 2cos 2
xf x x ， ABC 的角 A ， B ，C 的对
边分别为 a ，b ， c ，且 3f A .
（1）当 b c
a
取最大值时，判断 ABC 的形状；
（2）在 ABC 中， D 为 BC 边的中点，且 13AD ， 2AC ，求 BC 的长.
【答案】（1） ABC 是等边三角形；（2） 2 7BC .
【分析】
（1）化简 ( )f x ，由 ( ) 3f A 求得
3A ，根据正弦定理得到 sin sin 2sinsin 6
b c B C Ba A
，从
而判断取最大值时，B 的取值，从而判断三角形形状；
（2）取 AB 边的中点 E ，在 ADE 中，由余弦定理求得 AE ，AB ，从而在 ABC 中由余弦定理求得 BC .
【详解】
解：因为 ( ) 3sin +cos 1 2sin 16f x x x x
所以由 ( ) 2sin 1 36f A A
得sin 16A
，
因为 0 A ，所以 7
6 6 6A ，所以
6 2A ，
3A
（1）
2sin sinsin sin 3 2sinsin 63
2
B Bb c B C Ba A
因为， 20 3B ，所以 5
6 6 6B ，
所以当
3B 时， b c
a
取最大值，
此时
3C ，所以 A B C ，所以 ABC 是等边三角形；
（2）解：取 AB 边的中点 E ，连接 DE ，
则 //DE AC ，且 1 12DE AC ， 2
3AED
在 ADE 中，由余弦定理得 2 2 2 2 2 cos 133AD AE DE AE DE
解得 3AE ，所以 6AB
在 ABC 中由余弦定理得
2 2 2 2 12 cos 6 2 2 6 2 2 72BC AB AC AB AC A
【点睛】
方法点睛：利用正弦定理进行边角转化，根据三角函数的最值情况来求得原表达式的最值，从而判断三角
形形状；利用余弦定理解得三角形各边长.
40．（2021·新疆乌鲁木齐市·高三三模（文））在 ABC 中，内角 , ,A B C 所对的边长分别为 , ,a b c ， c
b
是 1
和 tan
tan
A
B
的等差中项．
（1）求角 A ；
（2）若 BAC 的平分线交 BC 于点 D ，且 3, 2AD BC ，求 ABC 的面积．
【答案】（1）
3A ；（2） 3ABCS ．
【分析】
（1）根据 c
b
是 1 和 tan
tan
A
B
的等差中项得到 2 tan1 tan
c A
b B
，再利用正弦定理结合商数关系，两角和与差的三
角函数化简得到 2sin cos sinC A A B 求解；
（2）由 1 3sin2 4ABCS bc A bc
和 ABC ABD ACDS S S 求得 b，c 的关系，再结合余弦定理求解即可.
【详解】
（1）由已知得 2 tan1 tan
c A
b B
，
在 ABC 中，由正弦定理得 2sin tan1sin tan
C A
B B
，
化简得 2sin cos sinC A A B ，
因为 A B C ，
所以 1cos 2A ，
所以
3A ；
（2）由正弦定理得 1 3sin2 4ABCS bc A bc
，
又 Δ Δ Δ
1 1 3 33 sin 3 sin2 6 2 6 4 4ABC ABD ACDS S S c b b c bc ，
即 bc b c ，
由余弦定理得 22 2 2 41 4cos 2 2 2
b c bcb cA bc bc
，
所以 4bc ，所以 Δ 3ABCS ．
【点睛】
方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住
能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇
到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理
都有可能用到．
41．（2021·四川成都市·高三三模（理））已知 ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，面积为S，
且 2 2 2 4 3
3
a b c S ．
（1）求角C 的大小；
（2）若 7c ， 4a b ，求 ABC 的面积S．
【答案】（1）
3C ；（2） 3 3
4
．
【分析】
（1）由余弦定理及面积公式求出 3cos sin3C C ，利用正切求角 C．
（2）利用余弦定理求出 3ab ，套用面积公式求面积.
