八年级数学下册第一章复习提纲

第 17 章分式 全章考点复习指导 一.分式的定义： ［知识点解析］注:A÷B=A×1/B =A×B-1= A•B-1。有时把 写成负指数即 A•B-1,只是在形式上 有所不同,而本质里没有区别. ［方法指导］：是不是分式的关键在，分母是不是有表示未知数的字母。 ［例题解析］在代数式 13 2x  、5 a 、 26x y 、 3 5 y 、 2 3 a b 、 2 32 5 ab c 、  1 中，分式有（ ）. （A）4 个 （B）3 个 （C）2 个 （D）1 个 ［详解］：分式的定义中分母一定要有未知字母， 5 a 和 3 5 y 是分式，故选择 C。 ［注意］： 是常数，不是未知字母。 ［精典练习］： 二. 分式的意义：对于任意一个分式，分母都不能为 0，否则分式无意义。 ［知识点解析］：分母为 0，分式无意义；分式有意义，分母不为 0 ［方法指导］：分母的含义是分数线下边的整个式子。 ［例题解析］例 当 取何值时，下列分式有意义？ （1） ； （2） ； ［详解］：（1）要使 有意义， 2x （2）要使 有意义， 4 1x ［注意］：分式有意义只须分母不为 0，与分子无关。 ［精典练习］：1.使式子 1 1 x 有意义的 x 的取值范围为（ D ）. A、x＞0 B、x≠1 C、x≠－1 D、x≠±1 2、同时使分式 2 5 6 8 x x x    有意义，又使分式 2 2 3 ( 1) 9 x x x    无意义的 x 的取值范围是（ D ） A. 4 2x x   且 B. 4 2x x  或 C. 4x   D. 2x  3. 1. 分式 5 5 x x ，当 ______x 时有意义； 参考答案： 5x 4.下列分式，当 x=－3 时，无意义的是（ D ） A 93 13   x x B 36 32   x x C 155 23   x x D 155 92   x x 三.分式值为 0 的条件 ［知识点解析］：在分母不等于 0 的前提下，分子等于 0,则分数值为 0。 ［方法指导］：分母的含义是分数线下边的整个式子。 ［例题解析］例 当 取何值时，下列分式的值为零？ （1） ； （2） ； ［详解］：(1) 3x (2) 2x ［注意］：(2)中的 2x 使分母为 0，应该舍去。 ［精典练习］：1.当 时，分式 的值为零 参考答案： 1x 2.当 时，分式 的值为零 参考答案： 1x 3.当 时，分式 的值为零 参考答案：不存在 4.当式子 2 5 4 5 x x x    的值为零时，x 的值是（ B ） A、6 B、-5 C、-1 或 5 D、-5 或 5 四. 分式的基本性质和约分 1.分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为 0 的整式，分式的值不变。 2.约分:把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分． ［知识点解析］：约分前必须保证分子分母都完全分解因式，就是分子分母全是因式的乘积。 约分就是分子分母同时除以相同的因式。 约分步骤:(1)如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式, 将它们的公因式约去.(2)分式的分子和分母都是多项式,将分子和分母分别分解因式,再将公 因式约去. ［方法指导］：1. 公因式的提取方法:系数取分子和分母系数的最大公约数,字母取分子和分 母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式. 2.若分子和分母都是多项式，则往往需要先把分子、分母分解因式（即化成 乘积的形式），然后才能进行约分。约分后，分子与分母不再有公因式 ［例题解析］例：约分 44 4 2 2   xx x ［详解］： 44 4 2 2   xx x ＝ 2)2( )2)(2(   x xx ＝ 2 2   x x . ［注意］：在进行分式约分时，若分子和分母都是多项式，则往往需要先把分子、分母分解 因式（即化成乘积的形式），然后才能进行约分。约分后，分子与分母不再有公因式，我们 把这样的分式称为最简分式. ［精典练习］：1.下列约分，结果正确的是（ D ） A. 6 3 2 x xx  B. x m m x n n   C. 2 2x y x yx y    D. 1x y x y     2. 计算 yx x x yxyx  2 2 2 )( 的结果是-----------------------------------------------（ A ） A yx x 2 2 B yx 2 C y 1 D y1 1 五.最简分式和最简公分母: ［知识点解析］：一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分时,一般 将一个分式化为最简分式. ［方法指导］：1.最简分式的分子分母不能再同时整除一个式子或字母、数字。 2.最简公分母的确定方法:系数取各因式系数的最小公倍数,相同字母的最高 次幂及单独字母的幂的乘积. ［例题解析］：例 1.求分式 43223 6 1, 4 1, 2 1 xyyxzyx 的（最简）公分母。 ［详解］：对于三个分式的分母中的系数 2，4，6，取其最小公倍数 12；对于三个分式的分 母的字母，字母 x 为底的幂的因式，取其最高次幂 x3，字母 y 为底的幂的因式，取其最高次 幂 y4，再取字母 z。