华师大八年级数学上册复习提纲

八年级数学上册复习提纲 第行章数的开方 §11.1 平方根与立方根 一、 平方根 1、平方根的定义：如果一个数的平方等于 G 那么这个数叫做 G 的平方根。（也叫做二次 方根） 即：若/二则 x 叫做 a 的平方根。 2、平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根。它们互为相反数；（2）零的平方根是零;（3） 负数没有平方根。 二、 算术平方根 1、算术平方根的定义：正数 Q 的正的平方根，叫做 Q 的算术平方根。 2、算术平方根的性质：（1） 一个正数的算术平方根只有一个且为正； （2） 零的算术平方根是零； （3） 负数没有算术平方根； （4） 算术平方根的非负性：需 M0。 三、 平方根和算术平方根是记号：平方根一±石（读作：正负根号 G）；算术平方根一 4a （读 作根号 a） 即：“ ±侖”表示 a 的平方根，或者表示求 a 的平方根；“侖”表示 Q 的算术平方根， 或者表 示求 a 的算术平方根。 其屮 Q 叫做被开方数。•・•负数没有平方根，.••被开方数 Q 必须为非负数，即： 四、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。其实质就是：己知指数和二 次幕求 底数的运算。 五、 立方根 1、立方根的定义：如果一个数的立方等于°,那么这个数叫做。的立方根。（也叫做三次 方根） 即：若则 x 叫做 Q 的立方根。 2、立方根的性质：（1） 一个正数的立方根为正；（2） —个负数的立方根为负；（3）零的 立 方根是零。 3、立方根的记号：丽（读作：三次根号 a）, Q 称为被开方数，“3”称为根指数。 丽屮的被开方 数 Q 的取值范围是：Q 为全体实数。 六、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。其实质就是：已知指数和三次幕 求底数 的运算。 七、 注意事项： 1、“土证 I”、“E、“亦”的实质意义：“土品” 一问：哪个数的平方是山“E 一 问：哪个 非负数的平方是 Cl; “0 f 问：哪个数的立方是 2、注意需和亦中的 d 的取值范围的应用。 如：若 J7 二 5 有意义，则兀取值范围是______________ o （・・・％-3$0,・••无 23）（填： 兀 23） 若疳歸有意义，则兀取值范围是___________________o （填：全体实数） 3、口 i=顷。女山・.* ^^27 = -3, -V27=-3,・ \ /27 4、对于几个算数平方根比较大小，被开方数越大，其算数平方根的值也越大。 女 U： V10>V7>V6>V5>V2^o 2 侖和 3 0 怎么比较大小？（你知道吗？不知道就 问!!!!!!!） 5、算数平方根取值范围的确定方法：关键：找邻近的“完全平方数的算数平方根”作参 照。 如 h 确定 V7 的取值范围。•••扬 0) (3) 绝对值：实数 G 的绝对值为:|^|=J()(0 = 0) 一 ci(a < 0) 3、实数的运算：有理数的所有运算法则及运算律均适用于实数的运算。 4、实数的分类： (1) 按照正负性分为：正实数、零、负实数三类。 (2) 按照定义分为： 5、几个“非负数”:(1)於 0； (2) |Q|M0； (3)需 20。 6、实数与数轴上的点是一一对应关系。 第 12 章整式的乘除 §12.1 舉的运算 一、同底数幕的乘法 1 法则：a1 • an • cf.......................二……(附、斤、p 均为正整数) 文字：同底数幕相乘，底数不变，指数相加。 (3) (V^)2 -a (°20)； (2)除法:书荀 (Q0, /?>0) >[ a 2、注意事项： (1) 67 可以是实数，也可以是代数式等。 如:/ •龙 3 •龙 4 二严叫龙 9； (_2)2. (_2)3 二(_2 严二(_2)5 二_叭 (V2)3 - (T2),= (V2):i+4=(V2)7； (a+b 八 MY - M)= (d+b 严叫(d+疔 (2) 一定要“同底数幕” “和乘”时，才能把指数相加。 (3) 如果是二次根式或者整式作为底数时，要添加括号。 二、幕的乘方 推广：{[(/)"]"} 讣 文字：幕的乘方，底数不变，指数相乘。 2、注意事项: (1) 67 可以是实数，也可以是代数式等。 如：(^2)3=^2X3=^6； [(V2)3]4=(V2)3X4=(V2)12； [(a-h)2r=(小)叫(却 (2) 运用时注意符号的变化。 (3) 注意该法则的逆应用，即：严 (/)",如:少=@3)5= @5)3 三、积的乘方 1、法则：(ab)n=allbn 5 为正整数)。推广：(acde)n=anctl(flen 文字：积的乘方等于把积的每一个因式都分别乘方，再把所得的幕相乘。 2、注意事项： (1) Q、b 可以是实数，也可以是代数式等。 如：(2 龙)3=2%2=4 龙 2； (V2 X V3)2=(V2)2X (73)2=2X3=6； (~2abc) 3= (-2) 3ab3c= Sab^c ； [ (a+b) (a-b) ]2= (a+b)2 (a~b)2 (2) 运用时注意符号的变化。 (3) 注意该法则的逆应用,即:anbn =(ab)n；如:23X33= (2X3)3=63, (x+j)2 (x~y)2= [ (x+y) (x-y) ]2 四、同底数幕的除法 1、法则：am ^-an=am~n (m、n 均为正整数，m>n, QHO) 文字：同底数幕相除，底数不 变，指数相减。 2、注意事项： (1) 67 可以是实数，也可以是代数式等。 如:兀 Sf (-2)5^(-2)3=(-2)5~3=(-2)M； (V2)64-(72)=(V2) 6_4= (V2)=2；(a+b)16 4- (a+b) 14= (a+b) 16_14= MV=a+2ab +F (2) 注意 dHO 这个条件。 (3) 注意该法则的逆应用，即:am'n = anjratl；如：ax'y= (x+j)2a_3= (x+y)2a F (x+y)3 §12.2 整式的乘法 一、 单项式与单项式相乘 法则：单项式与单项式相乘，只要将它们的系数与系数相乘，相同字母的幕相乘，多余 的字母照 搬到最后结果屮。 女 H： (-5//?") • (-4 b'c) • (- —6f/?) = [ (-5) X (-4) X (- —) ] • (a‘ • a) • (b‘ • A2) • c =-30a b}c 2 2 1、法则:(any=amn (m. 〃均为正整数)。 二、 单项式与多项式相乘 法则：(乘法分配律)只要将单项式分别去乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。 女口： (-3x2)(—x2 + 2x -1) = (~3x2) • (-%2) + (~3x2)・ 2 兀一(一 3 土)• 1 = 3x4 - 6x3 + 3x2 三、多项式与多项式相乘 法则：(1)将一个多项式屮的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再将所得的积相 (2)把其屮一个多项式看成一个整体(单项式)，去乘以另一个多项式的每一项，再按 照单项式 与多项式相乘的法则继续相乘，最后将所得的积相加。 女 U ： (m+n) (a+b) = (m+ n)a+( m +n)b= ma+ na+mb+nb §12.3 乘法公式 一、 两数和乘以这两数的差 1、公式:(a+b) (a^b)=a-b2；名称:平方差公式。 2、注意事项：(1)心 b 可以是实数，也可以是代数式等。 如:(10+9) (10-9)=10-92=100-81=19； (2xy+a) (2xy-a) = (2xy) -a=4xy-a； (a+b+兀)(a+b -7i}~ (2xy) 2~a~=A xy~a ； (2) 注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公 式。 (3) 注意公式的来源还是“多项式 X 多项式”。 二、 完全平方公式 1、公式：U+b) 2=a + 2a b+b\名称：完全平方公式。 2、注意事项：(1)心 b 可以是实数，也可以是代数式等。 如：(V2+3)2=(V2)2+2X V2 X 34-3=2+6 血 +9 二 11+6 " ； (mn-a) 2= (m/?) -2m 刀• a+ a = mn~2mna+ cC\ (a+b - ) 2= ( a+b) 2~2 ( a+b)兀 + 兀'二 a~+2a b+b~~2. a~ yr b +疗 1 (2) 注意公式运用时的对位“套用”； (3) 注意公式中“中间的乘积项的符号”。 3、补充公式：(a+ b+ c) 2=a+c2+b2+2a b+2bc+2ca 特别提醒：利用乘法公式进行整式的运算时注意“思维顺序”是「一看二套三计算”。 §12.4 整式的除法 一、 单项式除以单项式 法则：单项式相除，只要将它们的系数与系数相除，相同字母的幕相除，只在被除式中 出现的字 母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 如:~21a'b'c-^-3ab- (-214-3) • a ~l • b31 • c --lal)c (2^y) 3 • (-7x/) ^14x4y3 =8x6y3 * C7xy2) ^14x4y3=f8X (-7) ] • x6+Iy3^2 ^14x4y3 =(-56 -rl4) • x7'4 • y5'3=-4x3y2 5 (2a+b)匕 (2a+b) 2= (5~H) (2a+b) 4'2=5 (2a+hz2=5 (4a2+4ah+h2) =20a2+20ah+5h2 二、 多项式除以单项式 法则：(乘法分配律)只要将多项式的每一项分别去除以单项式，再将所得的商相加。 如:(21x4y3-35x3y2+7x2y2)-r (-7x2y)=21x4y34- (-7x2y)-35x3y24- (-7x2y) +7x2y24- (~7x2y) =-3x2y2+5xy-y [4y (2x-y)-2x (2x-y) ] 4- (2x-y) = 4y (2x-y)~F (2x-y) -2x (2x-y) ] H- (2x-y)二 4y-2x ◊整式的运算顺序：先乘方(开方》，再乘除，最后加减，括号优先。 §12.5 因式分解 一、因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。