【详解】
解：（1）由题意知 2 2 2 4 3
3
a b c S ，即 2 2 2 4 3 1 sin3 2a b c ab C ，
整理得
2 2 2 3 sin2 3
a b c Cab
，即 3cos sin3C C ，即 tan 3C
又由 (0, )C ，所以
3C ．
（2）
2 2 2 2 2( ) 2 1cos 2 2 2
a b c a b ab cC ab ab
，
3ab ， 1 3 3sin2 4S ab C ．
【点睛】
在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：
(1)从题目给出的条件，边角关系来选择；
(2)从式子结构来选择．
42．（2021·安徽蚌埠市·高三其他模拟（理））在 ABC 中，角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ， c ，其
外接圆半径为 R ，已知 2 22 sin sin
sin sin
A B c
A C R
．
（1）求角 B ；
（2）若边 BC 的长是该边上高的 3 倍，求 cos A．
【答案】（1） π
3B ；（2） 7
14
．
【分析】
（1）利用正弦定理将角化边，再利用余弦定理计算可得；
（2）记 BC 边上的高为 AD ，不妨设 1BD ，即可求出 BC ，再利用余弦定理求出b ，在 Rt ACD△ 中，
记 CAD ，根据锐角三角函数求出 cos ，sin ，最后根据 πcos cos 6A
，利用两角和的余弦
公式计算可得；
【详解】
解：（1）由已知条件 2 22 sin sin
sin sin
A B c
A C R
，所以
2 2sin sin sinsin sin 2
A B c CA C R
，所以
2 2sin sin sin sin sinA B A C C
所以 2 2a b c a c ， 2 2 2b a c ac ，
由余弦定理可得 1cos 2B ，
而 0 πB ，于是 π
3B ．
（2）记 BC 边上的高为 AD ，不妨设 1BD ，则 π
6BAD ， 2AB ， 3AD ，所以 3BC ，
由余弦定理得 2 2 2 2 12 cos 3 2 2 3 2 72b a c ac B ，
在 Rt ACD△ 中，记 CAD ，则 3cos
7
， 2sin
7
，
所以 π π π 7cos cos cos cos sin sin6 6 6 14A
．
43．（2021·辽宁大连市·高三一模）如图， AB 是底部不可到达的一个建筑物， A 为建筑物的最高点．某学
习小组准备了三种工具：测角仪（可测量仰角与俯角）、米尺（可测量长度)、量角器（可测量平面角度）．
（1）请你利用准备好的工具（可不全使用），设计一种测量建筑物高度 AB 的方法，并给出测量报告；
注：测量报告中包括你使用的工具，测量方法的文字说明与图形说明，所使用的字母和符号均需要解释说
明，并给出你最后的计算公式．
（2）该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量，并将计算结果汇报给老师，发现计算结果与该建筑物
实际高度有误差，请你针对误差情况进行说明．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．
【分析】
（1） AB 底部不可到达，因此可用解三角形思想求解，测量出相应的线段长和角度，然后由三角形的知识
进行计算．我们选用解直角三角形，注意到测角仪的高度，构建解析中的图形，测量 ,C D 两点处 A 的仰角，
CD 长，同时测得测角仪高度，然后解直角三角形可得．
（2）误差产生的原因很多，如工具误差，两次测量时位置不完全一样（每个数据都可能出现误差）．
【详解】
（1）选用测角仪和米尺，如图所示，
①选择一条水平基线 HG （如图），，使 , ,H G B 三点共线；
②在 ,H G 两点用测角仪测得 A 的仰角分别为 , ，用米尺测量得CD a ，没得测角仪的高为 h ．
③经计算建筑物 sin sin
sin( )
aAB h
（或者写成 tan tan
tan tan
a h
）．
（2）①测量工具问题；
②两次测量时位置的间距差；
③用身高代替测角仪的高度．
【点睛】
关键点点睛：本题考查解三角形的应用，不可及测量问题，可通过构造三角形（最好是直角三角形），确定
解此三角形所需要的元素，测了这些元素，然后求解．
44．（2021·山西晋城市·高三二模（理））在 ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，
2 2 2 24 2 cosa c b c bc A ．
（1）求角 A 的大小；
（2）若 AD BC ，垂足为 D ，且 8BC ，求 AD 的最大值．
【答案】（1）
3A ；（2） 4 3 .