所以三个分式的公分母为 12x3y4z。 例 2. 求分式 224 1 xx  与 4 1 2 x 的最简公分母。 ［详解］：先把这两个分式的分母中的多项式分解因式，即 4x—2x2= —2x（x-2），x2—4=（x+2）（x—2）， 把这两个分式的分母中所有的因式都取到，其中，系数取正数，取它们的积，即 2x（x+2）（x-2）就是这两个分式的最简公分母。 ［注意］：找最简公分母的步骤： 1．取各分式的分母中系数最小公倍数； 2．各分式的分母中所有字母或因式都要取到； 3．相同字母（或因式）的幂取指数最大的； 4．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取 正数）即为最简公分母 ［精典练习］分式 1 a b 、 2 2 2a a b 、 b b a 的最简公分母为（ D ）. （A） 2 2( )( )( )a b a b a b   （B） 2 2( )( )a b a b  （C） 2 2( )( )a b b a  （D） 2 2a b 六..通分 ［知识点解析］：把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式,叫做分式的通分. ［方法指导］：先求出所有分式分母的最简公分母,再将所有分式的分母变为最简公分母.同时 各分式按照分母所扩大的倍数,相应扩大各自的分子. ［例题解析］：若分式 yx yx   中的 x、y 的值都变为原来的 3 倍，则此分式的值（ ） A、不变 B、是原来的 3 倍 C、是原来的 3 1 D、是原来的 6 1 七 分式的四则运算 ［知识点解析］：1.同分母分式加减法则:分母不变,将分子相加减. 2.异分母分式加减法则:通分后,再按照同分母分式的加减法法则计算. 3.分式的乘法法则:用分子的积作分子,分母的积作分母. 4.分式的除法法则:把除式变为其倒数再与被除式相乘. ［方法指导］：注意一定要按运算顺序运算。 ［例题解析］：例 1.计算： 11 1 2    a a a a . ［详解］：解法 1：原式= 1)1)(1( 1 )1)(1( 1 )1)(1( )1( )1)(1( 1 22      aa a aa aaa aa aa aa a . 解法 2：原式= 11 1 11 1 1)1)(1( 1    a a a a aa a aa a . ［注意］：异分母分式的加减法可用通分后再加减；若能先约分的，则先化简，一般可起到 简便运算的效果． 例 2.化简： )2(1 2 1 yxx yx yxx   ［详解］：解法 1：原式 x xyx yxxx yxx x yx yxx 2 )21)((1 2 1]2 )(2 2[1 2 1    x x x 2 21 2 1  12 2  x x 解法 2：原式 112 1 2 1 2 1 2 1   xxyx yx x yx yxx ［注意］：本题可按运算顺序先算括号再乘除后加减；或利用乘法分配率起到简便运算功效． 例 3.先化简代数式 1) 12 1 1 1( 2     a a aaa a ，然后选取一个使原式有意义的 a 值代入求值. ［详解］：原式 1 1 )1(1] )1( 1 )1( )1)(1([ 2 2 22        a a a a a a a a aa aa ． 1a 且 0a ，若 ,2a 则原式 2 . ［注意］：若原题改为先化简代数式 22 )1( ) 12 1 1 1(      a a aaa a ，然后选取一个你喜欢的 a 的值代入求值．则化简得原式 a ，但仍然要考虑使原式有意义，即 1a 且 0a ． 例 4.先化简,再求值: )21( 22 22 22 ab ba abba ba   ,其中 5 11a   , 3 11b    . ［详解］：原式 )22 2( 22 22 22 ab ba ab ab abba ba    baba ab baab baba     2 )( 2 )( ))(( 2 当 5 11a   ， 3 11b    时，原式 1 . ［注意］：分式的除法没有分配律，避免出现原式 ab ba abba ba abba ba 21 22 22 22 22 22      的 错误 例 5.已知实数 a 满足 0822  aa ，求 34 12 1 3 1 1 2 2 2     aa aa a a a 的值． ［详解］：化简得原式 2)1( 2   a 由 0822  aa 知， 9)1( 2 a ； ［注意］：整体代入，起到降次化简的显著效果． ［精典练习］1. 计算： （1） xy yx xy yx 2)(2  ）（ ；（2） xy yx xy yx 22 )()(  参考答案：（1） xy yx xy yx 22 )()(  ＝ xy yxyx 22 )()(  ＝ xy yxyxyxyx 2222 22  ＝ xy yx )(2 22  （2） xy yx 2)(  － xy yx 2)(  ＝ xy yxyx 22 )()(  ＝ xy yxyxyxyx )2()2( 2222  ＝ xy xy4 ＝4 2.计算： 23 1 x ＋ x4 3 ； 参考答案： 23 1 x ＋ x4 3 ＝ 22 12 9 12 4 x x x  ＝ 212 49 x x  3.计算 2a a ba b   参考答案：原式 = 4.