(分解因 式) 因式分解与整式乘法互为逆运算 2 .因式分斛，八 x「整式乘法(N + 1)(K 1) 二、提取公因式法： 把一个多项式的公因式提取岀来，使多项式化为两个因式的积，这 种分解因式的方法叫做提公因式法。 △公因式定义：多项式中每一项都含有的相同的因式称为公因式。 △具体步骤：(1)“看”。观察各项是否有公因式；(2)“隔”。把每项的公因式“隔离” 出来； (3) “提”。按照乘法分配律的逆运用把公因式提岀来，使多项式化为两个因式的积。 A(f/-b)2n=(b-^)2n(n 为正整数)；(6/-b)2n+1=-(b-^)2n+1(n 为正整数)； 女口： 8a2h-4ah+2a=2a • 4ab~2a • 2h+2a • l=2a(4ah-2h+l)； 一 5 a+25 a=~5 a • a+5a • 5=~5 a(a+5) (注意：凡给出的多项式的“首项为负”时，要连同号与公因式一并提出来。) 三、公式法：利用乘法公式进行因式分解的方法，叫做公式法。 1、平方差公式：a-b2= (a+b) (a-Z>)；名称：平方差公式。 △注意事项：(1) Q、b 可以是实数，也可以是代数式等。 如：IO?—》二(10+9) (10—9)=19X1=19； 4xy~a-(2xy)2-tz2= (2xy+a)(2xy-ci)； (2n +1)2 一(2n 一 l)2 = (2n +1 + 2 斤 一 l)(2/z + 1-2/14-1) = 8n (2) 注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“界号”的情况，才能用平方差公 式。 (3) 注意公式的结构好形式，运用时一定要判断准确。 2、完全平方公式：(a+b) 2=a±2a b+b2；名称：完全平方公式。 △注意事项：(1)心 b 可以是实数，也可以是代数式等。 如：rn n~2mna+ ci = (mn) 2~2mn • a+ a1= (mn-a) x~+4xy+yz=x~+2 • x • 2y+(2y$二(x+2 y)2 (2) 注意公式运用时的对位“套用”； (3) 注意公式中“中间的乘积项的符号”。 四、补充分解法： 1、公式：x2+ (a+b) x+ab=(兀+a) (x+b) 如：X2+5X+6= X + (2+3)x+2X 3= (x+2) (x+3) ； x2+5x-6=x2+ [6+(-l))]x+6X (-l) = (x+6) (x-1) 2、“十字相乘法” 五、综合 1、 注意利用乘法公式进行因式分解时注意“思维顺序”是：“一看二套三分解”。 2、 遇到因式分解的题目时，其整体的思维顺序是：(1)看首项是否为“一”，若为“一”, 就 要注意提负号；(2)看各项是否有公因式，若有公因式，应该首先把公因式提取出来再说; (3)没有公因式时，就要考虑用乘法公式进行因式分解或者“十字相乘法”。 3. 注意事项：(1)注意 Sb)与(b ・ a)的关系是互为相反数；(2)因式分解要彻底, x~ — 2x — 8 = (x+2) (4) ■ ■■ 1=1 2 + (-4)=-2 不要只提出公因式就完，还要看剩下的因式是否可以继续分解；(3)现阶段的因式分解的题 目，一般 都要求在有理数范围内分解，所以不能出现带根号的数；(4)注意“十字相乘法” 只适用于“二次三项 式型”因式分解，不要乱用此法。 第 13 章全等三角形 命题 定义：可以判断真假的陈述句叫命题，止确的命题叫真命题，错误的命题叫 假命题； 一个命题分题设和结论两部分。 公理：有些命题的正确性是人们在长期实践过程中总结岀来的，并把他作为判 断其他 命题真假的原始依据，这样的真命题叫公理。 定理：从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并可以 作为 判断命题其他真假的依据，这样的命题叫定理。 互逆命题：两个命题屮，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一 个命题 结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。 如果把其中 一个叫做原命题，那么另一个命题就叫做逆命题。 互逆定理：如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理， 其中一 个定理叫做另一个定理的逆定理。 画线段 画角 画垂直平分线 过已知点画垂线 画角平分线 1 ・等腰三角形的判定：①如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形所对的边也 相等；②如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是 J 直角三角形。 ①性质：角平分线上的点到角两边的距离相等 2 •角平分线 V ②判定：到一个角两边距离相等的点在角平分线上 3•垂直平分线：厂①性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 J ②判定：到线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分 线上。 