【分析】
（1）根据角 A 的余弦定理化简原式，由此求解出 cos A的值，则 A 的值可求；
（2）根据三角形的面积公式可知 1 1 sin2 2AD BC bc A ，然后用 ,b c 表示出 AD ，再结合余弦定理以及
基本不等式求解出 AD 的最大值.
【详解】
（1）因为 2 2 2 24 2 cosa c b c bc A ，所以 2 2 2 24 cos 2 cosa c b c A bc A ，
又因为 2 2 22 cosbc A b c a ，所以 2 2 2 2 2 2 24 cosa c b c A b c a ，
所以 2 22 4 cosc c A 且 2 0c ，所以 1cos 2A 且 0,A ，所以
3A ；
（2）因为 1 1 sin2 2ABCS AD BC bc A ，所以 3
16AD bc ，
又因为 2 2 2 2 cos 64a b c bc A ，所以 2 2 64b c bc ，
又 2 2 2b c bc ，所以 2 64bc bc ，所以 64bc ，
所以 3 3 64 4 316 16AD bc ，取等号时 8b c ，
所以 AD 的最大值为 4 3 .
【点睛】
关键点点睛：解答本题第二问的关键在于将三角形面积的两种计算方法联系在一起，将 AD 的最值问题转
化为 bc 的最值问题；本例中，除了可以利用正弦定理以及基本不等式求解bc 的最大值，还可以通过余弦定
理将 ,b c 化为角的形式并借助三角恒等变换的公式完成求解.
45．（2021·北京朝阳区·高三二模）在 ABC 中， 2 2 2 4 2
3b c a bc .
（1）求 tan A 的值；
（2）若3 sin 2 sinc A a B ，且 ABC 的面积 2 2S ，求 c 的值.
【答案】（1） 2
4
；（2） 2 2 .
【分析】
（1）利用余弦定理化简已知条件，求得 cos A的值，求得 sin A 的值，进而求得 tan A 的值.
（2）利用正弦定理化简已知条件，得到 3 2
2b c ，结合三角形的面积公式求得 c .
【详解】
（1）因为 2 2 2 4 2
3b c a bc ，
所以
2 2 2 2 2cos 2 3
b c aA bc
.
因为 (0, )A ，所以 2 8 1sin 1 cos 1 9 3A A .
所以 sin 1 3 2tan cos 3 42 2
AA A
.
（2）因为3 sin 2 sinc A a B ，
由正弦定理得 3 2ac ab ，所以 3 2
2b c .
因为 ABC 的面积为 1 sin 2 22S bc A ，
即
21 3 2 1 2 22 2 3
c ，所以 2 8c .
所以 2 2c .
