小升初数学专题复习讲义

.. 数学 .. 专题一 数论 考点扫描 数论知识包括数的奇偶性、质数、合数、数的整除、余数的性质、数位的含义、平均数、 分解因数、平方数、倍数与因数。 1.数的奇偶性 奇数+奇数=偶数 奇数+偶数=奇数 偶数+偶数=偶数 奇数×奇数=奇数 偶数×偶数=偶数 奇数×偶数=偶数 奇数个奇数相加=奇数 偶数个奇数相加=偶数 （只要式子中含有偶数，那么相乘结果就是偶数） 2.数的整除，常见的数的整除特征 （1）2：个位是偶数； （2）3：各个数位之和是 3 的倍数； （3）5：个位是 0 或 5； （4）4、25：后两位可以被 4（25）整除； （5）8、125：后三位可以被 8（125）整除； （6）9：各个数位之和是 9 的倍数； （7）7：一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的 2 倍，差是 7 的倍数。 例如，判断 133 是否 7 的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以 133 是 7 的倍数；又例如判 断 6139 是否 7 的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以 6139 是 7 的倍 数； （8）11：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差(以大减小)是 11 的倍数； （9）13：一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，可以被 13 整除即可 被 13 整除； （10）17：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的 5 倍，如果差是 17 的倍数，则原数能被 17 整除。 3.余数的性质 （1）余数的可加性：和的余数等于余数的和； （2）余数的可减性：差的余数等于余数的差； （3）余数的可乘性：积得余数等于余数的积； .. （4）同余的性质： 对于同一个余数，如果有两个整数余数相同，那么它们的差就一定能被这个除数整除； 对于同一个除数，如果有两个整数余数相同，那么它们的乘方就一定能被这个除数整数。 抛砖引玉 【例 1】下列各数中，（ ）同时是 3 和 5 的倍数． A．18 B．102 C．45 【解析】同时是 3 和 5 的倍数必须满足：末尾是 0 或 5，并且各个数位上的和能被 3 整 除；进而得出结论．18 个位上是 8，不是 5 的倍数，102 个位上是 2，不是 5 的倍数，45 是 5 的倍数，4+5=9，是 3 的倍数。 答案：C. 【例 2】能同时被 2、3、5 整除的最小两位数是 ，能同时被 2、3 整除的最小三位数是 ， 最大三位数是 ． 【解析】（1）根据 2、3、5 的倍数的倍数特征可知；同时是 2、3、5 的倍数的倍数，只 要是个位是 0，十位满足是 3 的倍数即可，十位满足是 3 的倍数的有 3、6、9，其中 3 是最 小的，解答即可；（2）根据是 2、3 的倍数的数的特征：是 2 的倍数的数的个位都是偶数， 是 3 的倍数的数各个位上的数相加所得的和能被 3 整除，所以能同时被 2、3 整除的最小三 位数，百位应是 1，十位是 0、个位是 2；然后要使能同时被 2、3 整除的三位数最大，则百 位和十位上是 9，个位上的数是偶数，而且能被 3 整除，只能是 6，所以最大的三位数是 996， 解答即可 答案：30；102；996． 【例 3】2309 至少加上 是 3 的倍数，至少减去 才是 5 的倍数。 【解析】根据能被 2 整除的特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数，能被 5 整除的数的特 征：个位上的数字是 0 或者 5 的数，解答即可．由分析可知：2+3+9=14；因为 15 能被 3 整 除，所以至少应加上 1；因为 2309 的个位是 9，只有个位数是 0 或 5 时，才能被 5 整除，所 以至少减去 4。 答案：1；4． 【例 4】三个连续偶数的和是 90，这三个数分别是 、 、 ． 【解析】自然数中，相邻的两个偶数相差 2，由此可设和为 90 的三个连续偶数中的最 .. 小的一个为 x，则另两个分别为 x+2，x+4，由此可得等量关系式：x+x+2+x+4=90．解此方程 即可。 答案：28；30；32． 【例 5】养鸡场一天收 160 千克鸡蛋，每 18 千克鸡蛋装一箱，可以装多少箱？还剩多少千 克？ 【解析】要求 160 千克鸡蛋可以装几箱，还剩多少千克，也就是求 160 里面有几个 18， 用除法计算，得到的商是箱数，余数就是剩下的千克数． 答案：解：160÷18=8（箱）…16（千克）； 答：可以装 8 箱，还剩 16 千克。 沙场点兵 1.从 0、1、5、7 四个数中任选三个数组成一个三位数，这个数既是 2 的倍数，又是 3 的倍 数，还是 5 的倍数，这样的三位数有（ ）个。 A．2 B．3 C．4 2.一列队伍，从第一个人向后按 1 至 6 顺序循环报数，最后一个人报的是 3，这支队伍的人 数一定是（ ）的倍数。 A．2 B．3 C．5 D．6 3.三个连续偶数的和是 120，其中最大的一个数是 ． 4.同学们献爱心捐款，有五名同学共捐了 410 元，他们的捐款数恰好是 5 个连续的偶数，这 五名同学各捐了多少钱？ 5.一根绳子长 21 米，剪 8 米做一根长跳绳，剩下的每 2 米做一根短跳绳．可以做多少根短 跳绳？还剩下多少米？ .. 实战演练 1.（2016•广州）一个两位数除以 5 余 3，除以 7 余 5，这个两位数最大是（ ） A．72 B．37 C．33 D．68 2.（2016•长沙）某同学在计算一道除法时，误将除数 35 写成 53，所得的商是 35 余 12，正 确的商与余数的和是 ． 3.（2016•东莞）三个连续奇数的和是 645．这三个奇数中，最小的奇数是 ． 4.（2017•漳州）既能被 2 整除，又能被 3 整除的最大两位数是 ，既能被 3 整除，又能 被 5 整除的最小三位数是 ． 5.（2017•枞阳县）列式计算：一个数除以 99，商是 10，余数是整数，这个数最大是多少？ 6.（2017•德化县）学校进行团体操表演，每行站 20 人，正好站 24 排．如果要站成 16 排， 那么每行需要站多少人？ .. 专题二 数的运算 考点扫描 1.四则运算的意义 （1）整数加法、小数加法、分数加法的意义：把两个数合成一个数的运算； （2）整数减法、小数减法、分数减法的意义：已知两个数的和与其中的一个加数，求另一 个加数的运算； （3）整数乘法的意义：求几个相同加数的和的简便运算； （4）小数乘法的意义：小数乘整数与整数乘法的意义相同；一个数乘小数，就是求这个数 的十分之几、百分之几……是多少； （5）整数乘分数的意义：一个数乘分数，就是求这个数的几分之几是多少； （6）分数乘整数的意义：分数乘整数，就是求几个相同分数的和的简便运算； （7）整数除法、小数除法、分数除法的意义：已知两个因数的积与其中的一个因数，求另 一个因数的运算。 2.四则运算的计算方法 （1）加减法的计算方法 ①整数的加法：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就要向前一位进一； ②整数的减法：相同数位对齐，从低位减起，哪一位上的数不够减要从前一位上退一，在 本位上加上 10 再减； ③小数的加减法：计算小数加减法时，先把小数点对齐（也就是相同的数位对齐），再按 照整数加减法的法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点，点上小数点； ④分数的加减法：同分母的分数相加减，分母不变，只把分子相加减；异分母的分数相加 减，先通分，然后按照同分母分数加减法的法则进行计算。 （2）乘法的计算方法 ①整数的乘法：从低位到高位分别用因数的每一位去乘另一个因数；用一个因数的哪一位 去乘，求得的数的末位就要和那一位对齐；然后把几次求得的积加起来； ②小数乘法：先按照整数乘法的法则算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边 起数出几位点上小数点； ③分数乘法：分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数， 用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。 .. （3）除法的计算方法 ①整数的除法：从被除数的高位除起，除数有几位就先看被除数的前几位，如果前几位比 除数小，就多取一位再除，除到哪一位，商就写在那一位的上面；每次除得的余数必须比除 数小；在求出商的最高位以后，如果被除数的哪一位上不够商 1，就在那一位上写 0； ②小数除法：除数是整数时，按照整数除法进行计算，商的小数点要与被除数的小数点对 齐。除数是小数时，要先把除数转化成整数，同时把被除数扩大相同的倍数，然后按照除数 是整数的除法进行计算； ③分数的除法：甲数除以乙数（0 除外），等于甲数乘乙数的倒数。 3.整数四则运算中各部分间的关系 （1）加法：和=加数+加数；加数=和－另一个加数 （2）减法：差=被减数－减数；减数=被减数－差；被减数=减数+差 （3）乘法：积=因数×因数；一个因数=积÷另一个因数 （4）除法：商=被除数÷除数；除数=被除数÷商；被除数=除数×商 4.四则运算定律、运算性质 （1）运算定律 加法结合律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。即：a+b=b+a 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数，或者先把后面两个数 相加，再和第一个相加，它们的和不变。即：a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。即：a×b=b×a 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘第三个数，或者先把后面两个数相 乘，再和第一个数相乘，它们的积不变。即：a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，等于把这两个数分别与这个数相乘，再把两个 积加起来。即：(a+b)×c=a×c+b×c；a×(b+c)=a×b+a×c （2）运算性质 减法的运算性质：a－(b+c)=a－b－c a－(b－c)=a－b+c 除法的运算性质（除数不为 0）： a÷(b×c)=a÷b÷c a÷(b÷c)=a÷b×c (a+b)÷c=a÷c+b÷c (a－b)÷c=a÷c－b÷c 5.四则混合运算的顺序 .. 四则运算分为两级：加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算。 （1）在没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级 运算，要先做第二级运算，再做第一级运算； （2）在有括号的算式里，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 抛砖引玉 【例 1】求几个加数的和的简便运算叫做乘法。 （判断对错） 【解析】本题考察整数的乘法及应用。由乘法的意义可得：求几个相同加数和的简便运 算叫乘法。 答案：错误 【例 2】在一道减法算式中，被减数、减数与差的和是 48，被减数是（ ） A．24 B．12 C．16 D．18 【解析】本题考察整数的加法和减法。根据被减数=减数+差，可得被减数、减数与差的 和是被减数的 2 倍，用 48 除以 2，求出被减数是 24，48÷2=24。 答案：A. 【例 3】750÷90 等于（ ） A．商是 8 余 3 B．商是 80 余 2 C．商是 8 余 30 【解析】本题考察有余数的除法。根据整数的除法计算。750÷90=8…30，所以商是 8， 余数是 30。 答案：C. 【例 4】三位数除以一位数，商是（ ） A．两位数 B．三位数 C．可能是三位数也可能是两位数 【解析】三位数除以一位数，先用百位上的数字去除以一位数，看够不够除。就是说百 位上的数字和一位数数字比较，如果比一位数大或相等就够除，商在百位上，就是一个三位 数；如果百位上的数字比一位数小，就要用百位和十位的数组成一个两位数去除以一位数， 商要商在十位上，就是一个两位数。 答案：C. 【例 5】两个数相除，商 50 余 30，如果被除数和除数同时缩小 10 倍，所得的商和余数是（ ） A．商 5 余 3 B．商 50 余 3 C．商 5 余 30 D．商 50 余 30 .. 【解析】被除数和除数同时缩小 10 倍，商还是 50，因为被除数缩小 10 倍，所以余数 也缩小 10 倍为 3。 答案：B. 【例 6】一个数的 1.8 倍是 36，求这个数的一半是多少？（ ） A．36÷1.8÷2 B．36×1.8÷2 C．36÷1.8×0.5 D．36×1.8×0.5 【解析】本题考察小数四则混合运算。首先用 36 除以 1.8，求出这个数是多少；然后 用它除以 2，求出这个数的一半是多少。36÷1.8÷2=20÷2=10。 答案：A. 