—I 点、线、面、体
展开立体图形
线段的大小比较
直线、射线、线段 两点确定一条直线
T 两点 z 间、线段最短|
基础知识点
1.下列四个图形中，能用 Zl, ZAOB, ZO 三种
方法表示同一个角的图形是 ( ).
角：有公共端点的两条射线组成 V
的图形. , 4
1 \1 角也可以看作由一条射线绕着 A B
它的端点旋转而形成的图形. B
1 /
丿
C D
把一个周角 360 等分，每一份就 2.计算：
是 1 度的角，记作 1°;把 1 度的角 60
2 等分，每一份叫做 1 分的角，记作 r； (1) 90°-23°39* = ■
把 1 分得角 60 等分，每一份叫做 1 秒的
角，记作 1".
(2) 176。52"3 = ■
3
角的平分线：从一个角的顶点出
发，把这个角分成两个相等的角的射 线.
3.已知厶 3C = 30°, BD 是
ZABC 的平分线，则厶=
度.
A
如果两个角的和等于 90° (直 4.已知 Za = 26‘，则 Za 的补
4 角)，就说这两个角互为余角，即其 角是 度.
知识导
居而从不同方向看立体图形
平面图形
角的比较与运算］—I 角的平分线 I
T 余角和补角 I— 等角的余角相等
等角的补角相等
中每一个角是另一个角的余角. 如果两
个角的和等于 180° （平 角），就说这
两个角互为补角，即其 中一个角是另一
个角的补角.
重点题型 1
【互余、互补】
5. 下列叙述正确的是（ ）.
A. 90。的角是余角 B. 110°和 90。的角互为补角
C. 15。、25。、50。的角互为余角 D. 120。和 60。的角互为补角
6. 若 ZG + Z0 = 9O。，Zy0 + Zy = 9O°,则 Za 与 Zy 的关系是（ ）.
A.互余 B.互补
C.相等 D. Z6r = 90°+ Zy
7. 如果一个角的余角是 50。，那么这个角的补角的度数是（ ）.
A. 130° B. 40° C. 90° D. 140°
同一个角的补角与余角的联系
同一个角的补角比它的余角大_________ .
8. 一个角的补角加上 10。后，等于这个角的余角的 5 倍，求这个角的度数.
9. 两个角的大小 Z 比是 7:3,他们的差是 72。，求这两个角的度数.
重点题型 2
【角度计算】
10. 如图所示，直线力 3、CD 相交于 O, OE 平分 Z4OD, ZFOC=90。，Zl=40°, 求 Z2 和 Z3 的度数.
11. 如图，从 ZAOB 内部引出一条射线 OC, 0D 平分 Z/OC, 0E 平分 ZBOC,若 Z/OB=80。，求 ZDOE 的度
12. 如图，3D 平分 ZABC, BE 分上 ABC 为 2:5 两部分，ZDBE=2\。,求 ZABC 的度数.
两步一回头
13. 下列关于角的说法正确的是（ ）.
A. 两条射线组成的图形叫做角
B. 延长一个角的两边
C ・角的两边是射线，所以角不可以度量
D.角的大小与这个角的两边长短无关
14. 下列各角中，是钝角的是（ ）.
1 2 2 1
A.丄周角 B.兰周角 C.兰平角 D.丄平角
15. 下面一些角中，可以用一副三角尺画出来的角是（ ）.
①15。的角；②65。的角;③75。的角;④135。的角;⑤145。的角.
A.①③④ B.①③⑤ C.①②④ D.②④⑤
能用一副三角板画 11!来的角都是_____ 的倍数.
16•时钟在 4 点整时，时针与分针的夹角为___________度.
17. —副三角板按如图方式摆放，且 Z1 比 Z2 大 40。， 则 Z2 的度数
是（ ）.
A. 20° B. 25°
C. 40° D. 50°
问题探究
【角的几何推理】
18. 如图，已知上/OB 是直角，ZBOC=30。，OM 平分 Z/OC, ON 平先乙 BOC ・求:
（1）_______________ ZMON= °；
（2） 如果（1）屮的 ABOC=p （”为锐角），其它条件不变，求 ZMON 的度数;
（3） 如果（1）中的 ZAOB=a,其它条件不变，求 AMON 的度数；
（4） 从（1）、（2）、（3）的结果屮能看出什么规律？
19. 己知是直角，Z5（9C=30°, OM 平分 Z4OB, ON 平分 ZBOC,求 ZMON 的度数.（本题所指的角均 是小于平角的角）
c
拓展延伸
20 ・如图，表示南偏东 40。的方向线是射线（ ）.
A. OA B. OB
C. OC D. OD
21. 学校、电影院、公园在平面图上的标点分别是力、B、C,电影院在学校的正东方向，公园在学校的南偏西 25。
方向，那么平面图上的 ZCAB 等于（ ）.
A. 115° B. 155° C. 25° D ・ 65°
22. 如图 12, AB. CQ 相交于点 O, OB 平分 ZDOE,若 ZDOE=60%则 ZAOC 的度数是______________________ .
23. 如图 13 所示，ZAOB 是平角，ZAOC=40°, ZBOD = 70°, OM、ON 分别是 ZAOC. ZBOD 的平分线，Z
MON 等于___________.
24. 一个角的补角比这个角的余角的 2 倍还大 28。，这个角的度数为__________ ・
25. 观察时针，回答问题:
（1） 分针多长时问转一圈？它的转速是多少度/分？
（2） 从 1 时开始到 6 时整，时针转动了多少度？
（3） 从屮午 12 时整开始，经过多少时间，时针与分针再次重合？
26. 如图，东西方向的海岸线上有/、B 两个观测站，在力地发现它的北偏东 30。方向上有一条渔船，同一时刻, 在〃
地发现这条渔船在它的北偏西 60。方向上，试画图说明这条渔船的位置.