46．（2021·江苏高三月考）在① 4 sin cos 3a B A b ，② 2 2 2sin sin ( )sin b B c C b c A ，
③ 3sin cos b aA A a b
．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出
cos B 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：在 ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，已知 1cos 3C ，________．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】答案不唯一，具体见解析．
【分析】
若选①，则由正弦定理可得 4sin sin cos 3sinA B A B ，化简后可求出角
6A 或
3
，再由 1cos 3C 求
出 2 2sin 3C ，然后由 cos cos( )B A C 可求出 cos B 的值；
若选②，则由正弦定理得 3 3 2( ) b c b c a ，即可得 2 2 2b c bc a ，再利用余弦定理可求得 cos A，
从而可求出角
3A ，再由 1cos 3C 求出 2 2sin 3C ，然后由 cos cos( )B A C 可求出 cos B 的值；
若选③，由 3sin cos b aA A a b
结合辅助角公式和基本不等式可得sin A 16
，则可求出
3A ，
而利用基本不等式时有 a b ，从而可得三角形为等边三角形，与 1cos 3C 相矛盾，则可得问题中的三角
形不存在
【详解】
选①：因为 4 sin cos 3a B A b ，由正弦定理得 4sin sin cos 3sinA B A B ，
所以 (0, )B ，所以sin 0B ，
所以 4sin cos 3A A ， 3sin 2 2A ，
又 (0, )A ， 2 (0,2 )A ，所以 2 3
A 或 2
3
，即
6A 或
3
．
因为 1cos 3C ， (0, )C ，所以 2 2 2sin 1 cos 3C C ．
当
6A 时， cos cos( )B A C
3 1 1 2 2 2 2 3cos 6 2 3 2 3 6C
，
当
3A 时， cos cos( )B A C
1 1 3 2 2 2 6 1cos 3 2 3 2 3 6C
，
因此 cos B 的值为 2 2 3
6
或 2 6 1
6
．
选②：因为 2 2 2sin sin ( )sin b B c C b c A ，
由正弦定理得 3 3 2( ) b c b c a ，
因为 0b c ，所以 2 2 2b c bc a ，
所以
2 2 2 1cos 2 2
b c aA bc
，
因为 (0, )A ，所以
3A ．
因为 1cos 3C ， (0, )C ，所以 2 2 2sin 1 cos 3C C ，
所以 cos cos( )B A C
1 1 3 2 2 2 6 1cos 3 2 3 2 3 6C
，
因此 cos B 的值 2 6 1
6
．
选③：因为 3sin cos b aA A a b
，所以 2sin 6
b aA a b
，
因为 2 2sin 2 26
b a b aA a b a b
，
于是 2b a
a b
，即 a b ；且 2sin 26A
，即 sin 16A
，
注意到 (0, )A ， 7,6 6 6A
，
因此
6 2A ，即
3A ，
于是 ABC 为等边三角形，
因此 1cos 2C 与 1cos 3C 相矛盾，
故 ABC 不存在．
【点睛】
关键点点睛：此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角函数恒等变换公式的应用，解题的关键是利
用正弦定理进行边角互化，从而可求出角 A 的值，再结合三角函数恒等变换公式求出 cos B 的值，考查计算
能力，属于中档题
47．（2021·江西新余市·高三二模（文））已知在 ABC 中， 5AC ， 120C ， cos 3sinA B ．
（1）求边 BC 的长；
（2）设 D 为 AB 边上一点，且 BCD△ 的面积为 15 3
4
，求 sin BDC ．
【答案】（1）5；（2） 5 7sin 14BDC ．
【分析】
（1）利用三角形内角和定理，将角 A 转化为角 B ，化简已知条件求得角 B ，然后求得角 A ，利用等腰三
角形求得 BC 的长.
（2）利用三角形面积列方程，求得 BD 的值，利用余弦定理求得 CD 的值，利用正弦定理求得 sin BDC
的值.
【详解】
解：（1）由 cos 3sinA B 及 120C ，得 cos 60 3sinB B ，
整理得 1 3cos sin 3sin 02 2B B B ，即 cos 60 0B ，
又 0 60B ，所以 30B ．
所以 60 30A B ，即 30A B ，
所以 5BC AC ．
（2）由 1 15 3sin2 4BCDS BC BD B
，| | 5BC ， 1sin sin 30 2B
解得| | 3 3BD ．
在 BCD△ ，有余弦定理得， 2 2 2 2 cos 7CD BC BD BC BD B ，所以 7CD ，
在 BCD△ 中，由正弦定理得，
sin sin
BC CD
BDC B
，
即 5 2 7sin BDC
，所以 5 7sin 14BDC ．
48．（2021·浙江高一期末） ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c．已知
2 2 2(2sin 3sin ) 4sin sinA B C B ．
（1）求角 C 的大小；
（2）若 1, 7b c ，求 cos( )B C 的值．
【答案】(1) 6C ；(2) 5 7
14
．
【分析】
(1)将等式化简，再利用正弦定理及余弦定理，即可求出角C ；
(2)利用正弦定理求出sin B ，再根据b c ，可知 B C ，进而可根据同角三角函数关系，求出 cos B ，再
利用两角差的余弦公式可求得答案.
