八年级数学上册全等三角形总复习

1.全等三角形的性质: 对应边、对应角、对应线段相等，周长、面积也相等。 2.全等三角形的判定: 知识点 ①一般三角形全等的判定： SAS、ASA、AAS、SSS ②直角三角形全等的判定： SAS、ASA、AAS、SSS、HL 知识点 3.三角形全等的证题思路：    已知一边一角     ASA找夹边已知两角     SAS找夹角 已知两边 SSS找另一边 HL找直角     SAS找夹角的另一边 边为角的邻边 AAS找任一角 ASA找夹角的另一角 AAS找边的对角 AAS找任一边 ① ② ③ 边为角的对边 到角的两边的距离相等的点在角的平 分线上。 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 二.角的平分线： 1.角平分线的性质： 2.角平分线的判定： 2.如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等 ∵BM是△ABC的角平分线,点P在 BM上, PD⊥AB于D，PE⊥BC于E A B C P MN D E F ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距 离相等). 同理,PE=PF. ∴PD＝PE=PF. 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等 证明：过点P作PD⊥AB于D， PE⊥BC于E，PF⊥AC于F 3.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相 交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上． 证明： 过点F作FG⊥AE于G， FH⊥AD于H，FM⊥BC于M G H M ∵点F在∠BCE的平分线上， 　　　　 FG⊥AE， FM⊥BC ∴FG＝FM（角平分线上的点到这个角 的 两边距离相等）.又∵点F在∠CBD的平分线上， 　 FH⊥AD， FM⊥BC ∴FM＝FH （角平分线上的点到这个角的两边距离相等）. ∴FG＝FH（等量代换）∴点F在∠DAE的平分线上　　　 例题选析 §例1：如图，D在AB上，E在AC上，且∠B =∠C，那么补充下列一具条件后，仍无法判 定△ABE≌ △ACD的是( ) A．AD=AE B． ∠AEB=∠ADC C．BE=CD D．AB=AC B §例2：已知：如图，CD⊥AB，BE⊥AC， 垂足分别为D、E，BE、CD相交于O点， ∠1=∠2，图中全等的三角形共有( ) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 D 已知： AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD. 求证：BC=AD. 例3. A B CD §例4:下面条件中, 不能证出Rt△ABC≌Rt△A' B'C'的是[ ] (A.)AC=A'C' , BC=B'C' (B.)AB=A'B' , AC=A'C' (C.) AB=B'C' , AC=A'C' (D.)∠B=∠B' , AB=A'B' C §例5：如图，在△ABC 中，AD⊥ BC，CE⊥ AB，垂足分别为D、E， AD、CE交于点H，请你添加一个适 当的条件： ，使 △AEH≌ △CEB。 BE=EH § 例6：求证：三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。 已知：如图，AD是△ABC 的中线，求证： )(2 1 ACABAD  A B CD E 证明：延长AD到E，使DE＝AD，连结BE EDBADC  ∵ AD是△ABC 的中线 ∴　BD＝CD 又 ∵　DE＝AD ∴ △ADC ≌ △EDB ∴ AC = EB 在△ABE中，AE < AB+BE＝AB+AC 即 2AD < AB+AC ∴ )(2 1 ACABAD  课堂练习 1.已知BD＝CD，∠ABD＝∠ACD，DE、 DF分别垂直于AB及AC交延长线于E、F， 求证：DE＝DF 证明：∵∠ABD＝∠ACD（ ） ∴∠EBD＝∠FCD（ ） 又∵DE⊥AE，DF⊥AF（已知） ∴∠E＝∠F＝900（ ） 在△DEB和△DFC中 ∵ ∴△DEB≌ △DFC（ ） ∴DE＝DF（ ）      （已知）＝ （已证）＝ 已证 CDBD FCDEBD FE )( 全等三角形的对应边相等 AAS 垂直的定义 等角的补角相等 已知 2.点A、F、E、C在同一直线上，AF＝CE， BE = DF，BE∥DF，求证：AB∥CD。 