计算： 244 4 2 2 2         x x xxx x 分析：应先算括号里的 5. 22 22 4 4 2 42 yx yx yx yyx   2 2 2 2 2 2 ( )( )) 1 ( ) a a b a a b a ba b a b a b a b a a b b a b a b              本题应采用逐步通分的方法依次进行。 6.       yxx yx yxx 2 1 2 1 7.                   babababa 1111 22 分析：可先把被除式利用平方差公式分解因式后再约分 8. 121 12 1 1 1 1 2 2     xx xx xx 其中先化简再求值 9. 先化简 2 3 3 2 1 1 x x x    ，然后选择一个合适的你最喜欢的 x 的值，代入求值． 解：原式 3( 1) 2 3 2 1 ( 1)( 1) 1 1 1 1 x x x x x x x           ． 依题意，只要 1x   就行，如 2x  ，原式 1 ． 10. 若实数 a、b 满足： 2a b b a   ，则 2 2 2 24 a ab b a ab b     的值为_________ ． 11. 先化简，再求值：已知 2 2 12 2 ( )2 2 x x xx x x x x       求， 的值． 八 分式方程 ［知识点解析］：分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程. ［方法指导］：.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整 式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在 把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根) ［例题解析］：例 1 解方程 4 114 3   xx x . ［详解］：去分母，得 x―3－(4－x)＝－1．去括号、整理，得 2 x＝6 解得 x＝3， 检验：当 x＝3 时， 04  x . 所以，x＝3 是原方程的解． 例 2、（扬州市）若方程 11)1)(1( 6  x m xx 有增根，则它的增根是（ ） A．0 B．1 C．－1 D．1 和－1 ［详解］：B. ［注意］：分式方程有增根，求未知字母的值的一般步骤：1、先把分式方程化为整式方程； 2、找出使分母值为零的未知数的值；3、把找出的未知数的值代入整式方程，求出未知字母 的值． 例 3、（梅州市）解方程： x x x x 2211  . ［详解］：解法 1：原方程可化为： x x x x )1(2 1 12   ， ∴ 2)1(2)12(  xxx 解得： 3 2x ，经检验可知， 3 2x 的原方程的解． 解法 2：设 1 x xy ，则原方程化为： 022  yy ,∴(y+2)(y－1)=0. ∴y=－2 或 y=1. 当 y=－2 时， 21 x x ，解得: 3 2x ；当 y=1 时， 11 x x ，方程无解. 经检验可知， 3 2x 是原方程的解． ［注意］：换元法也是解分式方程的常用方法． 例 4、（青岛市）为响应承办“绿色奥运”的号召，某中学初三、2 班计划组织部分同学义 务植树 180 棵，由于同学们参与的积极性很高，实际参加植树活动的人数比原计划增加了 50%，结果每人比原计划少栽了 2 棵树，问实际有多少人参加了这次植树活动？ ［详解］：设原计划有 x 人参加植树活动，则实际有 1.5x 人参加植树活动． 由题意得： 25.1 180180  xx 去分母，整理得：3x＝90 x＝30. 经检验；x＝30 是原方程的解 15 15 30 45. .x    答：实际有 45 人参加了植树活动． ［注意］：列分式方程解应用题应相应地增加检验的过程． 例 5. 解方程 1 1 32 2 x x x    ［详解］：解法一：方程的两边都乘以 2x  ，约去分母，得1 1 3( 2)x x    . 解这个整式方程，得 2x  . 检验：当 2x  时， 2 0x   ，所以 2 是增根，原方程无解. 解法二：∵ 1 1 32 2 x x x    ， ∴ 1 1 32 2 x x x     ， ∴ 2 32 x x     ， ∴-1＝-3. ∴原方程无解. 解法三：∵ 1 1 32 2 x x x    ， ∴ 1 2 1 32 2 x x x     ， ∴ 1 11 32 2x x     ， ∴ 1 1 22 2x x    ， ∴0＝-2. ∴原方程无解. ［精典练习］ 1. 某煤厂原计划 x 天生产 120 吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产 3 吨，因此提前 2 天完成任务，列出方程为------------------------------------------------------------------------（ D ） A 3120 2 120  xx B 32 120120  xx C 3120 2 120  xx D 32 120120  xx 2 A，B 两地相距 135 千米，两辆汽车从 A 开往 B，大汽车比小汽车早出发 5 小时，小汽 车比大汽车晚到 30 分钟，已知小汽车与大汽车的速度之比为 5：2，求两车的速度。 