八年级数学下册分式方程复习学案

爱心 用心 专心 1 课题：分式方程(一) 学习目标：1．了解分式方程的概念, 和产生增根的原因. 2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程 的增根. 学习重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 学习难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 学习过程： 一、预习新知： 1、前面我们已经学习了哪些方程？是怎样的方程？如何求解？ （1）前面我们已经学过了 方程。 （2）一元一次方程是 方程。 （3）一元一次方程解法 步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为 1。 如解方程： 16 32 4 2  xx 2、探究新知：一艘轮船在静水中的最大航速为 20 千米/时，它沿江以最大航速顺流 100 千米所用 时间，与以最大航速逆流航行 60 千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 分析：设江水的流速为 v 千米/时，根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系， 得到方程： vv  20 60 20 100 . 像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程。 分式方程与整式方程的区别在哪里？通过观察发现得到这两种方程的区别在于未知数是否在分母 上。未知数在分母的方程是分式方程。未知数不在分母的方程是整式方程。前面我们学过一元一次方程 的解法，但是分式方程中分母含有未知数，我们又将如何解？ 解分式方程的基本思路是将分式方程转化为 方程，具体的方法是去分母，即方程两边同乘 以最简公分母。 如解方程： v20 100 = v20 60 …………………… ① 去分母：方程两边同乘以最简公分母（20+v）（20-v），得 100（20-v）=60（20+v）……………………② 解得 v=5 观察方程①、②中的 v 的取值范围相同吗？ 1 由于是分式方程 v≠±20,而②是整式方程 v 可取任何实数。 这说明，对于方程①来说，必须要求使方程中各分式的分母的值均不为 0.但变形后得到的整式方程②则 没有这个要求。如果所得整式方程的某个根，使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为 0，也就是说， 使变形时所乘的整式的值为 0，它就不适合原方程，即是原分式方程的增根。因此，解分式方程必须验根。 如何验根：将整式方程的根代入最简公分母，看它的值是否为 0.如果为 0 即为增根。 爱心 用心 专心 2 如解方程： 5 1 x = 25 10 2 x 。 分析：为去分母，在方程两边同乘最简公分母  5 5x x  ， 得整式方程 5 10x   解得 5x  将 5x  代入原方程的最简公分母检验，发现这时分母 5x  和 2 25x  的值都是 0，相应的分式无 意义。因此， 5x  虽是整式方程的解，但不是原分式方程的解。实际上，这个方程无解。 二、课堂展示 解方程：   5 3 12 2 2x x x x    [分析]找对最简公分母 x(x-2),方程两边同乘 x(x-2),把分式方程转 化为整式方程，整式方程的解必须验根 总结：解分式方程的一般步骤是： 1.在方程两边同乘以最简公分母，化成 方程； 2.解这个 方程； 3.检验：把 方程的根代入 。如果值 ，就是原方程的根；如果 值 ，就是增根，应当 。 三、随堂练习： 解方程 （1） 5 3 2x x   （2） 1 51 4 4 x x x    （3） 2 3 2 4 1 1 1x x x     （4） 6 3 04 1x x    四、当堂检测： 解方程： ⑴ 3 1 2 2 3 x x   ； ⑵ 10 5 22 1 1 2 x x x    。 五、小结与反思： 爱心 用心 专心 3 课题：分式方程(二) 学习目标：1．进一步了解分式方程的概念, 和产生增根的原因. 2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程 的根. 学习重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的根. 学习难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的根. 教学过程： 一、预习新知： 1、前面我们已经学习了哪些方程 2、整式方程与分式方程的区别在哪里？ 3、解分式方程的步骤是什么？ 4、解分式方程 ⑴ 1 1 1 2 2x x   ⑵ 2 6 3 x x x x   二、课堂展示：1、解方程 2 1 4 11 1 x x x     2、    311 1 2 x x x x     [分析]找对最简公分母,去分母时别忘漏乘 1 2、当 x = 时代数式 2 2 3 4 x x x   与 2 2 4 4 9 x x x    的值互为倒数。 