27. 如下图 1,将面积为/的小正方形 3 尸£7）与面积为圧的大正方形 AECM 放在一起（b>a>0）,试用 a、b 表示 三角形
/BC 的面积.
28. 在抗日战争时期，一组游击队员奉命把 A 村的一批文物送往一个安全地带，在 A 村的南偏东 50。距离 3 千米 处有
一 B 村，他们从 A 村出发，以北偏东 80。方向行军，不知道走了多远以后，他们发现 B 村出现了烟火， 于是决定
先把文物就地埋藏起来，然后调转方向走了 7 千米的路程，直接赶到 B 村消灭了敌人，结束战斗后, 这组游击队员
应到哪里去取文物呢？假如你在场，凭以上信息，你能估计文物藏在什么地方吗？（画图说明）
课堂加油站
天气要降温了，如果怕冷你可以去墙角取暖，因为墙角有 90 度.不过躺在地下会更暖，因为地面有 180 度.如 果还
是怕冷你可以自转一周，因为有 360 度.但是，如果还是怕冷，可以众里寻她（他）……
课堂小结
课后练习
29. 下列说法正确的是（ ）.
A. 角的两边都是线段
B. 一条射线是一个周角
C. 平角是一条线段
D. 角的大小与它的两边的长短无关
30. 如图，（％是表示北偏东 30。方向的一条射线, 仿照这
条射线画出表示下列方向的射线：
（1）南偏东 30。； （2）北偏西 60。.
31. 如图，O 为直线 SB 上一点，ZAOC=50°9 OD 平分 ZAOC, ZDOE=90°・
36.点 B 在点/的南偏东 40。，则点/在点〃的_________________.
37 ・已^ZAOB=3ZBOC,若 ZBOC=30°f 则 ZAOC 等于（ ）.
A. 120° B. 120。或 60。 C. 30°
38. 己知 OC 是 ZAOB 的平分线，则下列各式：®ZAOC = -ZAOB ； ®ZAOC=
2
ZCOB； ®ZAOB=2ZAOC,其中正确的是（ ）.
A.只有① B.只有①② C.只有②③ D.①②③
39. 小明从力处向北偏东 72。38,方向走 10m 到达 B 处，小亮也从力处出发向南偏西 15。3&
方向走 15m 到达 C 处，则 ABAC 的度数为___________度.
40. 若 Zl + Z2 = 90°, Z3 + Z4=90°,且 Z1 = Z3,根据___________________________ ,可得 Z2=Z4.
41. 如果 Za 和 Z0 互补，且乙 Q 邙,则下列表示角的式子中：①90。一 Z0；
（1） 请你数一数，图中
有
个小于平角的角;
课堂小测
32._____________________________________________________ 把一个圆形的蛋糕等分成 12 份，每份中的角是
33.
34.
35.
如图，直线 d, b 相交于点 O,若/等于 40。，则 Z2 等于（
A. 50° B. 60°
C. 140° D. 160°
己知 Z a 的余角是 42°5 ri6n,则 Za 的度数是______________ .
已知 Zoi 与/卩是互为补角，Za=100o30*,那么 Z 卩的度数是
A. 80°30* B. 100。30‘ C ・ 179。30‘
D. 30。或 90。
( ).
D ・79°30'
②Z«-90°；③*(,G + Z0)；④*(Za_Z0)・能表示 Z0 的余角的是__________________ (填序号).
参考答案
I. B 2. (1) 66°21*； (2) 58o57*20n. 3. 15 4. 154
5. D 6. C 7. D
8. 解：设这个角的度数为 x, 180-x + 10 = 5(90-x), x = 65 ・
9. 解：设两个角的度数为 7x、3x, 7x-3x = 72, x = 18,两个角的度数是 126、54.
10. 解：Z2=70°, Z3=50°.
II. 解：因为 OD 平分 ZMOC, OE 平分 ZBOC,所以 ZCOD=^ZAOC, ZCOE=*BOC,
因为 ZAOB= ZAOC+ ZBOC=SO°,所以 ZDOE= ZCOD+ZCOE=40°.
12. 98° 13. D 14. C 15. A 16. 120 17. B
ry
(1) 45°； (2) 45°； (3)-；
2
19. 当 OC 在 ZAOB 内部时，ZMON=丄 Z4OB— ZBOC=30。；
2
当 OC 在 Z/OB 外部时，ZMON= -ZAOB- ZBOC=60°.
2
20. C 21. A 22. 30° 23. 125° 24. 28°
连结 BC,量出 C 点在 B 点处的方向为北偏东 62。，BC = 7cm,则从 B 处以北偏东 62。的方向出发走
7 千米到达 C 处，则 C 处附近就为藏文物地点.
29. D 30.略 31. (1) 9； (2) 65°.
32. 30 33. C 34. 47。8'44” 35. D 36.北偏西 40。
37. B 38. D 39. 123 40.等角的余角相等
41.①②④
(3)
(4)
(5)
18. (4) AMON 只与 ZAOC 有关，与 ZBOC 无关.
25. ( 1) 60 分钟;6 度/分; 720
(2) 150°； (3)——分钟.
11
26.
28.
北偏东 30。方向和北偏西 60°方向两肘线的交点即为渔船的位置
解：由题意作答图，作法如下：
在平面上任找一点为 A(村) 作出 A 村
的南偏东 50。的方向线
AM,在 AM ±截取 AB = 3cm
(以 lcm 表示 1「米)
作出 A 村的北偏东 80。的方向线 AN
以 B 点为圆心，以 7cm 为半径作
圆弧交 AN 于 C
(1)
(2)
27.
N
西 东
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