参考答案：设大车的速度为 2x 千米/时，小车的速度为 5x 千米/时，根据题意得 2 155 135 2 135  xx 解之得 x=9 经检验 x=9 是原方程的解 当 x=9 时，2x=18，5x=45 答：大车的速度为 18 千米/时，小车的速度为 45 千米/时 3. 购一年期债券，到期后本利只获 2700 元，如果债券年利率 12.5%，&127;那么利息是多少 元? 参考答案：(1)设利息为 x 元，则本金为(2700-x)元，依题意列分式方程为： 解此方程得 x=300 经检验 x=300 为原方程的根 答：利息为 300 元。 合作交流解法，学以致用。 4.一组学生乘汽车去春游，预计共需车费 120 元，后来人数增加了 4 1 ，费用仍不变，这样 每人少摊 3 元，原来这组学生的人数是多少个？ 本题是策略问题，应让学生合作交流解法。注意分类讨论思想。合作交流解法 5.某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书。施工一天，需付甲工程队工 程款 1.5 万元, 乙工程队工程款 1.1 万元。工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算： （1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成； （2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用 5 天； （3）若甲、乙两队合做 4 天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成。 在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？ 6.一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔 300 枝以上，（不包括 300 枝），可以按批 发价付款，购买 300 枝以下，（包括 300 枝）只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔，如 果给八年级学生每人购买 1 枝，那么只能按零售价付款，需用 120 元，如果多购买 60 枝， 那么可以按批发价付款，同样需要 120 元， （1） 这个八年级的学生总数在什么范围内？ （2）若按批发价购买 6 枝与按零售价购买 5 枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少 人？ 7. 轮船顺流航行 66 千米所需时间和逆流航行 48 千米所需时间相同，已知水流速度是每小 时 3 千米，求轮船在静水中的速度。 8. 某一一项工程预计在规定的日期内完成，如果甲独做刚好能完成，如果乙独做就要超过 日期 3 天，现在甲、乙两人合做 2 天，剩下的工程由乙独做，刚刚好在规定的日期完成，问 规定日期是几天？ 九．零指数幂与负指数幂 ［知识点解析］：掌握 )0(1),0(10   a a aaa n n 两个法则以及会用科学计数法表示绝 对值较小的数 ［方法指导］：科学计数法就是把一个数 m 表示成 na 10 的形式，其中 ,101  a 当 1a 时，n 的相反数等于小数点向右移的位数，或 m 的左边第 1 个有效数字前所有零的个数（包 括小数点前面的那个零）． ［例题解析］ 例 1、（青岛市）下列运算正确的是 （ ） A. aa 3 13 1  B. a a a2 32 2  C. ( )   a a a3 2 6 D. ( ) ( )   a a a3 2 ［详解］：D. 例 2、（浙江省湖州市） 10 )2 1()13(2  . ［详解］：原式=3. 例 3、（浙江省绍兴市 2005 年）实验表明，人体内某种细胞的形状可近似地看作球，它 的直径约为 0.00000156m，则这个数用科学记数法表示是 （ ） （A） 50.156 10 （B） 50.156 10 （C） 61.56 10 （D） 61.56 10 ［详解］：C ［注意］：任何不等于零的数的零次幂都等于 1. ［精典练习］： 1 计算： （1）810÷810； （2）10-2； （3） 1 0 103 1      参考答案：（1）1 （2） 0.01 （3） 0.1 2.计算： （1）（-0.1）0；（2） 0 2003 1      ；（3）2-2；（4） 2 2 1       . 参考答案：（1） 1 （2） 1 （3）0.25 （4） 4 3.计算：    2 0 2 010 10 10 10     ；     44 0 6 22 4 2 2 2 2 4 10            参考答案： 200 －0.5 4.计算 （1） 01 )12()12(  （2） 220 )2()2 1()2(   （3）计算：16÷（—2）3—（ 3 1 ）-1+（ 3 -1）0 参考答案：（1） 12  （2）1 （3）－4 5.用小数表示下列各数： （1）10-1； （2）2.1×10-5. 参考答案：（1） 0.1 （2） 0.000021 6.用小数表示下列各数： （1）-10-1×（-2） （2）（8×10 5 ）÷（-2×10 7 ） 参考答案：（1）0.2 （2）-0.04