三、随堂练习：⑴ 3 22 2 x x x    （2） 3 1 1 23 6 x x   爱心 用心 专心 4 （3） 2 1 2 7 1 1 1x x x     （4） 2 5 3 6 1 1 1x x x     四、当堂检测 （1）方程 2 3 3 2x x   的解是 ， （2）若 x =2 是关于 x 的分式方程 2 3 72 a x x   的解，则 a 的值为 （3）下列分式方程中，一定有解的是（ ） A． 1 03x  B． 3 2 11 1x x     C． 2 1 1 1 x x x   D． 2 2 1 1x x   ⑷解方程 ① 2 3 7 3 2 2 6x x    ② 2 5 12 5 5 2 x x x    ③ 323 3 x x x    ④ 2 2 1 1 5 6 6x x x x     5、小结与反思： . 爱心 用心 专心 5 课题：分式方程(三) 学习目标：1．能进行简单的公式变形 2．熟练解分式方程 学习重点：解分式方程 学习难点：进行公式变形 学习过程： 一、预习新知：填空： ⒈方程 2 1 01x x   的解是 ⒉当 x = 时， 4 2 4 x x   的值与 5 4 x x   的值相等 ⒊已知 x =3 是方程 1 12 x a   的解。则 a = ⒋如果关于 x 的方程 7 76 6 x m x x     有增根，则增根为 ， m 的值为 。 ⒌ 下 列 关 于 x 的 方 程 ① 1 53 x   ② 1 4 4x x   ③ 3 13 x x   ④ 1 1 x a b   中 是 分 式 方 程 的 是 （填序号）。（ ） 6 分式方程 4 1 32 2x x    的解是 （ ） A． x =－2 B． x =2 C． x =1 D． x =－1 7 将方程 2 4 321 1 x x x     去分母化简后得到的方程是 A． 2 2 3 0x x   B． 2 2 5 0x x   C． 2 3 0x   D． 2 5 0x   8 分式方程   2 9 3 3 x x x x x    出现增根，那么增根一定是 A．0 B．3 C．0 或 3 D．1 9 对于分式方程 323 3 x x x    有以下几种说法：①最简公分母为  23x  ；②转化为整式方程 2 3x   ，解得 5x  ；③原方程的解为 3x  ；④原方程无解，其中正确的说法的个数为（ ） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 10 下列分式方程去分母后所得结果正确的是（ ） A． 1 2 11 1 x x x    解：   1 1 2 1x x x     B． 5 12 5 5 2 x x x    解： 5 2 5x x   C． 2 2 2 2 4 2 x x x x x x      解：    22 2 2x x x x     D． 2 1 3 1x x   解：  2 1 3x x   二、课堂展示： 爱心 用心 专心 6 （1）在公式 1 2 1 1 1 R R R   中， 1R R ,求出表示 2R 的公式 （2）在公式 1 2 2 1 P P V V  中， 2 0P  ，求出表示 2V 的公式 三、随堂练习： ⑴已知 rR Sn   ( S R )，求 n ； ⑵已知 m ae m a   （ 1e   ），求 a ； ⑶已知 RVS U V   ( 0R S  ),求V （4）在公式 1 0V V gt  中，已知 0V 、 1V 、 g  0，求t （5）若分式 3 2 5 4 x x   的值为 1，则 x 等于 四、当堂检测 解方程：（1） 6 3 04 1x x    （2） 2 5 3 6 1 1 1x x x     （3）已知 RVS U V   ( 0R S  ),求u （4）已知 3 1 xy x   ，试用含 y 的代数式表示 x = 5、小结与反思： 爱心 用心 专心 7 16.3分式方程应用(1) 学习目标： 1．理解分式方程的意义．掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法．了解解分式方程解的检验方 法． 2.熟练掌握解分式方程的技巧．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式 方程转化成整式方程， 3.渗透数学的转化思想． 学习重点： (1)可化为一元一次方程的分式方程的解法． (2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想． 学习难点：检验分式方程解的原因 学习过程： 一、预习新知：P29-30 1、前面我们学习了什么方程？如何求解？写出求解的一般步骤。 2、判断下列各式哪个是分式方程． （1） 21  x (2) 22 x x (3) 1 2 1 4 1 1 2  xxx (4) 05 4 3 2  xx 3、解分式方程： 22 1 2 1   xx x 4、解方程 16 32 4 2  xx 小亮同学的解法如下： 解：方程两边同乘以x-2,得 1-x=-1-2(x-2) 解这个方程，得x=2 小亮同学的解法对吗？