【详解】
(1)由 2 2 2(2sin 3sin ) 4sin sinA B C B 化简，
得 2 2 2sin sin sin 3sin sinA B C A B ，由正弦定理，得 2 2 2 3a b c ab ，
由余弦定理得
2 2 2 3cos 2 2
a b cC ab
，又 (0, )C ，所以
6C .
(2)因为 1b ， 7c ，所以由正弦定理
sin sin
b c
B C
，得 sin 7sin 14
b CB c
，
因为 b c ，所以 B C ，所以 2 3 21cos 1 sin 14B B ，
所以 cos( ) cos cos sin sinB C B C B C 3 21 3 7 1 5 7
14 2 14 2 14
．
所以 5 7
14cos( )B C ．
【点睛】
易错点睛：本题在利用同角三角函数求 cos B 时，需要注意利用大边对大角确定角 B 的范围.
49．（2021·宁夏吴忠市·高三其他模拟（理））在 ABC 中，内角 A ､ B ､C 的对边分别为 a ､b ､ c ，且 13c ，
4a b ， sin sin2
A Bb c B ，求：
（1）C 的值；
（2） ABC 的面积S.
【答案】（1） π
3
；（2） 3
4
.
【分析】
（1）根据 sin sin2
A Bb c B ，利用正弦定理转化为 πsin sin sin sin2
CB C B 求解；
（2）结合 13c ， 4a b ，利用余弦定理得到 ab ，然后利用三角形面积公式求解.
【详解】
（1） sin sin2
A Bb c B ，
由正弦定理得 πsin sin sin sin2
CB C B ，
sin 0B ，
cos sin 2sin cos2 2 2
C C CC ，
0,πC ，
π0,2 2
C
，
1sin 2 2
C ，
因此 π
2 6
C ， π
3C .
（2）由余弦定理可得 2 2 2 2 cosc a b ab C ，
即 2 22 2 π13 2 cos 33a b ab a b ab ，
4a b ，
213 4 3ab ， 1ab ，
ABC 的面积 1 1 π 3sin 1 sin2 2 3 4S ab C .
【点睛】
方法点睛：有关三角形面积问题的求解方法：(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化；(2)合理运用三角函
数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等．
50．（2021·安徽马鞍山市·高三三模（理））如图，在 ABC 中， 2
3ABC ，D 为 AC 边上一点且 AB BD ，
2BD .
（1）若 2CD ，求 BCD△ 的面积；
（2）求 2 1
AD CD
的取值范围.
【答案】（1）1 3
2
；（2） 3 ,12
.
【分析】
（1）在 BCD△ 中，利用正弦定理求得sinC ，进而通过二角和差公式求出sin BDC ，再通过面积公式得
到答案；
（2）由正弦定理求出 AD 、CD 的表达式，求出 2 1
AD CD
的代数式，在运用角的关系和范围求 2 1
AD CD
的取值范围.
【详解】
（1） 2
3ABC ， AB BD ，
6DBC ，
在 BCD△ 中，
sin sin
DC BD
DBC C
，解得： 2sin 2C ，
4C
44 4
2 6sin sin sin sin cos cos sin6 6 64 64BDC
1 1 2 6 1 3sin 2 22 2 4 2BDCS BD DC BDC
；
（2）在 BCD△ 中，
sin sin
DC BD
DBC C
得： 2sin 16
sin sinCD C C
，
在 ABD△ 中，
sin sin
AD BD
ABD A
得： 2sin 22
sin sinAD A A
，
sin sin2 1
sin si
2 2
n
1 1 A CC
C
A
A
D D
，
2
3ABC ，
3A C ，
sin sin sin sin2
3
1 A C CAD CD C
，
整理得： n2 i 3
1 s CAD CD
，
30 C ，
2,3 3 3C
，
3sin ,13 2C
，
故 2 1
AD CD
的取值范围为 3 ,12
.
