第 11 章数的开方
§ 111 平方根与立方根
1、 平方根
1、平方根的定义：如果一个数的平方等于⑴ 那么这个数叫做 d 的平方根。（也叫做二次方根） 即:若—则
兀叫做 a 的平方根。
2. 平方根的性质：（1） 一个正数有两个平方根。它们互为相反数；（2）零的平方根是零; （3）
负数没有平方根。
二、算术平方根。1.算术平方根的定义：正数 a 的正的平方根，叫做 a 的算术平方根。
2、算术平方根的性质：（1） 一个正数的算术平方根只有一个且为正；（2）零的算术平方根 是零；
（3）负数没有算术平方根；（4）算术平方根的非负性：需$0。
三、平方根和算术平方根是记号：平方根土需（读作：正负根号 a）:算术平方根需（读 作根号 a）即：
“土需”表示 a 的平方根，或者表示求 a 的平方根；“需”表示 a 的算术平方 根，或者表示求。的算术平方
根。其中。叫做被开方数。•••负数没有平方根，.••被开方数。必 须为非负数,即：心 0。
四、 开平方:求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。其实质就是:已知指数和二次 幕求底数的运
算。
五、立方根
1、立方根的定义：如果一个数的立方等于宀 那么这个数叫做"的立方根。（也叫做三次方根）
即：若•宀 G 则兀叫做。的立方根。
2、立方根的性质：（1） 一个正数的立方根为正；（2） —个负数的立方根为负；（3）零的立方根 是零。
3、立方根的记号：需（读作：三次根号 4）, 4 称为被开方数，“3”称为根指数。
丽中的被开方数 a 的取值范围是：4 为全体实数。
六、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。其实质就是：已知指数和三次幕求 底数的运算。
七、注意事项：
1、 “ 土需”、"”、“丽”的实质意义：“ ±
” 一问：哪个数的平方是°； “ 4a ”
f 问：哪个非负数的平方是"“亦”一问：哪个数的立方是 4。
2、 注意和"7 中的 a 的収值范用的应用。
如：若 J 兀一 3 有意义,则 x 取值范围是__________________ 。（・・・厂 3$0,・・」事 3）（填：x$3）
若站一兀 2009 冇意义,则兀取值范围是________________ 。（填：全体实数）
3、 □■二-斬如:= -3, -V27=-3, .\VZ27=-V27
4、 对于儿个算数平方根比较大小，被开方数越大，其算数平方根的值也越大。
如：Vio > V7 >恵 > 后 > 迈等。2 巧和 3 V2 怎么比较人小？
5、 算数平方根取值范 I 韦 I 的确定方法：关键：找邻近的“完全平方数的算数平方根”作参照。 如：
确定 J7 的収值范用。•・• jZvjy n, aHO)
文字：同底数幕和除，底数不变，指数和减。
2、注意事项：(1) a 可以是实数，也可以是代数式等。
如：兀'耳兀'=兀 2=兀；(-2)5 4- (-2) = (-2) 5_3= (-2) 2=4 ；
(V2)6-r(V2)4=(V2)论(V2)2=2； (a+b) 164- (a+b) H= (a+b)叫 S+b) J/+2" +b2
(2) 注意 aHO 这个条件。
(3) 注意该法则的逆应用，即：严〃二心―北 ill： a^=ax-rav, &+)严亠(兀+勿"十(兀+卅
§ 12 2 整式的乘法
一、 单项式与单项式相乘
法则：单项式与单项式相乘，只耍将它们的系数与系数相乘，相同字母的幕相乘，多余的 字母照搬到
绘后结果中。
3 3
如:(~5a~b~) • (-4 b e) • (--------ab) = [ (~5) X (一 4) X (-- ) ] • (a • a) • (b‘ • b ) • c =-30/b"c
2 2
二、 单项式与多项式相乘
法则：(乘法分配律)只要将单项式分別去乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。
女 11 ： (―3%2)(—%2 + 2 兀—1) = (-3x0 • (-%2) + (一 3F) • 2 兀一(一 3
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