【例 7】把算式补充完整。 4× =24 30× =60 ÷8=60 21÷ =7 ÷3=9 30÷ =5 +80=120 ﹣30=90 9× =81 ÷6=60 【解析】本题考察整数的乘法及应用、整数的加法和减法、整数的除法及应用、乘与除 的互逆关系。（1）（2）（9）根据一个因数=积÷另一个因数求解；（3）（5）（10）根据被除数 =除数×商进行求解；（4）（6）根据除数=被除数÷商求解；（7）根据一个加数=和﹣另一个 加数求解；（8）根据被减数=减数+差求解。 答案： 4× 6 =24 30× 2 =60 480 ÷8=60 21÷ 3 =7 27 ÷3=9 30÷ 6 =5 40 +80=120 120 ﹣30=90 9× 9 =81 120 ÷6=60 【例 8】 计算下面各题（能简算的简算）。 200﹣180÷15×2 46.71﹣6.81﹣3.19 ×15× ÷（ ﹣ ）× .. × + ÷ ÷[（ + ）× ] 【解析】（1）先算除法，再算乘法，最后算减法； （2）根据连续减去两个数就是减去这两个数的和进行简算； （3）直接约分进行计算即可； （4）先计算括号的减法，再计算除法，最后计算乘法； （5）除以，乘它的倒数，再根据乘法分配律进行简算； （6）先计算小括号的加法，再计算中括号的乘法，最后算除法。 答案：（1）200﹣180÷15×2 （2）46.71﹣6.81﹣3.19 =200﹣12×2 =46.71﹣（6.81+3.19） =200﹣24 =46.71﹣10 =176 =36.71 （3） ×15× （4） ÷（ ﹣ ）× =9× = ÷ × =2 = × × = （5） × + ÷ （6） ÷[（ + ）× ] = × + × = ÷[ × ] = ×（ + ） = ÷ = ×1 = × = =3 【例 9】动物园里的一头蓝鲸一天要吃 450 千克食物，饲养员准备了 7 吨食物，够蓝鲸吃 20 天吗？ .. 【解析】一头蓝鲸一天要吃 450 千克食物，20 天需要吃食物的量就是 20 个 450 千克， 用 450 乘上 20 即可求出一共需要多少千克，再根据 1 吨=1000 千克换算成以吨为单位的数， 再与 7 吨比较即可。 答案：解：450×20=9000（千克） 9000 千克=9 吨 9 吨＞7 吨 所以，不够。 沙场点兵 1.已知○+△=□，下列算式正确的是（ ） A．○+□=△ B．△+□=○ C．□﹣△=○ 2. 25×40 的结果中有 个“0”。 3.计算 2274+（825﹣475÷25×4），第一步应算（ ） A．825﹣475 B．475÷25 C．25×4 D．2274+825 4. 3× ÷3× =（ ） A．1 B．0 C． D．9 5.怎样简便就怎样计算: （1）3.26×5.3+0.74×5.3 （2） ×2.7+6.3÷5+ （3） +（1.6+ ）×10 （4）1.25×2.8× .. 6.列式计算： （1）一个数的 ，比这个数的 20%多 1，求这个数。 （2） 与 的和除以 1 与 的差，商是多少？ 实战演练 1.（2016•广州）我们学过+、﹣、×、÷这四种运算．现在规定“*”是一种新的运算．A*B 表示 2A﹣B，如：4*3=4×2﹣3=5．那么 7*6*5= ． 2.（2017•福建）一个五位数 8□35△，如果这个数能同时被 2、3、5 整除，那么□代表的 数字是 ，△代表的数字是 ． 3.（2015•济南）小马虎在计算 1.39 加上一个一位小数时，由于错误地把数的末尾对齐，结 果得到 1.84．正确的得数应是（ ） A．4.5 B．6.34 C．5.89 4.（2017•商河县）甲数是 840，______，乙数是多少？如果求乙数的算式是 840÷（l+ ）， 那么横线上应补充的条件是（ ） A．甲数比乙数多 B．甲数比乙数少 C．乙数比甲数多 D．乙数比甲数少 5.（2016•龙湾区）20 千米比（ ）千米少 20%。 A．24 B．16 C．22 D．25 6.（2017•南阳）（1） 与它的倒数的差去除 ，商是多少？（列综合算式） .. （2）一个除法算式中，被除数、除数、商、余数的和是 147．已知商为 11，余数为 2，求 除数是多少？（用方程） .. 专题三 代数式与方程 考点扫描 1.数的运算 （1）四则运算顺序：有括号的先算括号内的，没有括号的先乘除，后加减。 （2）小数乘、除法：小数乘、除法和整数乘、除法运算方法类似，可以把小数看成整数， 运用整数乘除法计算出来。 （3）如何快速得出小数乘法得数的位数：小数乘法位数多少取决于两个乘数小数位数的和， 但如果小数末尾的数字相乘有 0 出现的，位数就要减去 0 的个数。 （4）如何快速得出整数除法商的位数：商的位数取决于被除数与除数的位数差，如果被除 数左边第一位比除数左边第一位小，那么商的位数=被除数与除数的位数差;如果被除数左边 第一位比除数左边第一位大，那么商的位数=被除数与除数的位数差+1。 （5）分数除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数. （6）运算定律：①加法交换律：a+b=b+a； ②加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； ③乘法交换律：a×b=b×a； ④乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)； ⑤乘法分配律：a×c+b×c = (a+b)×c. （7）添括号及去括号对于运算顺序的影响：当式子中只有同级运算时，那么如果括号前是 加法或者乘法时，去括号，括号内符号不改变;如果括号前是减法或者除法时，去括号，括 号内符号改变。如果所添加的括号前面是加法或者乘法是，括号内符号不改变，如果所添加 括号前是减法或除法时，括号内符号改变。 2.简易方程 （1）四则运算之间各部分的关系： 一个加数=和-另一个加数 （例如 x+3=8 怎样进行验算） （2）解方程的依据：一个因数=积÷另一个因数（例如 5×X=18） （3）被减数=差+减数（例如 x-7=5） 减数=被减数-差（例如 7-x=5） （4）被除数=商×除数（例如 x÷7=5） 除数=被除数÷商（例如 21÷x=3） 3.等式的性质 （1）方程两边同时加上（减去）一个数，左右两边仍然相等； .. 方程两边同时乘或除以一个（不为 0）的数，左右两边仍然相等。 （解方程应注意：书写时，要注意先写“解”字，上、下行的等号要对齐，不能连等） （2）解方程时，尽量让所有的未知数在等式的一边，而不要出现等式两边都有未知数的情 况.（例如：爸爸的年龄比儿子大 32 岁，是儿子年龄的 9 倍，爸爸和儿子各多少岁？根据爸 爸的年龄—儿子的年龄=相差的年龄的等量关系式来列方程） （3）列方程解应用题 列方程解应用题是用字母来代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，也就是 列出方程，然后解出未知数的值.列方程解应用题的优点在于可以使未知数直接参加运算. 解这类应用题的关键在于能够正确地设立未知数，找出等量关系从而建立方程.而找出等量 关系又在于熟练运用数量之间的各种已知条件.掌握了这两点就能正确地列出方程。 （4）列方程解应用题的一般步骤是： ①弄清题意，找出已知条件和所求问题； ②依题意确定等量关系，设未知数 x； ③根据等量关系列出方程； ④解方程； ⑤检验，写出答案。 抛砖引玉 【例 1】两根 2 米长的电线，第一根用去全长的 4 1 ，第二根用去 4 1 米，剩下的电线（ ） A．第一根长 B．第二根长 C．一样长 D．无法比较 【解析】第一根：把全长看成单位“1”，剩下的长度就是全长的（1﹣ 4 1 ），用乘法求 出剩下的长度；第二根：全长减去 4 1 米就是剩下的长度．比较剩下的长度即可求解．第一 根：2×（1﹣ 4 1 ）=2× 4 3 = 2 11 （米）；第二根：2﹣ 4 1 = 4 31 （米）； 2 11 < 4 31 ；第二根剩下的 长。 答案：B. 【例 2】下面哪道题的小括号去掉后不影响计算结果？（ ） A．（40+60）÷20 B．300÷（5×6） C．200﹣（60×2） 【解析】按照整数混合运算的运算顺序逐一分析得出答案即可．A、（40+60）÷20 去掉 .. 小括号后，先算除法，再算加法，改变了运算顺序，影响计算的结果；B、300÷（5×6）去 掉小括号后，先算除法，再算乘法，改变了运算顺序，影响计算的结果；C、200﹣（60×2） 去掉小括号后，先算乘法，再算减法，不改变运算顺序，不影响计算的结果。 答案：C. 【例 3】甲袋有 A 千克面粉，乙袋有 B 千克面粉，如果从乙袋取出 6 千克放入甲袋中，甲乙 两袋重量相等，列等式是 ． 【解析】根据“从乙袋取出 6 千克放入甲袋中，甲乙两袋重量相等，”说明甲、乙两袋 相差 6×2=12 千克，所以等式为 A=B﹣12．根据题意得出：A=B﹣6×2=B﹣12，即 B﹣A=12. 答案：B﹣A=12． 【例 4】把 9 千克盐平均分装在 x 个瓶子里，每瓶装 1.5 千克．用方程表示为（ ），方 程的解是（ ） 【解析】由题意可得关系：每瓶装的千克数×瓶子数=总重量，据此列方程解答即可．设 平均分装在 x 个瓶子里，1.5x=9，x=6. 答案：1.5x=9；x=6. 【例 5】养殖场有 789 只鸡，比鸭少 69 只，鸭有几只？（先写等量关系式，再用两种方法 列 X 解） 【解析】设鸭有 x 只，方法一：鸭的只数﹣鸡的只数=鸡比鸭少的只数；即 x﹣789=69； 方法二：鸭的只数﹣鸡比鸭少的只数=鸡的只数，即 x﹣69=789． 答案：解：方法一：等量关系：鸭的只数﹣鸡的只数=鸡比鸭少的只数。 设鸭有 x 只， x﹣789=69 x﹣789+789=69+789 x=858 方法二：等量关系：鸭的只数﹣鸡比鸭少的只数=鸡的只数。 设鸭有 X 只 X﹣69=789 .. X﹣69+69=789+69 X=858 答：鸭有 858 只。 沙场点兵 1.设 a 是最小的正整数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的数，则 a﹣b+c=（ ） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 2.30 比 x 的 10 倍多 2.5，求 x 是多少？列方程为（ ） A．30+10x=2.5 B．10x﹣2.5=30 C．30﹣10x=2.5 3.某音像社对外出租光盘的收费方法是：每张光盘在出租后的头两天每天收 0.8 元，以后每 天收 0.5 元，那么一张光盘在出租第 n 天（n 是大于 2 的自然数）应收租金是 元。 4.一辆汽车每小时行 90 千米，它以这样的速度从甲地开往乙地，行 a 小时后距乙地还有 b 千米．用含用字母的式子表示甲，乙两地的路程是 千米，从甲地到乙地共需要 小 时。 5.生产一批电视机，计划每天生产 m 台，生产 a 天，为适应市场需求，需提前 3 天完成任务． （1）用代数式表示实际每天应生产多少台； （2）当 m=1000，a=28 时，每天要生产多少台。 实战演练 1.（2016•泉州）甲数为 x，乙数是甲数的 3 倍多 6，求乙数的算式是（ ） A．x÷3+6 B．（x+6）÷3 C．（x﹣6）÷3 D．3 x+6 2.（2017•宜昌）大客车每时行 a 千米，小汽车每时行 b 千米，两车分别从甲乙两地同时出 发，经过 c 时相遇，甲乙两地的距离是（ ） A．（a+b）c B．a+bc C．ab+c D．a+b+c 3.（2017•绍兴）建筑工地上有 a 吨水泥，每天用去 b 吨，用了 3 天，用式子表示剩下的吨 .. 数是 ，如果 a=20，b=4，那么剩下的是 吨。 4.（2016•高邮市）求未知数 x． 4.8﹣3x=1.8 8 1 ： 5 1 =x：24 7.5x+6.5x=2.8 5.（2017•济南）求未知数 x． ①3x﹣36×5=30； ②x 与现有的三个数 4、5、6 能组成一个比例，求 x． 6.（2017•菏泽）x 的 2 倍与 3.6 的和是 8.4，求 x． .. 专题四 比和比例 考点扫描 1.比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。 例如 6:3=2 中的“：”是比号，读作“比”； 比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项； 比的前项除以后项所得的商，叫做比值。 2.比的前项和后项同时乘或除以（0 除外）相同的数,比值不变,这叫做比的基本性质。 3.比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。它是判定两个比能否组成比例的依据之一； 组成比例的四个数叫做它的项，分为内项和外项。 4.比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质； 它是判定两个比能否组成比例的另一个重要依据。运用比例的基本性质可以解比例。 5.解比例：根据比例的基本性质，如果已知比例中的任意三项，就可以求出这个比例中的另 外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。 6.