第一章-集合
考试内容: 集合、子集、补集、交集、并集.数学探索逻辑联结词.四种命题.充分条件和必要条件.考试要求: (1)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念;了解空集和全集的意义;了解属于、包含、相等关系的意义;掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合.数学探索©版权所有www.delve.cn(2)理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系;掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义.
§01. 集合与简易逻辑 知识要点
一、知识结构:
本章知识主要分为集合、简单不等式的解法(集合化简)、简易逻辑三部分:
二、知识回顾:
(一) 集合
1. 基本概念:集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用.
2. 集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法.
集合元素的特征:确定性、互异性、无序性.
集合的性质:
①任何一个集合是它本身的子集,记为 ;
②空集是任何集合的子集,记为 ;
③空集是任何非空集合的真子集;
如果 ,同时 ,那么A = B.
如果 .
[注]:①Z= {整数}(√) Z ={全体整数} (×)
②已知集合S 中A的补集是一个有限集,则集合A也是有限集.(×)(例:S=N; A= ,则CsA= {0})
③ 空集的补集是全集.
④若集合A=集合B,则CBA = , CAB = CS(CAB)= D ( 注 :CAB = ).
3. ①{(x,y)|xy =0,x∈R,y∈R}坐标轴上的点集.
②{(x,y)|xy<0,x∈R,y∈R 二、四象限的点集.
③{(x,y)|xy>0,x∈R,y∈R} 一、三象限的点集.
[注]:①对方程组解的集合应是点集.
例: 解的集合{(2,1)}.
②点集与数集的交集是 . (例:A ={(x,y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则A∩B = )
4. ①n个元素的子集有2n个. ②n个元素的真子集有2n -1个. ③n个元素的非空真子集有2n-2个.
5. ⑴①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真. 否命题 逆命题.
②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真. 原命题 逆否命题.
例:①若 应是真命题.
解:逆否:a = 2且 b = 3,则a+b = 5,成立,所以此命题为真.
② .
解:逆否:x + y =3 x = 1或y = 2.
,故 是 的既不是充分,又不是必要条件.
⑵小范围推出大范围;大范围推不出小范围.
3. 例:若 .
4. 集合运算:交、并、补.
5. 主要性质和运算律
(1) 包含关系:
(2) 等价关系:
(3) 集合的运算律:
交换律:
结合律:
分配律:.
0-1律:
等幂律:
求补律:A∩CUA=φ A∪CUA=U ðCUU=φ ðCUφ=U
反演律:CU(A∩B)= (CUA)∪(CUB) CU(A∪B)= (CUA)∩(CUB)
6. 有限集的元素个数
定义:有限集A的元素的个数叫做集合A的基数,记为card( A)规定 card(φ) =0.
基本公式:
(3) card(ðUA)= card(U)- card(A)
(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸
1.整式不等式的解法
根轴法(零点分段法)
①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(0”,则找“线”在x轴上方的区间;若不等式是“b解的讨论;
②一元二次不等式ax2+box>0(a>0)解的讨论.
二次函数
( )的图象
一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根
R
2.分式不等式的解法
(1)标准化:移项通分化为 >0(或