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第 18 课时 多边形
一、知识点:
1.三角形:三角形的三边关系,三角形的内角和,三角形的外角性质, 三角形的外角和.
2.多边形:多边形的内角和, 多边形的外角和, 用正多边形铺满地砖.
二、中考课标要求
考点 课标要求
知识与技能目标
了解 理解 掌握 灵活应用
三角形
三角形的有关概念 ∨ ∨
三角形的内角和、外角性质、外角和 ∨ ∨
三角形的三边关系 ∨ ∨
多边形
多边形的有关概念 ∨ ∨
多边形的内角和、外角和 ∨ ∨
用正多边形拼地板 ∨ ∨
三、中考知识梳理
1.多边形镶嵌平面
这类题目一是体现三角形和多边形有关知识的应用,二是体现数学的实用价值,更重要
的是培养创新联想能力.
2.三角形三边关系定理的运用
三角形三边关系定理是三角形成立的先决条件, 注意定理中的“任意”两字的含义,运
用这个定理可确定第三边的取值范围.中考中以选择、填空形式出现.
3.多边形的内角和、外角和定理的运用
这类问题的关键是明确多边形内角和(n-2).180°,而外角和恒等于 360°,前者与 n 有
关,后者与 n 无关,中考中多以选择、填空题出现,或与其他知识综合考查,或单独以探索性题
目出现.
四、中考题型例析
题型一 平面镶嵌问题
例 1 (2004.武汉市)一幅美丽的图案, 在某个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌
而成,其中的三个分别为正三边形、正四边形、正六边形,那么另外一个为( )
A.正三边形 B.正六边形 C.正五边形 D.正六边形
解析:正三角形的一个内角等于 60°,正四边形的一个内角等于 90°, 正六边形的一个
内角等于 120°,而 60°+90°+120°+90°=360°, 所以另一个只能取正四边形.
答案:B.
例 2 (2004.福州市)下列图形中能够用来作平面镶嵌的是( )
A.正八边形 B.正七边形 C.正六边形 D.正五边形
解析:要使用同一种正多边形作平面镶嵌,必须满足正多边形的几个内角之和为 360°,
正多边形中只有正三角形,正方形和正六边形满足这个条件,其他的正多边形都不满足.
答案:C
点评:正确理解正三角形、正方形、正六边形乃至任意三角形、 四边形能镶嵌平面的理
由，是解决这类问题的关键。
题型二 三角形三边关系的应用
例 3 (2004.哈尔滨市)以下列各组线段长为边,能组成三角形的是( )
A.1cm,2cm,4cm B.8cm,6cm,4cm; C.12cm,5cm,6cm D.2cm,3cm,6cm
解析:根据三角形三边关系定理,即可得证.
答案:B.
题型三 多边形的内角和、外角和定理的应用
例 4 (2003.全国初中数学联赛题)在凸十边形的所有内角中, 锐角的个数最多是
( )
A.0 B.1 C.3 D.5
解析:因为多边形的外角和是一个和边数无关的定值,这个问题可从外角的角度来考查.
如果多边形的内角中有3个以上是锐角,则与它们相邻的外角中就有3个以上是钝角,外角和
将超过 360°.
答案:C.
例 5 (2003.北京海淀区)如图,把△ABC 纸片沿 DE 折叠,当点 A 落在四边形 BCDE 内部
时,则∠A 与∠1+∠2 之间有一种数量关系始终保持不变. 请试着找一找这个规律,你发现的
规律是( )
A.∠A=∠1+∠2 B.2∠A=∠1+∠2;
C.3∠A=2∠1+∠2 D.3∠A=∠1+2∠2
解析:由题意可知∠AED=
0180 1
2
,
∠ADE=
0180 2
2
,所以由三角形的内角和等于180°
即可找到∠A 与∠1+∠2 的关系.
答案:B.
点评:转化思想是一种重要的数学方法,它能化难为易,化未知为已知,掌握这种方法,对
我们学习数学有很大帮助.
基础达标验收卷
一、选择题:
1.(2003.新疆)某人到瓷砖商店去购买一种正多边形的瓷砖,铺设无缝地板, 他购买的瓷砖
形状不可以是( ).
A.正三角形 B.正四边形 C.正六边形 D.正八边形
2.(2003.福建泉州)如果只用正三角形作平面镶嵌(要求镶嵌的正三角形的边与另一个正三
角形的边重合),则在它的每一个顶点周围的正三角形的个数为( ).