正比例与反比例的概念及意义 正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化另一个量也随着变化；对应的两个数 的比值（商）一定，这两种量就叫做成正；y：x=k（K 定值）； 反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化另一；对应的两个数的积一定，这两 种量就叫做成反比例的量；反比例的关系式：xy=K（K 定值）。 抛砖引玉 【例 1】1.75=7÷ = =28÷ = ． 【解析】解决此题关键在于 1.75，1.75 可化成分数 ， 的分子和分母同时除以 25 可化成最简分数 ， 的分子和分母同乘 7 可化成 ； 用分子 7 做被除数，分母 4 做 除数可转化成除法算式 7÷4，7÷4 的被除数和除数同乘 4 可化成 28÷16；由此进行转化并 填空。 答案：4；49；16；7． 【例 2】写出两个比值是 8 的比 和 ，并组成比例是 ． 【解析】任意写出两个比值都是 8 的比，进而组成比例即可．因为 8：1=8，16：2=8， .. 所以 8：1=16：2. 答案：8：1；16：2；8：1=16：2． 【例 3】先按要求填空，再回答后面的问题。 （1）图中 A、B 两个正方形边长的比是 ，周长的比是 ，这两个比能组成比例吗？ （2）A、B 两个正方形面积的比是 ，这个比和边长的比能组成比例吗？ 【解析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是 对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 答案：解：（1）图中 A、B 两个正方形边长的比是 5：10=1：2， 周长的比是（5×4）：（10×4）=20：40=1：2， 因为 1：2=1：2，所以两个比能组成比例。 （2）A、B 两个正方形面积的比是： （5×5）：（10×10） =25：100 =1：4 因为 1：4≠1：2，所以这个比和边长的比不能组成比例。 【例 4】解比例： （1）x： 4 3 =2： 10 9 （2） x 5.0 = 6 75.0 （3）x：20= 5 2 （4） 4 3 x÷15= 3 2 【解析】考查解比例的方法。 .. 答案：解：（1）x： 4 3 =2： 10 9 10 9 x=2× 4 3 10 9 x÷ 10 9 = 2 3 ÷ 10 9 x= 3 5 （2） x 5.0 = 6 75.0 0.75x=0.5×6 0.75x÷0.75=3÷0.75 x=4 （3）x：20= 5 2 5x=2×20 5x÷5=40÷5 x=8 （4） 4 3 x÷15= 3 2 20 1 x= 3 2 20 1 x÷ 20 1 = 3 2 ÷ 20 1 x= 3 40 【例 5】一批化肥，第一次运走了 30 吨，第二次运走了总数的 3 1 ，剩下的化肥与运走的化 肥的质量比是 4：5，这批化肥一共有多少吨？ 【解析】根据“剩下的化肥与运走的化肥重量比是 4：5”可得：两次运走的化肥重量 占总重量的 54 5  = 9 5 ，总数的 9 5 减去第二次运走了总数的 3 1 就是第一次运走的 30 吨所对应 的分率，30 除以自己所对应的分率即可得这批化肥共有多少吨。 .. 答案：解：4+5=9 30÷（ 9 5 ﹣ 3 1 ） =30÷ 9 2 =135（吨） 答：这批化肥共有 135 吨。 沙场点兵 1.能与 3：8 组成比例的比是（ ） A．8：3 B．0.2：0.5 C．15：40 D．7：21 2.甲数的 5 4 等于乙数的 3 2 （甲数、乙数不为 0），那么甲数与乙数的比是（ ） A． 3 1 ： 5 4 B．6：5 C．5：6 D． 5 4 ： 3 2 3.一个圆锥的底面半径与一个圆柱的底面直径相等，二者的高也相等．圆锥体与圆柱体的体 积比是（ ） A．1：3 B．1：1 C．2：3 D．4：3 4.解方程或解比例： x：10=14：13 2.1x=78 13：18=89：x 2x+30%=9.2 5.运一批货物，运走的与剩下的比为 3：7，如果再运走 30 吨，那么剩下的货物只占原有 货物的 2 1 ，这批货物原有多少吨？ .. 实战演练 1.（2017•杭州） 15 9 = 25 （）=0.3：( )=( )%=( )折=( )成。 2.（2017•杭州）钟面上，时针的转速与分针的转速之比是（ ） A．1：60 B．1：12 C．12：1 D．60：1 3.（2016•广州）甲数比乙数少 25%，甲数比乙数的最简整数比是（ ） A．1：4 B．4：1 C．3：4 D．4：3 4.（2016•温州）求未知数 x． x：2= 2 12 ： 5 1 3 2 + 5 2 x= 3 15 5.（2016•武汉）操作题。 （1）请你在正方形中画一个最大的圆； （2）如果该正方形的面积是 4 平方厘米，计算正方形的面积与圆面积的比。 6.（2016•温州）小明读一本书，上午读了一部分，这时读的页数与未读页数的比是 1：9； 下午比上午多读 6 页，这时已读的页数与未读的页数的比变成了 1：3，这本书共多少页？ .. 专题五 探索规律 考点扫描 1.数字规律 （1）数列：按一定次序排列的一列数叫做数列。 数列中的规律: ①规律隐含在相邻两数的和或差中； ②规律隐含在相邻两数的倍数中； ③前后几项为一组，以组为单位隐含一定的规律； ④相隔的项之间存在着一定的规律； ⑤数列的各项分别是项数的平方数； ⑥数列中的下一项是前几项的和。 2.图形规律 （1）图形的规律是指根据一组相关图形总结出图形变化所反映的规律； （2）解决图形规律问题的方法有两种:一种是数字图形，将图形转化成数字规律，再用数字 规律解决问题；另一种是通过图形的直观性，从图形的变化中直接寻找规律。 3.算式中的规律 （1）利用计算器独立探索，发现规律； （2）利用规律来完成计算。 抛砖引玉 【例 1】找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数： (1) 4，7，10，13，( )，( ). (2) 84，72，60，( )，( ). (3) 2，6，18，( )，( ). (4) 625，125，25，( )，( ). (5) 1，4，9，16，( ). (6) 2，6，12，20，( )，( ). 【解析】通过对已知的几个数的前后两项的观察、分析，可发现： (1)的规律是：前项+3=后项。所以应填 16； (2)的规律是：前项-12=后项。所以应填 48，36； (3)的规律是：前项×3=后项。所以应填 54，162； (4)的规律是：前项÷5=后项。所以应填 5，1； .. (5)的规律是：数列各项依次为 1=1×1，4=2×2， 9=3×3，16=4×4，所以应 填 5×5=25； (6)的规律是：数列各项依次为 2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，所以， 应填 5×6=30，6×7=42； 答案：（1）16.（2）48；36.（3）54；162.（4）5；1.（5）25.（6）30；42. 【例 2】寻找规律填数： （1） （2） （1）_______、________； （2）_______、________。 【解析】（1）考察上、下两数的差。32-16=16，31-15=16，33-17=16，可知，上面那 个“？”=35-16=19，下面那个“？”=18+16=34； （2）从左至右，一上一下地看，由 1，3，5，？，9，…知，12 下面的“？”=7；一下一上 看，由 6，8，10，12，？，…知，9 下面的“？”=14。 答案：（1）19；34.（2）7；14. 【例 3】在下列各组图形中寻找规律，并按此规律在“？”处填上合适的数： （1） （2） 【解析】（1）观察前两个图形中的数可知，大圆圈内的数等于三个小圆圈内的数的乘 积的一半，故第三个图形中的“？”=5×3×8÷2=60；第四个图形中的“？”=(21×2)÷3 ÷2=7；（2）观察前两个图形中的已知数，发现有 10=8+5-3， 8=7+4-3，即三角形里面的 数的和减去三角形外面的数就是中间小圆圈内的数。故第三个图形中的“？”=12+1-5=8； 第四个图形中的“？”=7+1-5=3。 答案：（1）60；7.（2）8；3. .. 【例 4】寻找规律填数： 1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1111 （ ）×9+5=11111 1234567×9+（ ）=11111111 【解析】第一个因数依次为：1、12、123……，是按照自然数的顺序依次在末尾多一个 数字，第二个因数都是 9，加数比第一个因数的个位数多 1，加数是几，则结果为几个 1 组 成的整数。 1×9+2=11；12×9+3=111；123×9+4=1111；1234×9+5=11111；1234567×9+8=1111111 答案：1234；8. 沙场点兵 1.找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数： （1）18，20，24，30，( )； （2）11，12，14，18，26，( )； （3）2，5，11，23，47，( )，( )。 2.寻找规律在空格内填数： （1） （2） 3.在下列表格中寻找规律，并求出“？”： （1） （2） （1）___________； （2）___________. 4.如图，用火柴棒按照下面的图示横着拼正方形，当拼出 10 个正方形时，一共用了______ 根火柴棒。 .. 5.观察规律：123456789×9=1111111101； 123456789×18=2222222202； 123456789×27=3333333303； 那么：123456789×36=_______________； 123456789×72=_______________。 实战演练 1.(2013•长沙)发现规律，有 10 个等式：1+2=3；4+5+6=7+8；9+10+11+12=13+14+15，那么 第 10 个等式的左右两边的和都是_______。 2.（2016•广州）用黑白两种颜色的正方形纸片按黑色纸片数逐渐加 1 的规律拼成一列图案： 如图所示， （1）第 4 个图案中有白色纸片多少张？ （2）第 n 个图案中有白色纸片多少张？ 3.（2016•广州）按规律填空：2,2,4,6，10,16,26，42，（ ），（ ）。 4.（2016•北京）不计算，根据 3600÷18=200，直接写出下面各题的得数。 （1）36÷18=（ ） （2）900÷18=（ ） （3）3600÷72=（ ） （4）360÷72=（ ） 5.(2017•武汉)观察图形找规律： .. （1）按照图形变化规律填表： 正方形个数 1 2 3 4 5 … 直角三角形个数 0 4 8 … （2）如果画 8 个正方形能得到_____个直角三角形，画 n 个正方形能得到______个直角三角 形。 .. 专题六 面积计算 考点扫描 1.平面图形的周长和面积的意义 （1）周长：封闭图形一周的长度是它的周长； （2）面积：物体表面或围城的平面图形的大小。 2.平面图形的周长和面积 （1）周长和面积的公式： 长方形：周长=（长+宽）×2；面积=长×宽 正方形：周长=边长×4； 面积=边长×边长 平行四边形：面积=底×高 三角形：面积=底×高÷2 梯形：面积=（上底+下底）×高÷2=中位线×高 圆：周长=直径× =半径×2 ；面积=半径×半径× 扇形：面积=半径×半径× × 360  【提示】求不规则四边形的周长时，可以采用平移的方法，把它变成基本图形，再利用周 长计算公式来计算。 （2）计算组合图形的面积，可以把组合图形分解成几个已经学过的图形，还可以通过平移、 割补、等量代换等方法解决。 抛砖引玉 【例 1】小明用长 25 米的篱笆围城了一个一面靠墙的养鸡栏（如图），这个养鸡栏的面积是 多少？ .. 【解析】解答此题的关键是求出梯形上下底的和.不必要求出上底和下底各有多长，此 题也求不出它们的长度，此题属于梯形面积的计算.梯形的面积=(上底+下底)×高÷2，根据 图意可知，用篱笆的总长减去 6m 就是梯形上下底的和，根据图形公式，把数据代入计算即 可。 答案：（25-6)×3÷2 =19×3÷2 =28.5(m2)(梯形的面积) 答：养鸡栏的面积是 28.5 平方米。 【例 2】已知梯形的上底是 20 厘米，下底是 34 厘米，其中阴影部分的面积是 442 平方厘米， 求这个梯形的面积。 【解析】阴影部分是三角形，知道面积和底，依据三角形面积公式可以求出高，也是梯 形的高，然后利用梯形的面积公式求出梯形的面积即可。 答案：三角形的高：442×2÷34=26（厘米） 梯形面积：（20+34）×26÷2 =54×26÷2 =702（平方厘米） 答：这个梯形的面积是 702 平方厘米。 【例 3】一个运动场（如图），两头是半圆形，中间是长方形，这个运动场的周长是多少米？ 面积是多少平方米？ .. 【解析】此题考查的是对平面图形的周长和面积意义的理解。运动场的周长是指围成这 个运动场一周的长。即圆的周长与长方形两条长边的和，运动场的面积是圆的面积和长方形 的面积的和。 答案：运动场的周长： 125×2+3.14×50 =250+157 =407（米） 运动场的面积： 125×50+3.14×（50÷2）2 =6250+1962.5 =8212.5（平方米） 答：这个运动场的周长是 407 米．