证明： AEB ≌ CFD CEAF  CFAE  BE又 ∥DF 21  DFBE 又 CA  AB ∥CD 3、如图：在△ABC中，∠C =900，AD 平分∠ BAC，DE⊥AB交AB于E， BC=30，BD：CD=3：2，则 DE= 。12 c A B D E 4.已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条 直线上求证：BE=AD E D C A B 变式：以上条件不变，将 △ABC绕点C旋转一定角度 （大于零度而小于六十度）， 以上的结论还成立吗？ 证明： ∵ △ABC和△ECD都是等边三角形 ∴ AC=BC DC=EC ∠BCA=∠DCE=60° ∴ ∠BCA+∠ACE=∠DCE+ ∠ACE 即∠BCE=∠DCA 在△ACD和△BCE中 AC=BC ∠BCE=∠DCA DC=EC ∴ △ACD≌ △BCE (SAS) ∴ BE=AD 5：如图，已知E在AB上，∠1=∠2， ∠3=∠4，那么AC等于AD吗？为什么？ 4 3 2 1E D C BA 解：AC=AD 理由：在△EBC和△EBD中 ∠1=∠2 ∠3=∠4 EB=EB ∴ △EBC≌ △EBD (AAS) ∴ BC=BD 在△ABC和△ABD中 AB=AB ∠1=∠2 BC=BD ∴ △ABC≌ △ABD (SAS) ∴ AC=AD 6：如图，已知，AB∥DE，AB=DE，AF=DC。请问图中有那几对全 等三角形？请任选一对给予证明。 F E DC B A 答： △ABC≌ △DEF 证明：∵ AB∥DE ∴ ∠A=∠D ∵ AF=DC ∴ AF+FC=DC+FC ∴ AC=DF 在△ABC和△DEF中 AC=DF ∠A=∠D AB=DE ∴ △ABC≌ △DEF （SAS） 7.如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA， CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。 A C E B D 要证明两条线段的和与一条线段 相等时常用的两种方法： 1、可在长线段上截取与两条线段 中一条相等的一段，然后证明剩 余的线段与另一条线段相等。 （割） 2、把一个三角形移到另一位置， 使两线段补成一条线段，再证明 它与长线段相等。（补） P27 P27 P27 练习 7：如图，已知，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两 个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只 写出一种情况）①AB=AC ②DE=DF ③BE=CF 已知： EG∥AF 求证： G F E D CB A 高 拓展题 8.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF. 求证:BC∥EF B C A F E D 10.如图：在四边形ABCD中，点E在边CD上， 连接AE、BE并延长AE交BC的延长线于点F， 给出下列5个关系式：：①AD∥BC，②， DE=EC③∠1=∠2，④∠3=∠4， ⑤AD+BC=AB。将其中三个关系式作为已知， 另外两个作为结论，构成正确的命题。请 用序号写出两个正确的命题：（书写形式： 如果……那么……） （1） ； （2） ； 4 3 2 1 F E （第18题） D C B A 11.如图，在R△ABC中，∠ACB=450， ∠BAC=900，AB=AC，点D是AB的中点， AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的 延长线于E，求证：BC垂直且平分DE. 12.已知：如图：在△ABC中，BE、CF 分别是AC、AB两边上的高，在BE上 截取BD=AC，在CF的延长线上截取 CG=AB，连结AD、AG。 w 求证：△ ADG 为等腰直角三角形。 G H F E D C B A 13.已知：如图21，AD平分 ∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于 F，DB=DC， 求证：EB=FC 总结提高 学习全等三角形应注意以下几个问题： （1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应 角”与 “对角”的不同含义； （2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的 字母要写在对应的位置上； （3）：要记住“有三个角对应相等”或“有两边及 其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等； （4）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、 “公共边”、“对顶角”