【点睛】
思路点睛：
解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的
最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用
正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
四、填空题
51．（2021·吉林高三其他模拟（文））已知 a，b，c 分别为 ABC 三个内角 A，B，C 的对边，且
cos 3 sin 0a C a C b c ，则 A ___________.
【答案】
3
【分析】
根据正弦定理化简已知式子，由正弦值得到 A 的值.
【详解】
由已知 cos 3 sin 0a C a C b c ，
由正弦定理得 sin cos 3sin sin sin sin 0A C A C B C .
又sin sin[ ( )] sin( )B A C A C ，
∴sin cos 3sin sin (sin cos cos sin ) sin 0A C A C A C A C C ，
整理得sin ( 3sin cos 1) 0C A A ，又 0,C ，则sin 0C ，
∴ 3 sin cos 1 0A A- - = ，即 3 12 sin cos 12 2A A
，
于是 2sin 16A
，∴ 1sin 6 2A .
又 (0, )A ，∴ 5,6 6 6A
，∴
6 6A ，
3A .
故答案为：
3
【点睛】
关键点点睛：本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，以及辅助角公式的应用，解决这类问题的关键在
于对公式的熟练掌握以及灵活运用，属于基础题.
52．（2021·全国高三月考（文）） ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，已知
2 2 2
22 02cos
a b c bc bA
，
则 A ___________.
【答案】 2
3
【分析】
根据余弦定理和已知条件，化简得到
2
22 0cos
b bA
，得到 1cos 2A ，即可求解.
【详解】
由余弦定理，可得 2 2 2 2 cosa b c bc A ，可得
2 2 2
2cos
b c abc A
，
因为
2 2 2
22 02cos
a b c bc bA
，可得
2 2 2 2 2 2
22 02cos 2cos
a b c b c a bA A
，
整理得
2
22 0cos
b bA
，所以 1cos 2A ，
因为 (0, )A ，所以 2
3A .
故答案为： 2
3
.
53．（2021·河南开封市·高三三模（文）） ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知
3A ，
6b c ，且 ABC 的外接圆半径为 1，则 ABC 的面积为_____．
【答案】 3
4
【分析】
由正弦定理求 a，由余弦定理求 bc，再应用三角形面积公式求 ABC 的面积.
【详解】
由题意，结合正弦定理知： 2sin
a
A
，即 3a ，
又由余弦定理知：
2 2 2 2 2( ) 2 1cos 2 2 2
b c a b c a bcA bc bc
，而 6b c ，
∴综上，有： 3 3
2 2bc
，即 1bc ，
∴ 1 3sin2 4ABCS bc A △ .
故答案为： 3
4
.
54．（2021·山西高三二模（理））在锐角 ABC 中， D 为 BC 的中点， 3AB ， 7AC ，且
3sin cos sin cos 2BC B C AB B A AC ，则 AD __________．
【答案】 7
【分析】
由题设条件和正弦定理，以及三角恒等变换的公式，化简得 3sin 2B ，得到
3B ，在 ABC 中，由
余弦定理求得 2BC 或 1BC ，进而结合余弦定理求得 AD 的长.
【详解】
由 3sin cos sin cos 2BC B C AB B A AC ，
由正弦定理可得的 3sin sin cos sin sin cos sin2A B C C B A B ，
因为 (0, )B ，可得sin 0B ，所以 3sin cos sin cos 2A C C A ，
即 3sin( ) sin 2A C B ，所以
3B ，
在 ABC 中，由余弦定理可得 2 2 2 2 cosAC AB BC AB BC B ，
即 2 3 2 0BC BC ，解得 2BC 或 1BC
当 1BC 时，此时
2 2 2 1cos 02 2 1 7
BC AC ABC BC AC
，
此时 ABC 为钝角三角形，不符合题意，舍去；
当 2BC 时，因为 D 为 BC 的中点，可得 1BD
在 ABD△ 中，
由余弦定理可得： 2 2 2 2 cos 3AD AB BD AB BD 2 2 13 1 2 3 1 72
，
所以 7AD .