面积是 8212.5 平方米。 【例 4】如下图，半圆以点 O 为圆心，半径是 3 厘米。梯形 ACDE 的下底与半圆的直径在一 条直线上，且上底为 2 厘米，下底为 4 厘米，求下图阴影部分的面积。 【解析】此题考查的是组合图形的面积和割补方法。题中要求的阴影部分的面积有两块， 为了便于求解，可以运用“割补法”将两块阴影合成一块，将左边的小阴影切割后移动到右 边，那么割补后的整个阴影部分是一个梯形，直接利用梯形的面积公式可以求出该阴影部分 的面积。 答案：（2+4）×3÷2 =6×3÷2 =18÷2 =9（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 9 平方厘米。 .. 【例 5】如图是由两个相同的直角梯形重叠而成的,图中只标出三个数据(单位：厘米)，图 中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【解析】由于重叠部分是两个相同的直角梯形组成的，即公共部分，所以阴影部分的面 积就等于下面小空白部分的梯形的面积：上底是 10-2=8 厘米，下底是 10 厘米，高是 3 厘米， 然后代入梯形的计算公式解答即可。 答案：(10−2+10)×3÷2 =18×3÷2 =27(平方厘米) 答：阴影部分的面积是 27 平方厘米。 【例 6】如图，圆的周长是 32.8 厘米，圆的面积与长方形的面积正好相等，图中阴影部分 的周长是多少厘米？ 【解析】求阴影部分周长，先把阴影部分长方形的宽=圆的半径 r，因为已知圆的面积 和长方形面积相等，圆的面积=πr2，长方形的面积=长方形的长×r，即πr2=长方形的长×r； 所以两条长相当于圆的周长，所以阴影部分的周长：圆的周长+圆周长的1 4 =圆周长的5 4 ，据 此解答即可。 答案：32.8×5 4 =41(厘米) 答：阴影部分的周长是 41 厘米。 .. 沙场点兵 1.用 32 米长的篱笆，在靠墙的地方围了一块直角梯形菜地，这块菜地的占地面积是多少平 方米？ 2.东东家有一块梯形菜地，上底是 15 米，下底是 28 米，其中阴影部分种白菜，种白菜部分 的面积是 140 平方米，这个梯形菜地的面积是多少平方米？ 3.求下面图形的面积。（单位：厘米） 4.求图中阴影面积。（单位：厘米） 5.如图,两个完全一样分,图中阴影部分的面积是多少平方厘米？(单位：厘米) .. 6.如下图，圆的周长是 20 厘米，圆的面积与长方形的面积相等，则阴影部分的周长是（ ） 厘米。 实战演练 1.（2016•泸西县）如图，梯形上底长 5 厘米，下底长 8 厘米，已知阴影部分的面积是 24 平方厘米，求梯形的面积。 2.（2016•天津）如图，圆的周长是 62.8 厘米，且圆的面积和长方形面积相等，图中阴影部 分的面积是多少平方厘米？ 3.（2017•杭州）正方形 ABCD 的边长为 1cm，图中 4 个弓形面积之和是多少？ .. 4.（2016•广州）求阴影部分的面积。（单位：分米） 5.（2017•上海）如图是一块长方形草坪,长是 16 米,宽是 10 米,中间有两条小路,一条是长 方形,一条是平行四边形，那么有草部分(阴影部分)的面积有多大？(单位：米) .. 专题七 立体图形 考点扫描 1.长方体正方体的意义及联系 （1）长方体定义：由六个长方形（特殊情况下有两个相对的面是正方形）围成的立体图形 叫作长方体。 （2）正方体定义：由六个完全相同的正方形围成的立体图形叫作正方体；它是特殊的长方 体，是长、宽、高都相等的长方体。 （3）长方体与正方体特征的相同点和不同点: 名称 长方体 正方体 相同点 面 6 个 棱 12 条 顶点 8 个 不同点 面的形状 6 个面都是长方形，也可能有 2 个相 对的面是正方形 6 个面都是相同的正方形 面的大小 相对的面面积相等 6 个面的面积相等 棱的长度 每组互相平行的 4 条棱的长度都相等 12 条棱的长度都相等 2.圆柱、圆锥的定义及特征 （1）圆柱的定义：以长方形的一条边所在的直线为轴旋转一周所得到的几何体叫作圆柱。 （2）圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转一周所得到的几何体叫 作圆锥。 （3）圆柱圆锥的特征： 名称 比较 面 高 圆柱 有三个面，两个底面是面积相等的圆，侧 面沿高展开是一个长方形或正方形。这个 长方形长就是底面周长，宽就是圆柱的高 圆柱两底面的垂直距离叫作圆柱的高，高垂 直于上下两个底面；圆柱有无数条高 圆锥 有两个面，地面是圆，侧面展开是一个扇 形 圆锥有一个顶点，从圆锥的顶点到底面圆心 的垂直距离就是圆锥的高；圆锥只有一条高 .. 3.观察物体 （1）站在不同位置，看到物体的形状可能是不同的； （2）在生活实际中，常用三视图法来画立体图形；分别从正面、上面和侧面三个不同的方 向看同一个物体，然后用三张图来描述所看到的图形。 4.体积和容积 （1）体积：物体所占空间的大小叫作物体的体积；体积通常用 V 表示，常用的体积单位是 立方米、立方分米、立方厘米。 （2）容积：容器所能容纳物体的体积叫作容积或容量，常用容积单位是升、毫升。体积与 容积单位之间换算为：1 立方分米=1 升，1 立方厘米=1 毫升。 5.立体图形的侧面积、表面积、体积的计算公式 名称 图形 字母意义 侧面积 表面积 体积 长方体 a-----长 b-----宽 h-----高 S 侧=2(a+b)h S=2(ab+ah+bh) V=abh 正方体 a-----棱长 S 侧=4a2 S=6a2 V=a3 圆柱 S----底面积 r--底面半径 h----高 C---底面周长 S 侧=Ch=2πrh S 表面积=Ch+2πr2 V=πr3 圆锥 S---底面积 r---底面半径 h----高 R----扇形半径 n----扇形圆心角 S 侧= 360 n R S 表面积= 360 n R +S 底面积 V= 3 1 πr2 h .. 抛砖引玉 【例 1】判断： （1）有 6 个面、12 条棱、8 个顶点的物体就是长方形。（ ） （2）如果一个物体的上下两个面是面积相等的两个圆，那么这个物体一定是圆柱。（ ） 【解析】本题旨在考查学生对立体图形特征的掌握情况，（1）必须强调有 6 个面，并且 每个面都是都是长方形才能判定是长方体；（2）必须强调粗细相同才能判断是圆柱。 答案：（1）×；（2）×. 【例 2】有一个小正方体，将它的表面全部涂成红色。如果再把它切割成 27 个小正方体（如 图所示），那么小正方体中，一面有红色、两面有红色、三面有红色的各有多少个？ 【解析】大正方体被切割成小正方体之后，一面有红色的是大正方体每个面的最中间的 那一块。两面有红色的是大正方体每条棱的中间的那一块，三面有红色的是位于顶点处的那 一块。因为正方体有六个面，12 条棱，8 个顶点，所以一面有红色的是 6 个，两面有红色的 是 12 个，三面有红色的是 8 个。 答案：分别有：6 个；12 个；8 个。 【例 3】如图，从正面看到的形状是（ ），从左面看到的形状是（ ），从上面看到的 形状是( )。 A. B. C. 【解析】正面看就是从前面看，看到的图形，最左边竖着有两个小正方形，最下边横着 有三个。从左面看，看到的图形左边竖着有两个正方形，下面竖着有 2 个，从上面看，看到 的图形上排有三个小正方形，下排最左侧有一个。 答案：B；A；C. .. 【例 4】一个圆柱形游泳池的底面直径是 40 米，水深是 2 米。 （1）这个游泳池的占地面积是多少平方米？ （2）围绕这个游泳池的一周，围上护栏，护栏的长是多少米？ （3）挖成这个游泳池，共需要挖土多少立方米？ （4）在游泳池的侧面和池底抹上一层水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ 【解析】立体图形的测量与实际生活联系，先确定每一问求的是什么：（1）求圆柱底面 积；（2）求圆柱底面周长；（3）求圆柱体积；（4）求圆柱侧面积和一个底面积之和。 答案：（1）3.14×（40÷2）2=1256（平方米） 答：这个游泳池的占地面积是 1256 平方米。 （2）3.14×40=125.6（平方米） 答：护栏的长是 125.6 平方米。 （3）1256×2=2512（立方米） 答：共需挖土 2512 立方米。 （4）125.6×2+1256=1507.2（平方米） 答：抹水泥的面积是 1507.2 平方米。 【例 5】某学习小组为了弄清一个不规则物体的体积，进行了如下的操作和测量。 （1）小明准备了一个长方体玻璃钢，并测量出玻璃钢的内壁长 6 分米，宽和高都是 4 分米； （2）小兰往玻璃缸中倒入 2 分米深的水； （3）小红把这个物体放入玻璃缸中，发现水正好能淹没这个物体； （4）小强测出水面上升了 2 厘米； （5）小华称出它的质量是 1250 千克； 请你根据他们的测量结果，算出这个不规则物体的体积。 .. 【解析】当物体完全浸没在水中时，升高的水的体积就等于不规则物体的体积，即这个 不规则物体的体积等于长 6 分米，宽 4 分米、高是 2 厘米的长方体的体积。 答案：2 厘米=0.2 分米 6×4×0.2=4.8（立方分米） 沙场点兵 1.如图是（ ）的表面展开图，高是（ ），侧面积是（ ）平方厘米，底面积是（ ） 平方厘米。 2.由 5 个小正方体搭成的立体图形，从上面看到的形状是 ，从左面看到形状是 ， 这个立体图形是（ ）。 A. B. C. 3 有一个无盖的正方形纸盒，下底标有字母“M”，将其剪开展成平面图形，想一想这个平面 图形可能是（ ）或（ ）。 M M M M .. A B C 4.下面的图形是一个长方体从前面和后面看到的图形，请你画出从它的上面看到的图形，并 标明尺寸；求出它的表面积和体积。（单位：cm） 6 6 10 8 5.如下图，一块长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶（接头处忽略不计）， 求这个油桶的容积。（π取 3.14） 实战演练 1.（2017•河南）小郑有两个骰子，每个面上点数符合如下规则：骰子相对的两个面上的点 数之和为 7。下面是 4 个骰子的展开图，其中那两个可能是小郑的骰子（ ）。 Ⅰ 63 25 41 Ⅱ 4 35 612 Ⅲ 641 523 Ⅳ 4 6251 3 A.Ⅰ和Ⅱ B.Ⅱ和Ⅲ C.Ⅲ和Ⅳ D.Ⅰ和Ⅳ 2.（2017•河南）小郑拿了一个积木玩具（下图左），你从不同角度观察它，以下哪一项是你 不可能看到的？（ ） .. A. B. C. D. 3.（2017•河南）为了感谢大家，小郑端出来一个大蛋糕。如右图，蛋糕是一个长为 30cm, 宽为 30cm，高为 20cm 的长方体。他先往蛋糕表面浇满一层薄薄的巧克力（巧克力无法渗透 到底座），然后，将它切成了若干块大小均为 1000cm3 的正方体小蛋糕。请根据条件作答。 （1）共切成（ ）块蛋糕； （2）一面有巧克力的小蛋糕有（ ）块； （3）两面有巧克力的小蛋糕有（ ）块； （4）三面有巧克力的小蛋糕有（ ）块。 4.（2016•河南）下列各图是小明画的长方体的展开图，你认为不正确的是（ ） A. B. C. D. .. 5.（2016•河南）一个长方体形状的蛋糕盒，长和宽都为 30cm，高 12cm，如果用一根绳子捆 扎（如图），打结处共长 15cm。需要绳子的长是_________cm。 .. 专题八 统计与概率 考点扫描 1.统计表 （1）单式统计表：只有一组统计项目的统计表，叫做单式统计表。 （2）复式统计表：有两组或两组以上统计项目的统计表，叫做复式统计表。 （3）制作统计表的步骤： ①搜集整理数据； ②确定表的格式和栏目数量，根据纸张大小制成表格； ③填写栏目和各项目名称，并填写数据； ④计算总计和合计并填入表中，一般总计放在横栏最左格，合计放在竖栏最上格； ⑤写好表格名称并注明制表时间。 2.统计图 （1）条形统计图、折线统计图和扇形统计图的特点和作用： 条形统计图 折线统计图 扇形统计图 特点 用一个单位长度表示一定的数量 用整个圆面积表示总数， 用圆内的扇形面积表示 各部分占总数的百分数 用直条的长短表示数量 的多少 用折线起伏表示数量的增减变 化 作用 从图中能清楚地看出各 数量的多少，便于相互比 较 从图中能清楚地看出数量增减 变化的情况，也能看出数量的 多少 从图中能清楚地看出各 部分与总数的百分比，以 及部分与部分之间的关 系 （2）绘制条形统计图的步骤： ①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线； ②在水平射线（即横轴）上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔； ③在与水平射线垂直的射线（即纵轴）上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度； ④按照数据的大小，画出长短不同的直条，并注明数据； ⑤写上统计图名称并标明制图时间。 （3）会根据统计图、表进行数据分析，提出问题，作出简单的判断、预测和决策。 .. 平均数、中位数和众数是三个常见的统计量。 ①平均数：求平均数的实质主是将几个数量，在总量（和）不变的情况下，通过移多补少， 使它们变为相等。求平均数的基本数量关系式是：总数量÷总份数=平均数。解题的关键是 根据已知条件确定总数量及它相对应的总份数； ②中位数：把调查得到的一组数据，按照大小顺序排列起来，其中处于正中间的那一个数 据叫做这组数据的中位数。