1•全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 2. 全等三角形： 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 表示方法：^ABC 竺△ DEF 全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等 3.三角形全等的判定: 五种基本尺规作图 No.l 边边边(SAS):三边对应相等的两个三角形全等。 No.2 角边角(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 No.3 角边角(ASA)：两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等。 No.4 角角边(AAS)：两个角和其中的一个叫的独边对应相等的两个三角形全等。 No.5 斜边，直角边(HL)：斜边和直角边对应相等的两个三角形全等。 第 14 章勾股定理 §14.1 勾股定理 一、直角三角形三边的关系 1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 几何 语言:如图，在 RtAABC 中,ZC=90°, ZA、ZB、ZC 所对的边分别是 a、b、c 则有：a2+b2=c2Q 2、勾股定理的证明反映了一种常用数学思想：“面积拼图法”。 3、注意事项：(1)勾股定理必须在 Rt△使用，若遇到非&△,则可引垂线段“造” Rt Ao (2)注意 Rt△中告诉的“直角”是哪个，以便准确确定“斜边”。(3)在运用勾股定理 求边长时，要用到“开平 方”运算，一定要指明“边长为正”的条件，求的是边长的算数平 方根。 二、Rt△的判定 1、直角三角形的定义：有一个角为直角的三角形叫做直角三角形。 2、有两个锐角互余的三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理：若 AAEC 的三边 a、b、c 满足 cr+b^c1,则 ZC=90°o ☆ “勾股数”：指三个满足 a2^b2=c2 的正整数，我们称为勾股数。 ☆注意勾股定理的逆定理的应用，只要涉及三角形三边长的问题，都要判定一下是否为 RtAo 三、反证法的步骤：先假设_________________ 是正确的，然后通过________________ ,推出与基 本事实，_____________________ , ____________________ ,或_____________________相矛盾，说 明__________________ ,从而得到____________________________________________ o §14.2 勾股定理的应用 常见问题： 1、求最短路径问题。如“蚂蚁爬树”、“到两个点的路程之和最短”等问题。 2、“通过问题”。如“过门洞”、“路线穿过公园”等问题。 3、“干扰问题”。如“台风影响”、“噪音影响”等问题。 4、阴影面积问题。 5、作图中的作 d, V3 , V5 , JT5 等问题。 §15 数据的收集与表示 生活中的数据无处不在，当大量的数据呈现在我们面前时，我们要收集、整理、分析这些 数据， 从而为我们的决策提供依据 频数、总次数、频率之间的关系(用公式表示) 频数二二 总数 X 频率 总次数二二 频数 4■频率 频率= 频数 4■总数 调查和借助统计图表是收集数据的基木方法•做统计图表是处理数据、表示数据的基木手段 1. 常见的统计图有：⑴ (2)折线统计图 (3) 条形统计图 扇形统计图能清楚地表示各部分的总体中所占的百分比，条形图能准确地表示出每个项目的 具体数目， B 折线图能清楚地反映事物的变化趋势 2 •扇形统计图及其特点： (1) 扇形统计图是利用圆和扇形来表示______________ 和部分的比例关系，即用圆表示 总数 . 韦扇形表示 部分对象所占的比例 ，扇形的大小反映 频率的大小 (2) 扇形统计图能清楚的表示各部分在总体中所占 频率 3 扇形中心角计算方法： ⑴扇形的中心角二 360° X 频率. (2)若已知扇形统计图，用量角器量出每个扇形 圆心角 的读数. 4. 画扇形统汁图的步骤 (1) ________________________________________________________ ； ⑵__________________________________________________________ ⑶ xlOO%.⑶部分占总体的百分比二予 一、选择题 1、与数轴上的点---------对应的是（ ） A、有理数 B、整数 C、无理数 D、实数 2、若一个有理数的平方根与立方根是相等的，则这个有理数一定是（ ） A、0 B、1 C、0 或 1 D、0 和 ±1 3、下列说法正确的是：（）A、4 的平方根是 2 B、一 1 的平方根是一 1 C、V49 = ±7 D、一 2 是 4 的一个平方根 4、a 是 4 的一个平方根，且 a/16 A、1 B、2 C、3 D、4 10、如果血二！有意义，则兀的取值范围是（ A、x>2 B、x