A.3 B.4 C.5 D.6
3.(2004.昆明市)如图是中国共产主义青年团团旗上的图案,点 A、
2
1
E
D
C
B
A
B、C、D、E 五等分圆,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数是( )
A.180° B.150° C.135° D.120°
4.(2004.天津市)若一个正多边形的每一个内角都等于 120°,则它是( )
A.正方形 B.正五边形 C.正六边形 D.正八边形
5.(2003.山西)有若干张如图所示的正方形和长方形卡片
(3)
(2)
(1)
a
b
a
b
b
a
表中所列四种方案能拼成边长为(a+b)的正方形的是( )
卡 片
数量张
方案
(1) (2) (3)
A 1 1 2
B 1 1 1
C 1 2 1
D 2 1 1
二、填空题
1.(2004.哈尔滨市)一个多边形的每一个外角都等于 36°,则该多边形的内角和等于____.
2.(2004.贵阳市)正 n 边形的内角和等于 1 080 °, 那么这个正 n 边形的边数 n=______.
3.(2003.吉林省)如图,∠1+∠2+∠3+∠4=________.
40
4
3
2
1
4
3
2
1
(第 3 题) (第 4 题)
4.(2003.江西)如图,∠1+∠2+∠3+∠4=_________.
5.(2003.江西)用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图所示的规律, 拼成若干个图案.
第 1 个 第 2 个 第 3 个
(1)第 4 个图案中有白色地面砖______块;
(2)第 n 个图案中有白色地面砖______块.
三、解答题
1.(“祖冲之杯”数学邀请赛题)一个凸多边形的每一个内角都等于 140°,那么从这个多边
形的一个顶点出发的对角线的条数是多少?
2.(山东省数学竞赛题)在凸 n 边形中,小于 108°的角最多可以有几个?
3.(“希望杯”初二数学竞赛题)一个凸多边形有且仅有 4 个内角是钝角,这样的多边形的边
数最多有几条?
4.(2003.甘肃)某地板厂要制作一批正六边形形状的地板砖,为适应市场多样化需求,要求在
地板砖上设计的图案能够把正六边形 6 等分,请你帮他们设计等分图案(至少设计两种).
能力提高练习
一、开放探索题
1.在日常生活中,观察各种建筑物的地板,就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽
的图案,也就是说,使用给定的某些正多边形,能够拼成一个平面图形,既不留一丝空白,又
不互相重叠(在数学上叫做平面镶嵌),这显然与正多边形的内角大小有关,当围绕一点拼
在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角(360°)时,就拼成了一个平面图
形.
(1)请你根据图中的图形,填写表中空格:
正多边形边数 3 4 5 6 … n
正多边形每个内角度数 60° 90° 108° 120° …
(2)如果限于用一种正多边形镶嵌,哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形?
(3)从正三角形、正四边形、正六边形中选一种,再在其他正多边形中选一种, 请画出用这
两种不同的正多边形镶嵌成一个平面图形, 并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同
的平面图形?说明你的理由.
2.给你 4 根木棒,它们的长度分别是 2cm,3cm,4cm 和 5cm,任取其中三根,可组成几种不同的
三角形?
3.三角形的两边长是 4cm 与 8cm,它的周长是一个奇数,这样的三角形的周长有几种不同的长
度?
4.一个多边形,少去一个内角外,其余各内角的和为 1 700°,求这个多边形的边数?
答案:
基础达标验收卷
一、1.D 2.D 3.A 4.C 5.A
二、1.1 440° 2.8 3.280° 4.360° 5.(1)18 (2)4n+2
三、1.解:∵多边形的每一个内角都等于 140°,
∴多边形的每一个外有都等于 40°.
又多边形的外角和为 360°,
∴多边形的边数 n=
0
0
360
40
=9.
因此,从这个九边形的一个顶点出发的对角线条数是:9-3=6(条).
2.解:若内角小于 108°,则外角大于 180°-108°=72°,
∵多边形的外角和为 360°,
∴外角大于 72°的角最多有 4 个.
即内角小于 108°的角最多可有 4 个.
3.解:∵多边形的内角仅有 4 个是钝角,
∴多边形的外角仅有 4 个是锐角.
又∵多边形的外角中最多有 3 个钝角,
∴多边形最多有 4+3=7 个外角.
因此,多边形的边数最多是 7.
4.只要符合题目要求即可,如图.
能力提高练习
一、1.解:(1)
0( 2)180n
n
.
(2)答:正三角形、正四边形(或正方形)、正六边形等.
(3)如图:正方形和正八边形镶嵌构成平面图形.
设在一个顶点周围有 m 个正方形的角,n 个正八边形的角,那么 m、n 应是方程 m ×90°
+n×135°=360°的整数解,即 2m+3n=8,且其整数解只有一组 m=1,n=2,所以符合条件的图
形只有一种.
2.解:以 2cm,3cm,4cm 为边长,以 2cm,4cm,5cm 为边长,以 3cm,4cm,5cm 为边长都可以组成三
角形,故可组成 3 种不同的三角形.
3.解:设第三边边长为 xcm,则 8-4
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