如果数据是偶数个时则取正中间的两个，计算了这两个数据的平 均数作为该组数据的中位数； ③众数：在一组数据中，出现次数最多的那个数就叫做这组数据的众数。如果一组数据出 现次数最多的数据有多个，那么这组数据的众数就有多个。 3.可能性 （1）可能性：无论在什么情况下都会发生的事件，是“一定”会发生的事件；在任何情况 下都不会发生的事件，是“不可能” 发生的事件；在某种情况下会发生，而在其他情况下 不会发生的事件，是“可能”会发生的事件； （2）可能性的大小：在可能发生的事件中，如果出现该事件的情况较多，我们就说该事件 发生的可能性较大；如果出现该事件的情况较少，我们就说该事件发生的可能性较小； （3）游戏规则的公平性公平性就是只参与游戏活动的每一个对象获胜的可能性是相等的。 抛砖引玉 【例 1】下列调查方式合适的是（ ） A.为了了解炮弹的杀伤力，采用普查的方式 B.为了了解全国中学生的睡眠状况，采用普查的方式 C.为了了解人们保护水资源的意识，采用抽样调查的方式 D.对载人航天器“神舟六号”零部件的检查，采用抽样调查的方式 【解析】A.了解炮弹的杀伤力，由于具有破坏性，应当使用抽象调查，故本选项错误； B．了解全国中学生的睡眠状况，人数多耗时长，应当采用抽样调查的方式，故本选项错误； C．了解人们保护水资源的意识，由于人数多，普查时间长，故应当采用抽样调查，故正确； D．对载人航天器“神舟六号”零部件的检查，由于零部件数量有限，每一个零部件都关系 到飞行安全，故应该采用全面调查，故本选项错误。 答案：C. .. 【例 2】一布袋中有红球 8 个，白球 5 个和黑球 12 个，它们除颜色外没有其他区别，随机 地从袋中取出 1 球不是黑球的概率为（ ） A. 8 25 B.1 5 C.12 25 D.13 25 【解析】因为红球 8 个，白球 5 个和黑球 12 个一共是 25 个，不是黑球的有 13 个，所 以随机从袋中取出 1 球不是黑球的概率为13 25 。 答案：D. 【例 3】下面是申报 2008 年奥运会主办城市的得票情况统计图。 60 50 40 30 20 10 0 56 23 18 9北京 多伦多 巴黎 伊斯坦布尔单位：票 （1）四个申办城市的得票总数是（ ）票； （2）北京得（ ）票，占得票总数的（ ）％； （3）投票结果一出来，报纸、电视都说：“北京得票数遥遥领先”，为什么这样说？ 【解析】（1）56+23+18+9=106(票)；（2）56÷106=52.8%；（3）从条形统计图中可以明 显的看出，北京的票数远远超过了其他三个国家的得票数，所以报纸、电视都说：“北京得 票数遥遥领先”。 答案：（1）106.（2）56；52.8.（3）从条形统计图中可以明显的看出，北京的票数远 远超过了其他三个国家的得票数。 .. A B C D85946227费用/元 月份020406080100120 【例 4】根据统计图回答下列问题： 小明家 4 个月水费统计图 （1）小明家这 4 个月平均水费是多少元？ （2）你估计 C 月是哪个月？理由是什么？ （3）你预测小明家接下一个月的水费可能是多少元？说说你的理由. 【解析】（1）（27+62+94+85）÷4=67（元）（2）估计 C 月是 7 月，天气越来越热，洗澡 多，所以用水量多；（3）因为天气渐渐变得凉了，所以用水量会越来越少了. 答案：（1）67.（2）7 月.（3）合理即可. .. 沙场点兵 1.以下说法合理的是（ ） A.小明在 10 次抛图钉的试验中发现 3 次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 30% B.抛掷一枚普通的正六面体骰子，出现 6 的概率是 1/6 的意思是每 6 次就有 1 次掷得 6 C.某彩票的中奖机会是 2%，那么如果买 100 张彩票一定会有 2 张中奖 D.在一次课堂进行的试验中，甲、乙两组同学估计硬币落地后，正面朝上的概率分别为 0.48 和 0.51 2.有一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃共有 40 个，除颜色外其它完全相同．小 李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在 15%和 45%，则口袋中白色 球的个数很可能是（ ） A.6 B.16 C.18 D.24 3.六（1）班参加植树活动，班主任问班长出勤的情况，班长说：“我们班共有 50 人，没有 全部到齐，但大部分来了。”出勤率可能是（ ） A.48% B.50% C.100% D.96% 4.如果甲邀请乙玩一个同时抛掷两枚硬币的游戏，游戏的规则如下：同时抛出两个正面，乙 得 1 分；抛出其他结果，甲得 1 分. 谁先累积到 10 分，谁就获胜.你认为 （填“甲”或 “乙”）获胜的可能性更大。 5.下面记录的是六（1）班第一组学生期中考试成绩（单位：分） 83、89、81、55、62、70、78、94、84、97、86、100、66、75 请根据上面的记录的分数填写下表，并回答问题. 分数 合计 100 90-99 80-89 70-79 60-69 60 分以下 人数 （1）该小组的平均成绩是（ ）分； （2）优秀率（接满分 80 分以上计算）是（ ）%； （3）及格率是（ ）%； （4）优秀学生比其他学生多（ ）人，多（ ）%。 实战演练 .. 1.（2017•盐城）李红向下面每一个靶掷一块石头（四个靶大小相等，均为等分），她最有可 能击中哪个靶的阴影部分？（ ） A． B． C． D． 2.（2016•保定）笑笑做 100 次投币实验，正面朝上的有 62 次，反面朝上的有 38 次．继续 做第 101 次实验的可能性是（ ） A．正面朝上．因为从前面 100 次的情况分析，正面朝上的可能性大 B．反面朝上．因为正面朝上的出现次数够多了，该出现反面朝上了 C．正面朝上和反面朝上的可能性各占一半 3.（2017•许昌）小虎在他家小区旁的路口统计了 1 分钟的车流量，根据这个统计结果进行 预测，下列说法不合理的是（ ） 车型 小汽车 公共汽车 面包车 电瓶车 辆数 24 18 18 10 A．下一辆出现的可能是面包车 B．下一辆出现的可能性四种车都为 C．下一辆出现小汽车的可能性最大 D．下一辆出现电瓶车的可能性最小 4.（2017•绍兴）抽屉中有 10 个球，按任意摸出一个球，然后放进抽屉再摸出一个的方法摸 球，小刚连续摸了 10 次，其每次摸球的情况如下表． 摸球的次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 摸出球的颜 色 红 黄 红 红 黄 红 红 红 红 黄 根据上面摸球的情况推测，抽屉中 色球可能最多，绿色球可能 。 5.（2016•泰州）有一个箱子里放着一些黄色乒乓球，为了估计球的数量，我们把 20 个白色 乒乓球放入箱子中，充分搅拌混合后，任意摸出 30 个球，发现其中有 3 个白球。你估计箱 子里原来大约有多少个黄色乒乓球？ .. 6.（2008•武昌区）一个盒子里放有 60 个形状、大小、质量都一样的球，分别是红球、白球 和黄球，要使摸出红球的可能性为 ，你能设计两种不同的方案吗？请写出来。 .. 专题九 应用题（一）行程问题工程问题 沙场点兵 行程问题是历年小升初的考试重点，各学校都把行程当压轴题处理，可见学校对行程的 重视程度，由于行程题本身题干就很长，模型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很 头疼，而这也是学校考察的重点，这可以充分体现学生对题目的分析能力。 1.行程问题基本公式 （1）基本公式：路程＝速度×时间 （2）基本类型：相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程 追及问题：速度差×追及时间＝路程差 流水问题：关键是抓住水速对追及和相遇的时间不产生影响 顺水速度＝船速＋水速逆水速度＝船速－水速 静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2 水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2 （也就是顺水速度、逆水速度、船速、水速 4 个量中只要有 2 个就可求另外 2 个） （3）其他问题：利用相应知识解决，比如和差分倍和盈亏。 （4）复杂的行程 ①多次相遇问题；②环形行程问题；③运用比例、方程等解复杂的题。 2.工程问题基本公式 （1）工作总量=工作效率×工作时间 （2）工作效率=工作总量÷工作时间 （3）工作时间=工作总量÷工作效率 基本思路：①假设工作总量为“1”（和总工作量无关）； ②假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公 倍数），利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间。 关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。 抛砖引玉 【例 1】某人从 A 地到 B 地平均速度为 3 米/秒，按原路返回时每秒行 7 米，那么此人一个 来回的平均速度是（ ）米/秒。 A．4.2 B．4.8 C．5 D．5.4 .. 【解析】首先根据速度×时间=路程，可得路程一定时，速度和时间成反比，所以这个 人去时和返回时用的时间的比是 7：3，然后设去时用的时间是 7t 秒，则返回用的时间是 3t 秒；最后根据路程÷时间=速度，用两地之间的距离的 2 倍除以来回用的时间，求出此人一 个来回的平均速度是多少即可。 答案：A. 【例 2】小虎早上从家到学校上学，要走 1.3 千米，他走了 0.3 千米后发现没有带数学作业 本，又回家去取．这样他比平时上学多走了（ ）千米。 A．1 B．1.6 C．0.6 D．0.3 【解析】他走了 0.3 千米后发现没有带数学作业本，又回家去取，这样他比平时上学多 走的路程就是 2 个 0.3 千米．据此解答．0.3×2=0.6（千米）。 答案：C. 【例 3】小李和小王都是打字员．她们打同样一份稿件，小李要用 54 分钟，小王则需要 6 5 小 时． 的打字速度快。 【解析】“打同样的一份稿件”，说明工作量相同，只要比较两人需要的时间，时间长的 速度就慢，时间短的，速度就快，由此求解． 6 5 小时=50 分钟，54＞50。 答案：小王. 【例 4】修一条水渠，甲工程队要 20 天完成，乙工程队要 30 天完成．两队合修要 天。 【解析】把这条水渠的长度看作单位“1”，单独修甲队要 20 天完成，乙队要 30 天完成．甲 每天的工作效率是 20 1 ，乙每天的工作效率是 30 1 ，根据工作量÷工作效率和=合作的时间， 据此解答。 答案：12． 【例 5】录入一份稿件，甲单独录入 12 小时可以完成，乙单独录入 15 小时可以完成，现在 甲、乙一起录入，多少小时可以完成这份稿件的 ？ .. 【解析】把一份稿件的总量看作单位“1”，由此可得两人的工作效率，根据工作量÷效 率和=合作时间列式解答即可。 答案：解： ÷（ + ） = ÷ = （小时） 答： 小时可以完成这份稿件的 。 沙场点兵 1.一项工程，甲单独完成需要 12 天，甲乙合作只需要 8 天，乙单独完成需要（ ）天。 A．4 B．8 C．12 D．24 2.某人上山的速度为每小时 2 千米，下山的速度为每小时 4 千米，那么他上山、下山的平均 速度是每小时（ ）千米。 A．3 B． C．3.2 D．无法求解 3.加工同一种零件，小明要 8 分钟，小林要 10 分钟．小明与小林的工作效率的比是 ， 小明的工作效率比小林高 。 4.一工厂买来大米 608 千克，已经吃了 4 天，每天吃了 52 千克，剩下的吃了 8 天才吃完， 剩下的平均每天吃多少千克？ 5.从县城到省城铁路长 595 千米．一列火车从县城到省城原来需要 7 小时，火车提速后，只 需要 5 小时．火车提速后每小时比原来多行多少千米？ .. 实战演练 1.（2016•新乡）甲、乙两车同时从两地相向而行，距中点 14 千米的地方相遇，两车相遇时， 它们所行路程的差是（ ）千米。 A．7 B．14 C．28 D．42 2.甲用 45 秒做了 3 个零件，乙做一个零件要 20 秒，丙用 1 分钟做了 5 个零件．工作效率最 高的是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．不能确定 3.（2016•安阳）李老师去书店买书，他带的钱正好可以买 20 本山水画书或者 32 本人物画 书，如果李老师买 8 本人物画书后，剩下的钱还可以买 15 本山水画书。 （判断对错） 4.（2017•濮阳）小明上坡速度为每小时 3.6 千米，下坡时每小时 4.5 千米，有一个斜坡， 小明先上坡再原路返回共用 1.8 小时，这段斜坡全长 千米。 5.（2016•广州）甲乙两车从 AB 两地在上午 8 时同时出发，相向而行．己知甲的速度比乙的 速度快 2 千米/时，到上午 10 点两车相距 36 千米。继续前行，又过 2 小时两车还是相距 36 千米。求 AB 两地的距离？ 6.（2017•深圳）一项工程，甲独做 10 天完成，乙独做 12 天完成，现两人合做，完成后共 得工资 2200 元，如果按完成工程量分配工资，甲、乙各分得多少元？ .. 专题十 应用题（二）分数百分数应用题 考点扫描 1.解决分数应用题的关键是找标准量，即单位“1”，若单位“1”已知，就用乘法解决，若 单位“1”未知，就用除法解决。 2.找单位“1”：在分率句中分率的前面；或“占”、“是”、“比”的后面。 3.写数量关系式技巧： （1）“的”相当于“×”、“占”、“是”、“比”相当于“ = ” （2）分率前是“的”：单位“1”的量×分率=分率对应量 （3）分率前是“多或少”的意思： 单位“1”的量×（1 分率）=分率对应量 4.主要类型： （1）求单位“1”的量的几分之几是多少：单位“1”的量×几分之几； （2）已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”的量； （3）求甲比乙多（或少）几分之几的规律是：甲、乙的差÷乙； （4）已知甲比乙多（或少）几分之几，求甲的规律是：乙数×（1±几分之几）； （5）已知甲比乙多（或少）几分之几，求乙的规律是：甲数÷（1±几分之几）。 5.求一个数是另一个数的百分之几：一个数÷另一个数×100% 百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数也叫百分率或百分比。 6.已知一个数，求这个数的百分之几是多少=这个数×百分数。 7.一个数比另一个数多（少）百分之几 = 一个数比另一个数多（少）的量÷另一个数。 8.差倍、和倍问题：解和倍、差倍问题的题目时，要注意找准单位“1”的量，通常情况下 设单位“1”的量为ｘ，再用另一个量和单位“1”之间的关系，用含有ｘ的式子表示出另一 个量，最后根据它们的和或差列出方程。 9.应该缴纳的税款叫做应纳税额，应纳税额与各种收入的比率叫做税率， 应纳税额=收入×税率 10.利息利率问题：存入银行的钱叫做本金，取款时银行除还给本金外，另外付给的钱叫做 利息，利息占本金的百分率叫做利率. 利息=本金×利率×时间。 11.打折问题：几折就是十分之几，也就是百分之几十；商品现价 = 商品原价 × 折数。 12.盈利和亏本问题。 13.浓度问题：有关浓度的计算是百分数应用题的一个重要内容。解答浓度问题时，首先要 弄清有关浓度问题的几个概念。 .. 溶剂：能溶解其他物质的液体。比如水，能溶解盐、糖等 溶质：能被溶解的物质。比如盐、糖等能被水溶解 溶液：由溶质和溶剂组成的液体。比如盐水、糖水等 浓度：溶质和溶液的比值，叫浓度，通常用百分数表示，也叫百分比浓度。比如盐和盐 水的比值叫做盐水的浓度。 从上面的概念我们可以引申出以下几个关系式： 溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量 溶质的重量÷溶液的重量=浓度 溶液的重量×浓度=溶质的重量 溶质的重量÷浓度=溶液的重量 思维上：解答浓度问题时，在牢牢抓住题目中不变的量的基础上，灵活运用以上各关系式。 方法上：用方程是解答这类问题的好方法。 抛砖引玉 【例 1】一种纺织品的合格率是 98%，300 件产品中有（ ）件不合格。 A.2 B.4 C.6 D.294 【解析】本题考查的知识点是一个数的百分之几是多少，用这个数×百分数=所求的数， 本题中，合格的件数=300×98%=294（件） ，所以不合格的件数=300-294=6（件）。 答案：C. 【例 2】养鸡场共养鸡 3000 只，总数的 3 5 是蛋鸡。蛋鸡有多少只？ 【解析】解决这类问题，首先要找到单位“1”是什么，再看单位“1”是已知还是未知， 若单位“1”已知，就用乘法解决，若单位“1”未知，就用除法解决。由题意可知，把鸡的 总数量看做单位“1”，单位“1”已知用乘法进行解答。即用 3000 乘以 3 5 就是蛋鸡的数量。 答案：3000× 3 5 =1800（只） 【例 3】一种洗发液，每大瓶装 450 克，每小瓶装 200 克。大瓶装的比小瓶装的多几分之几？ .. 【解析】求甲比乙多几分之几的规律是：甲比乙多的量÷乙；由题意大瓶装的比小瓶装 的多几分之几等于大瓶和小瓶所装的量之差除以小瓶装的量。 答案：（450-200）÷200= 4 5 【例 4】益民五金公司去年的营业总额为 400 万元。如果按营业额的 3％缴纳营业税，去年 应缴纳营业税多少万元？ 【解析】本题考查的是纳税问题，应该缴纳的税款叫做应纳税额，应纳税额与各种收入 的比率叫做税率。如果按营业额的 3％缴纳营业税，是把营业额看作单位“1”.缴纳营业税 占营业额的 3％，即 400 万元的 3％。求一个数的百分之几是多少，用乘法计算。计算时可 将百分数化成分数或小数来计算。 答案：400×3％= 400× 香香 =12（万元）或 400×3％=400×0.03=12（万元） 答：去年应缴纳营业税 12 万元。 【例 5】有浓度 25%的食盐水 400 克和浓度为 5%的食盐水 100 克混合，求混合后食盐溶液的 浓度。 【解析】本题考查的是两种溶液的混合配制问题。混合前后溶液的总重量不变，混合前 .. 两种溶液中含盐总和就是混合后溶液中的含盐量。 答案：400×25%=100（克） 100×5%=5（克） （100+5）÷（400+100）×100%=21% 答：混合后食盐溶液的浓度为 21%。 【例 6】某商店同时卖出两件商品，每件各得 30 元，其中一件盈利 20％，另一件亏本 20％. 这个商店卖出这两件商品总体上是盈利还是亏本？具体是多少？ 【解析】盈利 20％，即售出价是成本价的（1 + 20％）；亏本 20％，即售出价是成本价 的（1-20％）；两件商品的售出价都是 30 元，可分别算出两件商品的成本价。 答案：30÷（1+20％）=25（元） 30÷（1-20％）=37.5（元） 25+37.5=62.5（元） 62.5–60=2.5（元） 答：这个商店卖出这两件商品总体上是亏本，亏本 2.5 元。 沙场点兵 1.一个饲养场养鸭 1200 只，养的鸡比鸭多 1 5 ，求养鸡多少只？ 2.学校建一座教学楼投资 180 万元，比计划节省了 1 10 ，计划投资多少万元？ 3.王叔叔买了一辆价值 16000 元的摩托车。按规定，买摩托车要缴纳 10％的车辆购置税。 .. 王叔叔买这辆摩托车一共要花多少钱？ 4.方明将 1500 元存入银行，定期二年，年利率是 4.50％。两年后方明取款时要按 5％缴纳 利息税，到期后方明实得利息多少元？ 5.某商品如果按现价 18 元出售，则亏了 25％，原来成本是多少元？如果想盈利 25％，应按 多少元出售该商品？ 实战演练 1.（2016•静海）2015 年 2 月份，阴天比晴天少 ，雪天比晴天少 ，这个月晴天有（ ） A．15 天 B．10 天 C．20 天 2.（2017•新乡）一种商品的价格第一次降价 20%，接着又涨价 20%，结果比原价相比（ ） A．不变 B．降低了 40% C．提高了 4% D．降低了 4% 3.（2017•信阳）六年级 1 班有男生 20 人，女生 25 人，男生比女生少 %，女生比男生多 %。 4.（2017•诸暨）某公司为给地震后的汶川建一所希望小学，实际投资 550 万元，比计划超 额了 20 万元，超额了百分之几？（得数在百分号前保留整数） 5.（2017•瑞安）我市一所小学开展了“奉献爱心、情系灾区”的募捐活动，五年级捐款占 全校总捐款的 ，六年级捐款占全校总捐款的 ，这两个年级一共捐款 6000 元．这所小学一 共募捐了多少元？ .. 6.（2016•三门峡）一双运动鞋打 7 折出售，比原来便宜 25.5 元．这双运动鞋的原价是多少 元？ .. 专题十一 应用题（三）其他应用题（鸡兔同笼、优化问题等） 考点扫描 1.牛吃草问题 牛吃草问题又称为消长问题，是 17 世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草 问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相 同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以 草的存量随着吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是： （1）草的生长速度=（对应的牛头数×吃的较多天数﹣相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃 的较多天数﹣吃的较少天数）； （2）原有草量=牛头数×吃的天数﹣草的生长速度×吃的天数； （3）吃的天数=原有草量÷（牛头数﹣草的生长速度）； （4）牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度； 这四个公式是解决消长问题的基础。 （5）由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变 化中找到不变量．牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所 以每天新长出的草量应该是不变的．正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。 2.鸡兔同笼问题 （1）方法：假设法，方程法，抬腿法，列表法 （2）公式 1：（兔的脚数×总只数﹣总脚数）÷（兔的脚数﹣鸡的脚数）=鸡的只数；总只 数﹣鸡的只数=兔的只数 公式 2：（ 总脚数﹣鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数﹣鸡的脚数）=兔的只数； 总 只数﹣兔的只数=鸡的只数 公式 3：总脚数÷2﹣总头数=兔的只数； 总只数﹣兔的只数=鸡的只数 公式 4：鸡的只数=（4×鸡兔总只数﹣鸡兔总脚数）÷2； 兔的只数=鸡兔总只数﹣鸡 的只数 公式 5：兔总只数=（鸡兔总脚数﹣2×鸡兔总只数）÷2； 鸡的只数=鸡兔总只数﹣兔 总只数 公式 6：（头数 x4﹣实际脚数）÷2=鸡 公式 7：4×+2（总数﹣x）=总脚数 （x=兔，总数﹣x=鸡数，用于方程） .. 公式 8：鸡的只数：鸡的只数=鸡的脚数﹣（总脚数÷总只数）：（总脚数÷总只数）﹣ 鸡的脚数。 抛砖引玉 【例 1】有一牧场，已知养牛 54 头，6 天把草吃尽；养牛 46 头，9 天把草吃尽．如果养牛 42 头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？ 【解析】把一头牛一天所吃的牧草看作 1，那么就有：牧场原有的草和 6 天新长的草， 即 54 头牛 6 天所吃的牧草：54×6=324，再求出牧场原有的草和 9 天新长的草，即 46 头牛 9 天所吃的牧草：46×9=414；1 天新长的草为：（414-324）÷（9-6）=30；牧场上原有的草 为：54×6-30×6=144；每天新长的草足够 30 头牛吃，42 头牛减去 30 头，剩下 12 头吃原 牧场的草，即为所求． 答案：（1）54 头牛 6 天所吃的牧草为：54×6=324 （2）46 头牛 9 天所吃的牧草为：46×9=414 （3）1 天新长的草为：（414-324）÷（9-6）=30 （4）牧场上原有的草为：54×6-30×6=144 （5）每天新长的草足够 30 头牛吃，42 头牛减去 30 头，剩下 12 头吃原牧场的 草：144÷（42-30）=12（天） 答：养 42 头牛，12 天才能把牧场上的草吃尽. 【例 2】有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给 6 人喝，4 天 可喝完；如果给 4 人喝，5 天可喝完．这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？ .. 【解析】设一人 1 天的饮酒量为 1 份，每天漏酒的量为：（6×4﹣4×5）÷（5﹣4）=4 （份），据此即可求出这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天。 答案：解：设一人 1 天的饮酒量为 1 份， 每天漏酒的量为： （6×4﹣4×5）÷（5﹣4） =4÷1 =4（份） 4÷1=4（人） 答：这桶酒每天漏掉的酒可供 4 人喝一天。 【例 3】小明玩抛硬币游戏，规则是：将一枚硬币抛起，落下后正面朝上就向前走 15 步， 背面朝上就向后退 10 步，小明一共抛了 10 次，结果向前走了 100 步，硬币正面朝上多少次？ 背面朝上多少？ 【解析】落下后正面朝上就向前走 15 步，背面朝上就向后退 10 步，那么硬币一次正面 朝上与一次背面朝上走的步数就相差 10+15=25（步），弄清了这个关系解这道题就不难了。 答案：解：假设 10 次全是正面朝上，那么向前走的步数就是： 15×10=150（步） 与实际相差的步数：150-100=50（步） 背面朝上的次数：50÷（10+15）=2（次） 正面朝上的次数：10-2=8（次） 答：硬币正面朝上 8 次，背面朝上 2 次。 【例 4】小白兔晴天每天可拔 24 个萝卜，雨天每天可拔 16 个萝卜，这几天我共拔了 168 个 萝卜，平均每天拔 21 个，同学们，请算一算，这几天有几天晴天？ 【解析】共拔了 168 个萝卜，平均每天拔 21 个，据此可以求出一共拔了 168÷21=8 天， .. 