故答案为： 7 .
55．（2021·吉林长春市·东高一期中）已知在△ ABC 中， 2 2 2a b ab c ， 3c ，则△ ABC
外接圆的半径是____________.
【答案】1
【分析】
又余弦定理可求出 cosC ，再由正弦定理即可求出.
【详解】
2 2 2a b ab c ，即 2 2 2a b c ab ，
2 2 2 1cos 2 2 2
a b c abC ab ab
，
0,C ， 3sin 2C ，
设△ ABC 外接圆的半径为 R ，则
32 2sin 3
2
cR C
，即 1R .
故答案为：1.
56．（2021·新疆高三其他模拟（理））在 ABC 中，已知 9AB ， 7BC ， 19cos 21C A ，则
cos B ______．
【答案】 11
21
【分析】
在 AB 上取点 D，使 CD AD ，从而在 BCD△ 中， BCD C A ，利用余弦定理解出各边长，从
而求得 cos B
【详解】
由 9AB ， 7BC 知， AB BC C A ；
如图在 AB 上取点 D，使 CD AD ，则 DCA A ，
故 BCD C A ，即 19cos 21BCD
设CD AD x ，则 9BD x ，在 BCD△ 中，
由余弦定理知， 2 2 2 2 cosBD CD BC CD BC BCD ，
因此 2 2 19(9 ) 49 2 7 21x x x ，解得 6x ，
所以 6CD ， 3BD ，
由余弦定理知，
2 2 2 9 49 36 11cos 2 2 3 7 21
BD BC CDB BD BC
故答案为： 11
21
【点睛】
关键点点睛：找到条件给的 C A 所在的三角形，利用余弦定理求得边长，从而求得角的余弦值.
57．（2021·安徽高三二模（理））已知 ABC 内角 A 、 B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ，面积为S，满足
cos cos 1a B b A ，且 2 2 34 1a b S ，则 ABC 的外接圆半径为_____________.
【答案】1
【分析】
利用正弦定理边角互化可求得 1c ，然后利用余弦定理结合三角形的面积公式求出C 的值，再利用正弦定
理可求得 ABC 的外接圆半径.
【详解】
设 ABC 的外接圆半径为 r ，则
cos cos 2 sin cos 2 cos sina B b A r A B r A B 2 sin 2 sin 1r A B r C c ，
因为 2 2 34 1a b S ，则 2 2 24 3S a b c ，所以， 14 3 sin 2 cos2 ab C ab C ，
整理可得 3tan 3C ， 0 C ，可得
6C ，
由正弦定理可得 2 2sin
cr C
，解得 1r .
故答案为：1.
【点睛】
方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到
答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有 a 、b 、 c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
五、双空题
58．（2021·浙江高三其他模拟）在 ABC 中，角 A ，B ，C 的对应边分别为 a ，b ，c ，若 3
sin cos
a b
A B
，
2 3b ， 2c ，则 B ___________， ABCS ___________.
【答案】
3
2 3
【分析】
用正弦定理化边为角可得 B ，再由余弦定理可得 a ，进而可得面积.
【详解】
由 3
sin cos
a b
A B
及正弦定理得： 3sin
sin cos
sinA
A
B
B
， tan 3B ，
0,B ，
3B ；
由余弦定理得: 2 2 2 2 cosb a c ac A ， 2 2 8 0a a ，解得 4a (负值舍)，
1 1 3sin 4 2 2 32 2 2ABCS ac B= = 创 �△ .
故答案为:
3
； 2 3
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