为什么？ 二、课堂展示 例、一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间，与以 最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 分析：设江水的流速为v千米/时，则轮船顺流航行的速度为（ ）千米/时， 逆流航行的速度为（ ）千米/时， 爱心 用心 专心 8 顺流航行100千米所用的时间为（ ）小时， 逆流航行60千米所用的时间为（ ）小时。 三、随堂练习： 1、某梨园 m 平方米产梨n千克,则平均每平方米产梨_____千克. 2、为体验中秋时节浓浓的气息，我校小记者骑自行车前往距学校 6 千米的新世纪商场采访，10 分钟后， 小记者李琪坐公交车前往,公交车的速度是自行车的 2 倍，结果两人同时到达。求两车的速度各是多少？ 自学提示：1）、速度之间有什么关系？时间之间有什么关系？ 2）、怎样设未知数，根据哪个关系？ 3）、填表 4）、怎样列方程，根据哪个关系？ 3、某单位将沿街的一部分房屋出租，每间房屋的租金第二年比第一年多 500 元，所有房屋出租金第一年 为 9.6 万元，第二年为 10.2 万元。 （1） 你能找出这一情境中的等量关系吗？ （2） 根据这一情境你能提出哪些问题？ 你利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少？ 四、当堂检测： 1、某工厂原计划a天完成b件产品，若现在要提前x天完成，则现在每天要比原来多生产产品_____件 2、甲、乙两公司各为“见义勇为基金会”捐款 30000 元，已知乙公司比甲公司人均多捐款 20 元，且甲 公司的人数比乙公司的人数多 20%。问甲、乙两公司各有多少人？ 3、小明买软面笔记本共用去 12 元，小丽买硬面笔记本共用去 21 元，已知每本硬面笔记本比软面笔记本 贵 1。2 元，小明和小丽能买到相同本数的笔记本吗？ 五、小结与反思： 16.3分式方程应用(2) 路程（千米） 速度（千米／时） 时间（时） 自行车 公交车 爱心 用心 专心 9 学习目标： 1．会分析题意找出等量关系. 2．会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题. 3．在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，引导学生努力寻找解决问题的方法，体会数学的应用 价值。 学习重点：利用分式方程组解决实际问题. 学习难点：列分式方程表示实际问题中的等量关系. 学习过程： 一、预习新知：P29-30 1、分式方程的解法步骤是什么？完成 P36 第4题。 2、解决应用问题的一般步骤是什么？ 3、解分式方程 二、课堂展示：（自主探究） P29例3 分析：这是一道工程问题应用题，它的问题是甲乙两个施工队哪一个队的施工速度快？这与过去直接问 甲队单独干多少天完成或乙队单独干多少天完成有所不同，根据题意，寻找未知数，然后根据题意找出 问题中的等量关系列方程.求得方程的解除了要检验外，还要比较甲乙两个施工队哪一个队的施工速度 快，才能完成解题的全过程。 基本关系是：工作量=工作效率×工作时间.这题没有具体的工作量，工作量虚拟为1，工作的时间 单位为“月”. 等量关系是：甲队单独做的工作量+两队共同做的工作量=1 认真审题，然后回答下列问题： 1、怎样设未知数，根据哪个关系？ 2、题中有哪些相等关系？怎样列方程？ 三、随堂练习： 1 3 2x x  爱心 用心 专心 10 1.为迎接市中学生田径运动会，计划由某校八年级（1）班的3个小组制作240面彩旗，后因一个小组另有 任务，改由另外两个小组完成制作彩旗的任务。这样，这两个小组的每个同学就要比原计划多做4面。如 果这3个小组的人数相等，那么每个小组有多少名学生？ 2. 学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习.甲同学跳180个所用的时间，乙同学可以跳240个；又已知 甲每分钟比乙少跳5个，求每人每分钟各跳多少个. 3.课本P31 练习 第2题 4.课本P32习题 第3、5题 四、当堂检测： 1、为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800元， 第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等。如果设第 一次捐款人数为 x 人，那么 x 满足怎样的方程？ 2．甲容器中有15%的盐水30升，乙容器中有18%的盐水20升，如果向两个容器个加入等量水，使它们的浓 度相等，那么加入的水是多少升？ 五、小结与反思： 16.3分式方程应用(3) 学习目标： 爱心 用心 专心 11 1、能将实际问题中的相等关系用分式方程表示，并进行方法总结。 2、通过日常生活中的情境创设，经历探索分式方程应用的过程，提高学生运用方程思想解决问题的 能力,和思维水平。 