假设 8 天全是雨天，则一共拔萝卜 16×8=128 个，这比已知的 168 个少了 168-128=40 个， 又因为晴天比雨天多拔 24-16=8 个，所以可求出晴天有 40÷8=5 天。 答案：168÷21=8（天） （168-16×8）÷（24-16）=5（天） 答：晴天有 5 天。 【例 5】托运玻璃仪器 250 箱，合同规定每箱运费 20 元，若有损失，被损坏的箱不仅不给 运费，还要每箱赔偿损失费 100 元，运输结算时要想获得运费，最多只能损坏多少箱？ 【解析】假设运输结算时获得的运费为 0 元，如果一个也没损坏，将会获得运费：20 ×250=5000（元），两者相差了 5000 元，又因为每损坏一箱就会少得运费：100+20=120（元）， 因此根据这两个差可以求出损坏的箱数，列式为：5000÷120≈41.7（箱），所以最多只能损 坏 41 箱。 答案：解：假设运输结算时获得的运费为 0 元， （20×250-0）÷（100+20） =5000÷120 ≈41.7（箱） ≈41（箱） 答：运输结算时要想获得运费，最多只能损坏 41 箱。 沙场点兵 1.某演唱会检票前若干分钟就有观众开始排队等候入场，而每分钟来的观众人数一样多．从 开始检票到等候队伍消失，若同时开 4 个入场口需 50 分钟，若同时开 6 个入场口则需 30 分钟．问如果同时开 7 个入场口需几分钟（ ）。 A．18 分钟 B．20 分钟 C．22 分钟 D．25 分钟 2.在停车场上有摩托车和小汽车共 50 辆，车轮的总数是 160 个，停车场上有小汽车（ ） .. 辆。 A．30 B．20 C．25 3.在夏令营活动中，48 位学生参观科普展览．售票处规定，门票一人券 10 元，十人券每张 70 元．他们购买门票至少要 元。 4.牧场上有一片匀速生产的草地，可供 27 头牛吃 6 周，或者供 23 头牛吃 9 周，如果把草场 的面积扩大到原来的 3 倍，那么它可以供 54 头牛吃几周？ 5.美宇公司准备给 105 名工人每人购一套工作服．有三家商场有符合要求的服装，每套服装 定价 260 元．三家商场优惠情况如下：A 商场：一次购买 50 套以上的顾客打七五折；B 商场： “买十送三”；C 商场：“买四送一”。 （1）应该到哪家商场购买比较合算？ （2）美宇公司花多少钱能买到这批工作服？ 6.在一次捐款活动中，六年级为灾区的小朋友捐款 450 元，全为 10 元纸币和 5 元纸币，一 共 50 张，10 元和 5 元的纸币各有多少张？ 实战演练 1.（2017•泉州）“鸡兔同笼”问题是我国古代的数学名题之一，《孙子算经》中记载的题目 是这样的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”，同学们，你 得出的这个古代名题的结果是（ ） A．鸡 23 只兔 12 只 B．鸡 12 只兔 23 只 C．鸡 14 只兔 21 只 2.（2017•成都）五一期间，甲商场以打五折的方式优惠，乙商场以满 200 送 100 元优惠券 .. 的措施优惠．妈妈打算花 900 元购物，去（ ）商场比较合算． A．甲 B．乙 C．甲乙均可 D．无法确定 3.（2016•周口）一种洗衣粉在甲、乙、丙三个商店售价都是每袋 6 元，现在三个商店分别 以不同方式促销，甲商店优惠 15%；乙商店满 100 元优惠 25%；丙商店买 4 送一．如果要买 10 袋这种洗衣粉，想花最少的钱应该到 购买，需要花 元。 4.（2014•长沙）有一牧场，牧草每天匀速生长，可供 9 头牛吃 12 天；可供 8 头牛吃 16 天， 现在开始只有 4 头牛吃，从第 7 天开始又增加了若干头牛，再用 6 天吃光所用的草，问增加 了 头牛。 5.（2014•南京）“六一”儿童节六（2）班去看木偶戏，一共购买了 50 张票，其中一部分每 张 15 元，另一部分每张 20 元，总票价是 880 元．两种票各买了多少张？ 6.（2017•淮安）某专卖店 5 月 1 日举行促销优惠活动，当天到该专卖店购买商品有两种方 案： 方案一：用 168 元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任意商品，一律按商品价格 的八折优惠； 方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的九五折优惠。 已知小芳 5 月 1 日前不是该商店的会员。 （1）若小芳不购买会员卡，购买一件商品时付了 380 元．她购买这件商品优惠多少元？ （2）请你帮小芳算一算，当购买商品超过多少元时，采用方案一更合算？ .. 专题十二 数学拓展（抽屉原理、容斥原理、方阵问题、时钟问题等） 考点扫描 1.抽屉原理 （1）抽屉原理定义 一般情况下，把 n+1或多于 n+1个苹果放到 n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至 少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。 （2）抽屉原理的基本公式 判断三个量：苹果：多；具体. 抽屉：少；类别（谁相同者谁抽屉） 类型一：求至少数或者证明至少数 均分思想：苹果  抽屉=商......余数 至少数=商+1 类型二：求苹果 苹果至少=（至少数-1）×抽屉+1 类型三：求抽屉（这个考查的非常少，了解一下） 抽屉至多=（苹果—1）÷（至少数—1） （三个类型中，求至少数和苹果树，题目中都会出现“至少”，唯独求抽屉的时候会出现“至 多”） 2.容斥原理 （1）两集合容斥原理： 如果被计数的事物有 A、B 两类，那么，A 类 B 类元素个数总和= 属于 A 类元素个数+ 属于 B 类元素个数—既是 A 类又是 B 类的元素个数；（A∪B = A+B - A∩B)。 （2）三集合容斥原理： 如果被计数的事物有 A、B、C 三类，那么，A 类和 B 类和 C 类元素个数总和= A 类元素个数+ B 类元素个数+C 类元素个数—既是 A 类又是 B 类的元素个数—既是 A 类又是 C 类的元素个数 —既是 B 类又是 C 类的元素个数+既是 A 类又是 B 类而且是 C 类的元素个数。 （3）三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C。 .. 3.方阵问题 在日常生活中，我们经常见到把人或物排成正方形的形状，比如用花盆摆成正方形，同 学们要参加运动会入场式，要进行队列操练，解放军排着整齐的方队接受检阅等，无论是训 练或接受检阅，都要按一定的规则排成一定的队形，于是就产生了这一类的数学问题，在数 学上我们通常把研究这样的问题称为方阵问题。掌握这类问题的解题规律，可以提高我们的 解题能力，培养思维的灵活性。 士兵排队，横着排叫行，竖着排叫列，若行数与列数都相等，恰好排成一个正方形，这 就是一个方队，这种方队也叫做方阵(亦叫乘方问题)。在摆放的方阵中如果是实心的，我们 叫它中实方阵；如果这个方阵是空心的，我们叫它中空方阵。 观察中实方阵，我们不难发现方阵的基本特点： （1）方阵的每行物体个数与每列物体个数相等； （2）去掉横竖各一排时，有且只有 1 个物体是同时属于被减去的一行和一列； （3）如果把最外圈形成的正方形叫第一层，再向里一圈叫第二层的话，会发现相邻的这两 个正方形每边个数相差为 2，相邻两层相差总个数为 8。 （4）每边人(或物)数和四周人(或物)数的关系： 四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4 每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1. （5）中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数 观察中空方阵，我们不难发现方阵的基本特点： 中空方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－中空方阵的层数）×中空方阵的层 数×4。 4.时钟问题 （1）时钟问题—钟面追击 基本思路：封闭曲线上的追击问题。 .. （2）关键问题： 确定分针与时针的初始位置； 确定分针与时针的路程差。 （3）基本方法： ①分格方法： 时钟的钟面圆周被均分成60小格，每小格我们称为1分格。分针每小时走60分格，即一周； 而时针只走5分格，故分针每分钟走1分格，时针每分钟走 12 1 分格。 ②度数方法： 从角度观点看，钟面圆周一周是360°，分针每分钟转 60 360 度，即6°，时针每分钟转 60 1 12 360 度，即 2 1 度。 抛砖引玉 【例 1】有长 8 厘米,宽 6 厘米的长方形与边长为 5 厘米的正方形,如图,放在桌面上(阴影是 图形的重叠部分),那么这两个图形盖住桌面的面积是多少平方厘米。 【解析】依题意，被计数的事物长方形的面积与正方形的面积有两类，长方形的面积称 为“A 类元素”，正方形的面积称为“B 类元素”。 答案：A∪B=A+B-A∩B=6×8+5×5-4×3× 2 1 =67 【例 2】参加军训的学生进行队列表演，他们排成了一个七行七列的正方形队列，如果去掉 一行一列，请问：要去掉多少名学生？还剩下多少名学生？ .. 【解析】如上图表示的是一个 4 行 4 列的实心正方形队列，从图中可以看出正方形队列 特点：（1）正方形队列每行、每列的人数相等，因此总人数＝每行人数×每列人数；（2）去 掉横竖各一排时，有且只有 1 人是同时属于被减去的一行和一列的，如图中点 A 所示。因此 去掉的总人数＝原每行人数×2－1，或去掉的总人数＝减少后每行人数×2＋1。 答案：去掉的人数＝7×2－1＝13（人） 或去掉的人数＝（7－1）×2＋1＝13（人） 还剩的人数＝（7－1）×（7－1）＝36（人） 或还剩的人数＝7×7－13＝49－13＝36（人） 答：如果去掉一行一列，要去掉 13 名学生，还剩下 36 名学生。 【例 3】有一队士兵排成一个中实方阵，最外一层有 100 人，请问：方阵中一共有士兵多少 人？ 【解析】要想求出方阵中一共有多少士兵，就应先求出方阵的最外层每边有多少人。已 知方阵最外一层有 100 人，用 100÷4＝25（人），每边是不是 25 人呢？不是的，因为平均 分成 4 份后，还需要再加上 1，才正好是每边上的人数。 答案：100÷4＋1＝26（人） 26×26＝676（人） 答：方阵中一共有士兵 676 人。 【例 4】游行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四周围成每边三层的方阵，最外边 .. 一层每边 12 人，请问：彩车周围的少先队员共有多少人？ 【解析】请同学们自己画一个图，下图是一个三层中空方阵的示意图，不难发现，有如 下特点： （1）外层每边点的个数都比相邻内层的每边点的个数多 2；（2）每相邻两层之间，点的 总数相差 8 个。 答案：解：最外层队员的总数：12×4－4＝44（人） 三层共有队员的总数：44+（44－8）+（44－8×2） ＝44+36+28＝108（人） 答：彩车周围的少先队员共有 108 人。 【例 5】对某单位的 100 名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中 58 人喜欢看球赛，38 人喜欢看戏剧，52 人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有 18 人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有 16 人，三种都喜欢看的有 12 人，则有既喜欢看球赛又 喜欢看电影的有多少人？ 【解析】 记 A 类元素为：喜欢看球赛的人；记 B 类元素为：喜欢看戏剧的人； 记 C .. 类元素为：喜欢看电影的人。设既喜欢看球赛又喜欢看电影的有 x 人。 答案：解：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C=58+38+52-18-16-x+12=100 x=26 答：既喜欢看球赛又喜欢看电影的有 3 人。 【例 6】篮子里有苹果、梨、桃和橘子，现在有若干个小朋友，如果每个小朋友都从中任意 拿两个水果，那么至少有多少小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的？ 【解析】苹果：？；抽屉：相同的拿法；至少数：2。 答案：先算抽屉：如果水果相同：4 种拿法 如果水果不同：4×3÷2=6 种拿法 因此抽屉=10 苹果=（2-1）×10+1=11（个） 因此至少有 11 个小朋友才能保证有两个小朋友拿到的水果相同。 沙场点兵 1.某单位有青年员工 85 人，其中 68 人会骑自行车，62 人会游泳，既不会骑车又不会游泳 的有 12 人，则既会骑车又会游泳的有( )人。 A.57 B.73 C.130 D.69 2.某班统计考试成绩，数学得 90 分上的有 25 人；语文得 90 分以上的有 21 人；两科中至少 有一科在 90 分以上的有 38 人。问两科都在 90 分以上的有 人。 3.实验小学四年级原准备排成一个正方形队列参加广播操表演，由于服装不够，只好横竖各 减少一排，这样共需去掉 27 人，请问：四年级原来准备多少人参加表演？ 4.若干名同学排成中实方阵则多 12 人，若要将这个方阵改摆成纵横两个方向各增加 1 人的 .. 方阵则还差 9 人排满，请问：原有学生多少人？ 5.正方形舞厅四周均匀的装彩灯，如果四个角都装一盏且每边装 12 盏，那么这个舞厅四周 共装彩灯多少盏？ 实战演练 1.（2017•湛江）四年级一班有 54 人，定阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物 的有 13 人，订阅《小学生优秀作文》的有 45 人每人至少订阅一种读物，订阅《数学大世界》 的有（ ）人。 A．13 B．22 C．33 D．41 2.（2017•安阳）五年级有 122 名同学参加语文、数学考试，每个至少有一门功课取得优秀 成绩，其中语文成绩优秀的有 65 人，数学成绩优秀的有 87 人。语文、数学都优秀的有（ ） 人。 A．30 B．35 C．57 D．65 3.（2017•安徽）学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手提琴的有 24 人，会弹电 子琴的有 17 人，其中两样都会的有 8 人。这个文艺组共有 人. 4.（2017•贵阳）“六一”儿童节前夕，在校园雕塑的周围，用 204 盆鲜花围成了一个每边三 层的方阵，请你求出最外面一层每边有鲜花多少盆？ 5.（2016•南阳）明明用围棋子摆成一个三层中空方阵，如果最外层每边有围棋子 15 个，明 .. 明摆这个方阵最里层一周共有多少枚棋子？摆这个三层空心方阵共用了多少枚棋子？ 6.（2017•济宁）有杨树和柳树以隔株相间的种法，种成 7 行 7 列的方阵，问这个方阵最外 一层有杨树和柳树各多少棵？方阵中共有杨树，柳树各多少棵？ .. 小升初真题卷 郑州市 2016 年小升初真题试卷 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共计 40 分） 1.右图是 2007 年 10 月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，这三个数的和不可能 是（ ） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A.69 B.54 C.27 D.40 2.如图所示，两个天平都平衡，那么 3 个球体的重量等于（ ）个正方体的重量。 A.2 B.3 C.4 D.5 3.小明每 6 天去上一次舞蹈课，小华每 14 天去上一次，他们在同一天去上了舞蹈课之后， （ ）天后才能再次在舞蹈课上相遇。 A.24 B.42 C.48 D.56 4.以下那个选项符合所描述的图形（ ） 三角形 PQR 是一个直角三角形，角 R 为直角，边 RQ 的长度比边 PQ 长度短，M 是 PQ 的中点， 点 N 是边 QR 的中点，点 S 在三角形内的一点，线段 MN 比线段 MS 长。 A. B. .. C. D. 5.有一个木匠有一段 32 米长的木材，他想利用它对家中一块地设置护栏，他对这块地的形 状做了设计，以下四种设计方案中，用这 32 米木材作为护栏不能收尾封闭的是（ ） A. B. C. D. 6.下列各图是小明画的长方体的展开图，你认为不正确的是（ ） A. B. C. D. 7.阅读下列文字和图表，回答问题： （1）袋子里红色的糖果有多少个？（ ） A.6 B.5 C.4 D.3 .. （2）下列哪两种糖果数量一样多？（ ） A.红色和棕色 B.蓝色和粉色 C.蓝色和紫色 D.橙色和粉色 （3）小李随便从袋子中拿一个糖果，最有可能是什么颜色的？（ ） A.橙色 B.红色 C.蓝色 D.紫色 （4）小李随便从袋子中取一个糖果，拿到红色糖果的可能性有多大？（ ） A.35% B.20% C.90% D.15% 二、填空题（3 小题，满分 10 分） 1.请你天上合适的 +、—、×、÷运算符号。使等式成立。 3（ ）3（ ）3（ ）3=10 2.一个梯形的下底是上底的 2 倍，如果把上底延长 9cm，就成为平行四边形，且面积增加 18cm2， 原来这个梯形的面积是 cm2。 3.一个长方形状的蛋糕盒，长和宽都为 30cm，高 12cm，如果用一根绳子困扎（如图），打结 处共长 15cm，需要绳子的长是 cm。 三、综合实践（满分 40 分） 1.下图是某城市 2006 年五月至九月的月平均气温统计图。 （1）相邻两个月平均气温变化最大的是 月至 月。（2 分） （2）这 5 个月的平均气温是多少摄氏度？请列式计算。（6 分） 2.一家汽车杂志开展了一个新车评估活动，对于评估得分最高的新车颁以“年度最佳车型” .. 的称号。下表显示的是对五种新车型的评估结果。 注：表中数值为各车型每个方面的评估得分，其中“3 分”表示优秀，“2 分”表示良好，“1 分”表示不好。 积分规则如下：每个车型的积分=3S+F+E+T 该杂志使用如下积分规则，来计算每个车型的评估得分。积分规则如下： 每个车型的积分=3S+F+E+T （1）车型 C1 的得分是多少？请列式计算。（4 分） （2）所有车型按照这个积分规则进行计算，那么它们的排名是（当两个从车型总分相等时， 排名首先考虑安全性，其次考虑燃油效率，再次考虑车内舒适性，最后考虑外观；请把相应 车型填入下面的排序中）：（4 分）① ② ③ ④ ⑤ 。 （3）车型 C1 的制造商认为上述规则对其不公平。若要使得车型 C1 的积分最高（允许并列 最高分的情况），该如何设置新的积分规则？在如下式子中填写四个不大于 3 的正整数来表 示新的规则，请尽可能多的填写你能想到的规则，最多写出四个新规则：（4 分） 新规则 1：车型积分=（ ）S+（ ）F+（ ）E+（ ）T 新规则 2：车型积分=（ ）S+（ ）F+（ ）E+（ ）T 新规则 3：车型积分=（ ）S+（ ）F+（ ）E+（ ）T 新规则 4：车型积分=（ ）S+（ ）F+（ ）E+（ ）T 3.一个海域中的船，灯塔和港口的位置如下图所示。 （1）船位于灯塔的 （请尽可能准确地填写方位）。（4 分） （2）图中港口和船的距离为 4cm，比例尺为 1：100000，实际距离是 千米。 .. 4.海域中灯塔的灯光亮暗规律一般都是一个设计好的工作模式，我们将模式运行一次的时间 称为灯塔工作的最小重复运行周期，上图中所示的是该灯塔的一种工作模式持续运行 14 秒 的灯光亮暗的情况： （1）该灯塔工作的最小重复运行周期为 秒。 （2）在一分钟的时间里，该灯塔灯亮的累计时间为 秒。 （3）现要求灯塔工作的最短运行周期为 6 秒，且每分钟灯亮的累计时间为 30 秒。请在下图 中，将满足此要求的一种工作模式持续运行 12 秒的灯光亮暗情况用和上图一样的方式表示 出来。 .. 郑州市 2017 年小升初真题试卷 一、选择题（共 7 小题，每小题 4 分，共计 28 分） 1.小郑计划在今年的夏天读30本书,并为每本书做读书笔记.现在他已经读了a本书,这其中 有 b 本书还没做读书笔记,下述哪一项表达式中的“?”能正确表示小郑一共有多少本书没做 读书笔记？( ) A.30-b=？ B.？+a-b=30 C.30+a-b=? D.a-b=? 2.小郑有两个正方形骰子，每个面上的点数符合如下规则：骰子相对的两个面上的点数之和 为 7，下面是四个骰子的展开图。其中哪两个可能是小郑的骰子。（ ） Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ A.Ⅰ和Ⅱ B．Ⅱ和Ⅲ C．Ⅲ和Ⅳ D．Ⅰ和Ⅳ 3.小郑拿了一个积木玩具（下图左），你从不同角度观察它，以下哪一项是你不可能看到的 （ ）。 B. B. C. D. 4.吃完饭，小郑告诉你这顿饭你们一共消费 300 元，其中饮料 58 元，凉菜 46 元，热菜 196 元（包含特价菜 32 元）。已知该饭店有两种优惠方式，其中优惠方式一为每满 80 元减 10 元，优惠方式二为打九折。你们可以选择其中的一种，但特价菜和饮料不参与优惠计算。请 问你们最少将支付多少钱？（ ） A.279 元 B.280 元 C.273.75 元 D.270 元 5.用餐结束后，你获得了一次转盘抽奖的机会。已知抽中二等奖的可能性为一等奖可能性的 2 倍，抽中三等奖的可能性为一等奖的 3 倍，其余都得参与奖，抽中参与奖的可能性为三等 .. 奖的 2 倍。请问，你抽中一等奖的可能性为多少？（ ） A.三分之一 B.六分之一 C.八分之一 D.十二分之一 6.老郑为了表示对国际友人的欢迎，给每位外国小伙伴抽奖的机会。请问，你的外国小伙伴 抽中一等奖的可能性和你相比如何？（ ） A.外国小伙伴抽中的可能性较小 B.外国小伙伴抽中的可能性较大 C.两者的可能性相同 D.不确定 7.根据以上信息推测，以下抽奖转盘中，哪一个是饭店所使用的？（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共 5 小题，共计 20 分） 1.老郑的账本上有以下一组递等式，但式子里的运算符号跟括号都看不清了，请你帮他补充 完整。（4 分） 10 30 20 20 60 15 =300 20 20 4 =280 20 4 =14 4 =10 2.小郑准备用两种不同形状的木板拼接制作成桌号牌。两块木板的形状分别为平行四边形 和三角形，桌牌的形状为梯形（如右图所示）。已知平行四边形面积比三角形面积大 24cm2； 梯形的上底和下底分别为 5cm 和 11cm；则梯形面积为（ ）cm2。（4 分） 3.老郑计划为一块面积为 27cm2 的地板刷漆，已知每千克油漆可刷地板 3m2.根据下表规格购 买油漆，老郑最少需要花费（ ）元.（3 分） .. 规格 单价 大桶每桶装油漆 10kg 每桶 190 元 中桶每桶装油漆 5kg 每桶 100 元 小桶每桶装油漆 3kg 每桶 68 元 迷你桶每桶装油漆 2kg 每桶 50 元 4.小郑正好要过生日，老郑为了布置房间，准备为楼梯装饰一个花边，花边的形状如右图所 示。请问花边的周长是（ ）dm.（3 分） 5.为了感谢大家，小郑端出了一个大蛋糕。如右图，蛋糕是一个长为 30cm,宽为 30cm，高为 20cm 的长方体。他先往蛋糕表面浇满一层薄薄的巧克力（巧克力无法渗透进底座），然后， 将它切成了若干块大小均匀为 1000cm3 的正方形小蛋糕。请根据条件作答.（6 分） （1）共切成（ ）块蛋糕； （2）一面有巧克力的小蛋糕有（ ）块； （3）两面有巧克力的小蛋糕有（ ）块； （4）三面有巧克力的小蛋糕有（ ）块. 三．综合与实践（共 9 小题，共计 42 分，其中第 2、3 两小题为单选题） 用餐之后，你和外国小伙伴聊起了官渡之战的故事，并玩起了模拟战争的游戏。现在请 你用自己的智慧来解决一些战争游戏中的数学问题吧！ .. 古代行军，粮草非常关键。士兵一般会随身携带一些干粮，以保证 5~10 天时间的作战 需要。按规定，每名战士每天须带 1.2 公斤的干粮，下表中列了 5 名士兵根据自己的行军时 长，各自携带的不同类型干粮的数量。 1.请你计算 A 和 B，在答题卡上将 A 和 B 处的数字填写出来。（6 分） 士兵 士兵甲 士兵乙 士兵丙 士兵丁 士兵戊 行军天数（天） 5 8 6 9 10 面饼（块） 0 96 36 A 48 馒头（个） 75 0 0 30 B 肉干（条） 0 0 27 9 27 2.大规模作战常涉及到大量军粮的消耗，假设你是曹军的粮草官，你提供的粮草需要能支持 曹军 2 万名士兵 3 个月的作战时间。请问你大约会为官渡之战准备多少干粮？（3 分） A.22000000kg B.2160000kg C.1100000kg D.2200000kg 3.曹操佯攻延津，吸引袁军兵力，关羽阵斩颜良，从而解了白马之围。已知延津在白马西 南方 34.5km 处。请问延津县是右图中的哪个地点？（4 分） A.甲地 B.乙地 C.丙地 D.丁地 假设你穿越到三国时代担任大军的前锋统领，每天辰时（早上 7 点整），全军准备出发， 你的任务是率领前锋部队快速前进并建成营地（已知建立营地需要 2 小时），等候大军在天 黑前到来会合，入住营地。 4.今天，全军的行军任务是 48km，天黑时间是酉时（下午 5 点）。为保证全军顺利会合，大 军和前锋部队的行军速度分别至少要达到多少？请列式进行计算。（5 分） .. 5.第二天，你的前锋部队以 5km/h 的速度行军，大军以 3km/h 的速度行进。你在离出发点 10km 的地方发现敌情，立即派出一队士兵往回通报大军，请问这对士兵大约将几点与大军 相遇？请列式进行计算。（6 分） 6.第三天，你的前锋部队搭建一个营地，范围如下图曲线所示。每个小格子的宽度为 100m. 请你利用方格估算营地面积，并计算估算的过程。（4 分） 7.官渡之战之后，曹操组建了威名远震的骑兵部队——虎豹骑。已知骑兵冲锋常用锥形阵， 其阵如右图所示。由图可以看到，锥形阵可以被看成一个等腰三角形和一个矩形的组合。假 如沿着阵型实线边界，每 4 米布置一个骑兵 3 人小组，军阵的内部区域不站骑兵，请问此图 表示的阵中有多少名骑兵？请列式进行计算。（4 分） 8.假如此阵需要增加 420 名骑兵，这些骑兵将放在 AB、CD 两条线段上，使它们更长，请问 此时军队所围的区域面积为多少？请列式进行计算。（5 分） .. 9.军阵的移动可以看成平移和旋转两种运动方式的结合。如图所示，每一格的宽度代表 200 米，有一列军阵向南平移了 0.8 千米，向西平移了 0.6 千米，并以 O 点为中心顺时针旋转 90°后到达了如图位置。请在答题卡的方格纸上画出军阵移动前的位置。（5 分）