3、在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，引导学生努力寻找解决问题的方法，体会数学的 应用价值。 重点：实际生活中分式方程应用题数量关系的分析。 难点：将复杂实际问题中的等量关系用分式方程表示, 并进行归纳总结 一、预习新知：P30-31 1.解方程 2.列方程（组）解应用题的一般步骤是什么？ （1） ；（2） （3）解所列方程； （4）检验所列方程的解是否符合题意；（5）写出完整的答案。 3.列方程（组）解应用题的关键是什么？ 4、轮船在顺水中航行20千米与逆水中航行10千米所用时间相同，水流速度为2.5千米/小时，求轮船的静 水速度。 5. 甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地， 已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度. 二、课堂展示：（自主探究） P30例4 分析：这是一道行程问题的应用题，本题中涉及到的列车平均提速v千米/时，提速前行驶的路程为 s千米，基本关系是：速度=路程/时间。等量关系是：提速前所用的时间=提速后所用的时间。设未知数、 列方程是本章中用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤，正确地理解问题情境，分析其中的等量关 系是设未知数、列方程的基础. 可以多角度思考，借助图形、表格、式子等进行分析，寻找等量关系， 解分式方程应用题必须双检验：（1）检验方程的解是否是原方程的解；（2）检验方程的解是否符合题 意. 认真审题，然后回答下列问题： 1、速度之间有什么关系？时间之间有什么关系？ 2、怎样设未知数，根据哪个关系？ 3 1 5 2 4 222 3 6 x x x     爱心 用心 专心 12 3、题中有哪些相等关系？怎样列方程？ 三、随堂练习： 1．某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后来由于把速度加快1/5，结果于 下午4时到达，求原计划行军的速度。 2、选择题 某林场原计划在一定期限内固沙造林240公顷，实际每天固沙造林的面积比原计划多4公顷，结果提 前5天完成任务，设原计划每天固沙造林x公顷，根据题意列方程正确的是（ ）. （A） 240 2405 4x x    （B） 2 4 0 2 4 05 4x x    （C） 240 2405 4x x    （D） 2 4 0 2 4 05 4x x    3、课本P31 练习 第1题 4、课本P32 习题 第4、6题 四、当堂检测： 1、联系实际问题，编写出关于分式方程的应用题，并解除应用题的答案。 2、某人骑自行车比步行每小时多走8千米，如果他步行12千米所用时间与骑车行36千米所用的时间相等， 求他步行40千米用多少小时? 五、小结与反思： 16 分式复习（1） 学习目标： 1、能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型思想。 2、经历“实际问题—分式方程模型—求解—解释解的合理性”的过程 爱心 用心 专心 13 3、发展学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识。 重难点： 能将实际问题中的等量关系用分式方程表示、分式方程概念 学习过程： 一、知识回顾： 2、分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘以(或除以)_______________ .分式的值________. 用式子表示: ___________ 3、通分关键是找____________________,约分与通分的依据都是:______________________ 4、有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦 9000kg 和 15000kg。已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少 3000kg，分别求这两块试验田每公顷的产量。 1)你能找出这一问题中的等量关系吗？ （1）第一块试验田每公顷的产量+3000kg=第二块试验田每公顷的产量 （2）第一块试验田的面积=第二块试验田的面积 总产量 （3）每公顷的产量= 土地面积 2)如果设第一块试验田每公顷的产量为 xkg，那么第二块试验田每公顷的产量是 （ ） kg 。 第 一 块 试 验 田 的 面 积 为 （ ）， 第 二 块 试 验 田 的 面 积 为 （ ）。 3)根据题意，可得方程：（ ） 二、知识应用 1、当 x＝________时，分式 3 1 －x 没有意义． 2、一种病菌的直径为 0.0000036m，用科学记数法表示为 . 3. 分式 bxax 1,1 的最简公分母为 . 4. 化简  3 22 2 4 m nm . 5. 在括号内填入适当的单项式,使等式成立: 22 )(1 xyxy  6. 计算 02 2005 1 2 1           = . 7、某班 a 名同学参加植树活动，其中男生 b 名(b